ट्रांसवर्सलिटी (गणित)

गणित में, अनुप्रस्थता एक धारणा है जो वर्णन करती है कि रिक्त स्थान कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं; अनुप्रस्थता को स्पर्शरेखा के विपरीत के रूप में देखा जा सकता है, और सामान्य स्थिति में एक भूमिका निभाता है। यह अंतर टोपोलॉजी में एक सामान्य प्रतिच्छेदन के विचार को औपचारिक रूप देता है। इसे प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर प्रतिच्छेदी स्थानों के रैखिकीकरण पर विचार करके परिभाषित किया गया है।

परिभाषा

एक गोले की सतह पर अनुप्रस्थ वक्र

एक गोले की सतह पर गैर-अनुप्रस्थ वक्र

किसी दिए गए परिमित-आयामी चिकने मैनिफोल्ड के दो सबमेनिफोल्ड्स को ट्रांसवर्सली इंटरसेक्ट करने के लिए कहा जाता है यदि इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) के हर बिंदु पर, उस बिंदु पर उनके अलग-अलग स्पर्शरेखा स्थान एक साथ उस बिंदु पर परिवेश स्थान के स्पर्शरेखा स्थान को उत्पन्न करते हैं। मैनिफोल्ड जो प्रतिच्छेद नहीं करते हैं वे रिक्त रूप से अनुप्रस्थ होते हैं। यदि मैनिफोल्ड पूरक आयाम के हैं (अर्थात, उनके आयाम परिवेश स्थान के आयाम तक जुड़ते हैं), तो स्थिति का अर्थ है कि परिवेश मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान दो छोटे स्पर्शरेखा स्थानों का प्रत्यक्ष योग है। यदि एक प्रतिच्छेदन अनुप्रस्थ है, तो प्रतिच्छेदन एक सबमेनिफोल्ड होगा जिसका codimension दो मैनिफोल्ड के कोडिमेंशन के योग के बराबर है। ट्रांसवर्सलिटी की स्थिति के अभाव में, चौराहे एक सबमनीफोल्ड होने में विफल हो सकता है, जिसमें कुछ प्रकार की गणितीय विलक्षणता होती है।

विशेष रूप से, इसका मतलब है कि पूरक आयाम के अनुप्रस्थ सबमेनिफोल्ड पृथक बिंदुओं (यानी, 0-कई गुना) में प्रतिच्छेद करते हैं। यदि सबमनिफोल्ड और एम्बिएंट मैनिफोल्ड दोनों उन्मुख हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन उन्मुख है। जब चौराहा शून्य-आयामी होता है, तो अभिविन्यास प्रत्येक बिंदु के लिए बस एक प्लस या माइनस होता है।

दो सबमनिफोल्ड के अनुप्रस्थ प्रतिच्छेदन के लिए एक अंकन $L_{1}$ और $L_{2}$ दिए गए कई गुना $M$ है $L_{1}\pitchfork L_{2}$. इस संकेतन को दो तरह से पढ़ा जा सकता है: या तो "$L_{1}$ और $L_{2}$ प्रतिच्छेदन ट्रांसवर्सली ”या सेट-सैद्धांतिक चौराहे के लिए एक वैकल्पिक संकेतन के रूप में $L_{1}\cap L_{2}$ का $L_{1}$ और $L_{2}$ जब वह चौराहा अनुप्रस्थ है। इस संकेतन में, ट्रांसवर्सलिटी की परिभाषा पढ़ती है

$L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}+T_{p}L_{2}.$

नक्शों की ट्रांसवर्सलिटी

सबमनिफोल्ड्स की एक जोड़ी की ट्रांसवर्सलिटी की धारणा को आसानी से एक सबमनीफोल्ड की ट्रांसवर्सलिटी और एम्बिएंट मैनिफोल्ड के लिए एक मैप या एम्बिएंट मैनिफोल्ड के मैप्स की एक जोड़ी के लिए विस्तारित किया जाता है, यह पूछकर कि क्या टेंगेंट स्पेस के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) के साथ छवियों के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं की पूर्व-छवि परिवेश के कई गुना के संपूर्ण स्पर्शरेखा स्थान को उत्पन्न करती है। यदि नक्शे एम्बेडिंग हैं, तो यह सबमनिफोल्ड्स की ट्रांसवर्सलिटी के बराबर है।

विभिन्न आयामों के लिए तिर्यकदृष्टि का अर्थ

ट्रांसवर्सलिटी परिवेश स्थान पर निर्भर करती है। दिखाए गए दो वक्र अनुप्रस्थ हैं जब विमान में एम्बेडेड के रूप में माना जाता है, लेकिन अगर हम उन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान में एम्बेडेड नहीं मानते हैं

मान लीजिए हमारे पास अनुप्रस्थ मानचित्र हैं $f_{1}:L_{1}\to M$ और $f_{2}:L_{2}\to M$ कहाँ $L_{1},L_{2}$ और $M$ अनेक आयामों के साथ हैं $\ell _{1},\ell _{2}$ और $m$ क्रमश।

के सापेक्ष आयामों के आधार पर ट्रांसवर्सलिटी का अर्थ बहुत भिन्न होता है $M,L_{1}$ और $L_{2}$. ट्रांसवर्सलिटी और स्पर्शरेखा के बीच का संबंध सबसे स्पष्ट होता है $\ell _{1}+\ell _{2}=m$.

हम तीन अलग-अलग मामलों पर विचार कर सकते हैं:

1. कब $\ell _{1}+\ell _{2}<m$, की छवि के लिए यह असंभव है $L_{1}$ और $L_{2}$विस्तार के लिए स्पर्शरेखा रिक्त स्थान $M$किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान। इस प्रकार बीच में कोई चौराहा $f_{1}$ और $f_{2}$ अनुप्रस्थ नहीं हो सकता। हालांकि, गैर-अंतर्विभाजक मैनिफोल्ड रिक्त रूप से स्थिति को संतुष्ट करते हैं, इसलिए इसे ट्रांसवर्सली इंटरसेक्ट करने के लिए कहा जा सकता है।
2. कब $\ell _{1}+\ell _{2}=m$, की छवि $L_{1}$ और $L_{2}$के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को सीधे योग करना चाहिए $M$चौराहे के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान। इस प्रकार उनके प्रतिच्छेदन में अलग-अलग हस्ताक्षरित बिंदु होते हैं, अर्थात एक शून्य-आयामी कई गुना।
3. कब $\ell _{1}+\ell _{2}>m$ यह योग प्रत्यक्ष नहीं होना चाहिए। वास्तव में यह प्रत्यक्ष नहीं हो सकता है $f_{1}$ और $f_{2}$ विसर्जन (गणित) उनके चौराहे के बिंदु पर हैं, जैसा कि एम्बेडेड सबमनीफोल्ड के मामले में होता है। यदि नक्शे विसर्जन हैं, तो उनकी छवियों का प्रतिच्छेदन आयाम का कई गुना होगा $\ell _{1}+\ell _{2}-m.$

प्रतिच्छेदन उत्पाद

किसी भी दो चिकने सबमेनिफोल्ड को देखते हुए, उनमें से किसी एक को मनमाने ढंग से छोटी राशि से परेशान करना संभव है, जैसे कि परिणामी सबमेनिफोल्ड निश्चित सबमैनिफोल्ड के साथ ट्रांसवर्सली को काटता है। इस तरह की गड़बड़ी कई गुना या उनके चौराहों के सह-समरूपता (गणित) वर्ग को प्रभावित नहीं करती है। उदाहरण के लिए, यदि पूरक आयाम के कई गुना अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या का हस्ताक्षरित योग नहीं बदलता है, भले ही हम कई गुना एक दूसरे अनुप्रस्थ चौराहे पर आइसोटोपी करते हैं। (प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मोटे तौर पर अपरिवर्तनीय प्राप्त करने के लिए, संकेतों को अनदेखा करते हुए मॉड्यूलो 2 गिना जा सकता है।) यह किसी भी आयाम के होमोलॉजी वर्गों पर बिलिनियर इंटरसेक्शन उत्पाद के लिए उतरता है, जो कोहोलॉजी पर कप उत्पाद के लिए पोंकारे दोहरा है। कप उत्पाद की तरह, प्रतिच्छेदन उत्पाद supercommutative |ग्रेडेड-कम्यूटेटिव है।

अनुप्रस्थ चौराहों के उदाहरण

ट्रांसवर्सलिटी का सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण सतह (टोपोलॉजी) में आर्क्स का है। दो चापों के बीच एक प्रतिच्छेदन बिंदु अनुप्रस्थ होता है यदि और केवल यदि यह एक स्पर्शरेखा नहीं है, अर्थात, स्पर्शरेखा विमान के अंदर सतह पर उनकी स्पर्शरेखा अलग होती है।

त्रि-आयामी स्थान में, अनुप्रस्थ वक्र प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। सतहों के अनुप्रस्थ वक्र बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं, और एक दूसरे के लिए अनुप्रस्थ सतहें वक्रों में प्रतिच्छेद करती हैं। वक्र जो किसी बिंदु पर किसी सतह पर स्पर्शरेखा होते हैं (उदाहरण के लिए, किसी सतह पर स्थित वक्र) सतह को अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

यहाँ एक अधिक विशिष्ट उदाहरण है: मान लीजिए $G$ एक साधारण झूठ समूह है और ${\mathfrak {g}}$ इसका झूठ बीजगणित है। sl2-triple|जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय द्वारा प्रत्येक नगण्य तत्व $e\in {\mathfrak {g}}$ एक में शामिल किया जा सकता है ${\mathfrak {sl_{2}}}$-ट्रिपल $(e,h,f)$. का प्रतिनिधित्व सिद्धांत ${\mathfrak {sl_{2}}}$ हमें वह बताता है ${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}$. अंतरिक्ष $[{\mathfrak {g}},e]$ पर स्पर्शरेखा स्थान है $e$ बगल की कक्षा में ${\rm {{Ad}(G)e}}$ और इसलिए affine अंतरिक्ष $e+{\mathfrak {g}}_{f}$ की कक्षा को काटता है $e$ अनुप्रस्थ रूप से। अंतरिक्ष $e+{\mathfrak {g}}_{f}$ पीटर स्लोडोवी के बाद स्लोडोवी स्लाइस के रूप में जाना जाता है।

अनुप्रयोग

इष्टतम नियंत्रण

विविधताओं की कलन या संबंधित पोंट्रीगिन अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करने वाले क्षेत्रों में, अनुकूलन समस्याओं में पाए जाने वाले समाधानों के प्रकार को नियंत्रित करने के लिए ट्रांसवर्सलिटी की स्थिति का अक्सर उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, फॉर्म की समस्याओं के समाधान के लिए यह एक आवश्यक शर्त है:

छोटा करना $\int {F(x,y,y^{\prime })}dx$ जहां वक्र के एक या दोनों अंत बिंदु स्थिर नहीं होते हैं।

इनमें से कई समस्याओं में, समाधान इस शर्त को संतुष्ट करता है कि समाधान वक्र को शून्य रेखा या टर्मिनल स्थितियों का वर्णन करने वाले किसी अन्य वक्र को आड़े-तिरछे पार करना चाहिए।

समाधान रिक्त स्थान की चिकनाई

सार्ड के प्रमेय का उपयोग करते हुए, जिसकी परिकल्पना मानचित्रों की ट्रांसवर्सलिटी का एक विशेष मामला है, यह दिखाया जा सकता है कि पूरक आयामों के स्थान के सबमनिफोल्ड्स के बीच अनुप्रस्थ चौराहों या अंतरिक्ष में सबमनिफोल्ड्स और मानचित्रों के बीच स्वयं चिकनी सबमनिफोल्ड्स हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का एक स्मूथ सेक्शन (श्रेणी सिद्धांत) - यानी। एक सदिश क्षेत्र - को आधार से कुल स्थान तक एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है, और शून्य-अनुभाग (या तो एक मानचित्र के रूप में या एक सबमनीफोल्ड के रूप में देखा जाता है) को प्रतिच्छेद करता है, फिर खंड का शून्य सेट - अर्थात। सदिश क्षेत्र की विलक्षणताएं - आधार की एक चिकनी 0-आयामी सबमनीफोल्ड बनाती हैं, यानी हस्ताक्षरित बिंदुओं का एक सेट। संकेत सदिश क्षेत्र के सूचकांकों से सहमत होते हैं, और इस प्रकार संकेतों का योग- अर्थात। शून्य समुच्चय का मूलभूत वर्ग—मैनिफोल्ड के यूलर अभिलाक्षणिक के बराबर है। अधिक आम तौर पर, एक ओरिएंटेड चिकनी बंद परिमित-आयामी कई गुना पर एक वेक्टर बंडल के लिए, शून्य अनुभाग के अनुप्रस्थ खंड का शून्य सेट वेक्टर बंडल के रैंक के बराबर कोडिमेंशन के आधार का एक सबमनीफोल्ड होगा, और इसकी समरूपता वर्ग Poincare द्वैत होगा|Poincare द्वैत बंडल के Euler वर्ग के लिए।

इसका एक अत्यंत विशेष मामला निम्नलिखित है: यदि वास्तविक से वास्तविक तक एक अलग-अलग फ़ंक्शन फ़ंक्शन के शून्य पर गैर-शून्य व्युत्पन्न होता है, तो शून्य सरल होता है, अर्थात यह ग्राफ उस शून्य पर एक्स-अक्ष के अनुप्रस्थ होता है; एक शून्य व्युत्पन्न का अर्थ होगा वक्र के लिए एक क्षैतिज स्पर्शरेखा, जो एक्स-अक्ष के स्पर्शरेखा स्थान के अनुरूप होगा।

एक अनंत-आयामी उदाहरण के लिए, डी-बार ऑपरेटर एक रीमैन सतह से मानचित्रों के स्थान पर लगभग एक जटिल मैनिफोल्ड में एक निश्चित बानाच अंतरिक्ष बंडल का एक खंड है। इस खंड के शून्य सेट में होलोमोर्फिक मानचित्र होते हैं। यदि डी-बार ऑपरेटर को शून्य-अनुभाग में अनुप्रस्थ दिखाया जा सकता है, तो यह मोडुली स्पेस एक सहज मैनिफोल्ड होगा। ये विचार स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र और ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। (ध्यान दें कि इस उदाहरण के लिए, बनच रिक्त स्थान से निपटने के लिए ट्रांसवर्सलिटी की परिभाषा को परिष्कृत किया जाना है!)

व्याकरण

अनुप्रस्थ एक संज्ञा है; विशेषण अनुप्रस्थ है। </ब्लॉककोट>

जेएचसी से उद्धरण व्हाइटहेड, 1959

यह भी देखें

• ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

टिप्पणियाँ

संदर्भ

• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Comm. Math. Helv. 28 (1): 17–86. doi:10.1007/BF02566923. S2CID 120243638.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Differential Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris (1976). Differential Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.