समरूपता (भौतिकी)

एफसीसी जाली का पहला ब्रिलोइन जोन समरूपता लेबल दिखा रहा है

भौतिकी में, किसी भौतिक प्रणाली की समरूपता प्रणाली की एक भौतिक या गणितीय विशेषता (अवलोकित या आंतरिक) है जो कुछ परिवर्तन (फ़ंक्शन) के तहत संरक्षित या अपरिवर्तित रहती है।

विशेष परिवर्तनों का एक परिवार निरंतर हो सकता है (जैसे कि एक वृत्त का घूमना) या असतत स्थान (उदाहरण के लिए, द्विपक्षीय सममित आकृति का प्रतिबिंब (भौतिकी), या एक नियमित बहुभुज का घूमना)। निरंतर और असतत परिवर्तन संबंधित प्रकार की समरूपता को जन्म देते हैं। निरंतर समरूपता का वर्णन झूठ समूहों द्वारा किया जा सकता है जबकि असतत समरूपता का वर्णन परिमित समूहों द्वारा किया जा सकता है (देखें समरूपता समूह)।

ये दो अवधारणाएँ, झूठ और परिमित समूह, आधुनिक भौतिकी के मौलिक सिद्धांतों की नींव हैं। समरूपताएं अक्सर गणितीय फॉर्मूलेशन के लिए उत्तरदायी होती हैं जैसे कि लाई समूह का प्रतिनिधित्व और इसके अलावा, कई समस्याओं को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

संभवतः भौतिकी में समरूपता का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण यह है कि प्रकाश की गति का संदर्भ के सभी फ़्रेमों में समान मूल्य होता है, जिसे विशेष सापेक्षता में पोंकारे समूह के रूप में ज्ञात अंतरिक्ष समय के परिवर्तनों के एक समूह द्वारा वर्णित किया गया है। एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण मनमाने ढंग से भिन्न-भिन्न समन्वय परिवर्तनों के तहत भौतिक कानूनों के रूप का सामान्य सहप्रसरण है, जो सामान्य सापेक्षता में एक महत्वपूर्ण विचार है।

एक प्रकार की अपरिवर्तनशीलता के रूप में

अपरिवर्तनीयता को गणितीय रूप से उन परिवर्तनों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो कुछ संपत्ति (जैसे मात्रा) को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। यह विचार बुनियादी वास्तविक दुनिया के अवलोकनों पर लागू हो सकता है। उदाहरण के लिए, पूरे कमरे में तापमान एक समान हो सकता है। चूँकि तापमान कमरे के भीतर पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, हम कहते हैं कि कमरे के भीतर पर्यवेक्षक की स्थिति में बदलाव के तहत तापमान अपरिवर्तनीय है।

इसी प्रकार, अपने केंद्र के चारों ओर घूमता हुआ एक समान गोला बिल्कुल वैसा ही दिखाई देगा जैसा वह घूमने से पहले दिखता था। ऐसा कहा जाता है कि गोला गोलाकार समरूपता प्रदर्शित करता है। गोले के घूर्णन के किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमने से यह संरक्षित रहेगा कि गोला कैसा दिखता है।

बल में अपरिवर्तनशीलता

प्रेक्षित भौतिक समरूपता पर चर्चा करते समय उपरोक्त विचार अपरिवर्तनशीलता के उपयोगी विचार की ओर ले जाते हैं; इसे बलों में समरूपता पर भी लागू किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, अनंत लंबाई के विद्युत आवेशित तार के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को किसी भी कोण के संबंध में घूर्णी समरूपता#घूर्णी समरूपता प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है, क्योंकि तार से दी गई दूरी r पर विद्युत क्षेत्र की ताकत प्रत्येक पर समान परिमाण होगी त्रिज्या r वाले एक सिलेंडर (जिसकी धुरी तार है) की सतह पर बिंदु। तार को अपनी धुरी पर घुमाने से इसकी स्थिति या चार्ज घनत्व नहीं बदलता है, इसलिए यह क्षेत्र को संरक्षित रखेगा। घुमाई गई स्थिति में क्षेत्र की ताकत समान होती है। शुल्कों की एक मनमानी प्रणाली के लिए यह सामान्यतः सत्य नहीं है।

न्यूटन के यांत्रिकी के सिद्धांत में, दो पिंड दिए गए हैं, प्रत्येक का द्रव्यमान m है, जो मूल से शुरू होता है और x-अक्ष के साथ विपरीत दिशाओं में चल रहा है, एक गति v के साथ₁ और दूसरा गति v के साथ₂ सिस्टम की कुल गतिज ऊर्जा (जैसा कि मूल पर एक पर्यवेक्षक से गणना की गई है) है 1/2m(v₁² + v₂²) और यदि वेग आपस में बदल दिए जाएं तो वही रहता है। कुल गतिज ऊर्जा y-अक्ष में परावर्तन के अंतर्गत संरक्षित रहती है।

उपरोक्त अंतिम उदाहरण समरूपता को व्यक्त करने का एक और तरीका दिखाता है, अर्थात् समीकरणों के माध्यम से जो भौतिक प्रणाली के कुछ पहलू का वर्णन करता है। उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि कुल गतिज ऊर्जा समान होगी यदि v₁ और वी₂ अदला-बदली की जाती है।

स्थानीय और वैश्विक

समरूपता को मोटे तौर पर वैश्विक या स्थानीय के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। एक वैश्विक समरूपता वह है जो स्पेसटाइम के सभी बिंदुओं पर एक साथ लागू होने वाले परिवर्तन के लिए एक संपत्ति को अपरिवर्तनीय रखती है, जबकि एक स्थानीय समरूपता वह है जो स्पेसटाइम के प्रत्येक बिंदु पर संभवतः अलग समरूपता परिवर्तन लागू होने पर एक संपत्ति को अपरिवर्तनीय रखती है; विशेष रूप से एक स्थानीय समरूपता परिवर्तन को स्पेसटाइम निर्देशांक द्वारा मानकीकृत किया जाता है, जबकि एक वैश्विक समरूपता नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि वैश्विक समरूपता भी स्थानीय समरूपता है। स्थानीय समरूपताएं भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं क्योंकि वे गेज सिद्धांत का आधार बनती हैं।

सतत

ऊपर वर्णित घूर्णी समरूपता के दो उदाहरण - गोलाकार और बेलनाकार - प्रत्येक निरंतर समरूपता के उदाहरण हैं। ये सिस्टम की ज्यामिति में निरंतर परिवर्तन के बाद अपरिवर्तनीयता की विशेषता रखते हैं। उदाहरण के लिए, तार को अपनी धुरी के चारों ओर किसी भी कोण से घुमाया जा सकता है और किसी दिए गए सिलेंडर पर क्षेत्र की ताकत समान होगी। गणितीय रूप से, निरंतर समरूपता का वर्णन उन परिवर्तनों द्वारा किया जाता है जो निरंतर फ़ंक्शन को उनके पैरामीटरकरण के फ़ंक्शन के रूप में बदलते हैं। भौतिकी में सतत समरूपता का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग स्पेसटाइम समरूपता है।

स्पेसटाइम

निरंतर स्पेसटाइम समरूपताएं अंतरिक्ष और समय के परिवर्तनों से जुड़ी समरूपताएं हैं। इन्हें आगे स्थानिक समरूपता के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसमें केवल भौतिक प्रणाली से जुड़ी स्थानिक ज्यामिति शामिल होती है; अस्थायी समरूपता, जिसमें केवल समय में परिवर्तन शामिल है; या स्थानिक-लौकिक समरूपता, जिसमें स्थान और समय दोनों में परिवर्तन शामिल हैं।

समय अनुवाद: एक भौतिक प्रणाली में समय के एक निश्चित अंतराल पर समान विशेषताएं हो सकती हैं; इसे परिवर्तन के तहत गणितीय रूप से अपरिवर्तनीयता के रूप में व्यक्त किया जाता है t → t + a किसी वास्तविक संख्या पैरामीटर t और के लिए t + aअंतराल में. उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक कण जिस पर केवल गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य किया जाता है, पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h से निलंबित होने पर उसमें गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा mgh होगी। यह मानते हुए कि कण की ऊंचाई में कोई परिवर्तन नहीं होगा, यह हर समय कण की कुल गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होगी। दूसरे शब्दों में, किसी समय कण की स्थिति पर विचार करके₀ और पर भी t₀ + a, कण की कुल गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा संरक्षित रहेगी।
स्थानिक अनुवाद समरूपता: इन स्थानिक समरूपताओं को रूप के परिवर्तनों द्वारा दर्शाया जाता है r→ → r→ + a→ और उन स्थितियों का वर्णन करें जहां सिस्टम की संपत्ति स्थान में निरंतर परिवर्तन के साथ नहीं बदलती है। उदाहरण के लिए, किसी कमरे का तापमान इस बात से स्वतंत्र हो सकता है कि कमरे में थर्मामीटर कहाँ स्थित है।
घूर्णी समरूपता: इन स्थानिक समरूपताओं को उचित घूर्णन और अनुचित घूर्णन के रूप में वर्गीकृत किया गया है। पूर्व केवल 'सामान्य' घुमाव हैं; गणितीय रूप से, उन्हें इकाई निर्धारक के साथ वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। उत्तरार्द्ध को निर्धारक -1 के साथ वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें स्थानिक प्रतिबिंब (बिंदु प्रतिबिंब) के साथ संयुक्त उचित रोटेशन होता है।. उदाहरण के लिए, एक गोले में उचित घूर्णी समरूपता होती है। अन्य प्रकार के स्थानिक घुमावों का वर्णन रोटेशन समरूपता लेख में किया गया है।
पोंकारे परिवर्तन: ये स्थानिक-लौकिक समरूपताएं हैं जो मिन्कोवस्की स्पेसटाइम में दूरियां बनाए रखती हैं, यानी ये मिन्कोव्स्की स्पेस की आइसोमेट्री हैं। इनका अध्ययन मुख्यतः विशेष सापेक्षता में किया जाता है। वे आइसोमेट्री जो मूल को स्थिर छोड़ देते हैं उन्हें लोरेंत्ज़ परिवर्तन कहा जाता है और समरूपता को जन्म देते हैं जिन्हें लोरेंत्ज़ सहप्रसरण के रूप में जाना जाता है।
प्रक्षेप्य समरूपताएँ: ये स्थानिक-लौकिक समरूपताएँ हैं जो स्पेसटाइम की भूगणितीय संरचना को संरक्षित करती हैं। उन्हें किसी भी सहज मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधानों के अध्ययन में कई अनुप्रयोग मिलते हैं।
उलटा परिवर्तन: ये स्थानिक-लौकिक समरूपताएं हैं जो अंतरिक्ष-समय निर्देशांक पर अन्य अनुरूप एक-से-एक परिवर्तनों को शामिल करने के लिए पोंकारे परिवर्तनों को सामान्यीकृत करती हैं। व्युत्क्रम परिवर्तनों के तहत लंबाई अपरिवर्तनीय नहीं है, लेकिन चार बिंदुओं पर एक क्रॉस-अनुपात है जो अपरिवर्तनीय है।

गणितीय रूप से, स्पेसटाइम समरूपता का वर्णन आमतौर पर चिकनी कई गुना पर सुचारू कार्य वेक्टर फ़ील्ड द्वारा किया जाता है। वेक्टर क्षेत्रों से जुड़ी अंतर्निहित स्थानीय भिन्नताएं भौतिक समरूपता से अधिक सीधे मेल खाती हैं, लेकिन भौतिक प्रणाली की समरूपता को वर्गीकृत करते समय वेक्टर फ़ील्ड स्वयं अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

कुछ सबसे महत्वपूर्ण वेक्टर फ़ील्ड वेक्टर फ़ील्ड को ख़त्म करना हैं जो वे स्पेसटाइम समरूपताएं हैं जो मैनिफोल्ड की अंतर्निहित मीट्रिक टेंसर संरचना को संरक्षित करती हैं। मोटे शब्दों में, किलिंग वेक्टर फ़ील्ड मैनिफोल्ड के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित करते हैं और अक्सर सममिति ़ के नाम से जाने जाते हैं।

असतत

असतत समरूपता एक समरूपता है जो किसी प्रणाली में गैर-निरंतर परिवर्तनों का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग में अलग-अलग घूर्णी समरूपता होती है, क्योंकि केवल समकोण के गुणजों द्वारा घुमाए जाने से ही वर्ग का मूल स्वरूप सुरक्षित रहेगा। असतत समरूपता में कभी-कभी कुछ प्रकार की 'स्वैपिंग' शामिल होती है, इन स्वैप को आमतौर पर प्रतिबिंब या इंटरचेंज कहा जाता है।

टी-समरूपता: भौतिकी के कई नियम वास्तविक घटनाओं का वर्णन करते हैं जब समय की दिशा उलट जाती है। गणितीय रूप से, इसे परिवर्तन द्वारा दर्शाया जाता है, $t\,\rightarrow -t$ . उदाहरण के लिए, न्यूटन का गति का दूसरा नियम अभी भी समीकरण में लागू है $F\,=m{\ddot {r}}$ , $t$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $-t$ . इसे ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर फेंकी गई किसी वस्तु की गति को रिकॉर्ड करके (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करके) और फिर उसे वापस चलाकर चित्रित किया जा सकता है। वस्तु हवा के माध्यम से उसी परवलय प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करेगी, चाहे रिकॉर्डिंग सामान्य रूप से चलाई जाए या विपरीत दिशा में। इस प्रकार, उस क्षण के संबंध में स्थिति सममित होती है जब वस्तु अपनी अधिकतम ऊंचाई पर होती है।
समता (भौतिकी): इन्हें रूप के परिवर्तनों द्वारा दर्शाया जाता है ${\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}$ और जब निर्देशांक 'उल्टे' होते हैं तो किसी सिस्टम की अपरिवर्तनीय संपत्ति को इंगित करते हैं। दूसरे तरीके से कहें तो, ये एक निश्चित वस्तु और उसकी दर्पण छवि के बीच समरूपता हैं।
ग्लाइड प्रतिबिंब: इन्हें अनुवाद और प्रतिबिंब की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है। ये समरूपताएँ कुछ क्रिस्टलों में और कुछ तलीय समरूपताओं में होती हैं, जिन्हें वॉलपेपर समूह के रूप में जाना जाता है।

सी, पी, और टी

कण भौतिकी के मानक मॉडल में तीन संबंधित प्राकृतिक निकट-समरूपताएँ हैं। इनमें कहा गया है कि जिस ब्रह्मांड में हम रहते हैं वह उस ब्रह्मांड से अप्रभेद्य होना चाहिए जहां एक निश्चित प्रकार का परिवर्तन लाया गया है।

सी-समरूपता (आवेश समरूपता), एक ऐसा ब्रह्मांड जहां प्रत्येक कण को उसके प्रतिकण से बदल दिया जाता है
पैरिटी (भौतिकी)|पी-सममिति (समता समरूपता), एक ब्रह्मांड जहां सब कुछ तीन भौतिक अक्षों के साथ प्रतिबिंबित होता है। इसमें कमजोर अंतःक्रियाओं को शामिल नहीं किया गया है जैसा कि χ एन-शि यूएन जीडब्ल्यू यू द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
टी-समरूपता (समय उलट समरूपता), एक ब्रह्मांड जहां एन्ट्रापी (समय का तीर) उलटा है। टी-समरूपता प्रति-सहज ज्ञान युक्त है (भविष्य और अतीत सममित नहीं हैं) लेकिन इस तथ्य से समझाया गया है कि मानक मॉडल स्थानीय गुणों का वर्णन करता है, एन्ट्रापी जैसे वैश्विक गुणों का नहीं। समय की दिशा को ठीक से उलटने के लिए, किसी को महा विस्फोट और उसके परिणामस्वरूप होने वाली निम्न-एन्ट्रॉपी स्थिति को भविष्य में रखना होगा। चूँकि हम अतीत (भविष्य) को वर्तमान की तुलना में कम (उच्च) एन्ट्रापी के रूप में देखते हैं, इस काल्पनिक समय-उलट ब्रह्मांड के निवासी भविष्य को उसी तरह से देखेंगे जैसे हम अतीत को देखते हैं, और इसके विपरीत।

ये समरूपताएँ निकट-समरूपताएँ हैं क्योंकि प्रत्येक वर्तमान ब्रह्मांड में टूटा हुआ है। हालाँकि, मानक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि तीनों का संयोजन (अर्थात्, तीनों परिवर्तनों का एक साथ अनुप्रयोग) एक समरूपता होनी चाहिए, जिसे सीपीटी समरूपता कहा जाता है। सीपी उल्लंघन, सी- और पी-समरूपता के संयोजन का उल्लंघन, ब्रह्मांड में महत्वपूर्ण मात्रा में बैरोनिक पदार्थ की उपस्थिति के लिए आवश्यक है। सीपी उल्लंघन कण भौतिकी में वर्तमान अनुसंधान का एक उपयोगी क्षेत्र है।

सुपरसिममेट्री

मानक मॉडल में सैद्धांतिक प्रगति करने का प्रयास करने के लिए सुपरसिमेट्री नामक एक प्रकार की समरूपता का उपयोग किया गया है। सुपरसिमेट्री इस विचार पर आधारित है कि मानक मॉडल में पहले से विकसित लोगों से परे एक और भौतिक समरूपता है, विशेष रूप से बोसॉन और फरमिओन्स के बीच एक समरूपता। सुपरसिमेट्री का दावा है कि प्रत्येक प्रकार के बोसॉन में, एक सुपरसिमेट्रिक पार्टनर के रूप में, एक फर्मियन होता है, जिसे सुपरपार्टनर कहा जाता है, और इसके विपरीत। सुपरसिमेट्री को अभी तक प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं किया गया है: किसी भी ज्ञात कण में किसी अन्य ज्ञात कण का सुपरपार्टनर होने के लिए सही गुण नहीं हैं। वर्तमान में एलएचसी एक ऐसे रन की तैयारी कर रहा है जो सुपरसिमेट्री का परीक्षण करता है।

भौतिक समरूपता का गणित

भौतिक समरूपता का वर्णन करने वाले परिवर्तन आम तौर पर एक गणितीय समूह (गणित) बनाते हैं। समूह सिद्धांत भौतिकविदों के लिए गणित का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है।

निरंतर समरूपताएं गणितीय रूप से निरंतर समूहों (जिन्हें लाई समूह कहा जाता है) द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं। कई भौतिक समरूपताएं आइसोमेट्री हैं और समरूपता समूहों द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं। कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग अधिक सामान्य प्रकार की समरूपताओं के लिए किया जाता है। किसी गोले के किसी भी अक्ष के माध्यम से सभी उचित घुमावों (किसी भी कोण के बारे में) का सेट एक झूठ समूह बनाता है जिसे विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) कहा जाता है। ('3' एक साधारण गोले के त्रि-आयामी स्थान को संदर्भित करता है।) इस प्रकार, उचित घुमाव के साथ गोले का समरूपता समूह SO(3) है। कोई भी घुमाव गेंद की सतह पर दूरियाँ बनाए रखता है। सभी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का सेट एक समूह बनाता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह कहा जाता है (इसे पोंकारे समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है)।

अलग-अलग समूह अलग-अलग समरूपता का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज की समरूपता को सममित समूह S द्वारा दर्शाया जाता है₃.

स्थानीय समरूपता पर आधारित एक प्रकार के भौतिक सिद्धांत को गेज सिद्धांत कहा जाता है और ऐसे सिद्धांत के लिए प्राकृतिक समरूपता को गेज समरूपता कहा जाता है। मानक मॉडल में गेज समरूपता, तीन मूलभूत इंटरैक्शन का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाती है, जो एसयू (3) × एसयू (2) × यू (1) समूह पर आधारित हैं। (मोटे तौर पर कहें तो, SU(3) समूह की समरूपता मजबूत बल का वर्णन करती है, SU(2) समूह कमजोर अंतःक्रिया का वर्णन करता है और U(1) समूह [[विद्युत चुम्बकीय बल]] का वर्णन करता है।)

इसके अलावा, एक समूह द्वारा कार्रवाई के तहत कार्यात्मक ऊर्जा की समरूपता में कमी और सममित समूहों के परिवर्तनों का सहज समरूपता टूटना कण भौतिकी में विषयों को स्पष्ट करता प्रतीत होता है (उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व की विद्युत कमजोर अंतःक्रिया और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में कमजोर बल)।

संरक्षण नियम और समरूपता

किसी भौतिक प्रणाली के समरूपता गुण उस प्रणाली की विशेषता वाले संरक्षण कानूनों से घनिष्ठ रूप से संबंधित होते हैं। नोएथर का प्रमेय इस संबंध का सटीक विवरण देता है। प्रमेय बताता है कि किसी भौतिक प्रणाली की प्रत्येक निरंतर समरूपता का तात्पर्य है कि उस प्रणाली की कुछ भौतिक संपत्ति संरक्षित है। इसके विपरीत, प्रत्येक संरक्षित मात्रा में एक संगत समरूपता होती है। उदाहरण के लिए, स्थानिक अनुवाद समरूपता (यानी अंतरिक्ष की एकरूपता) गति के संरक्षण को जन्म देती है|(रैखिक) गति के संरक्षण, और अस्थायी अनुवाद समरूपता (यानी समय की एकरूपता) ऊर्जा के संरक्षण को जन्म देती है।

निम्नलिखित तालिका कुछ मूलभूत समरूपताओं और संबंधित संरक्षित मात्रा का सारांश प्रस्तुत करती है।

Class	Invariance	Conserved quantity
Proper orthochronous Lorentz symmetry	translation in time (homogeneity)	energy E
	translation in space (homogeneity)	linear momentum p
	rotation in space (isotropy)	angular momentum L = r × p
	Lorentz-boost (isotropy)	boost 3-vector N = tp − Er
Discrete symmetry	P, coordinate inversion	spatial parity
	C, charge conjugation	charge parity
	T, time reversal	time parity
	CPT	product of parities
Internal symmetry (independent of spacetime coordinates)	U(1) gauge transformation	electric charge
	U(1) gauge transformation	lepton generation number
	U(1) gauge transformation	hypercharge
	U(1)_Y gauge transformation	weak hypercharge
	U(2) [ U(1) × SU(2) ]	electroweak force
	SU(2) gauge transformation	isospin
	SU(2)_L gauge transformation	weak isospin
	P × SU(2)	G-parity
	SU(3) "winding number"	baryon number
	SU(3) gauge transformation	quark color
	SU(3) (approximate)	quark flavor
	S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ]	Standard Model

गणित

भौतिकी में निरंतर समरूपता परिवर्तनों को संरक्षित रखती है। कोई यह दिखाकर समरूपता निर्दिष्ट कर सकता है कि कैसे एक बहुत छोटा परिवर्तन विभिन्न कण क्षेत्र (भौतिकी) को प्रभावित करता है। इनमें से दो अतिसूक्ष्म परिवर्तनों का कम्यूटेटर उसी प्रकार के तीसरे अतिसूक्ष्म परिवर्तन के बराबर है, इसलिए वे एक लाई बीजगणित बनाते हैं।

एक सामान्य समन्वय परिवर्तन को सामान्य क्षेत्र के रूप में वर्णित किया गया है $h(x)$ (जिसे भिन्नता के रूप में भी जाना जाता है) का अदिश क्षेत्र पर असीम प्रभाव पड़ता है $\phi (x)$ , स्पिनर क्षेत्र $\psi (x)$ या वेक्टर फ़ील्ड $A(x)$ जिसे व्यक्त किया जा सकता है (आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करके):

\delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)

\delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)

गुरुत्वाकर्षण के बिना केवल पोंकारे समरूपताएं संरक्षित रहती हैं जो प्रतिबंधित करती हैं $h(x)$ स्वरूप का होना:

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }

जहां एम एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स (गणित) है (लोरेंत्ज़ और घूर्णी समरूपता दे रहा है) और पी एक सामान्य वेक्टर है (अनुवादात्मक समरूपता दे रहा है)। अन्य समरूपताएँ एक साथ कई क्षेत्रों को प्रभावित करती हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय गेज परिवर्तन वेक्टर और स्पिनर फ़ील्ड दोनों पर लागू होते हैं:

\delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),

कहाँ $\tau$ एक विशेष लाई समूह के जनरेटर हैं। अब तक दाईं ओर के परिवर्तनों में केवल उसी प्रकार के फ़ील्ड शामिल हैं। सुपरसममेट्री को विभिन्न प्रकार के मिश्रण क्षेत्रों के अनुसार परिभाषित किया गया है।

एक और समरूपता जो भौतिकी के कुछ सिद्धांतों का हिस्सा है और अन्य में नहीं, स्केल इनवेरिएंस है जिसमें निम्नलिखित प्रकार के वेइल परिवर्तन शामिल हैं:

\delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)

यदि क्षेत्रों में यह समरूपता है तो यह दिखाया जा सकता है कि क्षेत्र सिद्धांत लगभग निश्चित रूप से अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय भी है। इसका मतलब यह है कि गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में h(x) इस रूप तक सीमित रहेगा:

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },

डी के साथ बड़े पैमाने पर परिवर्तन उत्पन्न होते हैं और के विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, N = 4 सुपर-यांग-मिल्स सिद्धांत में यह समरूपता है जबकि सामान्य सापेक्षता में नहीं है, हालांकि गुरुत्वाकर्षण के अन्य सिद्धांत जैसे अनुरूप गुरुत्वाकर्षण में ऐसा है। क्षेत्र सिद्धांत की 'क्रिया' सिद्धांत की सभी समरूपताओं के तहत एक अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है। आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी का अधिकांश भाग ब्रह्मांड में मौजूद विभिन्न समरूपताओं पर अनुमान लगाने और मॉडल के रूप में क्षेत्र सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए अपरिवर्तकों को खोजने से संबंधित है।

स्ट्रिंग सिद्धांतों में, चूंकि एक स्ट्रिंग को अनंत संख्या में कण क्षेत्रों में विघटित किया जा सकता है, स्ट्रिंग वर्ल्ड शीट पर समरूपता विशेष परिवर्तनों के बराबर है जो अनंत संख्या में क्षेत्रों को मिलाती है।

यह भी देखें

संदर्भ

सामान्य पाठक

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तकनीकी पाठक

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बाहरी संबंध

The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 52: Symmetry in Physical Laws
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Symmetry"—by K. Brading and E. Castellani.
Pedagogic Aids to Quantum Field Theory Click on link to Chapter 6: Symmetry, Invariance, and Conservation for a simplified, step-by-step introduction to symmetry in physics.