सी-समरूपता

भौतिकी में, चार्ज संयुग्मन एक परिवर्तन (गणित) है जो सभी [[ कण ]]ों को उनके संबंधित एंटीपार्टिकल्स के साथ स्विच करता है, इस प्रकार सभी चार्ज (भौतिकी) का संकेत बदलता है: न केवल विद्युत चार्ज बल्कि अन्य बलों के लिए प्रासंगिक शुल्क भी। शब्द सी-समरूपता वाक्यांश चार्ज संयुग्मन समरूपता का एक संक्षिप्त नाम है, और चार्ज-संयुग्मन के तहत भौतिक कानूनों की समरूपता की चर्चा में उपयोग किया जाता है। अन्य महत्वपूर्ण असतत समरूपता एं पी-समरूपता (समता) और टी-समरूपता (समय उत्क्रमण) हैं।

ये असतत समरूपता, सी, पी और टी, समीकरणों की समरूपताएं हैं जो प्रकृति की ज्ञात मौलिक शक्तियों का वर्णन करती हैं: विद्युत चुंबकत्व, गुरुत्वाकर्षण , मजबूत बातचीत और कमजोर बातचीत । यह सत्यापित करना कि क्या कुछ दिए गए गणितीय समीकरण सही ढंग से मॉडल प्रकृति को न केवल निरंतर समरूपता , जैसे समय में गति , बल्कि इसकी असतत समरूपता के लिए भौतिक व्याख्या देने की आवश्यकता है, और फिर यह निर्धारित करना कि प्रकृति इन समरूपताओं का पालन करती है या नहीं। निरंतर समरूपताओं के विपरीत, असतत समरूपताओं की व्याख्या बौद्धिक रूप से थोड़ी अधिक मांग और भ्रमित करने वाली है। 1950 के दशक में एक प्रारंभिक आश्चर्य प्रकट हुआ, जब enshi UN GW U ने प्रदर्शित किया कि कमजोर बातचीत ने पी-समरूपता का उल्लंघन किया। कई दशकों तक, ऐसा प्रतीत हुआ कि संयुक्त समरूपता सीपी संरक्षित थी, जब तक कि सीपी उल्लंघन | सीपी-उल्लंघनकारी बातचीत की खोज नहीं हुई थी। दोनों खोजों से नोबेल पुरस्कार मिलता है।

सी-समरूपता शारीरिक रूप से विशेष रूप से परेशानी भरा है, क्योंकि ब्रह्मांड मुख्य रूप से पदार्थ से भरा है, न कि पदार्थ-विरोधी, जबकि भौतिक कानूनों की भोले सी-समरूपता से पता चलता है कि दोनों की समान मात्रा होनी चाहिए। वर्तमान में यह माना जाता है कि प्रारंभिक ब्रह्मांड के दौरान सीपी-उल्लंघन अतिरिक्त पदार्थ के लिए जिम्मेदार हो सकता है, हालांकि बहस सुलझा नहीं है। ब्रह्माण्ड विज्ञान पर पहले की पाठ्यपुस्तकें, 1970 के दशक से पहले की, नियमित रूप से सुझाव दिया गया कि शायद दूर की आकाशगंगाएँ पूरी तरह से विरोधी पदार्थ से बनी हैं, इस प्रकार ब्रह्मांड में शून्य का शुद्ध संतुलन बनाए रखता है।

यह लेख डिराक समीकरण और क्वांटम फील्ड सिद्धांत की संरचना सहित विभिन्न महत्वपूर्ण समीकरणों और सैद्धांतिक प्रणालियों के सी-समरूपता को उजागर करने और स्पष्ट करने पर केंद्रित है। विभिन्न मौलिक कण ों को आवेश संयुग्मन के तहत व्यवहार के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है; यह सी-समता पर लेख में वर्णित है।

अनौपचारिक सिंहावलोकन

चार्ज संयुग्मन तीन अलग-अलग लेकिन बारीकी से संबंधित सेटिंग्स में एक समरूपता के रूप में होता है: क्लेन-गॉर्डन समीकरण और डिराक समीकरण सहित कई उल्लेखनीय अंतर समीकरणों के (शास्त्रीय, गैर-मात्राबद्ध) समाधानों की समरूपता, संबंधित क्वांटम फ़ील्ड की समरूपता , और एक सामान्य सेटिंग में, (छद्म-) रीमैनियन ज्यामिति में एक समरूपता। सभी तीन मामलों में, समरूपता को अंततः जटिल संयुग्मन के तहत एक समरूपता के रूप में प्रकट किया जाता है, हालांकि वास्तव में जो संयुग्मित किया जा रहा है, जहां कभी-कभी अस्पष्ट हो सकता है, संकेतन, समन्वय विकल्पों और अन्य कारकों के आधार पर।

शास्त्रीय क्षेत्रों में

आवेश संयुग्मन समरूपता की व्याख्या विद्युत आवेश के रूप में की जाती है, क्योंकि तीनों मामलों (शास्त्रीय, क्वांटम और ज्यामिति) में, कोई भी नोथर धाराओं का निर्माण कर सकता है जो शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समान हैं। यह उत्पन्न होता है क्योंकि मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम शास्त्रीय विद्युतगतिकी को यू (1) फाइबर बंडल , तथाकथित सर्कल बंडल पर एक संरचना के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। यह विद्युत चुंबकत्व की एक ज्यामितीय व्याख्या प्रदान करता है: विद्युत चुम्बकीय क्षमता $A_{\mu }$ सर्कल बंडल पर कनेक्शन (गणित) (एहरसमैन कनेक्शन ) के रूप में व्याख्या की जाती है। यह ज्यामितीय व्याख्या तब (शाब्दिक रूप से लगभग) कुछ भी जटिल-संख्या-मूल्यवान संरचना को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से जोड़ने की अनुमति देती है, बशर्ते कि यह युग्मन गेज-अपरिवर्तनीय तरीके से किया जाता है। गेज समरूपता, इस ज्यामितीय सेटिंग में, एक बयान है कि, जैसे ही कोई सर्कल के चारों ओर घूमता है, युग्मित वस्तु को भी एक गोलाकार तरीके से बदलना चाहिए, इसी तरह से ट्रैकिंग करना। अधिक औपचारिक रूप से, कोई कहता है कि सर्कल पर स्थानीय समन्वय फ्रेम के परिवर्तन के तहत समीकरणों को अपरिवर्तनीय होना चाहिए। यू (1) के लिए, यह केवल यह कथन है कि सिस्टम एक चरण कारक द्वारा गुणा के तहत अपरिवर्तनीय है $e^{i\phi (x)}$ जो (अंतरिक्ष-समय) निर्देशांक पर निर्भर करता है $x.$ इस ज्यामितीय सेटिंग में, चार्ज संयुग्मन को असतत समरूपता के रूप में समझा जा सकता है $z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)$ जो जटिल संयुग्मन करता है, जो वृत्त के चारों ओर दिशा की भावना को उलट देता है।

क्वांटम सिद्धांत में

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, आवेश संयुग्मन को कणों के साथ कणों के आदान-प्रदान के रूप में समझा जा सकता है। इस कथन को समझने के लिए, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत क्या है, इसकी न्यूनतम समझ होनी चाहिए। (विशाल रूप से) सरलीकृत शब्दों में, यह गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से युग्मित अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान प्राप्त करने के लिए गणना करने की एक तकनीक है। इस प्रक्रिया का एक प्रमुख घटक क्वांटम क्षेत्र है, जो सिस्टम में प्रत्येक (मुक्त, अयुग्मित) अंतर समीकरणों के लिए एक है। एक क्वांटम क्षेत्र को पारंपरिक रूप से के रूप में लिखा जाता है

$\psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$

कहाँ पे ${\vec {p}}$ गति है, $\sigma$ एक स्पिन लेबल है, $n$ सिस्टम में अन्य राज्यों के लिए एक सहायक लेबल है। $a$ एच> और $a^{\dagger }$ सृजन और विनाश संचालक (सीढ़ी संचालक) हैं और $u,v$ प्रश्न में अंतर समीकरण (मुक्त, गैर-अंतःक्रियात्मक, अयुग्मित) के समाधान हैं। क्वांटम क्षेत्र एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, क्योंकि सामान्य तौर पर, यह ज्ञात नहीं है कि युग्मित विभेदक प्रश्नों की प्रणाली का सटीक समाधान कैसे प्राप्त किया जाए। हालांकि, गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से, फ्री-फील्ड समाधानों के संयोजन के रूप में अनुमानित समाधानों का निर्माण किया जा सकता है। इस निर्माण को करने के लिए, आवश्यकता पड़ने पर, किसी एक दिए गए फ्री-फील्ड समाधान, ऑन-डिमांड के साथ निकालने और काम करने में सक्षम होना चाहिए। क्वांटम क्षेत्र बिल्कुल यही प्रदान करता है: यह एक वेक्टर अंतरिक्ष में सभी संभावित मुक्त-क्षेत्र समाधानों की गणना करता है जैसे कि उनमें से किसी एक को किसी भी समय सृजन और विनाश ऑपरेटरों के माध्यम से एकल किया जा सकता है।

सृजन और विनाश संचालक विहित कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं, जिसमें एक ऑपरेटर दूसरे द्वारा बनाए गए कार्यों को पूर्ववत करता है। इसका तात्पर्य है कि किसी दिए गए समाधान $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ इसके विरोधी समाधान के साथ जोड़ा जाना चाहिए $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ ताकि एक दूसरे को पूर्ववत या रद्द कर दे। युग्मन का प्रदर्शन किया जाना है ताकि सभी समरूपता संरक्षित रहे। जैसा कि आम तौर पर लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस में दिलचस्पी होती है, क्वांटम फ़ील्ड में सभी संभावित लोरेंत्ज़ समन्वय फ़्रेमों पर एक अभिन्न अंग होता है, जो ऊपर सभी संभावित गति पर एक अभिन्न के रूप में लिखा जाता है (यह फ्रेम बंडल के फाइबर पर एक अभिन्न अंग है)। युग्मन के लिए आवश्यक है कि एक दिया गया $u\left({\vec {p}}\right)$ a . के साथ जुड़ा हुआ है $v\left({\vec {p}}\right)$ विपरीत गति और ऊर्जा का। क्वांटम क्षेत्र भी सभी संभावित स्पिन राज्यों पर एक योग है; दोहरी जोड़ी फिर से विपरीत स्पिन से मेल खाती है। इसी तरह किसी अन्य क्वांटम संख्या के लिए, इन्हें भी विपरीत के रूप में जोड़ा जाता है। इस दोहरी जोड़ी को करने में एक तकनीकी कठिनाई है: किसी को यह बताना चाहिए कि किसी दिए गए समाधान के लिए इसका क्या अर्थ है $u$ किसी अन्य समाधान के लिए दोहरी होना $v,$ और इसे इस तरह से वर्णन करने के लिए कि फ्रेम बंडल के फाइबर पर एकीकृत करते समय, स्पिन का वर्णन करने वाले फाइबर पर एकीकृत (सारांश) करते समय, और किसी भी अन्य फाइबर पर एकीकृत (सारांश) करते समय यह लगातार दोहरा रहता है। लिखित।

जब फाइबर को एकीकृत करने के लिए विद्युत चुंबकत्व का यू (1) फाइबर होता है, तो दोहरी जोड़ी ऐसी होती है कि फाइबर पर दिशा (अभिविन्यास) उलट जाती है। जब फाइबर को एकीकृत किया जाता है तो रंग प्रभार का एसयू (3) फाइबर होता है, दोहरी जोड़ी फिर से अभिविन्यास को उलट देती है। यह सिर्फ एसयू (3) के लिए काम करता है क्योंकि इसमें दो दोहरे मौलिक प्रतिनिधित्व हैं $\mathbf {3}$ तथा ${\overline {\mathbf {3} }}$ जिसे स्वाभाविक रूप से जोड़ा जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र के लिए यह नुस्खा स्वाभाविक रूप से किसी भी स्थिति को सामान्य करता है जहां कोई सिस्टम की निरंतर समरूपता की गणना कर सकता है, और एक सुसंगत, सुसंगत फैशन में दोहरे को परिभाषित कर सकता है। जोड़ी पूरी तरह से अमूर्त अर्थ में विपरीत चार्ज (भौतिकी) को एक साथ जोड़ती है। भौतिकी में, एक निरंतर समरूपता के जनरेटर के साथ एक चार्ज जुड़ा होता है। उन समरूपताओं के लिए सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित के कासिमिर अपरिवर्तनीय के विभिन्न ईजेनस्पेस के साथ अलग-अलग शुल्क जुड़े हुए हैं। यह अंतर्निहित अंतरिक्ष समय मैनिफोल्ड (गणित) के लोरेंत्ज़ समरूपता दोनों के साथ-साथ स्पेसटाइम मैनिफोल्ड के ऊपर स्थित फाइबर बंडल में किसी भी फाइबर की समरूपता दोनों के लिए मामला है। द्वैत समरूपता के जनरेटर को माइनस जनरेटर से बदल देता है। चार्ज संयुग्मन इस प्रकार रेखा बंडल या समरूपता के स्थान के निर्धारक बंडल के साथ प्रतिबिंब के साथ जुड़ा हुआ है।

उपरोक्त तब क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्र के सामान्य विचार का एक स्केच है। भौतिक व्याख्या यह है कि समाधान $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ कणों के अनुरूप, और समाधान $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ एंटीपार्टिकल्स के अनुरूप है, और इसलिए चार्ज संयुग्मन दोनों की एक जोड़ी है। यह स्केच यह इंगित करने के लिए पर्याप्त संकेत भी प्रदान करता है कि सामान्य ज्यामितीय सेटिंग में चार्ज संयुग्मन कैसा दिख सकता है। क्वांटम क्षेत्रों के निर्माण के लिए गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करने के लिए कोई विशेष मजबूर आवश्यकता नहीं है जो एक परेशान विस्तार में मध्य-पुरुषों के रूप में कार्य करेगा। चार्ज संयुग्मन को एक सामान्य सेटिंग दी जा सकती है।

ज्यामिति में

सामान्य रिमेंनियन मैनिफोल्ड और [[ छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड ]] के लिए, एक में एक स्पर्शरेखा बंडल , एक कोटेंजेंट बंडल और एक मीट्रिक टेंसर होता है जो दोनों को एक साथ जोड़ता है। ऐसी कई दिलचस्प चीजें हैं जो कोई कर सकता है, जब इस स्थिति को प्रस्तुत किया जाता है। एक यह है कि चिकनी संरचना कई गुना अंतर समीकरण ों को प्रस्तुत करने की अनुमति देती है; [[ स्पर्शरेखा स्थान ]] और कोटेंजेंट रिक्त स्थान अलग-अलग कई गुना प्रदर्शन करने के लिए पर्याप्त संरचना प्रदान करते हैं। लाप्लासियन की मुख्य रुचि है, और, एक स्थिर अवधि के साथ, क्लेन-गॉर्डन ऑपरेटर के लिए कितनी मात्रा में है। कोटैंजेंट बंडल, उनके मूल निर्माण से, हमेशा सहानुभूतिपूर्ण कई गुना होते हैं। सहानुभूति कई गुना में विहित निर्देशांक होते हैं $x,p$ विहित रूपान्तरण संबंधों का पालन करते हुए, स्थिति और गति के रूप में व्याख्या की गई। यह द्वैत का विस्तार करने के लिए मुख्य बुनियादी ढांचा प्रदान करता है, और इस प्रकार इस सामान्य सेटिंग में संयुग्मन को चार्ज करता है।

एक दूसरी दिलचस्प बात यह है कि एक स्पिन संरचना का निर्माण करना है। शायद इसके बारे में सबसे उल्लेखनीय बात यह है कि यह एक बहुत ही पहचानने योग्य सामान्यीकरण है $(p,q)$एक (1,3) -आयामी मिंकोव्स्की स्पेसटाइम पर रहने वाले स्पिनर ों की पारंपरिक भौतिकी अवधारणा के -आयामी छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड। क्लिफर्ड बंडल और स्पिन मैनिफोल्ड बनाने के लिए निर्माण एक जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित से होकर गुजरता है। इस निर्माण के अंत में, एक ऐसी प्रणाली प्राप्त करता है जो उल्लेखनीय रूप से परिचित है, यदि कोई पहले से ही डिराक स्पिनर्स और डिराक समीकरण से परिचित है। इस सामान्य मामले में कई उपमाएं गुजरती हैं। सबसे पहले, स्पिनर वेइल स्पिनर हैं, और वे जटिल-संयुग्मित जोड़े में आते हैं। वे स्वाभाविक रूप से एंटी-कम्यूटिंग हैं (यह क्लिफोर्ड बीजगणित से अनुसरण करता है), जो वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत के साथ संपर्क बनाना चाहता है। दूसरा एक चिरल समरूपता का अस्तित्व है, जो गामा मैट्रिक्स के समान है $\gamma _{5}$ जो इन स्पिनरों को बाएँ और दाएँ हाथ के उप-स्थानों में क्रमबद्ध करता है। जटिलता एक प्रमुख घटक है, और यह इस सामान्यीकृत सेटिंग में विद्युत चुंबकत्व प्रदान करता है। स्पिनर बंडल सिर्फ छद्म-ऑर्थोगोनल समूह के तहत नहीं बदलता है $SO(p,q)$, लोरेंत्ज़ समूह का सामान्यीकरण $SO(1,3)$, लेकिन एक बड़े समूह के तहत, जटिल स्पिन समूह $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).$ यह इस मायने में बड़ा है कि इसमें एक कवर (गणित) है $SO(p,q)\times U(1).$

$U(1)$ h> टुकड़े को विद्युत चुंबकत्व के साथ कई अलग-अलग तरीकों से पहचाना जा सकता है। एक तरीका यह है कि डिराक ऑपरेटर ्स स्पिन मैनिफोल्ड पर, जब स्क्वायर किया जाता है, तो इसमें एक टुकड़ा होता है $F=dA$ साथ $A$ के साथ जुड़े कनेक्शन के उस हिस्से से उत्पन्न होने वाली $U(1)$ टुकड़ा। यह पूरी तरह से उसी के अनुरूप है जब कोई साधारण मिंकोवस्की स्पेसटाइम में साधारण डिराक समीकरण का वर्ग करता है। दूसरा संकेत यह है कि यह $U(1)$ टुकड़ा स्पिन संरचना के निर्धारक बंडल के साथ जुड़ा हुआ है, जटिल संयुग्मन के माध्यम से बाएं और दाएं हाथ के स्पिनरों को प्रभावी ढंग से एक साथ बांधता है।

उपरोक्त निर्माण की असतत समरूपता के माध्यम से काम करना बाकी है। कई ऐसे हैं जो पी-समरूपता और टी-समरूपता को सामान्य बनाते हैं। की पहचान करना $p$ समय के साथ आयाम, और $q$ अंतरिक्ष के साथ आयाम, कोई स्पर्शरेखा वैक्टर को उलट सकता है $p$ समय उलट पाने के लिए आयामी उप-स्थान, और की दिशा को फ़्लिप करना $q$ आयाम समता से मेल खाते हैं। सी-समरूपता को लाइन बंडल पर प्रतिबिंब के साथ पहचाना जा सकता है। इन सभी को एक साथ एक गाँठ में बाँधने के लिए, अंत में ट्रांसपोज़िशन (गणित) की अवधारणा होती है, जिसमें क्लिफोर्ड बीजगणित के तत्वों को उल्टे (स्थानांतरित) क्रम में लिखा जा सकता है। शुद्ध परिणाम यह है कि न केवल क्षेत्रों के पारंपरिक भौतिकी के विचार सामान्य रीमैनियन सेटिंग पर जाते हैं, बल्कि असतत समरूपता के विचार भी हैं।

इस पर प्रतिक्रिया करने के दो तरीके हैं। एक तो इसे एक दिलचस्प जिज्ञासा के रूप में लेना है। दूसरा यह महसूस करना है कि, कम आयामों में (निम्न-आयामी स्पेसटाइम में) विभिन्न झूठ समूह ों और अन्य मिश्रित संरचनाओं के बीच कई आकस्मिक समरूपताएं हैं। एक सामान्य सेटिंग में उनकी जांच करने में सक्षम होने के कारण ये रिश्ते अलग हो जाते हैं, और अधिक स्पष्ट रूप से उजागर करते हैं कि चीजें कहां से आती हैं।

डिराक क्षेत्रों के लिए चार्ज संयुग्मन

विद्युत चुम्बकत्व के नियम (शास्त्रीय भौतिकी और मात्रा दोनों) अपने ऋणात्मक के साथ विद्युत आवेशों के आदान-प्रदान के तहत अपरिवर्तनीय (भौतिकी) हैं। इलेक्ट्रॉन ों और क्वार्क ों के मामले में, दोनों मौलिक कण फर्मियन क्षेत्र हैं, एकल-कण क्षेत्र उत्तेजनाओं का वर्णन डायराक समीकरण द्वारा किया जाता है

$(i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0$

एक चार्ज-संयुग्म समाधान खोजना चाहता है

$(i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0$

मुट्ठी भर बीजीय जोड़तोड़ पहले से दूसरा प्राप्त करने के लिए पर्याप्त हैं। डिराक समीकरण के मानक प्रदर्शन एक संयुग्म क्षेत्र प्रदर्शित करते हैं ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},$ एक कण-विरोधी क्षेत्र के रूप में व्याख्या की गई, जो जटिल-ट्रांसपोज़्ड डायराक समीकरण को संतुष्ट करती है

${\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0$

ध्यान दें कि कुछ लेकिन सभी संकेत फ़्लिप नहीं हुए हैं। इसे फिर से ट्रांसपोज़ करने से लगभग वांछित रूप मिलता है, बशर्ते कि कोई 4×4 मैट्रिक्स पा सके $C$ जो आवश्यक साइन-चेंज डालने के लिए गामा मैट्रिसेस को स्थानांतरित करता है:

$C\gamma _{\mu }C^{-1}=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}$

चार्ज संयुग्म समाधान तब इनवॉल्यूशन (गणित) द्वारा दिया जाता है

$\psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$

4×4 मैट्रिक्स $C,$ चार्ज संयुग्मन मैट्रिक्स कहा जाता है, गामा मैट्रिक्स पर लेख में एक स्पष्ट रूप दिया गया है। मजे की बात यह है कि यह फॉर्म प्रतिनिधित्व-स्वतंत्र नहीं है, लेकिन गामा समूह के लिए चुने गए विशिष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है (क्लिफोर्ड बीजगणित का उपसमूह गामा मैट्रिक्स के बीजगणितीय गुणों को कैप्चर करता है)। यह मैट्रिक्स एक सूक्ष्म परस्पर क्रिया के कारण प्रतिनिधित्व पर निर्भर है जिसमें आवेशित कणों के लोरेंत्ज़ सहप्रसरण का वर्णन करने वाले स्पिन समूह की जटिलता शामिल है। जटिल संख्या $\eta _{c}$ एक मनमाना चरण कारक है $|\eta _{c}|=1,$ आम तौर पर माना जाता है $\eta _{c}=1.$

चार्ज संयुग्मन, चिरायता, हेलीकॉप्टर

चिरायता और आवेश संयुग्मन के बीच परस्पर क्रिया थोड़ी सूक्ष्म है, और इसके लिए अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। अक्सर यह कहा जाता है कि आवेश संयुग्मन कणों की चिरायता (भौतिकी) को नहीं बदलता है। यह फ़ील्ड के मामले में नहीं है, कणों की छेद सिद्धांत व्याख्या में उत्पन्न होने वाला अंतर, जहां एक कण की अनुपस्थिति के रूप में एक विरोधी कण की व्याख्या की जाती है। यह नीचे व्यक्त किया गया है।

परंपरागत रूप से, $\gamma _{5}$ chirality ऑपरेटर के रूप में प्रयोग किया जाता है। चार्ज संयुग्मन के तहत, यह बदल जाता है

$C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}$

और चाहे या नहीं $\gamma _{5}^{\textsf {T}}$ बराबरी $\gamma _{5}$ गामा मैट्रिक्स के लिए चुने गए प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है। Dirac और chiral आधार में, किसी के पास वह होता है $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}$, जबकि $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}$ मेजराना आधार पर प्राप्त किया जाता है। एक काम किया उदाहरण निम्नानुसार है।

वील स्पिनर्स

बड़े पैमाने पर डिराक स्पिनर क्षेत्रों के मामले में, सकारात्मक ऊर्जा समाधानों के लिए चिरायता हेलीकॉप्टर के बराबर है (और नकारात्मक ऊर्जा समाधान के लिए हेलीकॉप्टर घटाएं)। कोई व्यक्ति इसे द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण को इस प्रकार लिखकर प्राप्त करता है

$i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0$

से गुणा करना $\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ एक प्राप्त करता है

${\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi$

कहाँ पे $\sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2$ कोणीय गति संचालिका है और $\epsilon _{ijk}$ पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर है। इसे 3D स्पिन ऑपरेटर को परिभाषित करके थोड़ा अधिक पहचानने योग्य रूप में लाया जा सकता है $\Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},$ एक विमान-लहर राज्य लेना $\psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)$, ऑन-शेल बाधा को लागू करना कि $k\cdot k=0$ और एक 3D इकाई वेक्टर होने के लिए गति को सामान्य करना: ${\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}$ लिखना

$\left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.$ उपरोक्त की जांच करते हुए, कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि कोणीय गति eigenstates (हेलीसिटी (कण भौतिकी) eigenstates) chirality (भौतिकी) के eigenstates के अनुरूप है। यह बड़े पैमाने पर डिराक क्षेत्र को वेइल स्पिनरों की एक जोड़ी में स्पष्ट रूप से विभाजित करने की अनुमति देता है $\psi _{\text{L}}$ तथा $\psi _{\text{R}},$ प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से वेइल समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन विपरीत ऊर्जा के साथ:

$\left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0$

तथा

$\left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0$

स्वतंत्रता पर ध्यान दें कि किसी को नकारात्मक ऊर्जा के साथ नकारात्मक हेलीकॉप्टर की बराबरी करनी है, और इस प्रकार विपरीत कण के साथ विरोधी कण। स्पष्ट होने के लिए, $\sigma$ यहाँ पॉल के मैट्रिक्स हैं, और $p_{\mu }=i\partial _{\mu }$ गति संचालिका है।

चिरल आधार में आवेश संयुग्मन

गामा मेट्रिसेस लेना#गामा मेट्रिसेस का वेइल प्रतिनिधित्व, कोई लिख सकता है (अब बड़े पैमाने पर लिया गया) डिराक स्पिनर के रूप में

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}$

संगत दोहरा (कण-विरोधी) क्षेत्र है

${\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

चार्ज-कॉन्जुगेट स्पिनर हैं

$\psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

जहां, पहले की तरह, $\eta _{c}$ एक चरण कारक है जिसे लिया जा सकता है $\eta _{c}=1.$ ध्यान दें कि बाएँ और दाएँ राज्य परस्पर परिवर्तित हैं। इसे समता परिवर्तन के साथ बहाल किया जा सकता है। पी-सममिति के तहत, डिराक स्पिनर इस रूप में रूपांतरित होता है

$\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)$

संयुक्त प्रभार और समता के तहत, एक के पास है

$\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}$

परंपरागत रूप से, कोई लेता है $\eta _{c}=1$ विश्व स्तर पर। हालांकि, नीचे नोट देखें।

मजोराना की स्थिति

मेजराना समीकरण क्षेत्र और उसके चार्ज संयुग्म के बीच एक बाधा डालता है, अर्थात् वे बराबर होना चाहिए: $\psi =\psi ^{c}.$ यह शायद सबसे अच्छी आवश्यकता के रूप में कहा गया है कि मेजराना स्पिनर को चार्ज संयुग्मन शामिल होने का एक स्वदेशी होना चाहिए।

ऐसा करने के लिए कुछ उल्लेखनीय देखभाल की आवश्यकता होती है। चार्ज संयुग्मन पर चर्चा करने वाले कई ग्रंथों में, समावेश $\psi \mapsto \psi ^{c}$ डिराक समीकरण के एकल-कण समाधानों पर लागू होने पर, एक स्पष्ट प्रतीकात्मक नाम नहीं दिया जाता है। यह उस मामले के विपरीत है जब मात्रात्मक क्षेत्र पर चर्चा की जाती है, जहां एक एकात्मक ऑपरेटर ${\mathcal {C}}$ परिभाषित किया गया है (जैसा कि बाद के अनुभाग में, नीचे किया गया है)। वर्तमान खंड के लिए, इनवोल्यूशन को नाम दिया जाए ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}$ ताकि ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.$ इसे एक रेखीय संचालिका मानकर, कोई इसके स्वदेशी पर विचार कर सकता है। मेजराना की स्थिति में से एक ऐसा है: ${\mathsf {C}}\psi =\psi .$ हालाँकि, दो ऐसे स्वदेशी हैं: ${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.$ वेइल के आधार पर जारी, ऊपर के रूप में, ये स्वदेशी हैं

$\psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}$

तथा

$\psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}$

मेजराना स्पिनर को पारंपरिक रूप से केवल सकारात्मक स्वदेशी के रूप में लिया जाता है, अर्थात् $\psi ^{(+)}.$ चिरल ऑपरेटर $\gamma _{5}$ इन दोनों का आदान-प्रदान करता है, उसमें

$\gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}$

यह प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से सत्यापित किया जाता है। ध्यान में रखना है कि ${\mathsf {C}}$ क्या 'नहीं' में 4×4 मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व है! अधिक सटीक रूप से, कोई जटिल 4×4 मैट्रिक्स नहीं है जो एक जटिल संख्या को उसके जटिल संयुग्म में ले जा सकता है; इस व्युत्क्रमण के लिए 8×8 वास्तविक मैट्रिक्स की आवश्यकता होगी। चार्ज संयुग्मन के रूप में जटिल संयुग्मन की भौतिक व्याख्या नीचे के बाद के खंड में वर्णित अदिश क्षेत्रों के जटिल संयुग्मन पर विचार करते समय स्पष्ट हो जाती है।

चिरल eigenstates पर प्रोजेक्टर के रूप में लिखा जा सकता है $P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2$ तथा $P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,$ और इसलिए उपरोक्त अनुवाद करता है

$P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.$

यह सीधे उस चार्ज संयुग्मन को प्रदर्शित करता है, जिसे डायराक समीकरण के एकल-कण जटिल-संख्या-मूल्यवान समाधानों पर लागू किया जाता है, जो समाधान की चिरस्था को फ़्लिप करता है। चार्ज संयुग्मन eigenspaces पर प्रोजेक्टर हैं $P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}$ तथा $P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.$

ज्यामितीय व्याख्या

चरण कारक $\eta _{c}$ ज्यामितीय व्याख्या की जा सकती है। यह ध्यान दिया गया है कि, बड़े पैमाने पर डिराक स्पिनरों के लिए, मनमाना चरण कारक $\eta _{c}$ गति, और हेलीकॉप्टर (लेकिन चिरायता नहीं) दोनों पर निर्भर हो सकता है। यह कहने के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि यह चरण स्पिनर बंडल के फाइबर के साथ भिन्न हो सकता है, जो एक समन्वय फ्रेम की स्थानीय पसंद पर निर्भर करता है। एक और तरीका रखो, एक स्पिनर फ़ील्ड स्पिनर बंडल का एक स्थानीय खंड (फाइबर बंडल) होता है, और लोरेंत्ज़ बूस्ट और रोटेशन संबंधित फ्रेम बंडल के तंतुओं के साथ आंदोलनों के अनुरूप होते हैं (फिर से, स्थानीय समन्वय फ्रेम का एक विकल्प)। इस तरह से जांच की गई, इस अतिरिक्त चरण स्वतंत्रता की व्याख्या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से उत्पन्न होने वाले चरण के रूप में की जा सकती है। मेजराना स्पिनर ों के लिए, चरण को बूस्ट और रोटेशन के तहत अलग-अलग नहीं होने के लिए विवश किया जाएगा।

परिमाणित क्षेत्रों के लिए प्रभार संयुग्मन

उपरोक्त केवल एकल-कण समाधानों के लिए आवेश संयुग्मन का वर्णन करता है। जब डायराक क्षेत्र दूसरी मात्रा में होता है, जैसा कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में होता है, ऑपरेटरों द्वारा स्पिनर और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का वर्णन किया जाता है। चार्ज संयुग्मन समावेश तब एकात्मक ऑपरेटर के रूप में प्रकट होता है ${\mathcal {C}}$ कण क्षेत्रों पर अभिनय, के रूप में व्यक्त किया गया # $\psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\psi {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$

1. ${\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}{\overline {\psi }}{\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\,\psi ^{\textsf {T}}C^{-1}$
2. $A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}A_{\mu }{\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }$

जहां गैर सुलेख $C$ वही 4x4 मैट्रिक्स है जो पहले दिया गया था।

इलेक्ट्रोवीक थ्योरी में चार्ज रिवर्सल

आवेश संयुग्मन कणों की चिरायता (भौतिकी) को नहीं बदलता है। एक बाएं हाथ के न्युट्रीनो को चार्ज संयुग्मन द्वारा बाएं हाथ के एंटीन्यूट्रिनो में ले जाया जाएगा, जो मानक मॉडल में बातचीत नहीं करता है। यह गुण कमजोर अंतःक्रिया में सी-समरूपता के अधिकतम उल्लंघन से तात्पर्य है।

मानक मॉडल के कुछ पोस्ट किए गए एक्सटेंशन, जैसे बाएं-दाएं मॉडल , इस सी-समरूपता को पुनर्स्थापित करते हैं।

अदिश क्षेत्र

Dirac फ़ील्ड में एक छिपा हुआ है $U(1)$ गेज स्वतंत्रता, इसे डीरेक समीकरण या क्षेत्र में किसी और संशोधन के बिना सीधे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में जोड़े की इजाजत देता है। यह अदिश क्षेत्र ों के मामले में नहीं है, जिसे विद्युत चुंबकत्व के लिए जोड़े के लिए स्पष्ट रूप से जटिल किया जाना चाहिए। यह जटिल विमान के एक अतिरिक्त कारक में टेंसरिंग द्वारा किया जाता है $\mathbb {C}$ क्षेत्र में, या के साथ एक कार्टेशियन उत्पाद का निर्माण $U(1)$.

एक बहुत ही पारंपरिक तकनीक बस दो वास्तविक अदिश क्षेत्रों से शुरू करना है, $\phi$ तथा $\chi$ और एक रैखिक संयोजन बनाएँ

$\psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}$

चार्ज कंजुगेशन इन्वॉल्वमेंट (गणित) तब मैपिंग है ${\mathsf {C}}:i\mapsto -i$ चूंकि यह विद्युत चुम्बकीय क्षमता पर संकेत को उलटने के लिए पर्याप्त है (चूंकि इस जटिल संख्या का उपयोग इसे जोड़े में किया जा रहा है)। वास्तविक अदिश क्षेत्रों के लिए, आवेश संयुग्मन केवल पहचान मानचित्र है: ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi$ तथा ${\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi$ और इसलिए, जटिल क्षेत्र के लिए, चार्ज संयुग्मन उचित है ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.$ मैपस्टो तीर $\mapsto$ क्या कहाँ जाता है पर नज़र रखने के लिए सुविधाजनक है; बराबर पुराना अंकन बस लिखने के लिए है ${\mathsf {C}}\phi =\phi$ तथा ${\mathsf {C}}\chi =\chi$ तथा ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.$ उपरोक्त एक आवेशित अदिश क्षेत्र के पारंपरिक निर्माण का वर्णन करता है। अन्य तरीकों से अतिरिक्त बीजीय संरचना को खेतों में पेश करना भी संभव है। विशेष रूप से, कोई वास्तविक क्षेत्र को परिभाषित कर सकता है जो व्यवहार कर रहा है ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi$. जैसा कि यह वास्तविक है, यह अपने आप में विद्युत चुंबकत्व को नहीं जोड़ सकता है, लेकिन, जब जटिल हो जाता है, तो एक आवेशित क्षेत्र का परिणाम होगा जो इस रूप में बदल जाता है ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.$ चूंकि सी-समरूपता एक असतत समरूपता है, इसलिए किसी को इस तरह के बीजगणितीय खेल खेलने के लिए एक सिद्धांत की तलाश में कुछ स्वतंत्रता है जो कुछ भौतिक वास्तविकता को सही ढंग से मॉडल करता है।

भौतिकी साहित्य में, एक परिवर्तन जैसे ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi$ बिना किसी स्पष्टीकरण के लिखा जा सकता है। इसकी औपचारिक गणितीय व्याख्या यह है कि क्षेत्र $\phi$ का एक तत्व है $\mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}$ कहाँ पे $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.$ इस प्रकार, ठीक से बोलते हुए, फ़ील्ड को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: $\phi =(r,c)$ जो प्रभारी संयुग्मन के रूप में व्यवहार करता है ${\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).$ यह बहुत आकर्षक है, लेकिन इस ऋण चिह्न के स्थान के चारों ओर घूमने के लिए, इन्हें केवल गुणा करना औपचारिक रूप से सही नहीं है; यह ज्यादातर सिर्फ काम करता है, लेकिन इसे ठीक से ट्रैक करने में विफलता से भ्रम पैदा होगा।

प्रभारी और समता उत्क्रमण का संयोजन

कुछ समय के लिए यह माना जाता था कि एक संयुक्त सीपी-समरूपता को संरक्षित करने के लिए सी-समरूपता को समता (भौतिकी) -वर्जन परिवर्तन (पी-समरूपता देखें) के साथ जोड़ा जा सकता है। हालांकि, इस समरूपता के उल्लंघन की पहचान कमजोर अंतःक्रियाओं (विशेषकर खाना खा लो और बी मेसन ) में की गई है। मानक मॉडल में, यह CP उल्लंघन CKM मैट्रिक्स में एकल चरण के कारण होता है। यदि सीपी को टाइम रिवर्सल (टी-सममिति) के साथ जोड़ा जाता है, तो परिणामी सीपीटी-समरूपता को केवल वाइटमैन स्वयंसिद्ध ों का उपयोग करके सार्वभौमिक रूप से पालन करने के लिए दिखाया जा सकता है।

सामान्य सेटिंग्स में

चार्ज संयुग्मन के एनालॉग को उच्च-आयामी गामा मैट्रिसेस के लिए परिभाषित किया जा सकता है, वेइल-ब्राउर मैट्रिस पर लेख में दिए गए वेइल स्पिनरों के लिए एक स्पष्ट निर्माण के साथ। ध्यान दें, हालांकि, क्लिफोर्ड अलजेब्रा के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में संक्षेप में परिभाषित स्पिनर फ़ील्ड नहीं हैं; बल्कि, उन्हें शून्य-आयामी स्पेसटाइम पर विद्यमान माना जाना चाहिए।

टी-समरूपता का एनालॉग निम्नानुसार है $\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ Dirac स्पिनरों के लिए टी-संयुग्मन ऑपरेटर के रूप में। स्पिनरों में एक अंतर्निहित पी-समरूपता भी होती है, जो क्लिफोर्ड बीजगणित के सभी आधार वैक्टरों की दिशा को उलट कर प्राप्त की जाती है, जिससे स्पिनरों का निर्माण किया जाता है। स्पेसटाइम मैनिफोल्ड पर एक फर्मियन क्षेत्र के लिए पी और टी समरूपता के संबंध थोड़े सूक्ष्म हैं, लेकिन मोटे तौर पर निम्नानुसार वर्णित किए जा सकते हैं। जब क्लिफोर्ड बीजगणित के माध्यम से एक स्पिनर का निर्माण किया जाता है, तो निर्माण के लिए एक वेक्टर स्थान की आवश्यकता होती है जिस पर निर्माण करना है। परंपरा के अनुसार, यह सदिश स्थान किसी निश्चित, निश्चित स्पेसटाइम बिंदु (स्पर्शरेखा मैनिफोल्ड में एक एकल फाइबर) पर कई गुना स्पेसटाइम का स्पर्शरेखा स्थान है। स्पेसटाइम मैनिफोल्ड पर लागू पी और टी संचालन को तब समझा जा सकता है जैसे स्पर्शरेखा स्थान के निर्देशांक को भी फ़्लिप करना; इस प्रकार, दोनों एक साथ चिपके हुए हैं। समता या समय की दिशा को एक में पलटने से वह दूसरे में भी पलट जाती है। यह एक सम्मेलन है। इस संबंध को प्रचारित करने में विफल रहने पर कोई भी व्यक्ति असंबद्ध हो सकता है।

यह टेंगेंट स्पेस को सदिश स्थल के रूप में लेकर, इसे टेंसर बीजगणित तक विस्तारित करके, और फिर क्लिफोर्ड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए वेक्टर स्पेस पर एक आंतरिक उत्पाद का उपयोग करके किया जाता है। ऐसे प्रत्येक बीजगणित को एक फाइबर के रूप में मानते हुए, एक फाइबर बंडल प्राप्त होता है जिसे क्लिफोर्ड बंडल कहा जाता है। स्पर्शरेखा स्थान के आधार परिवर्तन के तहत, क्लिफोर्ड बीजगणित के तत्व स्पिन समूह के अनुसार रूपांतरित होते हैं। स्पिन समूह के साथ एक सिद्धांत फाइबर बंडल का निर्माण करना क्योंकि फाइबर एक स्पिन संरचना में परिणाम देता है।

उपरोक्त पैराग्राफ में जो कुछ गायब है वह स्वयं स्पिनर हैं। इन्हें कई गुना स्पर्शरेखा के जटिलीकरण की आवश्यकता होती है: इसे जटिल विमान के साथ टेंसर करना। एक बार यह हो जाने के बाद, वेइल स्पिनरों का निर्माण किया जा सकता है। इनका रूप है

$w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)$

जहां $e_{j}$ सदिश समष्टि के आधार सदिश हैं $V=T_{p}M$, बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $p\in M$ स्पेसटाइम मैनिफोल्ड में $M.$ वेइल स्पिनर अपने जटिल संयुग्मों के साथ स्पर्शरेखा स्थान को इस अर्थ में फैलाते हैं कि

$V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}$

बारी-बारी से बीजगणित $\wedge W$ स्पिनर स्पेस कहा जाता है, यह वह जगह है जहां स्पिनर रहते हैं, साथ ही साथ स्पिनरों के उत्पाद (इस प्रकार, उच्च स्पिन मूल्यों वाली वस्तुएं, जिनमें वैक्टर और टेंसर शामिल हैं)।

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एक ब्रेक ले रही है; इस खंड का विस्तार निम्नलिखित कथनों पर होना चाहिए:

• स्पिन संरचनाओं के निर्माण में बाधा है स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग w_2
• जटिल संयुग्मन दो स्पिनरों का आदान-प्रदान करता है
• डिराक ऑपरेटरों को परिभाषित किया जा सकता है कि वर्ग से लाप्लासियन यानी लेवी-सिविटा कनेक्शन का वर्ग (प्लस स्केलर वक्रता प्लस लाइन बंडल वक्रता)
• लाइन बंडल की वक्रता स्पष्ट रूप से F = dA ergo है यह E&M . होना चाहिए

यह भी देखें

• सी समता
• जी-समता
• एंटी-पार्टिकल
• antimatter
• वास्तव में तटस्थ कण

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• टी समरूपता
• मौलिक बल
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• लाइन बंडल
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• कार्तीय गुणन
• सीकेएम मैट्रिक्स
• उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स
• अंदरूनी प्रोडक्ट

संदर्भ

• Sozzi, M.S. (2008). Discrete symmetries and CP violation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8.