विशेषताओं की विधि

गणित में, विशेषताओं की विधि आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने की एक तकनीक है। आमतौर पर, यह प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण पर लागू होता है|प्रथम-क्रम समीकरण, हालांकि अधिक सामान्यतः विशेषताओं की विधि किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण के लिए मान्य है। विधि एक आंशिक अंतर समीकरण को साधारण अंतर समीकरणों के परिवार में कम करने के लिए है जिसके साथ समाधान को उपयुक्त ऊनविम पृष्ठ पर दिए गए कुछ प्रारंभिक डेटा से एकीकृत किया जा सकता है।

प्रथम कोटि आंशिक अवकल समीकरण के लक्षण

प्रथम-क्रम पीडीई (आंशिक अंतर समीकरण) के लिए, विशेषताओं की विधि वक्रों की खोज करती है (जिन्हें विशेषता वक्र या सिर्फ विशेषताएँ कहा जाता है) जिसके साथ पीडीई एक साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) बन जाता है। एक बार ODE मिल जाने के बाद, इसे विशिष्ट वक्रों के साथ हल किया जा सकता है और मूल PDE के समाधान में परिवर्तित किया जा सकता है।

सरलता के लिए, फिलहाल हम अपना ध्यान दो स्वतंत्र चर x और y के एक फ़ंक्शन के मामले पर केंद्रित करते हैं। एक आंशिक अवकल समीकरण#रैखिक और अरेखीय समीकरण पर विचार करें

$a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).$

(1)

मान लीजिए कि एक समाधान z ज्ञात है, और 'R' में सतह ग्राफ z = z(x,y) पर विचार करें³. इस सतह पर एक सामान्य वेक्टर दिया गया है

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,$

नतीजतन, समीकरण (1) वेक्टर क्षेत्र के ज्यामितीय कथन के समतुल्य है

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

प्रत्येक बिंदु पर सतह z = z(x,y) पर स्पर्शरेखा है, उपरोक्त सामान्य वेक्टर के साथ इस वेक्टर क्षेत्र का डॉट उत्पाद शून्य है। दूसरे शब्दों में, समाधान का ग्राफ़ इस वेक्टर क्षेत्र के अभिन्न वक्रों का एक संघ होना चाहिए। इन अभिन्न वक्रों को मूल आंशिक अंतर समीकरण के विशिष्ट वक्र कहा जाता है और इन्हें लैग्रेंज-चार्पिट समीकरणों द्वारा दिया जाता है।

${\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}$

लैग्रेंज-चारपिट समीकरणों का एक पैरामीट्रिज़ेशन अपरिवर्तनीय रूपहै:

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.$

रैखिक और अर्धरेखीय मामले

अब फॉर्म के पीडीई पर विचार करें

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

इस पीडीई के रैखिक होने के लिए, गुणांक a_i केवल स्थानिक चर के कार्य हो सकते हैं, और आप से स्वतंत्र हो सकते हैं। इसके चतुर्रेखीय होने के लिए, a_i फ़ंक्शन के मान पर भी निर्भर हो सकता है, लेकिन किसी डेरिवेटिव पर नहीं। यहां चर्चा के लिए इन दोनों मामलों के बीच अंतर आवश्यक है।

एक रैखिक या अर्धरेखीय पीडीई के लिए, विशेषता वक्र पैरामीट्रिक रूप से दिए गए हैं

$(x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))$

$u(\mathbf {X} (s))=U(s)$

जैसे कि ODE की निम्नलिखित प्रणाली संतुष्ट हो

${\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)$

(2)

${\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

(3)

समीकरण (2) और (3) पीडीई की विशेषताएँ बताइए।

चतुर्रेखीय मामले के लिए प्रमाण

क्वासिलिनियर मामले में, विशेषताओं की विधि का उपयोग ग्रोनवाल की असमानता द्वारा उचित है। उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$$

हमें ओडीई के समाधानों और पीडीई के समाधानों के बीच अंतर करना चाहिए, जिनके बारे में हम नहीं जानते कि वे प्राथमिकता के बराबर हैं। बड़े अक्षरों को ODE का समाधान मानकर हम पाते हैं

$$\mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))$$

$$U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))$$

जांच $\Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}$, हम इसे अलग करने पर पाते हैं

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}$$

जो वैसा ही है

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}$$

हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि उपरोक्त 0 है जैसा हम चाहेंगे, क्योंकि पीडीई हमें केवल यह गारंटी देता है कि यह रिश्ता संतुष्ट है $u(\mathbf {x} )$, $\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$, और हम अभी तक यह नहीं जानते हैं $U(s)=u(\mathbf {X} (s))$.

हालाँकि, हम इसे देख सकते हैं

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

चूँकि PDE द्वारा, अंतिम पद 0 है। यह बराबर है

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

त्रिभुज असमानता से, हमारे पास है

$$|\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}$$

यह मानते हुए $\mathbf {a} ,c$ कम से कम हैं $C^{1}$, हम इसे छोटे समय के लिए बाध्य कर सकते हैं। एक पड़ोस चुनें $\Omega$ आस-पास $\mathbf {X} (0),U(0)$ इतना छोटा कि $\mathbf {a} ,c$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ हैं। निरंतरता से, $(\mathbf {X} (s),U(s))$ में रहेगा $\Omega$ काफी छोटे के लिए $s$. तब से $U(0)=u(\mathbf {X} (0))$, हमारे पास भी वह है $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))$ में होगा $\Omega$ काफी छोटे के लिए $s$ निरंतरता से. इसलिए, $(\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega$ और $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega$ के लिए $s\in [0,s_{0}]$. इसके अतिरिक्त, $\|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M$ कुछ के लिए $M\in \mathbb {R}$ के लिए $s\in [0,s_{0}]$ सघनता से. इससे, हम पाते हैं कि उपरोक्त इस प्रकार परिबद्ध है

$$|\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|$$

कुछ के लिए $C\in \mathbb {R}$. यह दिखाने के लिए ग्रोनवाल की असमानता का एक सीधा अनुप्रयोग है $\Delta (0)=0$ अपने पास $\Delta (s)=0$ जब तक यह असमानता रहेगी। हमारे पास कुछ अंतराल है $[0,\epsilon )$ ऐसा है कि $u(X(s))=U(s)$ इस अंतराल में. सबसे बड़ा चुनें $\epsilon$ ऐसे कि ये सच है. फिर, निरंतरता से, $U(\epsilon )=u(\mathbf {X} (\epsilon ))$. बशर्ते ODE के पास कुछ अंतराल के बाद भी कोई समाधान हो $\epsilon$, हम इसे खोजने के लिए उपरोक्त तर्क को दोहरा सकते हैं $u(X(s))=U(s)$ एक बड़े अंतराल में. इस प्रकार, जब तक ODE के पास कोई समाधान है, हमारे पास है $u(X(s))=U(s)$.

पूरी तरह से अरैखिक मामला

आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करें

$F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0$

(4)

जहां चर पी_i आंशिक व्युत्पन्न के लिए आशुलिपि हैं

$p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.$

चलो (x_i(एस),यू(एस),पी_i(s)) 'R' में एक वक्र बनें²ⁿ⁺¹. मान लीजिए कि आप कोई समाधान हैं, और वह

$u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).$

एक समाधान के साथ, विभेदन (4) एस के संबंध में देता है

$\sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0$

${\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0$

$\sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.$

दूसरा समीकरण समाधान यू में श्रृंखला नियम को लागू करने से होता है, और तीसरा संबंध के बाहरी व्युत्पन्न को लेने से होता है $du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0$. इन समीकरणों में हेरफेर करने से प्राप्त होता है

${\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}$

जहां λ एक स्थिरांक है. इन समीकरणों को अधिक सममित रूप से लिखने पर, विशेषता के लिए लैग्रेंज-चारपिट समीकरण प्राप्त होता है

${\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.$

ज्यामितीय रूप से, पूरी तरह से गैर-रेखीय मामले में विशेषताओं की विधि की व्याख्या इस तरह की जा सकती है कि अंतर समीकरण का स्पंज शंकु हर जगह समाधान के ग्राफ के स्पर्शरेखा होना चाहिए। दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण को चारपिट विधि से हल किया जाता है।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, संवहन समीकरण पर विचार करें (यह उदाहरण पीडीई नोटेशन और बुनियादी ओडीई के समाधान के साथ परिचितता मानता है)।

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

कहाँ $a$ स्थिर है और $u$ का एक कार्य है $x$ और $t$. हम इस रैखिक प्रथम-क्रम PDE को उपयुक्त वक्र के साथ ODE में बदलना चाहते हैं; यानी कुछ रूप का

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),$

कहाँ $(x(s),t(s))$ एक विशेषता रेखा है. सबसे पहले, हम पाते हैं

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}$

शृंखला नियम द्वारा. अब, अगर हम सेट करते हैं ${\frac {dx}{ds}}=a$ और ${\frac {dt}{ds}}=1$ हम पाते हैं

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}$

जो पीडीई का बायां हिस्सा है, जिससे हमने शुरुआत की थी। इस प्रकार

${\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.$

तो, विशेषता रेखा के साथ $(x(s),t(s))$, मूल PDE ODE बन जाता है $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$. कहने का तात्पर्य यह है कि विशेषताओं के साथ-साथ समाधान स्थिर है। इस प्रकार, $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ कहाँ $(x_{s},t_{s})\,$ और $(x_{0},0)$ एक ही विशेषता पर झूठ बोलो. इसलिए, सामान्य समाधान निर्धारित करने के लिए, ओडीई की विशेषता प्रणाली को हल करके विशेषताओं को ढूंढना पर्याप्त है:

• ${\frac {dt}{ds}}=1$, देना $t(0)=0$ हम जानते हैं $t=s$,
• ${\frac {dx}{ds}}=a$, देना $x(0)=x_{0}$ हम जानते हैं $x=as+x_{0}=at+x_{0}$,
• ${\frac {du}{ds}}=0$, देना $u(0)=f(x_{0})$ हम जानते हैं $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$.

इस मामले में, विशेषता रेखाएँ ढलान वाली सीधी रेखाएँ हैं $a$, और का मूल्य $u$ किसी भी विशिष्ट रेखा के अनुदिश स्थिर रहता है।

रैखिक अंतर ऑपरेटरों के लक्षण

मान लीजिए कि X एक अवकलनीय मैनिफोल्ड है और P एक रैखिक अवकल संचालिका है

$P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$

आदेश के. स्थानीय समन्वय प्रणाली में x^मैं,

$P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}$

जिसमें α एक बहु-सूचकांक को दर्शाता है। P के विभेदक संचालिका का मुख्य प्रतीक, σ को दर्शाता है_P, कोटैंजेंट बंडल टी पर फ़ंक्शन है^∗X को इन स्थानीय निर्देशांकों में परिभाषित किया गया है

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }$

जहां ξ_i निर्देशांक अंतर dx द्वारा प्रेरित कोटैंजेंट बंडल पर फाइबर निर्देशांक हैं^मैं. यद्यपि इसे एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, ξ से संबंधित परिवर्तन कानून_i और एक्सⁱसुनिश्चित करता है कि σ_P कोटैंजेंट बंडल पर एक अच्छी तरह से परिभाषित फ़ंक्शन है।

फ़ंक्शन σ_P चर में डिग्री k का सजातीय कार्य है। σ के शून्य_P, टी के शून्य खंड से दूर^∗X, P की विशेषताएँ हैं। समीकरण F(x)=c द्वारा परिभाषित X की एक हाइपरसरफेस को x पर एक विशेषता हाइपरसरफेस कहा जाता है यदि

$\sigma _{P}(x,dF(x))=0.$

अनिवार्य रूप से, एक विशिष्ट हाइपरसरफेस एक हाइपरसरफेस होता है जिसका सामान्य बंडल पी के विशेषता सेट में होता है।

विशेषताओं का गुणात्मक विश्लेषण

पीडीई में गुणात्मक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए विशेषताएँ भी एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

एक संपीड़ित तरल पदार्थ में संभावित प्रवाह के लिए शॉक तरंगों को खोजने के लिए विशेषताओं के क्रॉसिंग का उपयोग किया जा सकता है। सहज रूप से, हम प्रत्येक विशेषता रेखा के बारे में सोच सकते हैं जो समाधान सुझाती है $u$ अपने साथ. इस प्रकार, जब दो विशेषताएँ परस्पर मिलती हैं, तो फ़ंक्शन बहु-मूल्यवान हो जाता है जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-भौतिक समाधान प्राप्त होता है। भौतिक रूप से, यह विरोधाभास एक शॉक वेव, एक स्पर्शरेखा असंततता या एक कमजोर असंततता के गठन से दूर हो जाता है और इसके परिणामस्वरूप गैर-संभावित प्रवाह हो सकता है, जो प्रारंभिक धारणाओं का उल्लंघन करता है। विशेषताएँ पीडीई के डोमेन के हिस्से को कवर करने में विफल हो सकती हैं। इसे विरलन कहा जाता है, और यह इंगित करता है कि समाधान आम तौर पर केवल कमजोर, यानी अभिन्न समीकरण, अर्थ में मौजूद होता है।

जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण से पता चलता है, विशिष्ट रेखाओं की दिशा समाधान के माध्यम से मूल्यों के प्रवाह को इंगित करती है। पीडीई को संख्यात्मक रूप से हल करते समय इस प्रकार का ज्ञान उपयोगी होता है क्योंकि यह संकेत दे सकता है कि समस्या के लिए कौन सी सीमित अंतर योजना सर्वोत्तम है।

यह भी देखें

• क्वांटम विशेषताओं की विधि

संदर्भ

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and Its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education

बाहरी संबंध

• Prof. Scott Sarra tutorial on Method of Characteristics
• Prof. Alan Hood tutorial on Method of Characteristics