न्यूमैन सीमा की स्थिति

गणित में, न्यूमैन (या दूसरी प्रकार की) सीमा स्थिति एक प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम कार्ल न्यूमैन के नाम पर रखा गया है।^[1] जब एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो शर्त डोमेन (गणितीय विश्लेषण) की सीमा (टोपोलॉजी) पर लागू यौगिक के मूल्यों को निर्दिष्ट करती है।

अन्य सीमा स्थितियों का उपयोग करके समस्या का वर्णन करना संभव है: एक डिरिचलेट सीमा स्थिति समाधान के मूल्यों को सीमा पर ही निर्दिष्ट करती है (इसके व्युत्पन्न के विपरीत), जबकि कॉची सीमा की स्थिति , मिश्रित सीमा की स्थिति और रॉबिन सीमा की स्थिति सभी अलग-अलग हैं न्यूमैन और डिरिचलेट सीमा स्थितियों के संयोजन के प्रकार।

उदाहरण

ओडीई

एक साधारण अंतर समीकरण के लिए, उदाहरण के लिए,

y''+y=0,

अंतराल पर न्यूमैन सीमा की स्थिति $[a, b]$ प्रपत्र ले जाएं

y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,

कहां $α$ और $β$ नंबर दिए गए हैं।

पीडीई

आंशिक अंतर समीकरण के लिए, उदाहरण के लिए,

\nabla ^{2}y+y=0,

कहां $\nabla 2$ एक डोमेन पर लाप्लास ऑपरेटर , न्यूमैन सीमा की स्थिति को दर्शाता है $Ω \subset R n$ प्रपत्र ले जाएं

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,

कहां $n$ सीमा (टोपोलॉजी) के लिए (आमतौर पर बाहरी) सामान्य वेक्टर को दर्शाता है $\partialΩ$ , और $f$ एक दिया गया अदिश समारोह है।

सामान्य व्युत्पन्न , जो बाईं ओर दिखाई देता है, के रूप में परिभाषित किया गया है

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),

कहां $\nabla y (x)$ के ढाल वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है $y (x)$ , $n̂$ इकाई सामान्य है, और $\cdot$ आंतरिक उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है।

यह स्पष्ट हो जाता है कि सीमा पर्याप्त रूप से चिकनी होनी चाहिए ताकि सामान्य व्युत्पन्न मौजूद हो सके, उदाहरण के लिए, सीमा पर कोने के बिंदुओं पर सामान्य वेक्टर अच्छी तरह परिभाषित नहीं है।

अनुप्रयोग

निम्नलिखित अनुप्रयोगों में न्यूमैन सीमा स्थितियों का उपयोग शामिल है:

ऊष्मप्रवैगिकी में, एक सतह से एक निर्धारित ऊष्मा प्रवाह सीमा की स्थिति के रूप में काम करेगा। उदाहरण के लिए, एक पूर्ण इन्सुलेटर में कोई प्रवाह नहीं होगा, जबकि एक विद्युत घटक ज्ञात शक्ति पर विलुप्त हो सकता है।
magnetostatics में, चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को एक सीमा स्थिति के रूप में निर्धारित किया जा सकता है ताकि अंतरिक्ष में एक चुंबक सरणी में चुंबकीय प्रवाह घनत्व वितरण का पता लगाया जा सके, उदाहरण के लिए एक स्थायी चुंबक मोटर में। चूंकि मैग्नेटोस्टैटिक्स की समस्याओं में चुंबकीय स्केलर क्षमता के लिए लाप्लास के समीकरण या पोइसन के समीकरण को हल करना शामिल है, सीमा की स्थिति एक न्यूमैन स्थिति है।
स्थानिक पारिस्थितिकी में, फिशर के समीकरण जैसे प्रतिक्रिया-प्रसार प्रणाली पर एक न्यूमैन सीमा की स्थिति को प्रतिबिंबित सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जैसे कि सभी व्यक्तियों का सामना करना पड़ रहा है $\partialΩ$ पर वापस परिलक्षित होते हैं $Ω$ .^[2]

यह भी देखें

द्रव गतिकी में सीमा की स्थिति
डिरिचलेट सीमा स्थिति
रॉबिन सीमा की स्थिति

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

सीमारेखा की हालत
अंक शास्त्र
आंशिक विभेदक समीकरण
डिरिचलेट सीमा की स्थिति
मिश्रित सीमा स्थिति
अंदरूनी प्रोडक्ट
चुंबकीय प्रवाह का घनत्व
चुंबकीय अदिश क्षमता

संदर्भ

↑ Cheng, A. H.-D.; Cheng, D. T. (2005). "सीमा तत्व विधि की विरासत और प्रारंभिक इतिहास". Engineering Analysis with Boundary Elements. 29 (3): 268. doi:10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
↑ Cantrell, Robert Stephen; Cosner, Chris (2003). प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरणों के माध्यम से स्थानिक पारिस्थितिकी. Wiley. pp. 30–31. ISBN 0-471-49301-5.

श्रेणी:सीमा शर्तें

[1] Cheng, A. H.-D.; Cheng, D. T. (2005). "सीमा तत्व विधि की विरासत और प्रारंभिक इतिहास". Engineering Analysis with Boundary Elements. 29 (3): 268. doi:10.1016/j.enganabound.2004.12.001.

[2] Cantrell, Robert Stephen; Cosner, Chris (2003). प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरणों के माध्यम से स्थानिक पारिस्थितिकी. Wiley. pp. 30–31. ISBN 0-471-49301-5.

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