सामान्य बंडल

For normal bundles in algebraic geometry, see normal cone.

अंतर ज्यामिति में, गणित का एक क्षेत्र, एक सामान्य बंडल एक विशेष प्रकार का वेक्टर बंडल होता है, स्पर्शरेखा बंडल के पूरक कोण, और एक एम्बेडिंग (या विसर्जन (गणित)) से आता है।

परिभाषा

रीमानियन मैनिफोल्ड

होने देना $(M,g)$ एक Riemannian कई गुना हो, और $S\subset M$ एक रिमेंनियन सबमेनिफोल्ड। दिए गए के लिए परिभाषित करें $p\in S$, एक वेक्टर $n\in \mathrm {T} _{p}M$ सामान्य वेक्टर होने के लिए $S$ जब कभी भी $g(n,v)=0$ सभी के लिए $v\in \mathrm {T} _{p}S$ (ताकि $n$ का ऑर्थोगोनल पूरक है $\mathrm {T} _{p}S$). सेट $\mathrm {N} _{p}S$ ऐसे सभी का $n$ फिर सामान्य स्थान कहा जाता है $S$ पर $p$.

जिस तरह स्पर्शरेखा बंडल का कुल स्थान कई गुना तक सभी स्पर्शरेखा स्थानों से कई गुना तक निर्मित होता है, सामान्य बंडल का कुल स्थान $\mathrm {N} S$ को $S$ परिभाषित किया जाता है

$\mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S$.

सामान्य बंडल को सामान्य बंडल के दोहरे बंडल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे स्वाभाविक रूप से स्पर्शरेखा बंडल के उप-बंडल के रूप में महसूस किया जा सकता है।

सामान्य परिभाषा

अधिक संक्षेप में, एक विसर्जन दिया गया (गणित) $i:N\to M$ (उदाहरण के लिए एक एम्बेडिंग), N के प्रत्येक बिंदु पर, N के प्रत्येक बिंदु पर N के एक सामान्य बंडल को परिभाषित कर सकता है, N पर स्पर्शरेखा स्थान द्वारा M पर स्पर्शरेखा स्थान का भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) ले रहा है। एक Riemannian कई गुना के लिए कोई इस भागफल को ऑर्थोगोनल पूरक के साथ पहचान सकता है, लेकिन सामान्य तौर पर कोई ऐसा नहीं कर सकता (ऐसा विकल्प प्रक्षेपण के एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) के बराबर है) $V\to V/W$).

इस प्रकार सामान्य बंडल सामान्य रूप से उप-स्थान तक सीमित परिवेशी स्थान के स्पर्शरेखा बंडल का भागफल होता है।

औपचारिक रूप से, 'सामान्य बंडल' M में N से M पर स्पर्शरेखा बंडल का भागफल बंडल है: किसी के पास N पर वेक्टर बंडलों का छोटा सटीक क्रम है:

$0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0$

कहाँ $TM\vert _{i(N)}$ M से N पर स्पर्शरेखा बंडल का प्रतिबंध है (ठीक है, पुलबैक $i^{*}TM$ मानचित्र के माध्यम से एन पर एक सदिश बंडल के लिए एम पर स्पर्शरेखा बंडल का $i$). सामान्य बंडल का फाइबर $T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N$ में $p\in N$ पर सामान्य स्थान के रूप में जाना जाता है $p$(का $N$ में $M$).

सामान्य बंडल

अगर $Y\subseteq X$ कई गुना का एक चिकना सबमनीफोल्ड है $X$, हम स्थानीय निर्देशांक चुन सकते हैं $(x_{1},\dots ,x_{n})$ आस-पास $p\in Y$ ऐसा है कि $Y$ स्थानीय रूप से परिभाषित किया गया है $x_{k+1}=\dots =x_{n}=0$; फिर निर्देशांक के इस विकल्प के साथ

${\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}$

और आदर्श शीफ स्थानीय रूप से उत्पन्न होता है $x_{k+1},\dots ,x_{n}$. इसलिए हम एक गैर-पतित जोड़ी को परिभाषित कर सकते हैं

$(I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R}$

जो शीशों के समरूपता को प्रेरित करता है $T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }$. हम इस तथ्य को सामान्य बंडल पेश करके फिर से बता सकते हैं $T_{X/Y}^{*}$ सामान्य सटीक अनुक्रम के माध्यम से परिभाषित किया गया

$0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0$,

तब $T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})$, अर्थात। समसामान्य बंडल के खंड कोटिस्पर्शी सदिश होते हैं $X$ गायब हो रहा है $TY$.

कब $Y=\lbrace p\rbrace$ एक बिंदु है, तो आदर्श पूला गायब होने वाले चिकने कीटाणुओं का पूला है $p$ और आइसोमोर्फिज्म चिकनी कार्यों के रोगाणुओं के संदर्भ में Tangent_space#Definition_via_cotangent_spaces तक कम हो जाता है $X$

$T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}$.

स्थिर सामान्य बंडल

सार मैनिफोल्ड में एक विहित रूप स्पर्शरेखा बंडल होता है, लेकिन एक सामान्य बंडल नहीं होता है: केवल एक मैनिफोल्ड में एक एम्बेडिंग (या विसर्जन) एक सामान्य बंडल उत्पन्न करता है। हालाँकि, चूंकि हर कई गुना में एम्बेड किया जा सकता है $\mathbf {R} ^{N}$, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा, प्रत्येक कई गुना एक सामान्य बंडल स्वीकार करता है, इस तरह के एक एम्बेडिंग को देखते हुए।

सामान्य तौर पर एम्बेडिंग का कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है, लेकिन किसी दिए गए एम के लिए, कोई भी दो एम्बेडिंग $\mathbf {R} ^{N}$ पर्याप्त रूप से बड़े एन के लिए नियमित होमोटॉपी हैं, और इसलिए समान सामान्य बंडल को प्रेरित करते हैं। सामान्य बंडलों का परिणामी वर्ग (यह बंडलों का एक वर्ग है न कि विशिष्ट बंडल क्योंकि N भिन्न हो सकता है) को स्थिर सामान्य बंडल कहा जाता है।

स्पर्शरेखा बंडल के लिए दोहरी

सामान्य बंडल के-सिद्धांत के अर्थ में स्पर्शरेखा बंडल के लिए दोहरी है: उपरोक्त संक्षिप्त सटीक क्रम से,

$[TN]+[T_{M/N}]=[TM]$

ग्रोथेंडिक समूह में। में विसर्जन के मामले में $\mathbf {R} ^{N}$, परिवेश स्थान का स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है (चूंकि $\mathbf {R} ^{N}$ सिकुड़ा हुआ है, इसलिए समानांतर है), इसलिए $[TN]+[T_{M/N}]=0$, और इस तरह $[T_{M/N}]=-[TN]$.

यह विशेषता वर्गों की गणना में उपयोगी है, और एक को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कई गुना अधिकता और एम्बेड करने की क्षमता पर निचली सीमा को साबित करने की अनुमति देता है।

सहानुभूतिपूर्ण कई गुना के लिए

मान लीजिए कई गुना $X$ एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड में सन्निहित है $(M,\omega )$, जैसे कि सहानुभूतिपूर्ण रूप की पुलबैक पर निरंतर रैंक होती है $X$. तब कोई एक्स के लिए सहानुभूतिपूर्ण सामान्य बंडल को फाइबर के साथ एक्स पर वेक्टर बंडल के रूप में परिभाषित कर सकता है

$(T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,$

कहाँ $i:X\rightarrow M$ एम्बेडिंग को दर्शाता है। ध्यान दें कि निरंतर रैंक की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि ये सामान्य स्थान एक बंडल बनाने के लिए एक साथ फिट होते हैं। इसके अलावा, किसी भी फाइबर को एक सहानुभूति सदिश स्थान की संरचना विरासत में मिलती है। डार्बौक्स के प्रमेय द्वारा, निरंतर रैंक एम्बेडिंग स्थानीय रूप से निर्धारित होती है $i^{*}(TM)$. समरूपता

$i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },$

सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर बंडलों की संख्या $X$ तात्पर्य यह है कि सहानुभूतिपूर्ण सामान्य बंडल पहले से ही स्थानीय स्तर पर निरंतर रैंक एम्बेडिंग निर्धारित करता है। यह सुविधा रिमेंनियन मामले के समान है।