गड़बड़ी सिद्धांत

This article is about perturbation theory as a general mathematical method. For perturbation theory applied specifically to quantum mechanics, see Perturbation theory (quantum mechanics).

गणित और अनुप्रयुक्त गणित में, गड़बड़ी सिद्धांत में एक संबंधित, सरल समस्या के सटीक समाधान (समीकरण) से शुरू करके, किसी समस्या के सन्निकटन सिद्धांत को खोजने के तरीके शामिल हैं। तकनीक की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक मध्य चरण है जो समस्या को हल करने योग्य और परेशान करने वाले भागों में तोड़ देता है। रेफरी नाम = सामान्य परेशानी>William E. Wiesel (2010). Modern Astrodynamics. Ohio: Aphelion Press. p. 107. ISBN 978-145378-1470.</ref> गड़बड़ी सिद्धांत में, समाधान को एक छोटे पैरामीटर में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जाता है $\varepsilon$.पहला पद हल करने योग्य समस्या का ज्ञात समाधान है। की उच्च शक्तियों पर श्रृंखला में लगातार शब्द $\varepsilon$ आमतौर पर छोटे हो जाते हैं। एक अनुमानित 'परेशान समाधान' श्रृंखला को छोटा करके प्राप्त किया जाता है, आमतौर पर केवल पहले दो शब्दों को रखकर, ज्ञात समस्या का समाधान और 'प्रथम क्रम' गड़बड़ी सुधार।

विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग व्यापक क्षेत्रों में किया जाता है, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अपने सबसे परिष्कृत और उन्नत रूपों तक पहुंचता है। गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी ) क्वांटम यांत्रिकी में इस पद्धति के उपयोग का वर्णन करता है। सामान्य तौर पर यह क्षेत्र कई विषयों में सक्रिय रूप से और भारी शोध किया जाता है।

विवरण

गड़बड़ी सिद्धांत एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के संदर्भ में वांछित समाधान के लिए एक अभिव्यक्ति विकसित करता है जिसे कुछ छोटे पैरामीटर में एक गड़बड़ी श्रृंखला के रूप में जाना जाता है, जो बिल्कुल हल करने योग्य समस्या से विचलन को मापता है। इस शक्ति श्रृंखला में अग्रणी शब्द बिल्कुल हल करने योग्य समस्या का समाधान है, जबकि आगे की शर्तें प्रारंभिक समस्या से विचलन के कारण समाधान में विचलन का वर्णन करती हैं। औपचारिक रूप से, हमारे पास पूर्ण समाधान के सन्निकटन के लिए है A, छोटे पैरामीटर में एक श्रृंखला (यहाँ कहा जाता है ε), निम्नलिखित की तरह:

$A=A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\cdots$

इस उदाहरण में, A₀ वास्तव में हल करने योग्य प्रारंभिक समस्या का ज्ञात समाधान होगा और A₁, A₂, ... प्रथम-क्रम, द्वितीय-क्रम और उच्च-क्रम की शर्तों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो एक यंत्रवत प्रक्रिया द्वारा पुनरावृत्त रूप से पाया जा सकता है। छोटे के लिए ε श्रृंखला में ये उच्च-क्रम की शर्तें आम तौर पर (लेकिन हमेशा नहीं) क्रमिक रूप से छोटी होती जाती हैं। एक अनुमानित परेशान समाधान श्रृंखला को छोटा करके प्राप्त किया जाता है, अक्सर केवल पहले दो शब्दों को रखकर, अंतिम समाधान को प्रारंभिक (सटीक) समाधान और प्रथम-क्रम गड़बड़ी सुधार के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

$A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\quad \left(\varepsilon \to 0\right)$

अनुमानित समाधान में त्रुटि के क्रम को इंगित करने के लिए कुछ लेखक बिग ओ नोटेशन का उपयोग करते हैं: $A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+O\left(\varepsilon ^{2}\right)$.

यदि शक्ति श्रंखला में ε अभिसरण के गैर-शून्य त्रिज्या के साथ अभिसरण करता है, गड़बड़ी समस्या को नियमित गड़बड़ी समस्या कहा जाता है।नियमित गड़बड़ी की समस्याओं में, स्पर्शोन्मुख समाधान आसानी से सटीक समाधान तक पहुंचता है।हालांकि, गड़बड़ी श्रृंखला भी अलग हो सकती है, और काटे गए श्रृंखला अभी भी सही समाधान के लिए एक अच्छा अनुमान हो सकती है यदि इसे उस बिंदु पर छोटा कर दिया जाता है जिस पर इसके तत्व न्यूनतम होते हैं। इसे एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला कहा जाता है। यदि गड़बड़ी श्रृंखला भिन्न है या एक शक्ति श्रृंखला नहीं है (उदाहरण के लिए, स्पर्शोन्मुख विस्तार में गैर-पूर्णांक शक्तियां हैं $\varepsilon ^{1/2}$ या नकारात्मक शक्तियां $\varepsilon ^{-2}$) तो परेशानी की समस्या को एकवचन गड़बड़ी कहा जाता है।एकवचन गड़बड़ी समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए गड़बड़ी सिद्धांत में कई विशेष तकनीकों का विकास किया गया है।

प्रोटोटाइपिकल उदाहरण

जिसे अब गड़बड़ी सिद्धांत कहा जाएगा, उसका सबसे पहला उपयोग आकाशीय यांत्रिकी की अन्यथा अघुलनशील गणितीय समस्याओं से निपटने के लिए था: उदाहरण के लिए चंद्रमा की कक्षा , जो प्रतिस्पर्धी गुरुत्वाकर्षण के कारण ग्रहों की गति के एक साधारण केप्लर के नियमों से अलग तरह से चलती है। पृथ्वी और सूर्य। गड़बड़ी के तरीके मूल समस्या के सरलीकृत रूप से शुरू होते हैं, जो कि काफी सरल है जिसे ठीक से हल किया जा सकता है। आकाशीय यांत्रिकी में, यह आमतौर पर ग्रहों की गति के केप्लर के नियम हैं। न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के तहत, एक अंडाकार बिल्कुल सही होता है जब केवल दो गुरुत्वाकर्षण निकाय होते हैं (जैसे, पृथ्वी और चंद्रमा) लेकिन तीन-शरीर की समस्या होने पर बिल्कुल सही नहीं है (जैसे, पृथ्वी, चंद्रमा, सूर्य, और शेष सौर मंडल) और बिल्कुल सही नहीं है जब सामान्य सापेक्षता से योगों का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण बातचीत को बताया जाता है।

परेशान विस्तार

उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, व्यथित श्रृंखला प्राप्त करने के लिए एक सामान्य नुस्खा का अनुसरण करता है। सरलीकृत समस्या में क्रमिक सुधार जोड़कर परेशान करने वाला विस्तार बनाया जाता है। सुधारों को अप्रभावित समाधान और सिस्टम का पूर्ण रूप से वर्णन करने वाले समीकरणों के बीच निरंतरता को मजबूर करके प्राप्त किया जाता है। लिखना $D$ समीकरणों के इस संग्रह के लिए; यही है, चलो प्रतीक $D$ समस्या के समाधान के लिए खड़े हों। अक्सर, ये अंतर समीकरण होते हैं, इस प्रकार, अक्षर D ।

श्रमसाध्य होने पर प्रक्रिया आम तौर पर यांत्रिक होती है। समीकरणों को लिखने से शुरू होता है $D$ ताकि वे दो भागों में विभाजित हो जाएं: समीकरणों का कुछ संग्रह $D_{0}$ जिसे ठीक से हल किया जा सकता है, और कुछ अतिरिक्त शेष भाग $\varepsilon D_{1}$ कुछ छोटे के लिए $\varepsilon \ll 1$. समाधान $A_{0}$ (प्रति $D_{0}$) जाना जाता है, और कोई सामान्य समाधान चाहता है $A$ प्रति $D=D_{0}+\varepsilon D_{1}$.

अगला सन्निकटन $A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}$ में डाला जाता है $\varepsilon D_{1}$. इसका परिणाम के लिए एक समीकरण में होता है $A_{1}$, जो, सामान्य स्थिति में, समाकलन से अधिक योग के रूप में बंद रूप में लिखा जा सकता है $A_{0}$. इस प्रकार, किसी ने प्रथम-क्रम सुधार प्राप्त किया है $A_{1}$ और इस तरह $A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}$ के लिए एक अच्छा सन्निकटन है $A$. यह एक अच्छा सन्निकटन है, ठीक इसलिए क्योंकि जिन भागों को नज़रअंदाज़ किया गया वे आकार के थे $\varepsilon ^{2}$. फिर सुधार प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है $A_{2}$, और इसी तरह।

व्यवहार में, यह प्रक्रिया तेजी से कई शब्दों में बदल जाती है, जिसे हाथ से प्रबंधित करना बेहद कठिन हो जाता है। बताया जाता है कि आइजैक न्यूटन ने चंद्रमा की कक्षा की समस्या के बारे में कहा था कि इससे मेरे सिर में दर्द होता है। इस असहनीयता ने गड़बड़ी सिद्धांत को इन उच्च क्रम शर्तों को प्रबंधित करने और लिखने की एक उच्च कला के रूप में विकसित करने के लिए मजबूर किया है। विस्तार को नियंत्रित करने के लिए मूलभूत सफलताओं में से एक फेनमैन आरेख हैं, जो गड़बड़ी श्रृंखला को आरेखीय रूप से लिखने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण

भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में बड़ी संख्या में विभिन्न सेटिंग्स में गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग किया गया है। समीकरणों के संग्रह के उदाहरण $D$ बीजगणितीय समीकरण शामिल करें, अवकल समीकरण (जैसे, गति के समीकरण ) और आमतौर पर तरंग समीकरण ), सांख्यिकीय यांत्रिकी में थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा , विकिरण हस्तांतरण, और क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ।

समाधान के प्रकारों के उदाहरणों में गति के समीकरण का समाधान (जैसे, एक कण का प्रक्षेपवक्र ), कुछ भौतिक मात्रा का औसत (जैसे, औसत चुंबकत्व), एक क्वांटम यांत्रिक समस्या की जमीनी स्थिति ऊर्जा शामिल है। .

प्रारंभिक बिंदुओं के रूप में उपयोग की जा सकने वाली सटीक हल करने योग्य समस्याओं के उदाहरणों में रैखिक समीकरण शामिल हैं, जिसमें गति के रैखिक समीकरण (लयबद्ध दोलक , रैखिक तरंग समीकरण ), सांख्यिकीय या क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम गैर-अंतःक्रियात्मक कणों (या सामान्य रूप से, हैमिल्टनियन या मुक्त ऊर्जा) शामिल हैं। स्वतंत्रता की सभी डिग्री में केवल द्विघात शब्द शामिल हैं)।

गड़बड़ी के साथ हल की जा सकने वाली प्रणालियों के उदाहरणों में गति के समीकरणों में गैर-रेखीय योगदान वाले सिस्टम, कणों के बीच बातचीत, हैमिल्टनियन/मुक्त ऊर्जा में उच्च शक्तियों की शर्तें शामिल हैं।

भौतिक समस्याओं के लिए कणों के बीच बातचीत शामिल है, फेनमैन आरेखों का उपयोग करके गड़बड़ी श्रृंखला की शर्तों को प्रदर्शित (और हेरफेर) किया जा सकता है।

इतिहास

सौर मंडल में ग्रहों की गति की गणना में त्रि-शरीर की समस्या को हल करने के लिए सबसे पहले गड़बड़ी सिद्धांत तैयार किया गया था। उदाहरण के लिए, न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम ने दो खगोलीय पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण की व्याख्या की, लेकिन जब एक तीसरा पिंड जोड़ा गया, तो समस्या यह थी कि प्रत्येक पिंड प्रत्येक को कैसे खींचता है? न्यूटन के समीकरण ने केवल दो पिंडों के द्रव्यमान का विश्लेषण करने की अनुमति दी। एस्ट्रोमेट्री की धीरे-धीरे बढ़ती सटीकता ने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण समीकरणों के समाधान की सटीकता में वृद्धिशील मांगों को जन्म दिया, जिसके कारण 18 वीं और 19 वीं शताब्दी के कई उल्लेखनीय गणितज्ञों, जैसे लग्रेंज और लाप्लास ने गड़बड़ी सिद्धांत के तरीकों का विस्तार और सामान्यीकरण किया।

20वीं शताब्दी के परमाणु और उप-परमाणु भौतिकी में क्वांटम यांत्रिकी के विकास के दौरान उत्पन्न होने वाली नई समस्याओं को हल करने के लिए इन अच्छी तरह से विकसित गड़बड़ी विधियों को अपनाया और अनुकूलित किया गया था। पॉल डिराका ने 1927 में क्वांटम गड़बड़ी सिद्धांत विकसित किया था ताकि यह मूल्यांकन किया जा सके कि रेडियोधर्मी तत्वों में एक कण कब उत्सर्जित होगा। इसे बाद में फर्मी का स्वर्णिम नियम नाम दिया गया। क्वांटम यांत्रिकी में गड़बड़ी सिद्धांत काफी सुलभ है, क्योंकि क्वांटम नोटेशन अभिव्यक्ति को काफी कॉम्पैक्ट रूप में लिखने की अनुमति देता है, जिससे उन्हें समझना आसान हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप अनुप्रयोगों का विस्फोट हुआ, जिसमें Zeeman प्रभाव से लेकर हाइड्रोजन परमाणु में हाइपरफाइन विभाजन तक शामिल थे।

सरल संकेतन के बावजूद, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पर लागू गड़बड़ी सिद्धांत अभी भी आसानी से हाथ से निकल जाता है। रिचर्ड फेनमैन ने प्रसिद्ध फेनमैन आरेखों को यह देखकर विकसित किया कि कई शब्द नियमित रूप से दोहराए जाते हैं। इन शब्दों को डॉट्स, लाइनों, स्क्वीगल्स और समान चिह्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, प्रत्येक एक शब्द के लिए खड़ा है, एक भाजक, एक अभिन्न, और इसी तरह; इस प्रकार जटिल समाकलों को सरल आरेखों के रूप में लिखा जा सकता है, बिना किसी अस्पष्टता के कि उनका क्या अर्थ है। आरेखों और विशिष्ट समाकलनों के बीच एक-से-एक पत्राचार ही उन्हें उनकी शक्ति प्रदान करता है। यद्यपि मूल रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए विकसित किया गया था, यह पता चला है कि आरेखीय तकनीक व्यापक रूप से सभी परेशान श्रृंखलाओं पर लागू होती है (हालांकि, शायद, हमेशा इतनी उपयोगी नहीं होती)।

20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, जैसे-जैसे अराजकता सिद्धांत विकसित हुआ, यह स्पष्ट हो गया कि अप्रभावित प्रणालियाँ सामान्य रूप से पूरी तरह से एकीकृत प्रणालियों में थीं, जबकि विकृत प्रणालियाँ नहीं थीं। यह तुरंत लगभग एकीकृत प्रणालियों के अध्ययन की ओर ले जाता है, जिनमें से काम तोरउस विहित उदाहरण है। साथ ही, यह भी पता चला कि कई (बल्कि विशेष) गैर-रेखीय प्रणालियां, जो पहले केवल गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से पहुंच योग्य थीं, वास्तव में पूरी तरह से एकीकृत हैं। यह खोज काफी नाटकीय थी, क्योंकि इसने सटीक समाधान दिए जाने की अनुमति दी थी। यह, बदले में, परेशान श्रृंखला के अर्थ को स्पष्ट करने में मदद करता है, क्योंकि अब श्रृंखला के परिणामों की तुलना सटीक समाधानों से की जा सकती है।

अराजकता सिद्धांत से आने वाली गतिशील प्रणालियों की बेहतर समझ ने उस पर प्रकाश डालने में मदद की जिसे छोटी भाजक समस्या या छोटी भाजक समस्या कहा जाता था। यह 19वीं शताब्दी में देखा गया था (हेनरी पोंकारे | पोंकारे, और शायद पहले), कि कभी-कभी परेशान श्रृंखला में दूसरे और उच्च क्रम के शब्दों में छोटे भाजक होते हैं। यानी उनका सामान्य रूप है $\psi _{n}V\phi _{m}/(\omega _{n}-\omega _{m})$ कहाँ पे $\psi _{n}$, $V$ तथा $\phi _{m}$ हल की जाने वाली समस्या से संबंधित कुछ जटिल अभिव्यक्तियाँ हैं, और $\omega _{n}$ तथा $\omega _{m}$ वास्तविक संख्याएं हैं; बहुत बार वे सामान्य मोड की ऊर्जा होते हैं। छोटी भाजक समस्या तब उत्पन्न होती है जब अंतर $\omega _{n}-\omega _{m}$ छोटा है, जिससे परेशान करने वाले सुधार को उड़ा दिया जाता है, जो ज़ीरोथ ऑर्डर टर्म से बड़ा या शायद बड़ा हो जाता है। यह स्थिति गड़बड़ी सिद्धांत के टूटने का संकेत देती है: यह इस बिंदु पर काम करना बंद कर देता है, और इसे आगे विस्तारित या सारांशित नहीं किया जा सकता है। औपचारिक शब्दों में, परेशान श्रृंखला एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला है: कुछ शब्दों के लिए एक उपयोगी सन्निकटन, लेकिन अंततः अचूक। अराजकता सिद्धांत से सफलता इस बात की व्याख्या थी कि ऐसा क्यों हुआ: जब भी गड़बड़ी सिद्धांत को अराजक प्रणाली पर लागू किया जाता है तो छोटे विभाजक होते हैं। एक दूसरे की उपस्थिति का संकेत देता है।

ग्रहों की गति के अध्ययन में शुरुआत

चूंकि ग्रह एक-दूसरे से बहुत दूर हैं, और चूंकि उनका द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान की तुलना में छोटा है, इसलिए ग्रहों के बीच गुरुत्वाकर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है, और ग्रहों की गति को पहले सन्निकटन के रूप में माना जाता है। केप्लर की कक्षाओं के साथ, जो दो-शरीर की समस्या के समीकरणों द्वारा परिभाषित की जाती हैं, दो पिंड ग्रह और सूर्य हैं। चूँकि खगोलीय आँकड़ों को बहुत अधिक सटीकता के साथ जाना जाने लगा, इसलिए यह विचार करना आवश्यक हो गया कि सूर्य के चारों ओर एक ग्रह की गति अन्य ग्रहों से कैसे प्रभावित होती है। यह तीन-शरीर की समस्या का मूल था; इस प्रकार, चंद्रमा-पृथ्वी-सूर्य प्रणाली के अध्ययन में चंद्रमा और पृथ्वी के बीच द्रव्यमान अनुपात को छोटे पैरामीटर के रूप में चुना गया था। लैग्रेंज और लाप्लास इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाने वाले पहले थे कि सूर्य के चारों ओर एक ग्रह की गति का वर्णन करने वाले स्थिरांक अन्य ग्रहों की गति से परेशान होते हैं, और समय के कार्य के रूप में भिन्न होते हैं; इसलिए नाम गड़बड़ी सिद्धांत।

शास्त्रीय विद्वानों-लाप्लास, शिमोन डेनिस पॉइसन, गॉस द्वारा गड़बड़ी सिद्धांत की जांच की गई थी, जिसके परिणामस्वरूप गणना बहुत उच्च सटीकता के साथ की जा सकती थी। 1848 में अर्बन ले वेरियर द्वारा नेपच्यून की खोज , अरुण ग्रह ग्रह की गति में विचलन के आधार पर (उन्होंने जोहान गॉटफ्राइड गाले को निर्देशांक भेजे जिन्होंने नेपच्यून को अपने टेलीस्कोप के माध्यम से सफलतापूर्वक देखा), गड़बड़ी सिद्धांत की विजय का प्रतिनिधित्व किया।

परेशान आदेश

गड़बड़ी सिद्धांत का मानक प्रदर्शन उस क्रम के संदर्भ में दिया गया है जिस क्रम में गड़बड़ी की जाती है: प्रथम-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत या द्वितीय-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत, और क्या परेशान राज्य पतित हैं, जिसके लिए एकवचन गड़बड़ी की आवश्यकता होती है। एकवचन मामले में अतिरिक्त सावधानी बरती जानी चाहिए, और सिद्धांत थोड़ा अधिक विस्तृत है।

रसायन शास्त्र में

क्वांटम रसायन विज्ञान के तरीकों की शुरुआत से कई तरीके सीधे गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करते हैं या निकट से संबंधित तरीके हैं। निहित गड़बड़ी सिद्धांत शुरुआत से ही संपूर्ण हैमिल्टन के साथ काम करता है और कभी भी इस तरह के गड़बड़ी ऑपरेटर को निर्दिष्ट नहीं करता है। मोलर-प्लेसेट गड़बड़ी सिद्धांत, हार्ट्री-फॉक हैमिल्टनियन और सटीक गैर-सापेक्षवादी हैमिल्टनियन के बीच के अंतर को गड़बड़ी के रूप में उपयोग करता है। शून्य-क्रम ऊर्जा कक्षीय ऊर्जाओं का योग है। प्रथम-क्रम ऊर्जा हार्ट्री-फॉक ऊर्जा है और इलेक्ट्रॉन सहसंबंध दूसरे क्रम या उच्चतर पर शामिल है। दूसरे, तीसरे या चौथे क्रम की गणना बहुत आम है और कोड अधिकांश कम्प्यूटेशनल केमिस्ट्री#सॉफ्टवेयर पैकेज में शामिल है। एक संबंधित लेकिन अधिक सटीक विधि युग्मित क्लस्टर विधि है।

यह भी देखें

• सीमा परत
• ब्रह्माण्ड संबंधी गड़बड़ी सिद्धांत
• विरूपण (गणित)
• गतिशील परमाणु ध्रुवीकरण
• प्रतिजन मूल्य गड़बड़ी
• होमोटोपी गड़बड़ी विधि
• अंतराल फेम
• ल्यपुनोव स्थिरता
• प्रमुख संतुलन की विधि
• सन्निकटन का क्रम
• गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)
• संरचनात्मक स्थिरता

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• हल (समीकरण)
• व्यावहारिक गणित
• अंक शास्त्र
• बिजली की श्रृंखला
• गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)
• रवि
• तीन शरीर की समस्या
• सौर प्रणाली
• चांद
• बीजीय समीकरण
• अंतर समीकरण
• परस्पर क्रिया
• रेखीय समीकरण
• निम्नतम अवस्था
• गैर-रैखिक प्रणाली
• अति सूक्ष्म विभाजन
• पूरी तरह से एकीकृत प्रणाली
• गतिशील प्रणाली
• दो शरीर की समस्या
• एकवचन परेशानी
• अंतराल पांच

बाहरी संबंध

• van den Eijnden, Eric. "Introduction to regular perturbation theory" (PDF).
• "Perturbation method of multiple scales".
• Alternative approach to quantum perturbation theory Martínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Alternative analysis to perturbation theory in quantum mechanics". The European Physical Journal D. 66: 22. arXiv:1110.0723. Bibcode:2012EPJD...66...22M. doi:10.1140/epjd/e2011-20654-5. S2CID 117362666.