प्रमुख संतुलन की विधि

गणित में, समीकरण को पूरी तरह से हल किए बिना एक साधारण अंतर समीकरण के समाधान के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को निर्धारित करने के लिए प्रमुख संतुलन की विधि का उपयोग किया जाता है। यह प्रक्रिया पुनरावृत्तीय है, जिसमें विधि को एक बार निष्पादित करके प्राप्त परिणाम को इनपुट के रूप में उपयोग किया जा सकता है जब विधि को दोहराया जाता है, ताकि असममित विस्तार में वांछित के रूप में कई शब्द प्राप्त हो सकें। प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. मान लें कि स्पर्शोन्मुख व्यवहार का रूप है

   $y(x)\sim e^{S(x)}.$

2. एक सूचित अनुमान लगाएं कि ओडीई में कौन से शब्द रुचि की सीमा में नगण्य हो सकते हैं।
3. इन शब्दों को छोड़ें और परिणामी सरल ODE को हल करें।
4. जांचें कि समाधान चरण 2 के अनुरूप है। यदि यह मामला है, तो किसी के पास स्पर्शोन्मुख व्यवहार का नियंत्रण कारक है; अन्यथा, इसके बजाय चरण 2 में अलग-अलग शब्दों को छोड़ने का प्रयास करना होगा।
5. समाधान में अग्रणी पद के रूप में उपरोक्त परिणाम पर भरोसा करते हुए, प्रक्रिया को उच्च क्रम तक दोहराएं।

उदाहरण: बहुपद समीकरण को हल करना

समीकरण को हल करने के लिए $\epsilon x^{5}-16x+1=0$ छोटे की सीमा पर $\epsilon$, हम फॉर्म का क्रमिक विस्तार करने पर विचार कर सकते हैं $x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\cdots$. हालाँकि यह समस्या का सामना करता है: कब $\epsilon =0$, समीकरण का केवल एक मूल है $1/16$. हालाँकि गैरशून्य के लिए $\epsilon$ समीकरण की 5 जड़ें हैं. मुख्य मुद्दा यह है कि इनमें से 4 जड़ें अनंत तक चली जाती हैं $\epsilon \to 0$.

यह प्रमुख संतुलन पद्धति के उपयोग का सुझाव देता है। यानी छोटे के लिए $\epsilon$, हमारे पास होना चाहिए $|\epsilon x^{5}|,|16x|\gg 1$, इसलिए हम समीकरण को लगभग इस प्रकार हल करेंगे $\epsilon x^{5}-16x\approx 0$, देना $x\sim \epsilon ^{-1/4}$. तो प्लग इन कर रहा हूँ $y=\epsilon ^{1/4}x$, हमने प्राप्त

$$y^{5}-16y+\epsilon ^{1/4}=0$$

पाँच जड़ें हैं $y=0,2,2i,-2,-2i$, और प्रत्येक जड़ को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित करना $\epsilon ^{1/4}$, हमें पाँच श्रृंखलाएँ प्राप्त होती हैं:

$${\begin{aligned}&y_{1}=-2-{\frac {1}{64}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{16384}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}-{\frac {5}{524288}}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}+\ldots ,\\&y_{2}=2-{\frac {1}{64}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{16384}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}-{\frac {5}{524288}}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}-\ldots ,\\&y_{3}={\frac {1}{16}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16777216}}\varepsilon ^{\frac {5}{4}}+{\frac {5}{17592186044416}}\varepsilon ^{\frac {9}{4}}+\ldots ,\\&y_{4}=-2i-{\frac {1}{64}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}-{\frac {5i}{16384}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{524288}}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}+\ldots ,\\&y_{5}=2i-{\frac {1}{64}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}+{\frac {5i}{16384}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{524288}}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}-\ldots \end{aligned}}$$

उदाहरण

मनमाना स्थिरांक के लिए c और a, विचार करना

$xy''+(c-x)y'-ay=0.$

इस अंतर समीकरण को सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, यह विचार करना उपयोगी है कि समाधान बड़े पैमाने पर कैसे व्यवहार करते हैं x: यह पता चला है कि $y$ जैसा व्यवहार करता है $e^{x}\,$ जैसे x → ∞ .

और अधिक कठोरता से, हम करेंगे $\log(y)\sim {x}$, नहीं $y\sim e^{x}$. चूँकि हम के व्यवहार में रुचि रखते हैं y बड़े में x सीमा, हम वेरिएबल्स को इसमें बदलते हैं y = exp(S(x)), और ODE को S(x) के संदर्भ में पुनः व्यक्त करें,

$xS''+xS'^{2}+(c-x)S'-a=0,\,$

या

$S''+S'^{2}+\left({\frac {c}{x}}-1\right)S'-{\frac {a}{x}}=0\,$

जहां हमने डेरिवेटिव का मूल्यांकन करने के लिए उत्पाद नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग किया है y.

अब पहले मान लीजिए कि इस ODE का समाधान संतुष्ट करता है

$S'^{2}\sim S',$ जैसे x → ∞, ताकि

$S'',~{\frac {c}{x}}S',~{\frac {a}{x}}=o(S'^{2}),~o(S')\,$ x → ∞ के रूप में। फिर सेटिंग द्वारा प्रमुख स्पर्शोन्मुख व्यवहार प्राप्त करें

$S_{0}'^{2}=S_{0}'.$

अगर $S_{0}$ उपरोक्त स्पर्शोन्मुख स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो उपरोक्त धारणा सुसंगत है। हमने जो शर्तें हटाईं, वे हमारे द्वारा रखी गई शर्तों के संबंध में नगण्य होंगी।

$S_{0}$ के लिए ODE का समाधान नहीं है S, लेकिन यह प्रमुख स्पर्शोन्मुख व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें हम रुचि रखते हैं। जाँच करें कि यह विकल्प क्या है $S_{0}$ संगत है,

${\begin{aligned}S_{0}'&=1\\S_{0}'^{2}&=1\\S_{0}''&=0=o(S_{0}')\\{\frac {c}{x}}S_{0}'&={\frac {c}{x}}=o(S_{0}')\\{\frac {a}{x}}&=o(S_{0}')\end{aligned}}$

वास्तव में सब कुछ सुसंगत है।

इस प्रकार हमारे ODE के समाधान का प्रमुख स्पर्शोन्मुख व्यवहार पाया गया है,

${\begin{aligned}S_{0}&\sim x\\\log(y)&\sim x.\end{aligned}}$

परंपरा के अनुसार, पूर्ण स्पर्शोन्मुख श्रृंखला इस प्रकार लिखी जाती है

$y\sim Ax^{p}e^{\lambda x^{r}}\left(1+{\frac {u_{1}}{x}}+{\frac {u_{2}}{x^{2}}}+\cdots +{\frac {u_{k}}{x^{k}}}+o\left({\frac {1}{x^{k}}}\right)\right),$

इसलिए कम से कम इस श्रृंखला का पहला पद प्राप्त करने के लिए हमें यह देखने के लिए एक और कदम उठाना होगा कि क्या इसकी कोई शक्ति है x सामने से बाहर.

एक नया उप-अग्रणी आश्रित चर प्रस्तुत करके आगे बढ़ें,

$S(x)\equiv S_{0}(x)+C(x)\,$

और फिर C(x) के लिए स्पर्शोन्मुख समाधान खोजें। उपरोक्त ODE में S(x) को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$C''+C'^{2}+C'+{\frac {c}{x}}C'+{\frac {c-a}{x}}=0.$

पहले जैसी ही प्रक्रिया दोहराते हुए हम रखते हैं C' और (c − a)/xउसे खोजने के लिए

$C_{0}=\log x^{a-c}.$

तब प्रमुख स्पर्शोन्मुख व्यवहार है

$y\sim x^{a-c}e^{x}.$

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण