चिकनी संरचना

गणित में, कई गुना पर एक चिकनी संरचना चिकनी कार्य की एक स्पष्ट धारणा के लिए अनुमति देती है। विशेष रूप से, एक चिकनी संरचना किसी को कई गुना पर गणितीय विश्लेषण करने की अनुमति देती है।

परिभाषा

कई गुना पर एक चिकनी संरचना $M$ सुचारू रूप से समतुल्य चिकनी एटलस का एक संग्रह है। यहाँ, एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के लिए एक सहज एटलस $M$ के लिए एक एटलस (टोपोलॉजी) है $M$ ऐसा है कि प्रत्येक संक्रमण मानचित्र एक चिकना नक्शा है, और इसके लिए दो स्मूथ एटलस हैं $M$ सुचारू रूप से समतुल्य हैं बशर्ते उनका संघ (सेट सिद्धांत) फिर से एक सहज एटलस हो $M.$ यह सहज एटलस के सेट पर एक प्राकृतिक तुल्यता संबंध देता है।

एक चिकना कई गुना एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है $M$ साथ में एक चिकनी संरचना के साथ $M.$

अधिकतम चिकनी एटलस

एक चिकनी संरचना से संबंधित सभी एटलस (टोपोलॉजी) का मिलन करके, हम एक अधिकतम चिकनी एटलस प्राप्त करते हैं। इस एटलस में हर चार्ट शामिल है जो चिकनी संरचना के अनुकूल है। चिकनी संरचनाओं और अधिकतम चिकनी एटलस के बीच एक प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार है। इस प्रकार, हम एक चिकनी संरचना को अधिकतम चिकनी एटलस और इसके विपरीत मान सकते हैं।

सामान्य तौर पर, कई गुना अधिक से अधिक एटलस के साथ संगणनाएं बोझिल होती हैं। अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए, यह एक छोटा एटलस चुनने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट जगह है, तो एक एटलस को केवल बहुत से चार्ट के साथ मिल सकता है।

चिकनी संरचनाओं की समानता

होने देना $\mu$ तथा $\nu$ दो अधिकतम एटलस हों $M.$ से जुड़ी दो चिकनी संरचनाएं $\mu$ तथा $\nu$ यदि कोई भिन्नता है तो समतुल्य कहा जाता है $f:M\to M$ ऐसा है कि $\mu \circ f=\nu .$

विदेशी क्षेत्र

जॉन मिल्नोर ने 1956 में दिखाया कि 7-आयामी क्षेत्र एक चिकनी संरचना को स्वीकार करता है जो मानक चिकनी संरचना के बराबर नहीं है। एक गैर-मानक चिकनी संरचना से सुसज्जित गोले को विदेशी क्षेत्र कहा जाता है।

E8 कई गुना

ई 8 कई गुना एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है जो एक चिकनी संरचना को स्वीकार नहीं करता है। यह अनिवार्य रूप से प्रदर्शित करता है कि रोकलिन का प्रमेय केवल चिकनी संरचनाओं के लिए है, और सामान्य रूप से टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड नहीं है।

संबंधित संरचनाएं

संक्रमण कार्यों पर चिकनाई की आवश्यकताओं को कमजोर किया जा सकता है, ताकि हमें केवल संक्रमण मानचित्रों की आवश्यकता हो $k$-बार निरंतर अवकलनीय; या मजबूत किया गया है, ताकि हमें संक्रमण मानचित्रों को वास्तविक-विश्लेषणात्मक बनाने की आवश्यकता हो। तदनुसार, यह एक विभेदक कई गुना देता है$C^{k}$या विश्लेषणात्मक कई गुना | (वास्तविक-) विश्लेषणात्मक संरचना एक चिकनी के बजाय कई गुना। इसी तरह, हम ट्रांज़िशन मैप्स को होलोमोर्फिक होने की आवश्यकता के द्वारा एक जटिल कई गुना को परिभाषित कर सकते हैं।

यह भी देखें

• Smooth frame
• Atlas (topology)

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• विविध
• अंक शास्त्र
• चिकना समारोह
• डिफियोमोर्फिज्म

संदर्भ

• Hirsch, Morris (1976). Differential Topology. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.