वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

गणित में, वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान, निरूपित $\mathbb {RP} ^{n}$ या $\mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),$ वास्तविक समन्वय स्थान में मूल 0 से गुजरने वाली रेखा (गणित) का टोपोलॉजिकल स्पेस है $\mathbb {R} ^{n+1}.$ यह एक सघन स्थान है, आयाम की चिकनी विविधता n, और एक विशेष मामला है $\mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})$ ग्रासमैनियन स्थान का।

बुनियादी गुण

निर्माण

सभी प्रक्षेप्य स्थानों की तरह, आरपीⁿ का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) लेकर बनाया गया है Rⁿ⁺¹ ∖ {0} तुल्यता संबंध के तहत x ∼ λx सभी वास्तविक संख्याओं के लिए λ ≠ 0. सभी x के लिए Rⁿ⁺¹ ∖ {0} कोई हमेशा ऐसा λ पा सकता है जिसमें λx का नॉर्म (गणित) 1 हो। ऐसे दो λ हैं जो चिह्न के आधार पर भिन्न हैं।

इस प्रकार 'आरपी'ⁿको इकाई n-वृत्त , S के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करके भी बनाया जा सकता हैⁿ, 'आर' मेंⁿ⁺¹.

आगे इसे एस के ऊपरी गोलार्ध तक सीमित किया जा सकता हैⁿऔर केवल सीमाबद्ध भूमध्य रेखा पर एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करें। इससे पता चलता है कि 'आरपी'ⁿ बंद n-आयामी डिस्क, D के भी समतुल्य हैⁿ, सीमा पर एंटीपोडल बिंदुओं के साथ, ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹, पहचान की।

निम्न-आयामी उदाहरण

• आरपी¹वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा कहलाती है, जो एक वृत्त के समतुल्य टोपोलॉजी है।
• आरपी²को वास्तविक प्रक्षेप्य तल कहा जाता है। यह स्थान R में एंबेडेड नहीं हो सकता³. हालाँकि इसे R में एम्बेड किया जा सकता है⁴और R में विसर्जन (गणित) हो सकता है³ (लड़के की सतह देखें)। प्रोजेक्टिव एन-स्पेस के लिए एम्बेडेबिलिटी और इमर्सिबिलिटी के प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है।
• आर.पी³SO(3) से भिन्न है, इसलिए एक समूह संरचना स्वीकार करता है; कवरिंग मानचित्र एस³→ आर.पी³ समूहों स्पिन(3) → एसओ(3) का एक मानचित्र है, जहां स्पिन समूह|स्पिन(3) एक लाई समूह है जो एसओ(3) का सार्वभौमिक आवरण है।

टोपोलॉजी

एन-गोले पर एंटीपोडल मानचित्र (एक्स को −x पर भेजने वाला मानचित्र) एक चक्रीय समूह उत्पन्न करता है|'Z'₂एस पर समूह क्रिया (गणित)ⁿ. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस क्रिया के लिए कक्षा स्थान 'आरपी' हैⁿ. यह क्रिया वास्तव में एस देने वाली जगह को कवर करना क्रिया हैⁿ 'आरपी' के दोहरे आवरण (टोपोलॉजी) के रूप मेंⁿ. चूंकि एसⁿ बस n ≥ 2 के लिए जुड़ा हुआ है, यह इन मामलों में सार्वभौमिक कवर के रूप में भी कार्य करता है। यह इस प्रकार है कि 'आरपी' का मूल समूहⁿ 'Z' है₂ जब n > 1. (जब n = 1 मूल समूह S के साथ समरूपता के कारण 'Z' होता है)¹). मौलिक समूह के लिए एक जनरेटर एस में एंटीपोडल बिंदुओं को जोड़ने वाले किसी भी वक्र को प्रक्षेपित करके प्राप्त बंद वक्र हैⁿ नीचे 'आरपी' तकⁿ.

प्रक्षेप्य एन-स्पेस कॉम्पैक्ट है, जुड़ा हुआ है, और क्रम 2 के चक्रीय समूह के लिए एक मौलिक समूह आइसोमोर्फिक है: इसका सार्वभौमिक कवरिंग स्पेस एन-स्फीयर से एंटीपोडी भागफल मानचित्र द्वारा दिया गया है, जो एक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्थान है। यह एक डबल कवरिंग ग्रुप है। 'आर' पर एंटीपोड मानचित्र^पीका चिन्ह है $(-1)^{p}$, इसलिए यह अभिविन्यास-संरक्षण है यदि और केवल यदि p सम है। अभिविन्यास चरित्र इस प्रकार है: गैर-तुच्छ लूप $\pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})$ के समान एक्ट करें $(-1)^{n+1}$ ओरिएंटेशन पर, इसलिए आर.पीⁿओरिएंटेबल है यदि और केवल यदि n + 1 सम है, अर्थात, n विषम है। प्रक्षेप्य एन-स्पेस वास्तव में 'आर' के सबमैनिफोल्ड से भिन्न है^(एन+1)2 सभी सममित से मिलकर बना है (n + 1) × (n + 1) ट्रेस (रैखिक बीजगणित) 1 के आव्यूह जो कि निष्क्रिय रैखिक परिवर्तन भी हैं।

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानों की ज्यामिति

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान एक स्थिर सकारात्मक अदिश वक्रता मीट्रिक को स्वीकार करता है, जो मानक गोल गोले द्वारा दोहरे आवरण से आता है (एंटीपोडल मानचित्र स्थानीय रूप से एक आइसोमेट्री है)।

मानक गोल मीट्रिक के लिए, इसमें अनुभागीय वक्रता समान रूप से 1 है।

मानक गोल मीट्रिक में, प्रक्षेप्य स्थान का माप गोले के माप का ठीक आधा होता है।

चिकनी संरचना

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान चिकने मैनिफोल्ड हैं। एस परⁿ, सजातीय निर्देशांक में, (x₁, ..., एक्स_n+1), उपसमूह यू पर विचार करें_iएक्स के साथ_i≠ 0. प्रत्येक यू_i'आर' में दो खुली इकाई गेंदों के असंयुक्त संघ के लिए होमोमोर्फिक हैⁿ वह मानचित्र 'आरपी' के समान उपसमुच्चय परⁿ और समन्वय संक्रमण कार्य सुचारू हैं। इससे 'आरपी' मिलता हैⁿएक चिकनी संरचना।

सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में संरचना

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान आरपीⁿप्रत्येक आयाम में 1 सेल के साथ CW कॉम्प्लेक्स की संरचना को स्वीकार करता है।

सजातीय निर्देशांक में (x₁ ... एक्स_n+1) एस परⁿ, समन्वय पड़ोस यू₁ = {(x₁ ... एक्स_n+1) | एक्स₁ ≠ 0} को एन-डिस्क डी के इंटीरियर से पहचाना जा सकता हैⁿ. जब एक्स_i= 0, एक के पास 'आरपी' हैⁿ⁻¹. इसलिए 'RP' का n−1 कंकालⁿ 'आरपी' हैⁿ⁻¹, और संलग्न मानचित्र f : Sⁿ⁻¹ → 'आरपी'ⁿ⁻¹ 2-टू-1 कवरिंग मानचित्र है। कोई भी डाल सकता है

$$\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.$$

प्रेरण से पता चलता है कि आर.पीⁿ एक CW कॉम्प्लेक्स है जिसमें n तक प्रत्येक आयाम में 1 सेल है।

कोशिकाएँ शूबर्ट कोशिकाएँ हैं, जैसा कि ध्वज अनेक गुना पर है। अर्थात्, एक पूर्ण ध्वज (रैखिक बीजगणित) (मानक मानक ध्वज कहें) 0 = V लें₀ <वि₁ <...< वी_n; तब बंद k-सेल वे रेखाएँ हैं जो V में स्थित हैं_k. इसके अलावा खुले के-सेल (के-सेल का आंतरिक भाग) में रेखाएँ होती हैं V_k \ V_k−1 (वी में पंक्तियाँ_kलेकिन वी नहीं_k−1).

सजातीय निर्देशांक में (ध्वज के संबंध में), कोशिकाएँ हैं

$${\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}$$

यह एक नियमित सीडब्ल्यू संरचना नहीं है, क्योंकि संलग्न मानचित्र 2-टू-1 हैं। हालाँकि, इसका आवरण गोले पर एक नियमित सीडब्ल्यू संरचना है, जिसमें प्रत्येक आयाम में 2 कोशिकाएँ हैं; वास्तव में, गोले पर न्यूनतम नियमित सीडब्ल्यू संरचना।

चिकनी संरचना के प्रकाश में, मोर्स फ़ंक्शन का अस्तित्व आरपी दिखाएगाⁿ एक CW कॉम्प्लेक्स है। ऐसा एक फ़ंक्शन सजातीय निर्देशांक में दिया गया है,

$$g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.$$

प्रत्येक पड़ोस पर यू_i, g में गैर-अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु (0,...,1,...,0) है जहां 1 मोर्स इंडेक्स i के साथ i-वें स्थान पर होता है। इससे पता चलता है 'आरपी'ⁿ प्रत्येक आयाम में 1 सेल वाला एक CW कॉम्प्लेक्स है।

टॉटोलॉजिकल बंडल

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान के ऊपर एक प्राकृतिक रेखा बंडल होता है, जिसे टॉटोलॉजिकल बंडल कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, इसे टॉटोलॉजिकल सबबंडल कहा जाता है, और एक दोहरा एन-आयामी बंडल भी होता है जिसे टॉटोलॉजिकल भागफल बंडल कहा जाता है।

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानों की बीजगणितीय टोपोलॉजी

समरूप समूह

आरपी के उच्च समरूप समूहⁿ बिल्कुल S के उच्च समरूप समूह हैंⁿ, कंपन से जुड़े होमोटॉपी पर लंबे सटीक अनुक्रम के माध्यम से।

स्पष्ट रूप से, फाइबर बंडल है:

$$\mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.$$

आप इसे इस तरह भी लिख सकते हैं

$$S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}$$

या

$$O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}$$

जटिल प्रक्षेप्य स्थान के अनुरूप।

समरूप समूह हैं:

$$\pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}$$

होमोलॉजी

उपरोक्त सीडब्ल्यू संरचना से जुड़े सेलुलर श्रृंखला परिसर में प्रत्येक आयाम 0, ..., एन में 1 सेल है। प्रत्येक आयामी k के लिए, सीमा मानचित्र d_k: δD^क → 'आरपी'^k−1/'RP'^k−2 वह मानचित्र है जो भूमध्य रेखा को S पर गिराता है^k−1 और फिर एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है। विषम (सम) आयामों में, इसकी डिग्री 0 (सम्मान 2) है:

$$\deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.$$

इस प्रकार अभिन्न कोशिकीय समरूपता है

$$H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}$$

आर.पीⁿ उन्मुख है यदि और केवल यदि n विषम है, जैसा कि उपरोक्त समरूपता गणना से पता चलता है।

अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान का निर्माण परिमित प्रक्षेप्य स्थानों की प्रत्यक्ष सीमा या संघ के रूप में किया जाता है:

$$\mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.$$

यह स्थान O(n) के लिए स्थान का वर्गीकरण कर रहा है|पहले ऑर्थोगोनल समूह, O(1) के स्थान का वर्गीकरण कर रहा है।

इस अन्तरिक्ष का दोहरा आवरण अनन्त गोला है $S^{\infty }$, जो संकुचन योग्य है। इसलिए अनंत प्रक्षेप्य स्थान ईलेनबर्ग-मैकलेन अंतरिक्ष K('Z') है₂, 1).

प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक q के लिए, मॉड्यूलो 2 होमोलॉजी समूह $H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2$.

इसका कोहोमोलोजी रिंग मॉड्यूलो (शब्दजाल) 2 है

$$H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],$$

कहाँ $w_{1}$ यह पहला स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग है: यह मुफ़्त है $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$-बीजगणित है $w_{1}$, जिसकी डिग्री 1 है।

यह भी देखें

• जटिल प्रक्षेप्य स्थान
• क्वाटरनियोनिक प्रक्षेप्य स्थान
• लेंस स्थान
• वास्तविक प्रक्षेप्य तल

संदर्भ

• Bredon, Glen. Topology and geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 1993, 1996
• Davis, Donald. "Table of immersions and embeddings of real projective spaces". Retrieved 22 Sep 2011.
• Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79160-1.