ऑर्थोगोनल समूह

गणित में, आयाम में ओर्थोगोनल समूह n, निरूपित O(n), आइसोमेट्री का समूह (गणित) है | आयाम के यूक्लिडियन स्थान का दूरी-संरक्षण परिवर्तन n जो एक निश्चित बिंदु को संरक्षित करता है, जहां फंक्शन कंपोजिशन ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा ग्रुप ऑपरेशन दिया जाता है। सामान्य रेखीय समूह के सादृश्य द्वारा, ओर्थोगोनल समूह को कभी-कभी सामान्य ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। समान रूप से, यह का समूह है n×n ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, जहां समूह ऑपरेशन मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है (एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एक वास्तविक मैट्रिक्स है जिसका व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है)। ऑर्थोगोनल समूह एक बीजगणितीय समूह और एक लाई समूह है। यह कॉम्पैक्ट ग्रुप है।

आयाम में ऑर्थोगोनल समूह n दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। जिसमें पहचान तत्व शामिल है वह एक सामान्य उपसमूह है, जिसे विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है SO(n). इसमें निर्धारक के सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस होते हैं 1. इस समूह को रोटेशन समूह भी कहा जाता है, इस तथ्य को सामान्य करते हुए कि आयाम 2 और 3 में, इसके तत्व एक बिंदु (आयाम 2 में) या एक रेखा (आयाम 3 में) के आसपास सामान्य रोटेशन (गणित) होते हैं। निम्न आयाम में, इन समूहों का व्यापक अध्ययन किया गया है, देखें SO(2), SO(3) और SO(4). अन्य घटक में निर्धारक के सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स होते हैं –1. यह घटक एक समूह नहीं बनाता है, क्योंकि इसके किन्हीं दो तत्वों का उत्पाद निर्धारक 1 का है, और इसलिए घटक का कोई तत्व नहीं है।

विस्तार से, किसी भी क्षेत्र के लिए F, एक n×n प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स F ऐसा है कि इसका व्युत्क्रम इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है जिसे ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ओवर कहा जाता है F. n×n }} ओर्थोगोनल मेट्रिसेस एक उपसमूह बनाते हैं, निरूपित O(n, F), सामान्य रैखिक समूह का GL(n, F); वह है

$$\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$$

अधिक आम तौर पर, एक गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूप या द्विघात रूप दिया जाता है एक फ़ील्ड (गणित) पर एक सदिश स्थान पर, फॉर्म का ऑर्थोगोनल समूह उलटा रैखिक मानचित्रों का समूह है जो फॉर्म को संरक्षित करता है। पूर्ववर्ती ऑर्थोगोनल समूह विशेष मामले हैं, जहां कुछ आधार पर बिलिनियर फॉर्म डॉट उत्पाद है, या समकक्ष, द्विघात रूप निर्देशांक के वर्ग का योग है।

सभी ओर्थोगोनल समूह बीजगणितीय समूह हैं, क्योंकि एक रूप को संरक्षित करने की स्थिति को मैट्रिसेस की समानता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

नाम

ऑर्थोगोनल समूह का नाम इसके तत्वों के निम्नलिखित लक्षण वर्णन से उत्पन्न होता है। यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस दिया गया है E आयाम का n, ऑर्थोगोनल समूह के तत्व O(n) एक समान स्केलिंग (होमोथेसी) तक, रैखिक मानचित्र हैं E को E जो ऑर्थोगोनल वैक्टर को ऑर्थोगोनल वैक्टर में मैप करता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में

ऑर्थोगोनल समूह O(n) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है GL(n, R), जिसमें सभी एंडोमोर्फिज्म शामिल हैं जो यूक्लिडियन मानदंड को संरक्षित करते हैं, जो कि एंडोमोर्फिज्म है g ऐसा है कि $\|g(x)\|=\|x\|.$ होने देना E(n) यूक्लिडियन अंतरिक्ष के यूक्लिडियन आइसोमेट्री का समूह बनें S आयाम का n. यह समूह किसी विशेष स्थान की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, क्योंकि एक ही आयाम के सभी यूक्लिडियन स्थान आइसोमोर्फिक हैं। एक बिंदु का स्टेबलाइजर उपसमूह x ∈ S तत्वों का उपसमूह है g ∈ E(n) ऐसा है कि g(x) = x. यह स्टेबलाइज़र है (या, अधिक सटीक रूप से, इसके लिए आइसोमॉर्फिक है) O(n), चूंकि मूल बिंदु के रूप में एक बिंदु का चुनाव यूक्लिडियन अंतरिक्ष और उससे जुड़े यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष के बीच एक समरूपता को प्रेरित करता है।

एक प्राकृतिक समूह समरूपता है p से E(n) को O(n)द्वारा परिभाषित किया गया है

$p(g)(y-x)=g(y)-g(x),$

जहां, हमेशा की तरह, दो बिंदुओं का घटाव अनुवाद (ज्यामिति) वेक्टर को दर्शाता है जो दूसरे बिंदु को पहले बिंदु पर मैप करता है। यह एक अच्छी तरह से परिभाषित समरूपता है, क्योंकि एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि, यदि दो जोड़े बिंदुओं में समान अंतर है, तो उनकी छवियों के लिए भी यही सच है g (विवरण के लिए देखें Affine space § Subtraction and Weyl's axioms).

की गिरी (बीजगणित)। p अनुवाद का सदिश स्थान है। इसलिए, अनुवाद का एक सामान्य उपसमूह बनता है E(n), दो बिंदुओं के स्टेबलाइजर्स अनुवाद की कार्रवाई के तहत संयुग्मित उपसमूह हैं, और सभी स्टेबलाइजर्स आइसोमॉर्फिक हैं O(n).

इसके अलावा, यूक्लिडियन समूह का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है O(n) और अनुवादों का समूह। यह इस प्रकार है कि यूक्लिडियन समूह का अध्ययन अनिवार्य रूप से अध्ययन के लिए कम हो गया है O(n).

विशेष ऑर्थोगोनल समूह

यूक्लिडियन सदिश स्थान का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार चुनकर, ऑर्थोगोनल समूह को ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के समूह (मैट्रिक्स गुणन के तहत) के साथ पहचाना जा सकता है, जो ऐसे मैट्रिसेस हैं

$QQ^{\mathsf {T}}=I.$

यह इस समीकरण से अनुसरण करता है कि के निर्धारक का वर्ग Q बराबरी 1, और इस प्रकार निर्धारक Q भी है 1 या –1. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस 1 एक उपसमूह बनाते हैं जिसे विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है SO(n), जिसमें सभी यूक्लिडियन समूह # प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री शामिल हैं O(n), वे हैं जो अंतरिक्ष के अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को संरक्षित करते हैं।

SO(n) का सामान्य उपसमूह है O(n), निर्धारक के कर्नेल (बीजगणित) के रूप में, जो एक समूह समरूपता है जिसकी छवि गुणात्मक समूह है {–1, +1}. इसका तात्पर्य है कि ओर्थोगोनल समूह एक आंतरिक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है SO(n) और पहचान और प्रतिबिंब (ज्यामिति) के साथ गठित कोई उपसमूह।

दो तत्वों वाला समूह {±I} (कहां I पहचान मैट्रिक्स है) एक सामान्य उपसमूह है और यहां तक ​​कि एक विशिष्ट उपसमूह भी है O(n), और अगर n का भी है SO(n). यदि n अजीब है, O(n) के समूहों का आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद है SO(n) और {±I}.

समूह SO(2) एबेलियन समूह है (यह मामला नहीं है SO(n) हरएक के लिए n > 2). इसके परिमित उपसमूह चक्रीय समूह हैं C_k घूर्णी समरूपता का |k-गुना घुमाव, हर सकारात्मक पूर्णांक के लिए k. ये सभी समूह सामान्य उपसमूह हैं O(2) और SO(2).

विहित रूप

के किसी भी तत्व के लिए O(n) एक ऑर्थोगोनल आधार है, जहां इसके मैट्रिक्स का रूप है

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},$

जहां मैट्रिसेस R₁, ..., R_k 2-बाय -2 रोटेशन मैट्रिसेस हैं, जो कि फॉर्म के मैट्रिसेस हैं

${\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}},$

साथ $a^{2}+b^{2}=1.$ यह स्पेक्ट्रल प्रमेय से ईजेनवेल्यूज को पुन: समूहित करके परिणाम देता है जो जटिल संयुग्म हैं, और यह ध्यान में रखते हुए कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के ईगेनवैल्यू के पूर्ण मूल्य सभी 1 के बराबर हैं।

तत्व का है SO(n) यदि और केवल यदि की संख्या सम है –1 विकर्ण पर।

का विशेष मामला n = 3 यूलर के घूर्णन प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो दावा करता है कि प्रत्येक (गैर-पहचान) तत्व SO(3) एक अद्वितीय अक्ष-कोण युग्म के बारे में एक घूर्णन है।

प्रतिबिंब

परावर्तन (गणित) के तत्व हैं O(n) जिसका विहित रूप है

${\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},$

कहां I है (n–1)×(n–1) पहचान मैट्रिक्स, और शून्य पंक्ति या स्तंभ शून्य मैट्रिक्स को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिबिंब एक परिवर्तन है जो अंतरिक्ष को अपनी दर्पण छवि में एक हाइपरप्लेन के संबंध में बदल देता है।

आयाम दो में, घूर्णन और प्रतिबिंब दो आयामों में। अधिक सटीक, कोण का घूर्णन Template:Theta दो प्रतिबिंबों का उत्पाद है जिनकी कुल्हाड़ियों का कोण है Template:Theta / 2.

का हर तत्व O(n) का उत्पाद है n प्रतिबिंब। यह उपरोक्त विहित रूप और आयाम दो के मामले से तुरंत परिणाम देता है।

कार्टन-ड्यूडोने प्रमेय इस परिणाम का सामान्यीकरण है, जो दो से अलग विशेषता के क्षेत्र में एक नॉनडिजेनरेट द्विघात रूप के ऑर्थोगोनल समूह के लिए है।

उत्पत्ति के माध्यम से प्रतिबिंब (map v ↦ −v) के तत्व का उदाहरण है O(n) वह इससे कम का उत्पाद नहीं है n प्रतिबिंब।

गोलों का सममिति समूह

ऑर्थोगोनल समूह O(n) n-sphere| का सममिति समूह है(n − 1)-क्षेत्र (के लिए n = 3, यह केवल गोला है) और गोलाकार समरूपता वाली सभी वस्तुएँ, यदि मूल को केंद्र में चुना गया है।

एक वृत्त का सममिति समूह है O(2). अभिविन्यास-संरक्षण उपसमूह SO(2) सर्कल समूह के लिए आइसोमोर्फिक (वास्तविक झूठ समूह के रूप में) है, जिसे भी जाना जाता है U(1), एक के बराबर निरपेक्ष मान वाली सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह। यह समरूपता सम्मिश्र संख्या भेजती है exp(φ i) = cos(φ) + i sin(φ) पूर्ण मूल्य का1 विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए

${\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.$

उच्च आयाम में, O(n) अधिक जटिल संरचना है (विशेष रूप से, यह अब विनिमेय नहीं है)। की सामयिक संरचनाएं n-क्षेत्र और O(n) दृढ़ता से सहसंबद्ध हैं, और यह सहसंबंध व्यापक रूप से दोनों स्थलीय स्थानों के अध्ययन के लिए उपयोग किया जाता है।

समूह संरचना

समूह O(n) और SO(n) वास्तविक कॉम्पैक्ट स्पेस हैं आयाम के समूह (गणित) n(n − 1)/2. समूह O(n) के साथ दो कनेक्टेड स्पेस है SO(n) आइडेंटिटी कंपोनेंट होने के नाते, यानी आइडेंटिटी मैट्रिक्स वाला कनेक्टेड कंपोनेंट।

बीजगणितीय समूहों के रूप में

ऑर्थोगोनल समूह O(n) मैट्रिसेस के समूह के साथ पहचाना जा सकता है A ऐसा है कि $A^{\mathsf {T}}A=I.$ चूंकि इस समीकरण के दोनों सदस्य सममित मैट्रिक्स हैं, यह प्रदान करता है $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ समीकरण जो एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को संतुष्ट करना चाहिए, और जो सभी गैर-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की प्रविष्टियों से संतुष्ट नहीं हैं।

इससे यह सिद्ध होता है O(n) एक बीजीय समुच्चय है। इसके अलावा, यह साबित किया जा सकता है कि इसका आयाम है

${\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},$ जिसका तात्पर्य है O(n) एक पूर्ण चौराहा है। इसका तात्पर्य यह है कि इसके सभी अप्रासंगिक घटकों का एक ही आयाम है, और इसका कोई एम्बेडेड प्राइम नहीं है।

असल में, O(n) इसके दो अलघुकरणीय घटक होते हैं, जो निर्धारक के चिह्न द्वारा पहचाने जाते हैं (अर्थात det(A) = 1 या det(A) = –1). दोनों एक ही आयाम की बीजीय विविधता के विलक्षण बिंदु हैं n(n – 1) / 2. साथ घटक det(A) = 1 है SO(n).

अधिकतम तोरी और वेइल समूह

कॉम्पैक्ट लाई समूह जी में एक अधिकतम टोरस उन लोगों के बीच एक अधिकतम उपसमूह है जो आइसोमोर्फिक हैं T^k कुछ के लिए k, कहां T = SO(2) मानक एक आयामी टोरस है। में O(2n) और SO(2n), प्रत्येक अधिकतम टोरस के लिए, एक आधार होता है जिस पर टोरस में ब्लॉक मैट्रिक्स होता है#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स|ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिसेस फॉर्म का

${\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},$

जहां प्रत्येक R_j से संबंधित SO(2). में O(2n + 1) और SO(2n + 1), अधिकतम तोरी का एक ही रूप होता है, जो एक पंक्ति और शून्य के एक स्तंभ से घिरा होता है, और 1 विकर्ण पर होता है।

द मैक्सिमल टॉरस # वेइल ग्रुप का SO(2n + 1) अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ एक सामान्य प्राथमिक एबेलियन समूह पी-समूह|2-उपसमूह और एक सममित समूह, जहां प्रत्येक का गैर-तुच्छ तत्व {±1} का कारक {±1}ⁿ के संगत चक्र कारक पर कार्य करता है T × {1} गुणात्मक व्युत्क्रम और सममित समूह द्वारा S_n दोनों पर कार्य करता है {±1}ⁿ और T × {1} कारकों को अनुमति देकर। वेइल समूह के तत्वों को मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है O(2n) × {±1}. S_n }} कारक को 2-बाय -2 ब्लॉकों के साथ ब्लॉक क्रमचय मेट्रिसेस और विकर्ण पर अंतिम 1 द्वारा दर्शाया गया है। वह {±1}ⁿ घटक को 2-बाय -2 ब्लॉक के साथ ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},$

अंतिम घटक के साथ ±1 निर्धारक बनाने के लिए चुना गया 1.

वेइल समूह SO(2n) उपसमूह है $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ उसमें से SO(2n + 1), कहां H_n−1 < {±1}ⁿ कर्नेल (बीजगणित) # उत्पाद समरूपता का समूह समरूपता है {±1}ⁿ → {±1} के द्वारा दिया गया $\left(\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{n}\right)\mapsto \epsilon _{1}\cdots \epsilon _{n}$; वह है, H_n−1 < {±1}ⁿ सम संख्या वाले ऋण चिह्नों वाला उपसमूह है। वेइल समूह SO(2n) में प्रतिनिधित्व किया है SO(2n) मानक इंजेक्शन के तहत प्रीइमेज द्वारा SO(2n) → SO(2n + 1) Weyl समूह के प्रतिनिधियों की SO(2n + 1). विषम संख्या वाले वे आव्यूह ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ ब्लॉक के पास कोई अंतिम शेष नहीं है −1 उनके निर्धारकों को सकारात्मक बनाने के लिए समन्वय करें, और इसलिए इन्हें प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है SO(2n).

टोपोलॉजी

कम आयामी टोपोलॉजी

निम्न-आयामी (वास्तविक) ऑर्थोगोनल समूह परिचित सामयिक स्थान हैं:

• O(1) = S⁰, एक 2 (संख्या)-बिंदु असतत टोपोलॉजी
• SO(1) = {1}
• SO(2) है S¹
• SO(3) है RP³
• SO(4) द्वारा डबल कवर (टोपोलॉजी) है SU(2) × SU(2) = S³ × S³.

मौलिक समूह

बीजगणितीय टोपोलॉजी के संदर्भ में, के लिए n > 2 का मौलिक समूह SO(n, R) चक्रीय समूह है, और स्पिन समूह Spin(n) इसका सार्वभौमिक आवरण है। के लिए n = 2 मौलिक समूह अनंत चक्रीय है और सार्वभौमिक आवरण वास्तविक रेखा से मेल खाता है (समूह Spin(2) अद्वितीय कनेक्टेड डबल कवर (टोपोलॉजी) है|2-फोल्ड कवर)।

होमोटॉपी समूह

आम तौर पर, होमोटॉपी समूह π_k(O) वास्तविक ऑर्थोगोनल समूह के गोले के होमोटोपी समूहों से संबंधित हैं, और इस प्रकार गणना करना सामान्य रूप से कठिन है। हालांकि, कोई भी स्थिर ऑर्थोगोनल ग्रुप (उर्फ अनंत ऑर्थोगोनल ग्रुप) के होमोटॉपी समूहों की गणना कर सकता है, जो समावेशन के अनुक्रम की प्रत्यक्ष सीमा के रूप में परिभाषित है:

$\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)$

चूंकि समावेशन सभी बंद हैं, इसलिए कॉफिब्रेशन, इसे एक संघ के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। दूसरी ओर, Sⁿ के लिए एक सजातीय स्थान है O(n + 1), और एक में निम्न फाइबर बंडल है:

$\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},$

जिसे ऑर्थोगोनल समूह के रूप में समझा जा सकता है O(n + 1) इकाई क्षेत्र पर सकर्मक क्रिया करता है Sⁿ, और एक बिंदु का स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत) (एक इकाई वेक्टर के रूप में माना जाता है) ऑर्थोगोनल पूरक का ऑर्थोगोनल समूह है, जो एक ऑर्थोगोनल समूह एक आयाम कम है। इस प्रकार प्राकृतिक समावेशन O(n) → O(n + 1) एन-कनेक्टेड है|(n − 1)-कनेक्टेड, इसलिए होमोटोपी समूह स्थिर हो जाते हैं, और π_k(O(n + 1)) = π_k(O(n)) के लिए n > k + 1: इस प्रकार स्थिर स्थान के होमोटॉपी समूह अस्थिर स्थानों के निचले होमोटॉपी समूहों के बराबर होते हैं।

बॉटल आवधिकता से हम प्राप्त करते हैं Ω⁸O ≅ O, इसलिए होमोटोपी समूह O 8 गुना आवधिक हैं, अर्थ π_{k + 8}(O) = π_k(O), और किसी को केवल निम्न 8 होमोटॉपी समूहों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता है:

${\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}$

KO-सिद्धांत से संबंध

क्लचिंग निर्माण के माध्यम से, स्थिर स्थान के होमोटॉपी समूह O 1 के आयाम बदलाव के साथ, गोले (समरूपता तक) पर स्थिर वेक्टर बंडलों के साथ पहचाने जाते हैं: π_k(O) = π_{k + 1}(BO). स्थापना KO = BO × Z = Ω⁻¹O × Z (बनाने के लिए π₀ आवधिकता में फिट), एक प्राप्त करता है:

${\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}$

निम्न-आयामी समूह

निम्न-आयामी समूहों के ठोस विवरणों का उपयोग करके पहले कुछ होमोटॉपी समूहों की गणना की जा सकती है।

• π₀(O) = π₀(O(1)) = Z/2Z, अभिविन्यास (गणित) से-संरक्षण/उलटना (यह वर्ग जीवित रहता है O(2) और इसलिए स्थिर रूप से)
• π₁(O) = π₁(SO(3)) = Z/2Z, जो स्पिन समूह से आता है SO(3) = RP³ = S³/(Z/2Z).
• π₂(O) = π₂(SO(3)) = 0, जो इस पर निर्भर करता है π₂(SO(4)); यह उत्तरार्द्ध इस प्रकार गायब हो जाता है।

झूठ समूह

झूठ बोलने वाले समूहों के बारे में सामान्य तथ्यों से, π₂(G) हमेशा गायब हो जाता है, और π₃(G) मुक्त है (मुक्त एबेलियन समूह)।

वेक्टर बंडल

वेक्टर बंडल के दृष्टिकोण से, π₀(KO) वेक्टर बंडल खत्म हो गया है S⁰, जो दो अंक है। इस प्रकार प्रत्येक बिंदु पर, बंडल तुच्छ है, और बंडल की गैर-तुच्छता दो बिंदुओं पर वेक्टर रिक्त स्थान के आयामों के बीच का अंतर है, इसलिए π₀(KO) = Z हैमल आयाम है।

लूप स्पेस

बॉटल आवधिकता में लूप रिक्त स्थान के ठोस विवरण का उपयोग करके, कोई भी उच्च होमोटोपियों की व्याख्या कर सकता है O निचले क्रम के सरल-से-विश्लेषण समरूपता के संदर्भ में। π का प्रयोग करना₀, O और O/U दो घटक हैं, KO = BO × Z और KSp = BSp × Z गिनती के कई घटक हैं, और बाकी जुड़े हुए हैं।

होमोटॉपी समूहों की व्याख्या

संक्षेप में:

• π₀(KO) = Z हामेल आयाम के बारे में है
• π₁(KO) = Z/2Z अभिविन्यास (गणित) के बारे में है
• π₂(KO) = Z/2Z स्पिन समूह के बारे में है
• π₄(KO) = Z टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी के बारे में है।

होने देना R चार विभाजन बीजगणितों में से कोई भी हो R, C, H, O, और जाने L_R प्रोजेक्टिव लाइन पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल बनें RP¹, और [L_R] के-सिद्धांत में इसकी कक्षा। नोट किया कि RP¹ = S¹, CP¹ = S², HP¹ = S⁴, OP¹ = S⁸, ये सदिश बंडलों को संबंधित क्षेत्रों पर उत्पन्न करते हैं, और

• π₁(KO) से उत्पन्न होता है [L_R]
• π₂(KO) से उत्पन्न होता है [L_C]
• π₄(KO) से उत्पन्न होता है [L_H]
• π₈(KO) से उत्पन्न होता है [L_O]

सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति के दृष्टिकोण से, π₀(KO) ≅ π₈(KO) = Z मास्लोव सूचकांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है, इसे मौलिक समूह के रूप में सोच कर π₁(U/O) स्थिर Lagrangian Grassmannian के रूप में U/O ≅ Ω⁷(KO), इसलिए π₁(U/O) = π₁₊₇(KO).

व्हाइटहेड टावर

ऑर्थोगोनल समूह व्हाइटहेड टावर का लंगर डालता है:

$\ldots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)$

जो बढ़ते क्रम के होमोटॉपी समूहों को क्रमिक रूप से हटाकर (मार कर) प्राप्त किया जाता है। यह होमोटॉपी समूह को हटाए जाने के लिए एलेनबर्ग-मैकलेन स्थान से शुरू होने वाले छोटे सटीक अनुक्रमों का निर्माण करके किया जाता है। टॉवर में पहली कुछ प्रविष्टियाँ स्पिन समूह और स्ट्रिंग समूह हैं, और फाइवब्रेन समूह से पहले हैं। मारे गए होमोटॉपी समूह बारी-बारी से होते हैं π₀(ओ) ओ से एसओ प्राप्त करने के लिए, π₁(ओ) एसओ से स्पिन प्राप्त करने के लिए, π₃(ओ) स्पिन से स्ट्रिंग प्राप्त करने के लिए, और फिर π₇(ओ) और इतने पर उच्च क्रम की शाखाएँ प्राप्त करने के लिए।

वास्तविक से अधिक अनिश्चित द्विघात रूप

Main article: Indefinite orthogonal group

वास्तविक संख्याओं पर, अविकृत द्विघात रूपों को सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो यह दावा करता है कि, आयाम के सदिश स्थान पर n, इस तरह के एक योग के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है p वर्ग और का योग q चौकों, के साथ p + q = n. दूसरे शब्दों में, एक आधार है जिस पर द्विघात रूप का मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है p प्रविष्टियों के बराबर 1, और q प्रविष्टियों के बराबर –1. जोड़ा (p, q) जड़ता कहा जाता है, द्विघात रूप का एक अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि यह विकर्ण मैट्रिक्स की गणना के तरीके पर निर्भर नहीं करता है।

द्विघात रूप का ऑर्थोगोनल समूह केवल जड़ता पर निर्भर करता है, और इस प्रकार इसे आम तौर पर निरूपित किया जाता है O(p, q). इसके अलावा, द्विघात रूप और इसके विपरीत के रूप में एक ही ऑर्थोगोनल समूह है, एक है O(p, q) = O(q, p).

मानक ऑर्थोगोनल समूह है O(n) = O(n, 0) = O(0, n). इसलिए, इस खंड के शेष भाग में, यह माना जाता है कि न तो p और न q शून्य है।

निर्धारक 1 के मेट्रिसेस का उपसमूह O(p, q) निरूपित किया जाता है SO(p, q). समूह O(p, q) चार जुड़े घटक हैं, इस पर निर्भर करते हुए कि क्या कोई तत्व दो अधिकतम उप-स्थानों में से किसी एक पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है जहां द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित या नकारात्मक निश्चित है। पहचान का घटक, जिसका तत्व दोनों उप-स्थानों पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है, को निरूपित किया जाता है SO⁺(p, q).

समूह O(3, 1) लोरेंत्ज़ समूह है जो सापेक्षता सिद्धांत में मौलिक है। यहां ही 3 अंतरिक्ष निर्देशांक से मेल खाती है, और 1 समय समन्वय के अनुरूप है।

जटिल द्विघात रूपों का

मैदान के ऊपर C सम्मिश्र संख्याओं का, प्रत्येक गैर-पतित द्विघात रूप में n चर के बराबर है $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$. इस प्रकार, समरूपता तक, आयाम का केवल एक गैर-पतित जटिल द्विघात स्थान है n, और एक संबद्ध ऑर्थोगोनल समूह, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है O(n, C). यह जटिल ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का समूह है, जटिल मेट्रिसेस जिनके गुणनफल उनके स्थानान्तरण के साथ पहचान मैट्रिक्स है।

जैसा कि वास्तविक मामले में, O(n, C) दो जुड़े हुए घटक हैं। पहचान के घटक में निर्धारक के सभी मैट्रिक्स होते हैं 1 में O(n, C); यह निरूपित है SO(n, C).

समूह O(n, C) और SO(n, C) आयाम के जटिल झूठ समूह हैं n(n − 1)/2 ऊपर C (आयाम खत्म R दो गुना है)। के लिए n ≥ 2, ये समूह गैर-कॉम्पैक्ट हैं। जैसा कि वास्तविक मामले में, SO(n, C) केवल जुड़ा नहीं है: के लिए n > 2, का मौलिक समूह SO(n, C) चक्रीय समूह है, जबकि का मौलिक समूह SO(2, C) है Z.

परिमित क्षेत्रों पर

=== दो === से अलग विशेषता दो से भिन्न विशेषताओं के क्षेत्र में, दो द्विघात रूप समतुल्य होते हैं यदि उनके आव्यूह सर्वांगसम आव्यूह होते हैं, अर्थात यदि आधार का परिवर्तन पहले रूप के आव्यूह को दूसरे रूप के आव्यूह में बदल देता है। दो समतुल्य द्विघात रूपों में स्पष्ट रूप से एक ही ओर्थोगोनल समूह है।

गैर-पतित द्विघात रूपों को दो से अलग विशेषता के परिमित क्षेत्र में पूरी तरह से सर्वांगसमता वर्गों में वर्गीकृत किया जाता है, और इस वर्गीकरण से यह परिणाम निकलता है कि विषम आयाम में केवल एक ओर्थोगोनल समूह है और दो समान आयाम में हैं।

अधिक सटीक रूप से, विट के अपघटन प्रमेय का दावा है कि (दो से अलग विशेषता में) एक गैर-पतित द्विघात रूप से सुसज्जित प्रत्येक सदिश स्थान Q जोड़ीदार ऑर्थोगोनल उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है

$V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,$

जहां प्रत्येक L_i एक अतिशयोक्तिपूर्ण विमान (द्विघात रूप) है (जो कि एक आधार है जैसे कि प्रतिबंध का मैट्रिक्स Q को L_i का रूप है $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$), और का प्रतिबंध Q को W अनिसोट्रोपिक द्विघात रूप है (अर्थात, Q(w) ≠ 0 प्रत्येक अशून्य के लिए w में W).

चेवेली-चेतावनी प्रमेय का दावा है कि, एक परिमित क्षेत्र पर, का आयाम W अधिकतम दो है।

यदि का आयाम V विषम है, का आयाम W इस प्रकार एक के बराबर है, और इसका मैट्रिक्स या तो सर्वांगसम है $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ या इसमें $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ कहां 𝜙 एक गैर वर्ग अदिश है। इसका परिणाम यह है कि केवल एक ओर्थोगोनल समूह है जिसे निरूपित किया गया है O(2n + 1, q), कहां q परिमित क्षेत्र (एक विषम प्रधान की शक्ति) के तत्वों की संख्या है। यदि का आयाम W दो और है –1 जमीनी क्षेत्र में एक वर्ग नहीं है (अर्थात, यदि इसके तत्वों की संख्या q 3 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप है), के प्रतिबंध का मैट्रिक्स Q को W या तो के अनुरूप है I या –I, कहां I 2×2 पहचान मैट्रिक्स है। यदि का आयाम W दो और है –1 जमीनी क्षेत्र में एक वर्ग है (अर्थात, यदि q 1 के अनुरूप है, मॉड्यूल 4) के प्रतिबंध का मैट्रिक्स Q को W के अनुरूप है $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},$ 𝜙 कोई भी गैर-वर्ग अदिश राशि है।

इसका तात्पर्य है कि यदि का आयाम V सम है, केवल दो ऑर्थोगोनल समूह हैं, यह निर्भर करता है कि क्या का आयाम है W शून्य या दो। उन्हें क्रमशः निरूपित किया जाता है O⁺(2n, q) और O⁻(2n, q).

ऑर्थोगोनल समूह O^ϵ(2, q) आदेश का एक डायहेड्रल समूह है 2(q − ϵ), कहां ϵ = ±.

Proof

For studying the orthogonal group of O^ϵ(2, q), one can suppose that the matrix of the quadratic form is $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ because, given a quadratic form, there is a basis where its matrix is diagonalizable. A matrix $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ belongs to the orthogonal group if $AQA^{\text{T}}=Q,$ that is, a² – ωb² = 1, ac – ωbd = 0, and c² – ωd² = –ω. As a and b cannot be both zero (because of the first equation), the second equation implies the existence of ϵ in F_q, ऐसा है कि c = ϵωb और d = ϵa. तीसरे समीकरण में इन मूल्यों की रिपोर्ट करना, और पहले समीकरण का उपयोग करना, वह प्राप्त करता है ϵ² = 1, और इस प्रकार ऑर्थोगोनल समूह में मेट्रिसेस होते हैं

${\begin{bmatrix}a&b\\\epsilon \omega b&\epsilon a\end{bmatrix}},$

कहां a² – ωb² = 1 और ϵ = ±1. इसके अलावा, मैट्रिक्स का निर्धारक है ϵ.

ओर्थोगोनल समूह का और अधिक अध्ययन करने के लिए, एक वर्गमूल का परिचय देना सुविधाजनक है α का ω. यह वर्गमूल का है F_q यदि ओर्थोगोनल समूह है O⁺(2, q), और करने के लिए F_q² अन्यथा। स्थापना x = a + αb, और y = a – αb, किसी के पास

$xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.$

यदि $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ और $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$ तब ऑर्थोगोनल समूह में निर्धारक एक के दो मैट्रिसेस हैं

$A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.$

यह एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ साथ a = a₁a₂ + ωb₁b₂, और b = a₁b₂ + b₁a₂. इस प्रकार

$a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).$

यह इस प्रकार है कि मानचित्र $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ निर्धारक एक के गुणात्मक समूह में ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के समूह का एक समरूपता है F_q².

के मामले में O⁺(2n, q), छवि का गुणात्मक समूह है F_q, जो क्रम का चक्रीय समूह है q.

के मामले में O^–(2n, q), उपरोक्त x और y संयुग्मी तत्व (क्षेत्र सिद्धांत) हैं, और इसलिए फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा एक दूसरे की छवि हैं। इसका मतलब यह था $y=x^{-1}=x^{q},$ और इस तरह $x^{q+1}=1.$ ऐसे हर के लिए x कोई संबंधित ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का पुनर्निर्माण कर सकता है। यह इस प्रकार है कि मानचित्र $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ निर्धारक 1 के ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस से समूह के समूह के लिए एक समूह समरूपता है (q + 1)-एकता की जड़ें। यह समूह क्रम का चक्रीय समूह है q + 1 जिसमें की शक्तियां शामिल हैं $g^{q-1},$ कहां g का आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र) है F_q²,

सबूत को पूरा करने के लिए, यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि समूह सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस एबेलियन नहीं है, और समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है {1, –1} और निर्धारक एक के ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का समूह।

इस प्रमाण की वास्तविक मामले से तुलना रोशन करने वाली हो सकती है।

यहां दो समूह समरूपताएं शामिल हैं:

${\begin{aligned}\mathbb {Z} /(q+1)\mathbb {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}$

कहां g का आदिम तत्व है F_q² और T मानक एक के तत्व का गुणक समूह है F_q² ;

${\begin{aligned}\mathbb {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

साथ $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ और $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ वास्तविक मामले में, संबंधित समरूपताएं हैं:

${\begin{aligned}\mathbb {R} /2\pi \mathbb {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}$

कहां C आदर्श एक की सम्मिश्र संख्याओं का वृत्त है;

${\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}$

साथ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ और $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

जब विशेषता दो नहीं होती है, तो ऑर्थोगोनल समूहों का क्रम होता है

$\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).$

विशेषता दो में, सूत्र समान हैं, सिवाय इसके कि कारक 2 का $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ हटा दिया जाना चाहिए।

डिक्सन अपरिवर्तनीय

ऑर्थोगोनल समूहों के लिए, डिक्सन इनवेरिएंट ऑर्थोगोनल समूह से भागफल समूह के लिए एक समरूपता है Z/2Z (पूर्णांक मॉड्यूल 2), मान लेना 0 मामले में तत्व एक समान संख्या में प्रतिबिंबों का उत्पाद है, और 1 का मान अन्यथा। बीजगणितीय रूप से, डिक्सन इनवेरिएंट को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है D(f) = rank(I − f) modulo 2, कहां I पहचान है (Taylor 1992, Theorem 11.43). उन क्षेत्रों पर जो विशेषता (बीजगणित) 2 के नहीं हैं, यह निर्धारक के बराबर है: निर्धारक डिक्सन अपरिवर्तनीय की शक्ति के लिए -1 है। विशेषता 2 के क्षेत्र में, निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए डिक्सन अपरिवर्तनीय निर्धारक की तुलना में अधिक जानकारी देता है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह डिक्सन इनवेरिएंट का कर्नेल (मैट्रिक्स) हैऔर आमतौर पर इंडेक्स 2 इंच होता है O(n, F ). जब की विशेषता F 2 नहीं है, डिक्सन इनवेरिएंट है 0 निर्धारक जब भी हो 1. इस प्रकार जब विशेषता 2 नहीं है, SO(n, F ) के तत्वों के रूप में परिभाषित किया गया है O(n, F ) निर्धारक के साथ 1. प्रत्येक तत्व में O(n, F ) निर्धारक है ±1. इस प्रकार विशेषता 2 में, निर्धारक हमेशा होता है 1.

डिक्सन इनवेरिएंट को क्लिफोर्ड समूहों और पिन समूहों के लिए भी इसी तरह (सभी आयामों में) परिभाषित किया जा सकता है।

=== विशेषता 2 === के ऑर्थोगोनल समूह विशेषता वाले क्षेत्रों में 2 ऑर्थोगोनल समूह अक्सर विशेष व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, जिनमें से कुछ इस खंड में सूचीबद्ध हैं। (पूर्व में इन समूहों को हाइपोबेलियन समूह के रूप में जाना जाता था, लेकिन इस शब्द का अब उपयोग नहीं किया जाता है।)

• किसी भी क्षेत्र पर कोई भी ऑर्थोगोनल समूह प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है, एक अद्वितीय उदाहरण को छोड़कर जहां वेक्टर स्थान 2 तत्वों के साथ क्षेत्र पर 4-आयामी होता है और विट इंडेक्स 2 होता है। विशेषता दो में एक प्रतिबिंब की थोड़ी अलग परिभाषा है। विशेषता दो में, वेक्टर के लिए प्रतिबिंब ऑर्थोगोनल u एक वेक्टर लेता है v को v + B(v, u)/Q(u) · u कहां B द्विरेखीय रूप है और Q ऑर्थोगोनल ज्यामिति से जुड़ा द्विघात रूप है। इसकी तुलना विषम विशेषता या विशेषता शून्य के गृहस्थ प्रतिबिंब से करें, जो लेता है v को v − 2·B(v, u)/Q(u) · u.
• ऑर्थोगोनल समूह के एक समूह के केंद्र में आमतौर पर 2 के बजाय विशेषता 2 में क्रम 1 होता है, क्योंकि I = −I.
• विषम आयामों में 2n + 1 विशेषता 2 में, संपूर्ण क्षेत्रों पर ऑर्थोगोनल समूह आयाम में सहानुभूतिपूर्ण समूहों के समान हैं 2n. वास्तव में सममित रूप विशेषता 2 में वैकल्पिक है, और आयाम विषम होने के कारण इसमें आयाम 1 का एक कर्नेल होना चाहिए, और इस कर्नेल द्वारा भागफल आयाम का एक सहानुभूतिपूर्ण स्थान है 2n, ऑर्थोगोनल समूह द्वारा कार्य किया गया।
• विशेषता 2 में भी आयामों में ऑर्थोगोनल समूह सहानुभूति समूह का एक उपसमूह है, क्योंकि द्विघात रूप का सममित द्विरेखीय रूप भी एक वैकल्पिक रूप है।

स्पिनर मानदंड

स्पिनर मानदंड एक क्षेत्र के ऊपर एक ऑर्थोगोनल समूह से एक समरूपता है F भागफल समूह के लिए F^×/(F^×)² (क्षेत्र का गुणक समूह F वर्ग (बीजगणित) तत्वों द्वारा गुणा तक), जो मानक के वेक्टर में प्रतिबिंब लेता है n की छवि के लिए n में F^×/(F^×)². वास्तविक से अधिक सामान्य ऑर्थोगोनल समूह के लिए, यह तुच्छ है, लेकिन यह अक्सर अन्य क्षेत्रों पर गैर-तुच्छ होता है, या वास्तविक पर एक द्विघात रूप के ऑर्थोगोनल समूह के लिए जो सकारात्मक निश्चित नहीं है।

गैलोइस कोहोलॉजी और ऑर्थोगोनल समूह

बीजगणितीय समूहों के गाल्वा कोहोलॉजी के सिद्धांत में, कुछ और दृष्टिकोण पेश किए गए हैं। उनका व्याख्यात्मक मूल्य है, विशेष रूप से द्विघात रूपों के सिद्धांत के संबंध में; लेकिन जहां तक ​​परिघटना की खोज का संबंध है, ज्यादातर पोस्ट हॉक थे। पहला बिंदु यह है कि एक क्षेत्र के ऊपर द्विघात रूपों को एक गाल्वा के रूप में पहचाना जा सकता है H¹, या एक ऑर्थोगोनल समूह के मुड़ रूप (टॉर्सर्स)। एक बीजगणितीय समूह के रूप में, एक ओर्थोगोनल समूह सामान्य रूप से न तो जुड़ा हुआ है और न ही सरल रूप से जुड़ा हुआ है; बाद वाला बिंदु स्पिन घटना में लाता है, जबकि पूर्व निर्धारक से संबंधित है।

स्पिनर मानदंड के 'स्पिन' नाम को स्पिन समूह (अधिक सटीक रूप से एक पिन समूह) से जोड़कर समझाया जा सकता है। यह अब गैल्वा कोहोलॉजी द्वारा जल्दी से समझाया जा सकता है (हालांकि क्लिफर्ड बीजगणित के अधिक प्रत्यक्ष उपयोग द्वारा शब्द की शुरूआत को पोस्टडेट करता है)। ऑर्थोगोनल समूह का स्पिन आवरण बीजगणितीय समूहों का एक छोटा सटीक अनुक्रम प्रदान करता है।

$1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1$

यहां μ₂ एकता की जड़ों की समूह योजना है; विशेषता के क्षेत्र में 2 नहीं, यह मोटे तौर पर दो-तत्व समूह के समान है, जिसमें तुच्छ गैलोज़ क्रिया है। कनेक्टिंग होमोमोर्फिज्म से H⁰(O_V), जो केवल समूह है O_V(F) का F-मूल्यवान अंक, को H¹(μ₂) अनिवार्य रूप से स्पिनर मानदंड है, क्योंकि H¹(μ₂) फ़ील्ड मॉडुलो वर्गों के गुणात्मक समूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

से जोड़ने वाली समरूपता भी है H¹ ओर्थोगोनल समूह की, को H² स्पिन कवरिंग के कर्नेल का। कोहोलॉजी गैर-अबेलियन है, इसलिए कम से कम परंपरागत परिभाषाओं के साथ, जहां तक ​​​​हम जा सकते हैं।

झूठ बीजगणित

झूठ समूहों के अनुरूप झूठ बीजगणित O(n, F ) और SO(n, F ) तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित होता है n × n मेट्रिसेस, लाई ब्रैकेट के साथ [ , ] कम्यूटेटर द्वारा दिया गया। एक झूठ बीजगणित दोनों समूहों से मेल खाता है। इसे अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathfrak {o}}(n,F)$ या ${\mathfrak {so}}(n,F)$, और ऑर्थोगोनल लाइ बीजगणित या विशेष ऑर्थोगोनल लाइ बीजगणित कहा जाता है। वास्तविक संख्याओं पर, ये अलग-अलग बीजगणित हैं n अर्ध-सरल लाई बीजगणित के चार परिवारों में से दो के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं: विषम आयाम में B_k, कहां n = 2k + 1, जबकि समान आयाम में D_r, कहां n = 2r.

समूह के बाद से SO(n) केवल जुड़ा नहीं है, ओर्थोगोनल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में ऑर्थोगोनल समूहों के सामान्य अभ्यावेदन के अनुरूप दोनों प्रतिनिधित्व शामिल हैं, और ऑर्थोगोनल समूहों के प्रक्षेपी अभ्यावेदन के अनुरूप अभ्यावेदन। (प्रोजेक्टिव अभ्यावेदन SO(n) सार्वभौमिक कवर, स्पिन समूह स्पिन (एन) के केवल रैखिक प्रतिनिधित्व हैं। बाद वाले तथाकथित स्पिन प्रतिनिधित्व हैं, जो भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं।

अधिक आम तौर पर, एक सदिश स्थान दिया जाता है $V$ (2 के बराबर विशेषता वाले क्षेत्र में) एक गैर-डीजेनरेट सममित द्विरेखीय रूप के साथ $(\cdot ,\cdot )$, विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित में ट्रेसफ्री एंडोमोर्फिज्म होते हैं $\phi$ जो इस रूप के लिए तिरछा-सममित हैं ($(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$). विशेषता 2 के एक क्षेत्र पर हम इसके बजाय वैकल्पिक एंडोमोर्फिज्म पर विचार करते हैं। ठोस रूप से हम इनकी तुलना प्रत्यावर्ती टेंसरों से कर सकते हैं $\Lambda ^{2}V$. पत्राचार द्वारा दिया गया है:

$v\wedge w\mapsto (v,\cdot )w-(w,\cdot )v$

यह विवरण अनिश्चित विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित के लिए समान रूप से लागू होता है ${\mathfrak {so}}(p,q)$ हस्ताक्षर के साथ सममित द्विरेखीय रूपों के लिए $(p,q)$.

वास्तविक संख्याओं पर, इस लक्षण वर्णन का उपयोग वेक्टर फ़ील्ड (स्वाभाविक रूप से 2-वेक्टर) के कर्ल (गणित) को एक अनंत रोटेशन या कर्ल के रूप में करने के लिए किया जाता है, इसलिए नाम।

संबंधित समूह

ऑर्थोगोनल समूहों और विशेष ऑर्थोगोनल समूहों में कई महत्वपूर्ण उपसमूह, सुपरग्रुप, भागफल समूह और कवरिंग समूह होते हैं। ये नीचे सूचीबद्ध हैं।

समावेशन O(n) ⊂ U(n) ⊂ USp(2n) और USp(n) ⊂ U(n) ⊂ O(2n) बोतल आवधिकता प्रमेय # लूप रिक्त स्थान के ज्यामितीय मॉडल में उपयोग किए गए 8 समावेशन के अनुक्रम का हिस्सा हैं, और संबंधित भागफल रिक्त स्थान स्वतंत्र रुचि के सममित स्थान हैं - उदाहरण के लिए, U(n)/O(n) Lagrangian Grassmannian है।

झूठ उपसमूह

भौतिकी में, विशेष रूप से कलुजा-क्लेन संघनन के क्षेत्रों में, ऑर्थोगोनल समूह के उपसमूहों का पता लगाना महत्वपूर्ण है। मुख्य हैं:

$\mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)$ - अक्ष को सुरक्षित रखें

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)$ – U(n) वे हैं जो एक संगत जटिल संरचना या एक संगत सहानुभूतिपूर्ण संरचना को संरक्षित करते हैं - एकात्मक समूह # 2-आउट-ऑफ-3 संपत्ति देखें। 2-आउट-ऑफ-3 संपत्ति; SU(n) एक जटिल अभिविन्यास भी रखता है।

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)$

$\mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}$

लेट सुपरग्रुप्स

ऑर्थोगोनल समूह O(n) विभिन्न झूठ समूहों का एक महत्वपूर्ण उपसमूह भी है:

${\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}$

अनुरूप समूह

Main article: Conformal group

आइसोमेट्री होने के नाते, वास्तविक ऑर्थोगोनल परिवर्तन कोणों को संरक्षित करते हैं, और इस प्रकार अनुरूप मानचित्र होते हैं, हालांकि सभी अनुरूप रैखिक परिवर्तन ऑर्थोगोनल नहीं होते हैं। शास्त्रीय शब्दों में यह सर्वांगसमता (ज्यामिति) और समानता (ज्यामिति) के बीच का अंतर है, जैसा कि SSS (साइड-साइड-साइड) सर्वांगसमता (ज्यामिति)#त्रिभुजों की सर्वांगसमता और AAA (कोण-कोण-कोण) समरूप त्रिभुजों के उदाहरण के रूप में है। के अनुरूप रैखिक मानचित्रों का समूह Rⁿ निरूपित किया जाता है CO(n) अनुरूप ऑर्थोगोनल समूह के लिए, और होमोथेटिक परिवर्तन के समूह के साथ ऑर्थोगोनल समूह के उत्पाद शामिल हैं। यदि n विषम है, ये दो उपसमूह प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, और वे समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद हैं: CO(2k + 1) = O(2k + 1) × R^∗, कहां R^∗ = R∖{0} वास्तविक गुणात्मक समूह है, जबकि यदि n सम है, ये उपसमूह एक-दूसरे को काटते हैं ±1, तो यह प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है, लेकिन यह सकारात्मक स्केलर द्वारा फैलाव के उपसमूह के साथ प्रत्यक्ष उत्पाद है: CO(2k) = O(2k) × R⁺.

इसी प्रकार कोई परिभाषित कर सकता है CSO(n); ध्यान दें कि यह हमेशा होता है: CSO(n) = CO(n) ∩ GL⁺(n) = SO(n) × R⁺.

असतत उपसमूह

जैसा कि ऑर्थोगोनल समूह कॉम्पैक्ट है, असतत उपसमूह परिमित उपसमूहों के बराबर हैं। इन उपसमूहों को बिंदु समूहों के रूप में जाना जाता है और इन्हें बहुपदों के समरूपता समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है। उदाहरणों का एक बहुत ही महत्वपूर्ण वर्ग परिमित कॉक्सेटर समूह है, जिसमें नियमित पॉलीटोप्स के समरूपता समूह शामिल हैं।

आयाम 3 का विशेष रूप से अध्ययन किया गया है - तीन आयामों में बिंदु समूह, पॉलीहेड्रल समूह और गोलाकार समरूपता समूहों की सूची देखें। 2 आयामों में, परिमित समूह या तो चक्रीय या डायहेड्रल हैं - बिंदु समूहों को दो आयामों में देखें।

अन्य परिमित उपसमूहों में शामिल हैं:

• क्रमचय मेट्रिसेस (कॉक्सेटर समूह A_n)
• हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स (कॉक्सेटर समूह B_n); पूर्णांक मैट्रिक्स के साथ ओर्थोगोनल समूह के प्रतिच्छेदन के बराबर भी है।

आच्छादन और भागफल समूह

ऑर्थोगोनल समूह न तो केवल जुड़ा हुआ है और न ही केंद्रहीन है, और इस प्रकार क्रमशः एक कवरिंग समूह और एक भागफल समूह दोनों हैं:

• दो कवरिंग पिन समूह, Pin₊(n) → O(n) और Pin₋(n) → O(n),
• भागफल अनुमानित ओर्थोगोनल समूह, O(n) → PO(n).

ये सभी 2-टू-1 कवर हैं।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह के लिए, संबंधित समूह हैं:

• स्पिन समूह, Spin(n) → SO(n),
• प्रोजेक्टिव स्पेशल ऑर्थोगोनल ग्रुप, SO(n) → PSO(n).

स्पिन 2-टू-1 कवर है, जबकि सम आयाम में, PSO(2k) 2-टू-1 कवर है, और विषम आयाम में है PSO(2k + 1) 1-टू-1 कवर है; यानी, आइसोमॉर्फिक टू SO(2k + 1). ये समूह, Spin(n), SO(n), और PSO(n) कॉम्पैक्ट विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित के झूठ समूह रूप हैं, ${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )$ - स्पिन सरल रूप से जुड़ा हुआ रूप है, जबकि PSO केंद्र रहित रूप है, और SO सामान्य रूप से नहीं है। आयाम 3 और ऊपर में ये आवरण और भागफल हैं, जबकि आयाम 2 और नीचे कुछ हद तक पतित हैं; विवरण के लिए विशिष्ट लेख देखें।

प्रिंसिपल सजातीय स्थान: स्टिफ़ेल मैनिफोल्ड

Main article: Stiefel manifold

ऑर्थोगोनल समूह के लिए प्रमुख सजातीय स्थान O(n) स्टिफेल मैनिफोल्ड है V_n(Rⁿ) ऑर्थोनॉर्मल बेसिस (ऑर्थोनॉर्मल सी-फ्रेम)।n-फ्रेम)।

दूसरे शब्दों में, ऑर्थोनॉर्मल बेस का स्थान ऑर्थोगोनल समूह की तरह है, लेकिन बेस पॉइंट की पसंद के बिना: एक ऑर्थोगोनल स्पेस दिया गया है, ऑर्थोनॉर्मल आधार का कोई प्राकृतिक विकल्प नहीं है, लेकिन एक बार एक दिए जाने के बाद, एक-से-एक होता है -बेस और ऑर्थोगोनल समूह के बीच एक पत्राचार। ठोस रूप से, एक रेखीय नक्शा निर्धारित किया जाता है कि वह आधार कहाँ भेजता है: जिस तरह एक उलटा नक्शा किसी अन्य आधार पर कोई भी आधार ले सकता है, एक ओर्थोगोनल नक्शा किसी अन्य ऑर्थोगोनल आधार पर किसी भी ओर्थोगोनल आधार को ले सकता है।

अन्य स्टिफ़ेल कई गुना V_k(Rⁿ) के लिए k < n अपूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार (ऑर्थोनॉर्मल k-फ्रेम) अभी भी ऑर्थोगोनल समूह के लिए सजातीय स्थान हैं, लेकिन प्रमुख सजातीय स्थान नहीं हैं: कोई भी k-फ्रेम को किसी अन्य पर ले जाया जा सकता है k-फ़्रेम एक ऑर्थोगोनल मानचित्र द्वारा, लेकिन यह मानचित्र विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है।

यह भी देखें

विशिष्ट परिवर्तन

• घूर्णन और प्रतिबिंबों का समन्वय करें
• उत्पत्ति के माध्यम से प्रतिबिंब

विशिष्ट समूह

• घूर्णन समूह, परिक्रमण समूह SO(3)|SO(3, R)
• एसओ(8)

संबंधित समूह

• अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह
• एकात्मक समूह
• सहानुभूति समूह

समूहों की सूची

• परिमित सरल समूहों की सूची
• साधारण झूठ बोलने वाले समूहों की सूची

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

• शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व
• ब्राउर बीजगणित

संदर्भ

• Cassels, J.W.S. (1978), Rational Quadratic Forms, London Mathematical Society Monographs, vol. 13, Academic Press, ISBN 0-12-163260-1, Zbl 0395.10029
• Grove, Larry C. (2002), Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Taylor, Donald E. (1992), The Geometry of the Classical Groups, Sigma Series in Pure Mathematics, vol. 9, Berlin: Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-009-9, MR 1189139, Zbl 0767.20001

बाहरी कड़ियाँ

• "Orthogonal group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
• John Baez on Octonions
• (in Italian) n-dimensional Special Orthogonal Group parametrization