एकीकृत कारक

गणित में, समाकलन कारक एक फलन (गणित) होता है जिसे किसी फलन के अवकलन वाले दिए गए समीकरण को हल करने के लिए चुना जाता है। यह आम तौर पर सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, लेकिन एक एकीकृत कारक के माध्यम से गुणा करते समय बहुभिन्नरूपी कलन के भीतर भी इसका उपयोग किया जाता है, जिससे एक अचूक अंतर को एक सटीक अंतर में बनाया जा सकता है (जो तब अदिश क्षेत्र देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है)। यह ऊष्मप्रवैगिकी में विशेष रूप से उपयोगी है जहां तापमान एकीकृत कारक बन जाता है जो एन्ट्रापी को सटीक अंतर बनाता है।

प्रयोग

एक एकीकृत कारक कोई अभिव्यक्ति है कि एकीकरण की सुविधा के लिए एक अंतर समीकरण को गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, अरैखिक द्वितीय क्रम समीकरण

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

मानते हैं ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ एक एकीकृत कारक के रूप में:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

एकीकृत करने के लिए, ध्यान दें कि श्रृंखला नियम के साथ पीछे की ओर जाकर समीकरण के दोनों पक्षों को डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

इसलिए,

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

कहां $C_{0}$ एक स्थिरांक है।

आवेदन के आधार पर यह फॉर्म अधिक उपयोगी हो सकता है। चरों का पृथक्करण करने से मिलेगा

$\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t$

यह एक निहित कार्य सॉल्यूशन है जिसमें एक गैर-प्राथमिक इंटीग्रल शामिल है। सरल लोलक का आवर्तकाल ज्ञात करने के लिए इसी विधि का प्रयोग किया जाता है।

प्रथम कोटि के रेखीय साधारण अवकल समीकरणों को हल करना

सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एकीकृत कारक उपयोगी होते हैं जिन्हें रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$y'+P(x)y=Q(x)$

मूल विचार कुछ फ़ंक्शन ढूंढना है, कहें $M(x)$, को समाकलन गुणक कहा जाता है, जिसे हम अपने अवकल समीकरण के माध्यम से गुणा कर सकते हैं ताकि बाईं ओर को एक उभयनिष्ठ अवकलज के अंतर्गत लाया जा सके। ऊपर दिखाए गए विहित प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण के लिए, एकीकृत कारक है $e^{\int P(x)\,dx}$.

ध्यान दें कि अभिन्न में मनमाना स्थिरांक, या अभिन्न के मामले में निरपेक्ष मान शामिल करना आवश्यक नहीं है $P(x)$ एक लघुगणक शामिल है। सबसे पहले, हमें समीकरण को हल करने के लिए केवल एक एकीकृत कारक की आवश्यकता है, सभी संभावित कारकों की नहीं; दूसरे, ऐसे स्थिरांक और निरपेक्ष मान शामिल होने पर भी रद्द हो जाएंगे। पूर्ण मूल्यों के लिए, इसे लिखकर देखा जा सकता है $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$, कहां $\operatorname {sgn}$ साइन समारोह को संदर्भित करता है, जो अंतराल पर स्थिर रहेगा यदि $f(x)$ निरंतर है। जैसा $\ln |f(x)|$ अपरिभाषित है जब $f(x)=0$, और एंटीडेरिवेटिव में एक लॉगरिदम केवल तभी प्रकट होता है जब मूल फ़ंक्शन में लॉगरिदम या पारस्परिक शामिल होता है (जिनमें से कोई भी 0 के लिए परिभाषित नहीं होता है), ऐसा अंतराल हमारे समाधान की वैधता का अंतराल होगा।

इसे प्राप्त करने के लिए, चलो $M(x)$ प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक इस प्रकार हो कि गुणा द्वारा $M(x)$ एक आंशिक व्युत्पन्न को कुल व्युत्पन्न में बदल देता है, फिर:

1. $M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
2. $M(x)y'+M(x)P(x)y$
3. $\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{total derivative}}$

चरण 2 से चरण 3 पर जाने के लिए इसकी आवश्यकता है $M(x)P(x)=M'(x)$, जो चरों का पृथक्करण है, जिसका समाधान प्राप्त होता है $M(x)$ के अनुसार $P(x)$:

1. <ली मान = 4 >$M(x)P(x)=M'(x)$</ली>
2. $P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
3. $\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
4. $M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

सत्यापित करने के लिए, से गुणा करना $M(x)$ देता है

$M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)$

उत्पाद नियम को विपरीत में लागू करने से, हम देखते हैं कि बाईं ओर को एकल व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $x$

$M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)$

हम इस तथ्य का उपयोग अपनी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए करते हैं

${\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)$

के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करना $x$

$Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx$

$e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C$

कहां $C$ एक स्थिरांक है।

घातांक को दाहिनी ओर ले जाने पर, साधारण अवकल समीकरण का सामान्य हल है:

$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}$

एक सजातीय अंतर समीकरण के मामले में, $Q(x)=0$ और साधारण विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान है:

$y=Ce^{-\int P(x)\,dx}$.

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण पर विचार करें

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

हम इस मामले में देख सकते हैं $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

दोनों पक्षों को से गुणा करना $M(x)$ हमने प्राप्त किया

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

${\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0$

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष समाकलित करने पर हमें प्राप्त होता है

$x^{-2}y=C$

या

$y=Cx^{2}$

निम्नलिखित दृष्टिकोण का उपयोग करके एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

भागफल नियम को उलट देना देता है

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

या

${\frac {y}{x^{2}}}=C,$

या

$y=Cx^{2}.$

कहां $C$ एक स्थिरांक है।

दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरणों को हल करना

पहले क्रम के समीकरणों के लिए कारकों को एकीकृत करने की विधि को स्वाभाविक रूप से दूसरे क्रम के समीकरणों के लिए भी बढ़ाया जा सकता है। प्रथम कोटि के समीकरणों को हल करने का मुख्य लक्ष्य समाकलन गुणक ज्ञात करना था $M(x)$ ऐसा कि गुणा करना $y'+p(x)y=h(x)$ इसके द्वारा उपज होगी $(M(x)y)'=M(x)h(x)$, जिसके बाद बाद में एकीकरण और विभाजन द्वारा $M(x)$ उपज होगा $y$. दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों के लिए, यदि हम चाहें $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ एक एकीकृत कारक के रूप में काम करने के लिए, फिर

$(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)$

इसका तात्पर्य है कि एक दूसरे क्रम का समीकरण बिल्कुल रूप में होना चाहिए $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ उपयोग करने योग्य होने के लिए एकीकृत कारक के लिए।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण

$y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0$

एकीकृत कारकों के साथ बिल्कुल हल किया जा सकता है। उपयुक्त $p(x)$की जांच करके निकाला जा सकता है $y'$ अवधि। इस मामले में, $2p(x)=2x$, इसलिए $p(x)=x$. जांच के बाद $y$ अवधि, हम देखते हैं कि वास्तव में हमारे पास है $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$, इसलिए हम सभी पदों को समाकलन गुणक से गुणा करेंगे $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$. यह हमें देता है

$e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0$

जिसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है

$\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0$

दो बार पैदावार को एकीकृत करना

$e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}$

एकीकृत कारक से विभाजित करने पर मिलता है:

$y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}$

उदाहरण 2

दूसरे क्रम के एकीकरण कारकों के थोड़ा कम स्पष्ट अनुप्रयोग में निम्नलिखित अंतर समीकरण शामिल हैं:

$y''+2\cot(x)y'-y=1$

पहली नज़र में, यह स्पष्ट रूप से दूसरे क्रम के एकीकरण कारकों के लिए आवश्यक रूप में नहीं है। हमारे पास एक $2p(x)$ कार्यकाल के सामने $y'$ लेकिन नहीं $p(x)^{2}+p'(x)$ के सामने $y$. हालांकि,

$p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)$

और पाइथागोरस की पहचान से संबंधित cotangent और cosecant से,

$\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1$

इसलिए हमारे सामने वास्तव में आवश्यक शब्द है $y$ और एकीकृत कारकों का उपयोग कर सकते हैं।

$e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)$

प्रत्येक पद को से गुणा करना $\sin(x)$ देता है

$\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)$

जो पुनर्व्यवस्थित है

$(\sin(x)y)''=\sin(x)$

दो बार एकीकृत करना देता है

$\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}$

अंत में, एकीकृत कारक से भाग देने पर प्राप्त होता है

$y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1$

n वें क्रम रैखिक अंतर समीकरणों को हल करना

एकीकृत करने वाले कारकों को किसी भी क्रम में बढ़ाया जा सकता है, हालांकि उन्हें लागू करने के लिए आवश्यक समीकरण का रूप अधिक से अधिक विशिष्ट हो जाता है क्योंकि आदेश 3 और ऊपर के आदेश के लिए उन्हें कम उपयोगी बना देता है। सामान्य विचार फ़ंक्शन को अलग करना है $M(x)y$ $n$ एक के लिए बार $n$वें क्रम अंतर समीकरण और शर्तों की तरह गठबंधन। इससे फॉर्म में एक समीकरण निकलेगा

$M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$

यदि एक $n$वें क्रम समीकरण रूप से मेल खाता है $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ जो कि अंतर करने के बाद प्राप्त होता है $n$ कई बार, सभी पदों को एकीकृत करने वाले कारक से गुणा किया जा सकता है और एकीकृत किया जा सकता है $h(x)M(x)$ $n$ बार, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों पर एकीकृत कारक द्वारा विभाजित।

उदाहरण

एकीकृत कारकों का तीसरा क्रम उपयोग देता है

$(M(x)y)'''=M(x)\left(y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y\right)$

इस प्रकार हमारे समीकरण को रूप में होना आवश्यक है

$y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y=h(x)$

उदाहरण के लिए अंतर समीकरण में

$y'''+3x^{2}y''+\left(3x^{4}+6x\right)y'+\left(x^{6}+6x^{3}+2\right)y=0$

अपने पास $p(x)=x^{2}$, तो हमारा एकीकृत कारक है $e^{x^{3}/3}$. पुनर्व्यवस्थित करता है

$\left(e^{x^{3}/3}y\right)'''=0$

तीन बार समाकलन और समाकलन कारक द्वारा भाग देने पर प्राप्त होता है

$y={\frac {c_{1}x^{2}+c_{2}x+c_{3}}{e^{x^{3}/3}}}$

यह भी देखें

• मापदंडों की भिन्नता
• विभेदक समीकरण
• प्रॉडक्ट नियम
• भागफल नियम
• सटीक अंतर
• मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• एक समारोह का अंतर
• बहुभिन्नरूपी कैलकुलस
• साधारण अंतर समीकरण
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• प्रॉडक्ट नियम

बाहरी कड़ियाँ

• Munkhammar, Joakim, "Integrating Factor", MathWorld.