सजातीय कार्य

For homogeneous linear maps, see Graded vector space § Homomorphisms.

गणित में, एक सजातीय फ़ंक्शन कई चरों का एक फ़ंक्शन होता है, जो निम्नलिखित है: यदि फ़ंक्शन के प्रत्येक तर्क को एक ही स्केलर (गणित) से गुणा किया जाता है, तो फ़ंक्शन का मान इस स्केलर की कुछ शक्ति से गुणा किया जाता है; शक्ति को समरूपता की डिग्री, या बस डिग्री कहा जाता है। अर्थात यदि k एक पूर्णांक है, एक फलन है f का n चर डिग्री के सजातीय हैं k अगर

$f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

हरएक के लिए $x_{1},\ldots ,x_{n},$ और $s\neq 0.$ उदाहरण के लिए, डिग्री का एक सजातीय बहुपद k डिग्री के एक सजातीय कार्य को परिभाषित करता है k.

उपरोक्त परिभाषा उन फ़ंक्शंस तक फैली हुई है जिनके फ़ंक्शन का डोमेन और कोडोमेन एक फ़ील्ड (गणित) पर सदिश स्थल हैं F: एक समारोह $f:V\to W$ दो के बीच में F-वेक्टर रिक्त स्थान डिग्री के अनुसार सजातीय है $k$ अगर

$f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )$

(1)

सभी गैरशून्य के लिए $s\in F$ और $v\in V.$ इस परिभाषा को अक्सर उन फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकृत किया जाता है जिनका डोमेन नहीं है V, लेकिन एक शंकु (रैखिक बीजगणित) में V, यानी एक उपसमुच्चय C का V ऐसा है कि $\mathbf {v} \in C$ तात्पर्य $s\mathbf {v} \in C$ प्रत्येक शून्येतर अदिश के लिए s.

कई वास्तविक चर और वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के कार्यों के मामले में, एकरूपता का थोड़ा अधिक सामान्य रूप जिसे सकारात्मक एकरूपता कहा जाता है, पर अक्सर विचार किया जाता है, केवल यह आवश्यक है कि उपरोक्त पहचान कायम रहे $s>0,$ और किसी भी वास्तविक संख्या की अनुमति देना k एकरूपता की डिग्री के रूप में। प्रत्येक सजातीय वास्तविक फलन सकारात्मक रूप से सजातीय होता है। उलटा सत्य नहीं है, लेकिन स्थानीय रूप से इस अर्थ में सत्य है कि (पूर्णांक डिग्री के लिए) किसी दिए गए बिंदु के पास किसी फ़ंक्शन के व्यवहार पर विचार करके दो प्रकार की समरूपता को अलग नहीं किया जा सकता है।

वास्तविक सदिश समष्टि पर एक मानदंड (गणित) एक सकारात्मक रूप से सजातीय फ़ंक्शन का एक उदाहरण है जो सजातीय नहीं है। एक विशेष मामला वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष मान है। एक ही घात के दो सजातीय बहुपदों का भागफल घात शून्य के एक सजातीय फलन का उदाहरण देता है। यह उदाहरण प्रक्षेपी योजनाओं की परिभाषा में मौलिक है।

परिभाषाएँ

एक सजातीय फ़ंक्शन की अवधारणा मूल रूप से कई वास्तविक चर के कार्यों के लिए पेश की गई थी। 19वीं सदी के अंत में वेक्टर स्पेस की परिभाषा के साथ, इस अवधारणा को स्वाभाविक रूप से वेक्टर स्पेस के बीच कार्यों तक विस्तारित किया गया है, क्योंकि चर मानों के एक टुपल को एक समन्वय वेक्टर के रूप में माना जा सकता है। यह अधिक सामान्य दृष्टिकोण है जिसका वर्णन इस आलेख में किया गया है।

आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली दो परिभाषाएँ हैं। सामान्य एक मनमाना क्षेत्र (गणित) पर वेक्टर रिक्त स्थान के लिए काम करता है, और एकरूपता की डिग्री तक सीमित है जो पूर्णांक हैं।

दूसरे का तात्पर्य वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर, या, अधिक सामान्यतः, एक आदेशित क्षेत्र पर काम करना है। यह परिभाषा परिभाषा में होने वाले स्केलिंग कारक के सकारात्मक मूल्यों को प्रतिबंधित करती है, और इसलिए इसे सकारात्मक एकरूपता कहा जाता है, जब भ्रम का कोई जोखिम नहीं होता है तो गुणात्मक सकारात्मक को अक्सर छोड़ दिया जाता है। सकारात्मक समरूपता अधिक कार्यों को सजातीय मानने की ओर ले जाती है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान और सभी मानदंड (गणित) सकारात्मक रूप से सजातीय कार्य हैं जो सजातीय नहीं हैं।

स्केलिंग कारक को वास्तविक सकारात्मक मूल्यों तक सीमित करने से सजातीय कार्यों पर भी विचार करने की अनुमति मिलती है जिनकी एकरूपता की डिग्री कोई वास्तविक संख्या होती है।

सामान्य एकरूपता

होने देना V और W एक क्षेत्र के ऊपर दो सदिश स्थान हों (गणित) F. में एक रैखिक शंकु V एक उपसमुच्चय है C का V ऐसा है कि $sx\in C$ सभी के लिए $x\in C$ और सभी शून्येतर $s\in F.$ एक सजातीय कार्य f से V को W से एक आंशिक कार्य है V को W जिसमें एक रैखिक शंकु है C एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन के रूप में, और संतुष्ट करता है

$f(sx)=s^{k}f(x)$

कुछ पूर्णांक के लिए k, प्रत्येक $x\in C,$ और प्रत्येक अशून्य $s\in F.$ पूर्णांक k को समरूपता की डिग्री, या बस डिग्री कहा जाता है f.

डिग्री के सजातीय कार्य का एक विशिष्ट उदाहरण k डिग्री के सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन है k. दो सजातीय बहुपदों के भागफल द्वारा परिभाषित तर्कसंगत कार्य एक सजातीय कार्य है; इसकी डिग्री अंश और हर की डिग्री का अंतर है; इसकी परिभाषा का शंकु उन बिंदुओं का रैखिक शंकु है जहां हर का मान शून्य नहीं है।

किसी भी सजातीय कार्य के बाद से सजातीय कार्य प्रक्षेप्य ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं f से V को W के प्रक्षेपीकरण के बीच एक अच्छी तरह से परिभाषित फ़ंक्शन को परिभाषित करता है V और W. डिग्री शून्य के सजातीय तर्कसंगत कार्य (जो एक ही डिग्री के दो सजातीय बहुपद के भागफल द्वारा परिभाषित होते हैं) प्रोजेक्टिव योजनाओं के प्रोजेक्ट निर्माण में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं।

सकारात्मक एकरूपता

वास्तविक संख्याओं पर, या अधिक सामान्यतः एक क्रमबद्ध क्षेत्र पर काम करते समय, सकारात्मक एकरूपता पर विचार करना आमतौर पर सुविधाजनक होता है, परिभाषा बिल्कुल पिछले खंड के समान होती है, गैर-शून्य के साथ s द्वारा प्रतिस्थापितs > 0 एक रैखिक शंकु और एक सजातीय फलन की परिभाषाओं में।

यह परिवर्तन किसी भी वास्तविक संख्या के साथ (सकारात्मक) सजातीय कार्यों को उनकी डिग्री के रूप में विचार करने की अनुमति देता है, क्योंकि सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है।

पूर्णांक डिग्रियों के मामले में भी, ऐसे कई उपयोगी कार्य हैं जो सजातीय न होते हुए भी सकारात्मक रूप से सजातीय हैं। यह, विशेष रूप से, निरपेक्ष मूल्य फ़ंक्शन और मानदंड (गणित) का मामला है, जो सभी डिग्री के सकारात्मक रूप से सजातीय हैं 1. वे तब से सजातीय नहीं हैं $|-x|=|x|\neq -|x|$ अगर $x\neq 0.$ यह सम्मिश्र संख्या के मामले में सत्य रहता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {C}$ और प्रत्येक जटिल सदिश समष्टि को वास्तविक सदिश समष्टि माना जा सकता है।

1. यूलर का प्रमेय|यूलर का सजातीय कार्य प्रमेय सकारात्मक रूप से सजातीय विभेदक कार्यों का एक लक्षण वर्णन है, जिसे सजातीय कार्यों पर मौलिक प्रमेय माना जा सकता है।

उदाहरण

एक सजातीय फलन आवश्यक रूप से सतत फलन नहीं है, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है। यह कार्य है $f$ द्वारा परिभाषित $f(x,y)=x$ अगर $xy>0$ और $f(x,y)=0$ अगर $xy\leq 0.$ यह फ़ंक्शन डिग्री 1 का सजातीय है, अर्थात, $f(sx,sy)=sf(x,y)$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $s,x,y.$ यह असंतत है $y=0,x\neq 0.$

सरल उदाहरण

कार्यक्रम $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ डिग्री 2 का सजातीय है:

$$f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).$$

पूर्ण मूल्य और मानदंड

किसी वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान डिग्री का एक सकारात्मक रूप से सजातीय कार्य है 1, जो कि सजातीय नहीं है $|sx|=s|x|$ अगर $s>0,$ और $|sx|=-s|x|$ अगर $s<0.$ किसी सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान डिग्री का एक धनात्मक सजातीय फलन है $1$ वास्तविक संख्याओं पर (अर्थात, जब जटिल संख्याओं को वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश समष्टि के रूप में माना जाता है)। यह वास्तविक संख्याओं के साथ-साथ सम्मिश्र संख्याओं पर भी सजातीय नहीं है।

अधिक सामान्यतः, प्रत्येक मानदंड (गणित) और सेमिनोर्म डिग्री का एक सकारात्मक रूप से सजातीय कार्य है 1 जो एक सजातीय कार्य नहीं है। जहाँ तक निरपेक्ष मान की बात है, यदि मानक या अर्ध-मानदंड को जटिल संख्याओं पर एक वेक्टर स्थान पर परिभाषित किया गया है, तो सकारात्मक रूप से सजातीय फ़ंक्शन की परिभाषा को लागू करने के लिए इस वेक्टर स्थान को वास्तविक संख्या पर वेक्टर स्थान माना जाना चाहिए।

रैखिक कार्य

कोई रेखीय मानचित्र $f:V\to W$ एक क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के बीच (गणित) F रैखिकता की परिभाषा के अनुसार, डिग्री 1 का सजातीय है:

$$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$$

सभी के लिए $\alpha \in {F}$ और $v\in V.$ इसी प्रकार, कोई भी बहुरेखीय मानचित्र $f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W$ डिग्री में सजातीय है $n,$ बहुरेखीयता की परिभाषा के अनुसार:

$$f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$$

सभी के लिए $\alpha \in {F}$ और $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.$

सजातीय बहुपद

Main article: Homogeneous polynomial

में एकपदी $n$ चर सजातीय कार्यों को परिभाषित करते हैं $f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .$ उदाहरण के लिए,

$$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$$

तब से डिग्री 10 का सजातीय है

$$f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,$$

डिग्री चर पर घातांक का योग है; इस उदाहरण में, $10=5+2+3.$ एक सजातीय बहुपद एक समान डिग्री के एकपदी के योग से बना बहुपद होता है। उदाहरण के लिए,

$$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$$

घात 5 का एक सजातीय बहुपद है। सजातीय बहुपद भी सजातीय कार्यों को परिभाषित करते हैं।

घात का एक सजातीय बहुपद दिया गया है $k$ वास्तविक गुणांकों के साथ जो केवल सकारात्मक मान लेते हैं, किसी को डिग्री का सकारात्मक रूप से सजातीय कार्य मिलता है $k/d$ इसे सत्ता तक पहुंचाकर $1/d.$ उदाहरण के लिए, निम्नलिखित फ़ंक्शन डिग्री 1 का सकारात्मक रूप से सजातीय है लेकिन सजातीय नहीं है:

$$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

न्यूनतम/अधिकतम

वज़न के हर सेट के लिए $w_{1},\dots ,w_{n},$ निम्नलिखित कार्य डिग्री 1 के सकारात्मक रूप से सजातीय हैं, लेकिन सजातीय नहीं:

• $\min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$ (लियोन्टिफ़ उपयोगिताएँ)
• $\max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$

तर्कसंगत कार्य

दो के अनुपात के रूप में गठित तर्कसंगत कार्य homogeneous बहुपद किसी फलन के अपने क्षेत्र में सजातीय फलन होते हैं, अर्थात हर के फलन के शून्य से बने रैखिक शंकु से बाहर। इस प्रकार, यदि $f$ डिग्री में सजातीय है $m$ और $g$ डिग्री में सजातीय है $n,$ तब $f/g$ डिग्री में सजातीय है $m-n$ के शून्य से दूर $g.$

गैर-उदाहरण

एकल चर के सजातीय वास्तविक कार्यों का रूप होता है $x\mapsto cx^{k}$ कुछ स्थिरांक के लिए c. तो, एफ़िन फ़ंक्शन $x\mapsto x+5,$ प्राकृतिक लघुगणक $x\mapsto \ln(x),$ और घातीय कार्य $x\mapsto e^{x}$ सजातीय नहीं हैं.

यूलर का प्रमेय

मोटे तौर पर, यूलर का सजातीय फ़ंक्शन प्रमेय दावा करता है कि किसी दिए गए डिग्री के सकारात्मक सजातीय कार्य वास्तव में एक विशिष्ट आंशिक अंतर समीकरण का समाधान हैं। ज्यादा ठीक:

Euler's homogeneous function theorem — If f is a (partial) function of n real variables that is positively homogeneous of degree k, and continuously differentiable in some open subset of $\mathbb {R} ^{n},$ then it satisfies in this open set the partial differential equation

$$k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$$

Conversely, every maximal continuously differentiable solution of this partial differentiable equation is a positively homogeneous function of degree k, defined on a positive cone (here, maximal means that the solution cannot be prolongated to a function with a larger domain).

Proof

For having simpler formulas, we set $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ The first part results by using the chain rule for differentiating both sides of the equation $f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )$ with respect to $s,$ and taking the limit of the result when s tends to 1.

The converse is proved by integrating a simple differential equation. Let $\mathbf {x}$ be in the interior of the domain of f. For s sufficiently close of 1, the function ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$ is well defined. The partial differential equation implies that

$$sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).$$

The solutions of this linear differential equation have the form $g(s)=g(1)s^{k}.$ Therefore,

$$f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),$$

if s is sufficiently close to 1. If this solution of the partial differential equation would not be defined for all positive s, then the functional equation would allow to prolongate the solution, and the partial differential equation implies that this prolongation is unique. So, the domain of a maximal solution of the partial differential equation is a linear cone, and the solution is positively homogeneous of degree k. $\square$

परिणामस्वरूप, यदि $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ डिग्री में लगातार भिन्न और सजातीय है $k,$ इसका प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न $\partial f/\partial x_{i}$ डिग्री में सजातीय हैं $k-1.$ यह एक चर के संबंध में आंशिक अंतर समीकरण को विभेदित करके यूलर के प्रमेय से उत्पन्न होता है।

एकल वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन के मामले में ($n=1$), प्रमेय का तात्पर्य है कि डिग्री का एक निरंतर भिन्न और सकारात्मक रूप से सजातीय कार्य k का रूप है $f(x)=c_{+}x^{k}$ के लिए $x>0$ और $f(x)=c_{-}x^{k}$ के लिए $x<0.$ स्थिरांक $c_{+}$ और $c_{-}$ आवश्यक रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि यह निरपेक्ष मूल्य का मामला है।

विभेदक समीकरणों पर अनुप्रयोग

Main article: Homogeneous differential equation

प्रतिस्थापन $v=y/x$ साधारण अवकल समीकरण को परिवर्तित करता है

$$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$$

कहाँ $I$ और $J$ चरों के पृथक्करण में समान डिग्री के सजातीय कार्य हैं

$$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.$$

सामान्यीकरण

एक मोनोइड क्रिया के तहत एकरूपता

ऊपर दी गई परिभाषाएँ समरूपता की निम्नलिखित अधिक सामान्य धारणा के सभी विशिष्ट मामले हैं $X$ कोई भी सेट हो सकता है (वेक्टर स्पेस के बजाय) और वास्तविक संख्याओं को एक मोनोइड की अधिक सामान्य धारणा से बदला जा सकता है।

होने देना $M$ पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड बनें $1\in M,$ होने देना $X$ और $Y$ सेट हो, और मान लीजिए कि दोनों पर $X$ और $Y$ की परिभाषित मोनोइड क्रियाएं हैं $M.$ होने देना $k$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक बनें और चलो $f:X\to Y$ एक नक्शा हो. तब $f$ बताया गया homogeneous of degree $k$ over $M$ यदि प्रत्येक के लिए $x\in X$ और $m\in M,$

$$f(mx)=m^{k}f(x).$$

यदि इसके अतिरिक्त कोई फ़ंक्शन है $M\to M,$ द्वारा चिह्नित $m\mapsto |m|,$ एक कहा जाता है absolute value तब $f$ बताया गया absolutely homogeneous of degree $k$ over $M$ यदि प्रत्येक के लिए $x\in X$ और $m\in M,$

$$f(mx)=|m|^{k}f(x).$$

एक फ़ंक्शन है homogeneous over $M$ (सम्मान. absolutely homogeneous over $M$) यदि यह डिग्री में सजातीय है $1$ ऊपर $M$ (सम्मान। डिग्री की दृष्टि से बिल्कुल सजातीय $1$ ऊपर $M$).

अधिक सामान्यतः, यह प्रतीकों के लिए संभव है $m^{k}$ के लिए परिभाषित किया जाना है $m\in M$ साथ $k$ पूर्णांक के अलावा कुछ और होना (उदाहरण के लिए, यदि $M$ वास्तविक संख्या है और $k$ तब यह एक शून्येतर वास्तविक संख्या है $m^{k}$ यद्यपि परिभाषित किया गया है $k$ पूर्णांक नहीं है). अगर ऐसा है तो $f$ बुलाया जाएगा homogeneous of degree $k$ over $M$ यदि समान समानता है:

$$f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.$$

होने की धारणा absolutely homogeneous of degree $k$ over $M$ को समान रूप से सामान्यीकृत किया गया है।

वितरण (सामान्यीकृत कार्य)

Main article: Homogeneous distribution

एक सतत कार्य $f$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ डिग्री में सजातीय है $k$ अगर और केवल अगर

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx$$

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित परीक्षण कार्यों के लिए $\varphi$; और शून्येतर वास्तविक $t.$ समान रूप से, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण बनाना $y=tx,$ $f$ डिग्री में सजातीय है $k$ अगर और केवल अगर

$$t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy$$

सभी के लिए $t$ और सभी परीक्षण कार्य $\varphi .$ अंतिम प्रदर्शन वितरण (गणित) की एकरूपता को परिभाषित करना संभव बनाता है। एक वितरण $S$ डिग्री में सजातीय है $k$ अगर

$$t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle$$

सभी गैर-शून्य वास्तविक के लिए $t$ और सभी परीक्षण कार्य $\varphi .$ यहां कोण कोष्ठक वितरण और परीक्षण कार्यों के बीच युग्मन को दर्शाते हैं, और $\mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ वास्तविक संख्या द्वारा अदिश विभाजन का मानचित्रण है $t.$

नाम वेरिएंट की शब्दावली

होने देना $f:X\to Y$ एक क्षेत्र में दो सदिश स्थानों के बीच एक मानचित्र बनें $\mathbb {F}$ (आमतौर पर वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ या सम्मिश्र संख्याएँ $\mathbb {C}$). अगर $S$ अदिशों का एक समूह है, जैसे कि $\mathbb {Z} ,$ $[0,\infty ),$ या $\mathbb {R}$ उदाहरण के लिए, तो $f$ बताया गया homogeneous over $S$ अगर

${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ हरएक के लिए $x\in X$ और अदिश $s\in S.$ उदाहरण के लिए, सदिश स्थानों के बीच प्रत्येक योगात्मक मानचित्र है homogeneous over the rational numbers $S:=\mathbb {Q}$ हालाँकि यह कॉची का कार्यात्मक समीकरण नहीं हो सकता है homogeneous over the real numbers $S:=\mathbb {R} .$

निम्नलिखित आम तौर पर सामने आने वाले विशेष मामलों और इस परिभाषा की विविधताओं की अपनी शब्दावली है:

1. (Strict) Positive homogeneity: $f(rx)=rf(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी positive असली $r>0.$
   • जब फ़ंक्शन $f$ किसी सदिश स्थान या क्षेत्र में मूल्यांकित किया जाता है, तो यह गुण तार्किक तुल्यता हैको nonnegative homogeneity, जिसकी परिभाषा का अर्थ है: $f(rx)=rf(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी non-negative असली $r\geq 0.$ यही कारण है कि सकारात्मक एकरूपता को अक्सर गैर-नकारात्मक एकरूपता भी कहा जाता है। हालाँकि, विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यवान कार्यों के लिए $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ जो उत्तल विश्लेषण, गुणन जैसे क्षेत्रों में दिखाई देते हैं $0\cdot f(x)$ जब भी अपरिभाषित किया जाएगा $f(x)=\pm \infty$ और इसलिए जरूरी नहीं कि ये कथन हमेशा विनिमेय हों।
   • इस गुण का उपयोग सबलीनियर फ़ंक्शन की परिभाषा में किया जाता है।
   • मिन्कोव्स्की कार्यात्मक वास्तव में इस संपत्ति के साथ गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्य वाले फ़ंक्शंस हैं।
2. Real homogeneity: $f(rx)=rf(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सब वास्तविक $r.$
   • इस गुण का उपयोग a की परिभाषा में किया जाता है real रैखिक कार्यात्मक।
3. Homogeneity: $f(sx)=sf(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s\in \mathbb {F} .$ #* इस बात पर जोर दिया गया है कि यह परिभाषा अदिश क्षेत्र पर निर्भर करती है $\mathbb {F}$ डोमेन के अंतर्गत $X.$
   • इस गुण का उपयोग रैखिक कार्यात्मकताओं और रैखिक मानचित्रों की परिभाषा में किया जाता है।
4. Conjugate homogeneity: $f(sx)={\overline {s}}f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s\in \mathbb {F} .$
   • अगर $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ तब ${\overline {s}}$ आमतौर पर के जटिल संयुग्म को दर्शाता है $s$. लेकिन अधिक सामान्यतः, जैसे कि उदाहरण के लिए अर्धरेखीय मानचित्रों के साथ, ${\overline {s}}$ की छवि हो सकती है $s$ के कुछ विशिष्ट ऑटोमोर्फिज्म के तहत $\mathbb {F} .$ #* एडिटिव मैप के साथ, यह गुण प्रतिरेखीय मानचित्र की परिभाषा में माना जाता है। यह भी माना जाता है कि सेसक्विलिनियर फॉर्म के दो निर्देशांकों में से एक में यह गुण होता है (जैसे कि हिल्बर्ट स्थान का आंतरिक उत्पाद)।

उपरोक्त सभी परिभाषाओं को शर्त को प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है $f(rx)=rf(x)$ साथ $f(rx)=|r|f(x),$ ऐसी स्थिति में वह परिभाषा शब्द के साथ पहले जुड़ जाती है "absolute" या "absolutely." उदाहरण के लिए,

<ली>Absolute homogeneity: $f(sx)=|s|f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s\in \mathbb {F} .$
• इस गुण का उपयोग सेमिनॉर्म और नॉर्म (गणित) की परिभाषा में किया जाता है।

अगर $k$ एक निश्चित वास्तविक संख्या है तो शर्त को प्रतिस्थापित करके उपरोक्त परिभाषाओं को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है $f(rx)=rf(x)$ साथ $f(rx)=r^{k}f(x)$ (और इसी तरह, प्रतिस्थापित करके $f(rx)=|r|f(x)$ साथ $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ निरपेक्ष मान आदि का उपयोग करने वाली स्थितियों के लिए, जिस स्थिति में एकरूपता कहा जाता है "of degree $k$" (जहां विशेष रूप से, उपरोक्त सभी परिभाषाएं हैं "of degree $1$"). उदाहरण के लिए,

<ली>Real homogeneity of degree $k$: $f(rx)=r^{k}f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सब वास्तविक $r.$ <ली>Homogeneity of degree $k$: $f(sx)=s^{k}f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s\in \mathbb {F} .$ <ली>Absolute real homogeneity of degree $k$: $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सब वास्तविक $r.$ <ली>Absolute homogeneity of degree $k$: $f(sx)=|s|^{k}f(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s\in \mathbb {F} .$

एक शून्येतर सतत फलन जो डिग्री में सजातीय है $k$ पर $\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace$ तक निरंतर विस्तारित है $\mathbb {R} ^{n}$ अगर और केवल अगर $k>0.$

यह भी देखें

• सजातीय स्थान
• Triangle center function

टिप्पणियाँ

Proofs

स्रोत

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". विश्लेषण द्वितीय (in German) (2nd ed.). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory (Second ed.). Boston: Birkhäuser Basel. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.

बाहरी संबंध

• "Homogeneous function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Euler's Homogeneous Function Theorem". MathWorld.