रॉबिन सीमा की स्थिति

गणित में, रोबिन सीमा स्थिति (/ˈrɒbɪn/; ठीक से French: [ʁɔbɛ̃]), या तीसरे प्रकार की सीमा स्थिति, एक प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम विक्टर गुस्ताव रॉबिन (1855-1897) के नाम पर रखा गया है। जब एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो यह डोमेन के सीमा (टोपोलॉजी) पर फ़ंक्शन (गणित) के मूल्यों के रैखिक संयोजन और इसके व्युत्पन्न के मूल्यों का एक विनिर्देश है। उपयोग में आने वाले अन्य समकक्ष नाम 'फूरियर-प्रकार की स्थिति' और 'विकिरण स्थिति' हैं।

परिभाषा

रॉबिन बाउंड्री कंडीशन, डिरिचलेट सीमा की स्थिति और न्यूमैन सीमा की स्थिति का भारित संयोजन है। यह मिश्रित सीमा स्थिति यों के विपरीत है, जो सीमा के विभिन्न उपसमुच्चय पर निर्दिष्ट विभिन्न प्रकार की सीमा शर्तें हैं। रोबिन सीमा की स्थिति को प्रतिबाधा सीमा की स्थिति भी कहा जाता है, विद्युत चुंबकत्व समस्याओं में उनके आवेदन से, या संवहन सीमा की स्थिति, गर्मी हस्तांतरण समस्याओं में उनके आवेदन से (हैन, 2012)।

यदि Ω वह डोमेन है जिस पर दिए गए समीकरण को हल किया जाना है और ∂Ω इसकी सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है, तो रॉबिन सीमा की स्थिति है:

$au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega$

कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a और b के लिए और दिए गए फ़ंक्शन g को ∂Ω पर परिभाषित किया गया है। यहाँ, u Ω और पर परिभाषित अज्ञात हल है ∂u/∂n सीमा पर सामान्य व्युत्पन्न को दर्शाता है। अधिक आम तौर पर, ए और बी को स्थिरांक के बजाय (दिया गया) कार्य करने की अनुमति है।

एक आयाम में, यदि, उदाहरण के लिए, Ω = [0,1], रॉबिन सीमा की स्थिति शर्त बन जाती है:

${\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}$

डेरिवेटिव से जुड़े पद के सामने चिन्ह के परिवर्तन पर ध्यान दें: ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य [0,1] नकारात्मक दिशा में 0 बिंदुओं पर है, जबकि 1 पर यह सकारात्मक दिशा में इंगित करता है।

आवेदन

विज्ञान और इंजीनियरिंग के कई संदर्भों में दिखाई देने वाली स्टर्म-लिउविल समस्याओं को हल करने में रॉबिन सीमा स्थितियों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, रॉबिन सीमा की स्थिति संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेट सीमा की स्थिति का एक सामान्य रूप है। यहाँ, सीमा पर संवहन और विसारक प्रवाह शून्य पर योग करते हैं:

$u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0$

जहाँ D विसारक स्थिरांक है, u सीमा पर संवहन वेग है और c सांद्रता है। दूसरा कार्यकाल फ़िक के प्रसार के नियम का परिणाम है।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• सीमारेखा की हालत
• समारोह (गणित)
• आंशिक विभेदक समीकरण
• गर्मी का हस्तांतरण

ग्रन्थसूची

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• Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, #2, 47–53.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework. New York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.

• Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.

• Hahn, David W.; Ozisk, M. N. (2012). Heat Conduction, 3rd edition. New York: Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.