व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से विभेदक टोपोलॉजी में, हस्लर व्हिटनी के नाम पर दो व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय हैं:

मजबूत व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय बताता है कि कोई भी अलग करने योग्य कई गुना वास्तविक संख्या है $m$ -आयाम (गणित) कई गुना (हॉसडॉर्फ स्पेस और दूसरा गणनीय होने के लिए भी आवश्यक) वास्तविक समन्वय स्थान में एम्बेडिंग सुचारू नक्शा हो सकता है। वास्तविक $2 m$ -अंतरिक्ष ( $R 2 m$ ), अगर $m > 0$ . यह सबसे छोटे-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर सबसे अच्छा रैखिक बंधन है $m$ -डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स आयाम के वास्तविक वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान रूप में एम्बेड होते हैं $m$ वास्तविक में एम्बेड नहीं किया जा सकता $(2 m - 1)$ -स्पेस अगर $m$ दो की शक्ति है (जैसा कि एक विशिष्ट वर्ग तर्क से देखा जा सकता है, व्हिटनी के कारण भी)।
कमजोर व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय बताता है कि किसी से कोई भी निरंतर कार्य $n$ -आयामी कई गुना एक $m$ -डायमेंशनल मैनिफोल्ड प्रदान की गई एक चिकनी एम्बेडिंग द्वारा अनुमानित किया जा सकता है $m > 2 n$ . व्हिटनी ने इसी तरह साबित किया कि इस तरह के नक्शे को प्रदान किए गए विसर्जन (गणित) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है $m > 2 n - 1$ . इस अंतिम परिणाम को कभी-कभी व्हिटनी निमज्जन प्रमेय कहा जाता है।

सबूत के बारे में थोड़ा सा

सबूत की सामान्य रूपरेखा विसर्जन से शुरू होती है $f : M \to R 2 m$ ट्रांसवर्सलिटी (गणित) स्व-चौराहों के साथ। ये कमजोर निमज्जन प्रमेय पर व्हिटनी के पहले के कार्य से अस्तित्व में जाने के लिए जाने जाते हैं। दोहरे बिंदुओं की अनुप्रस्थता एक सामान्य-स्थिति तर्क से होती है। विचार यह है कि किसी तरह सभी आत्म-चौराहों को हटा दिया जाए। अगर $M$ की सीमा है, कोई भी केवल आइसोटोपिंग द्वारा स्व-चौराहों को हटा सकता है $M$ अपने आप में (समस्थानिक के डोमेन में होने के नाते $f$ ), के सबमनीफोल्ड तक $M$ जिसमें दोहरे बिंदु नहीं हैं। इस प्रकार, हम जल्दी से उस मामले की ओर अग्रसर होते हैं जहाँ $M$ की कोई सीमा नहीं है। कभी-कभी समस्थानिक के माध्यम से द्वि-बिंदुओं को हटाना असंभव होता है—consider for example the figure-8 immersion of the circle in the plane. In this case, one needs to introduce a local double point.

पेश है डबल-पॉइंट।

एक बार जब दो विपरीत दोहरे बिंदु होते हैं, तो एक बंद लूप का निर्माण करता है, जो दोनों को जोड़ता है, एक बंद रास्ता देता है $R 2 m$ . तब से $R 2 m$ बस जुड़ा हुआ है, कोई मान सकता है कि यह पथ डिस्क को बाध्य करता है, और प्रदान किया जाता है $2 m > 4$ कोई और मान सकता है (कमजोर व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा) कि डिस्क में एम्बेडेड है $R 2 m$ जैसे कि यह की छवि को काटता है $M$ केवल इसकी सीमा में। व्हिटनी तब डिस्क का उपयोग एक होमोटॉपी बनाने के लिए करती है | विसर्जन का 1-पैरामीटर परिवार, प्रभाव में धकेलने में $M$ across the disc, removing the two double points in the process. In the case of the figure-8 immersion with its introduced double-point, the push across move is quite simple (pictured).

विपरीत दोहरे बिंदुओं को रद्द करना।

एक डिस्क के साथ मैनिफोल्ड को धक्का देकर विपरीत चिन्ह के दोहरे बिंदुओं को खत्म करने की इस प्रक्रिया को व्हिटनी ट्रिक कहा जाता है।

एक स्थानीय दोहरे बिंदु को पेश करने के लिए, व्हिटनी ने निमज्जन बनाया $α m : R m \to R 2 m$ जो यूनिट बॉल के बाहर लगभग रेखीय होते हैं, लेकिन एक सिंगल डबल पॉइंट होते हैं। के लिए $m = 1$ ऐसा विसर्जन किसके द्वारा दिया जाता है

{\begin{cases}\alpha :\mathbf {R} ^{1}\to \mathbf {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}

ध्यान दें कि अगर $α$ को मानचित्र के रूप में माना जाता है $R 3$ जैसे इतना:

\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)

तो डबल पॉइंट को एम्बेडिंग में हल किया जा सकता है:

\beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},{\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).

सूचना $β(t, 0) = α(t)$ और के लिए $a \neq 0$ फिर के एक समारोह के रूप में $t$ , $β(t, a)$ एक एम्बेडिंग है।

उच्च आयाम एम के लिए, वहाँ हैं $α m$ जिसे इसी तरह हल किया जा सकता है $R 2 m +1$ . में एम्बेड करने के लिए $R 5$ , उदाहरण के लिए, परिभाषित करें

\alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},{\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},t_{2}\right).

यह प्रक्रिया अंततः एक परिभाषा की ओर ले जाती है:

\alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),

कहाँ

u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).

के प्रमुख गुण $α m$ यह है कि यह डबल-पॉइंट को छोड़कर एक एम्बेडिंग है $α m (1, 0, ... , 0) = α m (-1, 0, ... , 0)$ . इसके अलावा, के लिए $|(t 1, ... , t m)|$ बड़ा, यह लगभग रैखिक एम्बेडिंग है $(0, t 1, 0, t 2, ... , 0, t m)$ .

व्हिटनी चाल के अंतिम परिणाम

व्हिटनी ट्रिक का उपयोग स्टीफन स्मेल द्वारा एच-कोबोर्डिज्म प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया गया था|एच-कोबोर्डिज्म प्रमेय; जिससे आयामों में पोंकारे अनुमान का अनुसरण होता है $m \geq 5$ , और डिस्क पर चिकनी संरचनाओं का वर्गीकरण (आयाम 5 और ऊपर में भी)। यह सर्जरी सिद्धांत के लिए आधार प्रदान करता है, जो 5 और उससे ऊपर के आयाम में कई गुना वर्गीकृत करता है।

आयाम ≥ 5 के सरल रूप से जुड़े कई गुना में पूरक आयामों के दो उन्मुख सबमनीफोल्ड को देखते हुए, एक सबमनीफोल्ड में से एक के लिए एक आइसोटोपी लागू कर सकता है ताकि चौराहे के सभी बिंदुओं का एक ही चिह्न हो।

इतिहास

स्मूथ मैनिफोल्ड्स के लिए एम्बेडिंग प्रमेय के हस्लर व्हिटनी द्वारा प्रमाण का अवसर कहा जाता है (बल्कि आश्चर्यजनक रूप से) मैनिफोल्ड कॉन्सेप्ट का पहला पूर्ण विवरण है क्योंकि यह एक साथ लाया और उस समय मैनिफोल्ड्स की अलग-अलग अवधारणाओं को एकीकृत किया: अब और नहीं क्या इस बारे में कोई भ्रम था कि क्या एब्स्ट्रैक्ट मैनिफोल्ड्स, आंतरिक रूप से चार्ट्स के माध्यम से परिभाषित किए गए, मैनिफोल्ड्स की तुलना में अधिक या कम सामान्य थे, जिन्हें बाह्य रूप से यूक्लिडियन स्पेस के सबमनिफोल्ड्स के रूप में परिभाषित किया गया था। संदर्भ के लिए कई गुना और किस्मों का इतिहास भी देखें।

तेज परिणाम

हालांकि हर $n$ -मैनीफोल्ड एम्बेड करता है $R 2 n$ , कोई अक्सर बेहतर कर सकता है। होने देना $e (n)$ सबसे छोटे पूर्णांक को निरूपित करें ताकि सभी कॉम्पैक्ट कनेक्ट हो जाएं $n$ -कई गुना एम्बेड करें $R e (n)$ . व्हिटनी की मजबूत एम्बेडिंग प्रमेय कहती है कि $e (n) \leq 2 n$ . के लिए $n = 1, 2$ अपने पास $e (n) = 2 n$ , जैसा कि घेरा और क्लेन बोतल दिखाते हैं। अधिक आम तौर पर, के लिए $n = 2 k$ अपने पास $e (n) = 2 n$ , के रूप में $2 k$ -डायमेंशनल रियल प्रोजेक्टिव स्पेस शो। व्हिटनी के परिणाम में सुधार किया जा सकता है $e (n) \leq 2 n - 1$ जब तक $n$ 2 की शक्ति है। यह आंद्रे हैफ्लिगर और मॉरिस हिर्श (के लिए $n > 4$ ) और सी.टी.सी. वॉल (के लिए $n = 3$ ); इन लेखकों ने हिर्श, विलियम एस. मैसी, सर्गेई नोविकोव (गणितज्ञ) और व्लादिमीर रोखलिन (सोवियत गणितज्ञ) द्वारा सिद्ध किए गए महत्वपूर्ण प्रारंभिक परिणामों और विशेष मामलों का उपयोग किया।^[1] वर्तमान में समारोह $e$ सभी पूर्णांकों के लिए बंद रूप में ज्ञात नहीं है (व्हिटनी निमज्जन प्रमेय की तुलना में, जहां समरूप संख्या ज्ञात है)।

कई गुना पर प्रतिबंध

कई गुना पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाकर कोई भी परिणाम को मजबूत कर सकता है। उदाहरण के लिए, एन-क्षेत्र | $n$ -क्षेत्र हमेशा एम्बेड होता है $R n + 1$ – जो सर्वोत्तम संभव है (बंद $n$ -कई गुना में एम्बेड नहीं किया जा सकता $R n$ ). कोई भी कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल सतह और गैर-खाली सीमा के साथ कोई भी कॉम्पैक्ट सतह एम्बेड होती है $R 3$ , हालांकि किसी भी बंद गैर-उन्मुख सतह की जरूरत है $R 4$ .

अगर $N$ एक कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल है $n$ -आयामी कई गुना, फिर $N$ एम्बेड करता है $R 2 n - 1$ (के लिए $n$ 2 की शक्ति नहीं है, उन्मुखता की स्थिति अतिश्योक्तिपूर्ण है)। के लिए $n$ 2 की शक्ति यह आंद्रे हैफ्लिगर और मॉरिस हिर्श का परिणाम है (के लिए $n > 4$ ), डीएफयू क्वानफैंग के अनुसार (बुद्ध $n = 4$ ); इन लेखकों ने जैक्स बोचैट और हैफ्लिगर, साइमन डोनाल्डसन, हिर्श और विलियम एस मैसी द्वारा सिद्ध किए गए महत्वपूर्ण प्रारंभिक परिणामों का उपयोग किया।^[1]हैफ्लिगर ने साबित किया कि अगर $N$ एक कॉम्पैक्ट है $n$ -डायमेंशनल एन-कनेक्टेड| $k$ -कनेक्टेड मैनिफोल्ड, फिर $N$ एम्बेड करता है $R 2 n - k$ बशर्ते $2 k + 3 \leq n$ .^[1]

समस्थानिक संस्करण

एक अपेक्षाकृत 'आसान' परिणाम यह साबित करना है कि गांठ सिद्धांत#उच्च आयाम|आर में 1-कई गुना के कोई भी दो एम्बेडिंग⁴ समस्थानिक हैं। यह सामान्य स्थिति का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, जो यह भी दिखाने की अनुमति देता है कि किसी भी दो एम्बेडिंग $n$ -कई गुना $R 2 n + 2$ समस्थानिक हैं। यह परिणाम कमजोर व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय का एक समस्थानिक संस्करण है।

वू ने यह साबित कर दिया $n \geq 2$ , a की कोई भी दो एम्बेडिंग $n$ -कई गुना $R 2 n + 1$ समस्थानिक हैं। यह परिणाम मजबूत व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय का एक समस्थानिक संस्करण है।

अपने एम्बेडिंग परिणाम के एक आइसोटोपी संस्करण के रूप में, आंद्रे हैफ्लिगर ने यह साबित कर दिया कि यदि $N$ एक कॉम्पैक्ट है $n$ -आयामी $k$ -कनेक्टेड मैनिफोल्ड, फिर कोई भी दो एम्बेडिंग $N$ में $R 2 n - k + 1$ समस्थानिक प्रदान किए गए हैं $2 k + 2 \leq n$ . आयाम प्रतिबंध $2 k + 2 \leq n$ तेज है: हैफ्लिगर ने गैर-तुच्छ रूप से एम्बेडेड 3-क्षेत्रों का उदाहरण दिया $R 6$ (और, अधिक आम तौर पर, $(2 d - 1)$ -क्षेत्रों में $R 3 d$ ). देखें आगे के सामान्यीकरण।

यह भी देखें

प्रतिनिधित्व प्रमेय
व्हिटनी विसर्जन प्रमेय
नैश एम्बेडिंग प्रमेय
Takens प्रमेय
गैर रेखीय आयामीता में कमी

संदर्भ

Whitney, Hassler (1992), Eells, James; Toledo, Domingo (eds.), Collected Papers, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
Milnor, John (1965), Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press
Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and Immersions, translated by Hudson, Kiki, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4612-4
Skopenkov, Arkadiy (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in Nicholas Young; Yemon Choi (eds.), Surveys in Contemporary Mathematics, London Math. Soc. Lect. Notes., vol. 347, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 248–342, arXiv:math/0604045, Bibcode:2006math......4045S, MR 2388495

बाहरी संबंध

Classification of embeddings

[skopenkov2-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 See section 2 of Skopenkov (2008)

[1]