सन्निकटन का क्रम

विज्ञान, अभियांत्रिकी और अन्य मात्रात्मक विषयों में, सन्निकटन का क्रम औपचारिक या अनौपचारिक अभिव्यक्तियों को संदर्भित करता है कि सन्निकटन कितना सटीक है।

विज्ञान और इंजीनियरिंग में उपयोग

औपचारिक अभिव्यक्तियों में, अंग्रेजी_अंक#ऑर्डिनल_नंबर शब्द ऑर्डर_(गणित)#विश्लेषण से पहले उपयोग किया जाता है, जो अनुमान # व्युत्पत्ति_और_उपयोग में उपयोग किए जाने वाले श्रृंखला विस्तार में उच्चतम ऊर्जा समीकरण को संदर्भित करता है। भाव: एक शून्य-क्रम सन्निकटन, एक प्रथम-क्रम सन्निकटन, एक द्वितीय-क्रम सन्निकटन, और इसी तरह आगे निश्चित वाक्यांशों के रूप में उपयोग किया जाता है। अभिव्यक्ति 'शून्य-क्रम सन्निकटन भी आम है। कार्डिनल अंक कभी-कभी 'आदेश-शून्य सन्निकटन', एक 'आदेश-एक सन्निकटन' आदि जैसे भावों में उपयोग किए जाते हैं।

'आदेश' शब्द का विलोपन उन वाक्यांशों की ओर ले जाता है जिनका औपचारिक अर्थ कम होता है। पहले सन्निकटन या पहले सन्निकटन जैसे वाक्यांश एक मात्रा का लगभग अनुमानित मूल्य का उल्लेख कर सकते हैं। एक शून्य सन्निकटन का वाक्यांश एक जंगली अनुमान को इंगित करता है। सन्निकटन के अभिव्यक्ति क्रम को कभी-कभी अनौपचारिक रूप से महत्वपूर्ण आंकड़ों की संख्या, सटीकता के बढ़ते क्रम में, या परिमाण के क्रम में उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि ये औपचारिक अभिव्यक्तियाँ सीधे डेरिवेटिव के क्रम को संदर्भित नहीं करती हैं।

श्रृंखला विस्तार का चुनाव घटना # वैज्ञानिक की जांच के लिए उपयोग की जाने वाली वैज्ञानिक पद्धति पर निर्भर करता है। अभिव्यक्ति 'सन्निकटन का क्रम' एक निर्दिष्ट अंतराल_(गणित) में एक फ़ंक्शन_(गणित) के उत्तरोत्तर अधिक परिष्कृत अनुमानों को इंगित करने की उम्मीद है। सन्निकटन के क्रम का चुनाव अनुसंधान पर निर्भर करता है। एक नया एप्लिकेशन तैयार करने के लिए एक ज्ञात क्लोज्ड-फॉर्म_एक्सप्रेशन # एनालिटिक_एक्सप्रेशन को सरल बनाना चाह सकता है या इसके विपरीत, कर्व_फिटिंग की कोशिश कर सकता है। सन्निकटन का उच्च क्रम हमेशा निचले क्रम से अधिक उपयोगी नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मात्रा पूरे अंतराल के भीतर स्थिर है, तो दूसरे क्रम की टेलर श्रृंखला के साथ इसका अनुमान लगाने से सटीकता में वृद्धि नहीं होगी।

एक सुचारू कार्य के मामले में, n-क्रम सन्निकटन एक बहुपद n की डिग्री का बहुपद है, जो टेलर श्रृंखला को इस डिग्री तक छोटा करके प्राप्त किया जाता है। सन्निकटन के आदेश का औपचारिक उपयोग श्रृंखला_विस्तार (आमतौर पर उच्च शर्तों) में प्रयुक्त श्रृंखला_(गणित) की कुछ शर्तों के चूक से मेल खाता है। यह Accuracy_and_precision को प्रभावित करता है। त्रुटि आमतौर पर अंतराल के भीतर भिन्न होती है। इस प्रकार उपर्युक्त अर्थ में औपचारिक रूप से प्रयुक्त शून्यांक, प्रथम, द्वितीय आदि संख्याएँ प्रत्यक्ष रूप से प्रतिशत त्रुटि या सार्थक अंकों की सूचना नहीं देतीं।

शून्य-क्रम

जीरोथ-ऑर्डर सन्निकटन वह शब्द है जिसका उपयोग वैज्ञानिक पहले मोटे उत्तर के लिए करते हैं। कई सन्निकटन # विज्ञान बनाए जाते हैं, और जब एक संख्या की आवश्यकता होती है, तो एक क्रम-परिमाण उत्तर (या शून्य महत्वपूर्ण अंक) अक्सर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि शहर में 'कुछ हज़ार' निवासी हैं, जबकि वास्तव में इसमें 3,914 लोग हैं। इसे कभी-कभी परिमाण के क्रम के रूप में भी संदर्भित किया जाता है|परिमाण के क्रम का सन्निकटन। शून्य-क्रम का शून्य इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करता है कि दी गई एकमात्र संख्या भी, कुछ स्वयं ही शिथिल रूप से परिभाषित है।

किसी फ़ंक्शन (गणित) का एक शून्य-क्रम सन्निकटन (अर्थात, गणित कई डेटा बिंदुओं को फिट करने के लिए एक सूत्र का निर्धारण करता है) निरंतर (गणित), या बिना ढलान वाली एक सपाट रेखा (गणित) होगी: डिग्री 0 का एक बहुपद। उदाहरण,

$x=[0,1,2],$

$y=[3,3,5],$

$y\sim f(x)=3.67$

हो सकता है - यदि डेटा बिंदु सटीकता रिपोर्ट की गई थी - डेटा के लिए एक अनुमानित फिट, केवल x मानों और y मानों के औसत से प्राप्त किया गया। हालाँकि, डेटा बिंदु Unit_of_observation#Data_point का प्रतिनिधित्व करते हैं और वे Point_(ज्यामिति)#Points_in_Euclidean_geometry से भिन्न होते हैं। इस प्रकार इनपुट डेटा में केवल एक महत्वपूर्ण अंक के साथ आउटपुट में तीन महत्वपूर्ण अंकों वाले औसत मूल्य को उद्धृत करते हुए झूठी परिशुद्धता के उदाहरण के रूप में पहचाना जा सकता है। ±0.5 के डेटा बिंदुओं की निहित सटीकता के साथ, शून्य क्रम सन्निकटन मानक विचलन को ध्यान में रखते हुए -0.5 से 2.5 के अंतराल में ~3.7 ± 2.0 के y के लिए सबसे अच्छा परिणाम दे सकता है।

यदि डेटा बिंदुओं की रिपोर्ट की जाती है

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

शून्य-क्रम सन्निकटन का परिणाम होता है

$y\sim f(x)=3.67.$

परिणाम की सटीकता उस औसत के लिए गुणक फ़ंक्शन प्राप्त करने के प्रयास को उचित ठहराती है, उदाहरण के लिए,

$y\sim x+2.67.$

हालांकि, सावधान रहना चाहिए, क्योंकि गुणन फलन पूरे अंतराल के लिए परिभाषित किया जाएगा। यदि केवल तीन डेटा बिंदु उपलब्ध हैं, तो बाकी के अंतराल (गणित) के बारे में कोई जानकारी नहीं है, जो इसका एक बड़ा हिस्सा हो सकता है। इसका मतलब यह है कि y का एक अन्य घटक हो सकता है जो अंत में और अंतराल के मध्य में 0 के बराबर होता है। इस गुण वाले कई फलन ज्ञात हैं, उदाहरण के लिए y = sin πx। टेलर श्रृंखला उपयोगी है और एक बंद-स्वरूप अभिव्यक्ति की भविष्यवाणी करने में मदद करती है, लेकिन सन्निकटन अकेले निर्णायक साक्ष्य प्रदान नहीं करता है।

प्रथम क्रम

प्रथम-क्रम सन्निकटन वह शब्द है जिसका उपयोग वैज्ञानिक थोड़े बेहतर उत्तर के लिए करते हैं।कुछ सरल धारणाएं बनाई जाती हैं, और जब एक संख्या की आवश्यकता होती है, तो केवल एक महत्वपूर्ण अंक के साथ एक उत्तर दिया जाता है (शहर के पास है 4×10³, या चार हजार, निवासी)। प्रथम-क्रम सन्निकटन के मामले में, दी गई कम से कम एक संख्या सटीक होती है। उपरोक्त शून्य-क्रम के उदाहरण में, मात्रा कुछ दी गई थी, लेकिन पहले-क्रम के उदाहरण में संख्या 4 दी गई है।

किसी फ़ंक्शन का प्रथम-क्रम सन्निकटन (अर्थात, गणितीय रूप से कई डेटा बिंदुओं को फिट करने के लिए एक सूत्र का निर्धारण करना) एक रैखिक सन्निकटन होगा, एक ढलान के साथ सीधी रेखा: डिग्री 1 का एक बहुपद। उदाहरण के लिए:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x+2.67$

डेटा के लिए एक अनुमानित फिट है। इस उदाहरण में एक शून्य-क्रम सन्निकटन है जो प्रथम-क्रम के समान है, लेकिन वहाँ पहुँचने की विधि भिन्न है; यानी एक रिश्ते में अंधेरे में एक जंगली छुरा उतना ही अच्छा हुआ जितना कि एक शिक्षित अनुमान।

दूसरा क्रम

द्वितीय-क्रम सन्निकटन वह शब्द है जिसका उपयोग वैज्ञानिक सभ्य-गुणवत्ता वाले उत्तर के लिए करते हैं। कुछ सरलीकृत धारणाएँ बनाई जाती हैं, और जब एक संख्या की आवश्यकता होती है, तो दो या दो से अधिक महत्वपूर्ण अंकों के साथ एक उत्तर (शहर में होता है 3.9×10³, या उनतीस सौ, निवासी) आम तौर पर दिया जाता है। गणितीय वित्त में, दूसरे क्रम के सन्निकटन को उत्तलता (वित्त) के रूप में जाना जाता है। जैसा कि ऊपर के उदाहरणों में है, शब्द दूसरा क्रम सटीक मात्रा के लिए दिए गए सटीक अंकों की संख्या को संदर्भित करता है। इस मामले में, 3 और 9 को सटीकता के दो क्रमिक स्तरों के रूप में दिया गया है, न कि केवल पहले क्रम से 4, या ऊपर के उदाहरणों में पाए गए शून्य क्रम से कुछ।

किसी फ़ंक्शन का दूसरे क्रम का सन्निकटन (अर्थात, कई डेटा बिंदुओं को फ़िट करने के लिए गणितीय रूप से एक सूत्र का निर्धारण करना) एक द्विघात बहुपद होगा, ज्यामितीय रूप से, एक परवलय: डिग्री 2 का बहुपद। उदाहरण के लिए:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x^{2}-x+3$

डेटा के लिए एक अनुमानित फिट है। इस मामले में, केवल तीन डेटा बिंदुओं के साथ, एक पैराबोला प्रदान किए गए डेटा के आधार पर सटीक फिट होता है। हालाँकि, अधिकांश अंतराल के लिए डेटा बिंदु उपलब्ध नहीं हैं, जो सावधानी बरतने की सलाह देता है (शून्य क्रम देखें)।

उच्च क्रम

जबकि उच्च-क्रम सन्निकटन मौजूद हैं और वास्तविकता की बेहतर समझ और विवरण के लिए महत्वपूर्ण हैं, उन्हें आमतौर पर संख्या द्वारा संदर्भित नहीं किया जाता है।

उपरोक्त को जारी रखते हुए, चार डेटा बिंदुओं को पूरी तरह से फिट करने के लिए तीसरे क्रम के सन्निकटन की आवश्यकता होगी, और इसी तरह। बहुपद प्रक्षेप देखें।

बोलचाल का उपयोग

इन शब्दों का उपयोग वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा उन घटनाओं का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है जिन्हें उपेक्षित किया जा सकता है क्योंकि यह महत्वपूर्ण नहीं है (उदाहरण के लिए पृथ्वी का घूर्णन हमारे प्रयोग को प्रभावित करता है, लेकिन यह इतना उच्च-क्रम प्रभाव है कि हम मापने में सक्षम नहीं होंगे यह। या इन वेगों पर, सापेक्षता एक चौथे क्रम का प्रभाव है जिसके बारे में हम केवल वार्षिक अंशांकन पर चिंता करते हैं।) इस प्रयोग में, सन्निकटन की क्रमिकता सटीक नहीं है, लेकिन इसकी महत्वहीनता पर जोर देने के लिए उपयोग किया जाता है; उपयोग की जाने वाली संख्या जितनी अधिक होगी, प्रभाव उतना ही कम महत्वपूर्ण होगा। शब्दावली, इस संदर्भ में, एक प्रभाव के लिए आवश्यक उच्च स्तर की सटीकता का प्रतिनिधित्व करती है जो समग्र विषय वस्तु की तुलना में बहुत कम होने का अनुमान लगाया जाता है। उच्च क्रम, प्रभाव को मापने के लिए अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है, और इसलिए समग्र माप की तुलना में प्रभाव की लघुता।

यह भी देखें

• रेखाकरण
• व्यवधान सिद्धांत
• टेलर श्रृंखला
• चैपमैन–एनस्कॉग_सिद्धांत#गणितीय_सूत्रीकरण | चैपमैन-एनस्कॉग विधि
• बिग ओ नोटेशन