नैश एम्बेडिंग प्रमेय

जॉन फोर्ब्स नैश जूनियर के नाम पर रखे गए नैश एम्बेडिंग प्रमेय (या इम्बेडिंग प्रमेय), कहते हैं कि प्रत्येक रीमैनियन कई गुना आइसोमेट्रिक रूप से कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडिंग हो सकता है। आइसोमेट्री का अर्थ है प्रत्येक सुधार योग्य पथ की लंबाई को संरक्षित करना। उदाहरण के लिए, झुकना लेकिन न तो खींचना और न ही कागज के एक पृष्ठ को फाड़ना यूक्लिडियन अंतरिक्ष में पृष्ठ का एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग देता है क्योंकि पृष्ठ पर खींचे गए वक्र समान वक्राकार लंबाई को बनाए रखते हैं, हालांकि पृष्ठ मुड़ा हुआ है।

पहला प्रमेय निरंतर अवकलनीय (सी के लिए है¹) एम्बेडिंग और दूसरा एम्बेडिंग के लिए जो विश्लेषणात्मक कार्य या क्लास सी का चिकना समारोह है^{के</सुप>, 3 ≤ के ≤ ∞. ये दोनों प्रमेय एक दूसरे से बहुत भिन्न हैं। पहले प्रमेय का एक बहुत ही सरल प्रमाण है, लेकिन यह कुछ विपरीत निष्कर्षों की ओर ले जाता है, जबकि दूसरे प्रमेय का एक तकनीकी और प्रति-सहज प्रमाण है, लेकिन कम आश्चर्यजनक परिणाम की ओर ले जाता है।}

सी¹ प्रमेय 1954 में प्रकाशित हुआ था, सी^k-1956 में प्रमेय। वास्तविक विश्लेषणात्मक प्रमेय का पहली बार नैश द्वारा 1966 में उपचार किया गया था; उनके तर्क को काफी हद तक सरल बनाया गया था Greene & Jacobowitz (1971). (इस परिणाम का एक स्थानीय संस्करण 1920 के दशक में एली कार्टन और मौरिस जेनेट द्वारा सिद्ध किया गया था।) वास्तविक विश्लेषणात्मक मामले में, नैश उलटा फ़ंक्शन तर्क में स्मूथिंग ऑपरेटर (नीचे देखें) को कॉची अनुमानों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। नैश का सी का प्रमाण^k- मामले को बाद में एच-सिद्धांत और नैश-मोजर प्रमेय|नैश-मोजर निहित कार्य प्रमेय में बहिष्कृत किया गया था। दूसरे नैश एम्बेडिंग प्रमेय का एक सरल प्रमाण किसके द्वारा प्राप्त किया गया था Günther (1989) जिन्होंने गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के सेट को एक दीर्घवृत्तीय प्रणाली में घटाया, जिसके लिए संकुचन मानचित्रण प्रमेय लागू किया जा सकता है।

नैश-कूइपर प्रमेय (C¹ एम्बेडिंग प्रमेय)

एक दिया m-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड (M, g), एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक निरंतर भिन्न होने वाली सामयिक एम्बेडिंग है f: M → ℝⁿ जैसे कि यूक्लिडियन मीट्रिक का ठहराना बराबर होता है g. विश्लेषणात्मक शब्दों में, इसे देखा जा सकता है (एक सहज समन्वय चार्ट के सापेक्ष x) की एक प्रणाली के रूप में 1/2m(m + 1) के लिए कई प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण n अज्ञात (वास्तविक-मूल्यवान) कार्य:

$g_{ij}(x)=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{j}}}.$

अगर n मै रुक जाना 1/2m(m + 1), तो अज्ञात से अधिक समीकरण हैं। इस दृष्टिकोण से, निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिए गए आइसोमेट्रिक एंबेडिंग का अस्तित्व आश्चर्यजनक माना जाता है।

नैश-कूइपर प्रमेय। होने देना (M, g) सेम m-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड और f: M → ℝⁿ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक छोटा नक्शा चिकनी एम्बेडिंग (या विसर्जन (गणित))। ℝⁿ, कहाँ n ≥ m + 1. इस मानचित्र का आइसोमेट्रिक होना आवश्यक नहीं है। फिर लगातार अलग-अलग आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग (या विसर्जन) का एक क्रम होता है M → ℝⁿ का g किस एकसमान अभिसरण के लिए f.

प्रमेय मूल रूप से जॉन नैश द्वारा मजबूत धारणा के साथ सिद्ध किया गया था n ≥ m + 2. उपरोक्त प्रमेय प्राप्त करने के लिए निकोलस कूपर द्वारा उनकी विधि को संशोधित किया गया था।

नैश-कूइपर प्रमेय द्वारा निर्मित आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को अक्सर प्रति-सहज और रोग संबंधी माना जाता है। वे अक्सर सुचारू रूप से भिन्न होने में विफल रहते हैं। उदाहरण के लिए, एक हिल्बर्ट प्रमेय (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) | डेविड हिल्बर्ट का प्रसिद्ध प्रमेय दावा करता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण तल को सुचारू रूप से आइसोमेट्रिक रूप से विसर्जित नहीं किया जा सकता है। ℝ³. नकारात्मक स्केलर वक्रता के किसी भी आइंस्टीन कई गुना को हाइपरसफेस के रूप में आसानी से आइसोमेट्रिक रूप से विसर्जित नहीं किया जा सकता है, और शिंग-शेन चेर्न और कुइपर का एक प्रमेय यहां तक ​​​​कहता है कि कोई भी कई गुना बंद है m-गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के आयामी कई गुना को सुचारू रूप से आइसोमेट्रिक रूप से विसर्जित नहीं किया जा सकता है ℝ^{2m – 1}. इसके अलावा, कुछ चिकने आइसोमेट्रिक एंबेडिंग कठोरता की घटनाओं को प्रदर्शित करते हैं, जो कि बड़े पैमाने पर अप्रतिबंधित विकल्प द्वारा उल्लंघन किया जाता है f नैश-कूइपर प्रमेय में। उदाहरण के लिए, गोल गोले की किसी भी चिकनी आइसोमेट्रिक हाइपरसफेस विसर्जन की छवि स्वयं एक गोल क्षेत्र होनी चाहिए। इसके विपरीत, नैश-कूइपर प्रमेय गोल क्षेत्र के निरंतर विभेदी आइसोमेट्रिक हाइपरसफेस विसर्जन के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है जो मनमाने ढंग से (उदाहरण के लिए) एक छोटे दीर्घवृत्त के रूप में क्षेत्र के एक स्थलीय एम्बेडिंग के करीब हैं।

किसी भी बंद और उन्मुख द्वि-आयामी कई गुना को आसानी से एम्बेड किया जा सकता है ℝ³. इस तरह के किसी भी एम्बेडिंग को मनमाने ढंग से छोटे स्थिरांक द्वारा बढ़ाया जा सकता है ताकि सतह पर किसी दिए गए रिमेंनियन मीट्रिक के सापेक्ष छोटा हो सके। यह नैश-कूइपर प्रमेय से अनुसरण करता है कि ऐसी किसी भी रिमेंनियन सतह के लगातार अलग-अलग आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग होते हैं जहां एक सीमाबद्ध गेंद का त्रिज्या मनमाने ढंग से छोटा होता है। इसके विपरीत, कोई भी नकारात्मक रूप से घुमावदार बंद सतह को सुचारू रूप से आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेड नहीं किया जा सकता है ℝ³. इसके अलावा, किसी भी चिकनी (या यहां तक ​​कि) के लिए C²) एक मनमाने ढंग से बंद रिमेंनियन सतह के आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग, सतह क्षेत्र और एम्बेडेड मीट्रिक की वक्रता के संदर्भ में एक सीमाबद्ध गेंद की त्रिज्या पर एक मात्रात्मक (सकारात्मक) निचली सीमा होती है।

उच्च आयाम में, जैसा कि व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय से निम्नानुसार है, नैश-कूइपर प्रमेय दर्शाता है कि कोई भी बंद m-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में लगातार अलग-अलग आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है 2m-आयामी यूक्लिडियन स्थान। हालांकि व्हिटनी की प्रमेय गैर-कम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स पर भी लागू होती है, इस तरह के एम्बेडिंग को केवल एक छोटे स्थिरांक द्वारा छोटा नहीं किया जा सकता है ताकि छोटा हो सके। नैश ने साबित कर दिया कि हर m-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड एक निरंतर भिन्न आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है ℝ^{2m + 1}.

नैश के काम के समय, उनकी प्रमेय को गणितीय जिज्ञासा का विषय माना जाता था। परिणाम को ही प्रमुख अनुप्रयोग नहीं मिले हैं। हालांकि, नैश के प्रमाण की विधि को कैमिलो डी लेलिस और लेज़्ज़्लो स्जेकेलिहिदी द्वारा द्रव यांत्रिकी के गणितीय अध्ययन से यूलर समीकरणों के निर्धारित गतिज ऊर्जा के साथ कम-नियमितता समाधान बनाने के लिए अनुकूलित किया गया था। विश्लेषणात्मक शब्दों में, यूलर समीकरणों में अज्ञात फ़ंक्शन के पहले डेरिवेटिव में द्विघात गैर-रैखिकता के माध्यम से आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग समीकरणों की औपचारिक समानता है। नैश के प्रमाण के विचारों को माइकल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा उत्तल एकीकरण के सिद्धांत के अनुरूप एच-सिद्धांत के साथ अमूर्त किया गया था। यह स्टीफ़न मुलर (गणितज्ञ) | स्टीफ़न मुलर और व्लादिमिर स्वेरक द्वारा हिल्बर्ट की उन्नीसवीं समस्या के लिए लागू किया गया था, विविधताओं के कैलकुलस में न्यूनतम भिन्नता के मिनिमाइज़र का निर्माण।

सी^k एम्बेडिंग प्रमेय

नैश के मूल पेपर में दिखाई देने वाला तकनीकी विवरण इस प्रकार है: यदि M एक दिया गया m-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड (विश्लेषणात्मक या वर्ग C का) है^k, 3 ≤ k ≤ ∞), तो एक संख्या n मौजूद है (n ≤ m(3m+11)/2 के साथ, यदि M एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड n ≤ m(m+1)(3m+11) है )/2 अगर एम एक गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है) और एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग ƒ: एम → 'आर'ⁿ (विश्लेषणात्मक या कक्षा सी का भी^{के </सुप>). वह है ƒ C का एक एंबेडिंग#डिफरेंशियल टोपोलॉजी हैk कई गुना और M के प्रत्येक बिंदु p के लिए, यौगिक dƒ_p स्पर्शरेखा स्थान T से एक रैखिक संकारक है_pएम से 'आर'n जो T पर दिए गए आंतरिक उत्पाद स्थान के साथ संगत है_pM और 'R' का मानक अदिश गुणनफलn निम्नलिखित अर्थों में:}

$\langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)$

टी में सभी वैक्टर यू, वी के लिए_pएम। कब n से बड़ा है 1/2m(m + 1), यह आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) की एक कम निर्धारित प्रणाली है।

नैश एम्बेडिंग प्रमेय इस अर्थ में एक वैश्विक प्रमेय है कि संपूर्ण बहुविध R में सन्निहित है^एन. एक स्थानीय एम्बेडिंग प्रमेय बहुत सरल है और मैनिफोल्ड # चार्ट्स ऑफ द मैनिफोल्ड में उन्नत कैलकुलस के अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। वैश्विक एम्बेडिंग प्रमेय का प्रमाण आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के लिए नैश के अंतर्निहित कार्य प्रमेय पर निर्भर करता है। इस प्रमेय को कई अन्य लेखकों द्वारा अमूर्त संदर्भों में सामान्यीकृत किया गया है, जहां इसे नैश-मोजर प्रमेय के रूप में जाना जाता है। नैश के अंतर्निहित कार्य प्रमेय के सबूत में मूल विचार समाधान बनाने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग है। सिस्टम पर लागू होने पर मानक न्यूटन की विधि अभिसरण करने में विफल रहती है; नैश न्यूटन पुनरावृत्ति अभिसरण करने के लिए कनवल्शन द्वारा परिभाषित स्मूथिंग ऑपरेटर्स का उपयोग करता है: यह पोस्टकंडिशनिंग के साथ न्यूटन की विधि है। तथ्य यह है कि यह तकनीक एक समाधान प्रस्तुत करती है अपने आप में एक अस्तित्व प्रमेय और स्वतंत्र हित है। अन्य संदर्भों में, कांटोरोविच प्रमेय | मानक न्यूटन की विधि का अभिसरण पहले लियोनिद कांटोरोविच द्वारा सिद्ध किया गया था।

संदर्भ

• Burago, Yu. D.; Zalgaller, V. A. (1988). Geometric inequalities. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 285. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiĭ. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-07441-1. ISBN 3-540-13615-0. MR 0936419.
• De Lellis, Camillo; Székelyhidi, László, Jr. (2013). "Dissipative continuous Euler flows". Inventiones Mathematicae. 193 (2): 377–407. arXiv:1202.1751. Bibcode:2013InMat.193..377D. doi:10.1007/s00222-012-0429-9. MR 3090182. S2CID 2693636.
• Eliashberg, Y.; Mishachev, N. (2002). Introduction to the h-principle. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 48. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/048. ISBN 0-8218-3227-1. MR 1909245.
• Greene, Robert E.; Jacobowitz, Howard (1971). "Analytic isometric embeddings". Annals of Mathematics. Second Series. 93 (1): 189–204. doi:10.2307/1970760. JSTOR 1970760. MR 0283728.
• Gromov, Mikhael (1986). Partial differential relations. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Vol. 9. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02267-2. ISBN 3-540-12177-3. MR 0864505.
• Günther, Matthias (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [On the embedding theorem of J. Nash]. Mathematische Nachrichten (in German). 144 (1): 165–187. doi:10.1002/mana.19891440113. MR 1037168.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Isett, Philip (2018). "A proof of Onsager's conjecture". Annals of Mathematics. Second Series. 188 (3): 871–963. doi:10.4007/annals.2018.188.3.4. MR 3866888. S2CID 119267892.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry. Vol II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Vol. 15. Reprinted in 1996. New York–London: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-15732-5. MR 0238225.
• Kuiper, Nicolaas H. (1955a). "On C¹-isometric imbeddings. I". Indagationes Mathematicae (Proceedings). 58: 545–556. doi:10.1016/S1385-7258(55)50075-8. MR 0075640.
• Kuiper, Nicolaas H. (1955b). "On C¹-isometric imbeddings. II". Indagationes Mathematicae (Proceedings). 58: 683–689. doi:10.1016/S1385-7258(55)50093-X. MR 0075640.
• Müller, S.; Šverák, V. (2003). "Convex integration for Lipschitz mappings and counterexamples to regularity". Annals of Mathematics. Second Series. 157 (3): 715–742. doi:10.4007/annals.2003.157.715. MR 1983780. S2CID 55855605.
• Nash, John (1954). "C¹ isometric imbeddings". Annals of Mathematics. Second Series. 60 (3): 383–396. doi:10.2307/1969840. JSTOR 1969840. MR 0065993.
• Nash, John (1956). "The imbedding problem for Riemannian manifolds". Annals of Mathematics. Second Series. 63 (1): 20–63. doi:10.2307/1969989. JSTOR 1969989. MR 0075639. (Erratum:  [1])
• Nash, J. (1966). "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data". Annals of Mathematics. Second Series. 84 (3): 345–355. doi:10.2307/1970448. JSTOR 1970448. MR 0205266.
• Taylor, Michael E. (2011). Partial differential equations III. Nonlinear equations. Applied Mathematical Sciences. Vol. 117 (Second edition of 1996 original ed.). New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7049-7. ISBN 978-1-4419-7048-0. MR 2744149.