पॉल के मैट्रिक्स

वोल्फगैंग पाउली (1900-1958), सी. 1924. पाउली को 1945 में पाउली अपवर्जन सिद्धांत के लिए अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा नामित भौतिकी में नोबेल पुरस्कार मिला।

गणितीय भौतिकी और गणित में, पाउली मैट्रिक्स तीन का एक सेट है 2 × 2 जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) जो हर्मिटियन मैट्रिक्स, अनैच्छिक मैट्रिक्स और एकात्मक मैट्रिक्स हैं। आमतौर पर ग्रीक (वर्णमाला) अक्षर सिग्मा द्वारा इंगित किया जाता है (σ), उन्हें कभी-कभी ताऊ (τ) जब समभारिक प्रचक्रण समरूपता के संबंध में उपयोग किया जाता है।

$${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {x} }&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {y} }&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{\mathrm {z} }&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

इन मैट्रिक्स का नाम भौतिक विज्ञानी वोल्फगैंग पाउली के नाम पर रखा गया है। क्वांटम यांत्रिकी में, वे पाउली समीकरण में होते हैं जो बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ एक कण के स्पिन (भौतिकी) की बातचीत को ध्यान में रखता है। वे क्षैतिज/ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकरण, 45 डिग्री ध्रुवीकरण (दाएं/बाएं), और गोलाकार ध्रुवीकरण (दाएं/बाएं) के लिए दो ध्रुवीकरण फिल्टर की इंटरैक्शन स्थितियों का भी प्रतिनिधित्व करते हैं।

प्रत्येक पाउली मैट्रिक्स हर्मिटियन मैट्रिक्स है, और साथ में पहचान मैट्रिक्स भी है I (कभी-कभी ज़ीरोथ पाउली मैट्रिक्स के रूप में माना जाता है σ₀ ), पाउली मैट्रिक्स वास्तविक वेक्टर समष्टि के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं 2 × 2 हर्मिटियन मैट्रिसेस। इसका मतलब यह है कि कोई भी 2 × 2 हर्मिटियन मैट्रिक्स को पॉली मैट्रिक्स के रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है, जिसमें सभी गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं।

हर्मिटियन ऑपरेटर क्वांटम यांत्रिकी में वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए पाउली मैट्रिसेस जटिल संख्या 2 आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के वेधशालाओं के स्थान का विस्तार करते हैं। पाउली के काम के संदर्भ में, σ_k के साथ घूमने के अनुरूप अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करता है kत्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वां समन्वय अक्ष $\ \mathbb {R} ^{3}~.$ पाउली आव्यूह (से गुणा करने के बाद)। i उन्हें तिरछा-हर्मिटियन | एंटी-हर्मिटियन बनाने के लिए) लाई बीजगणित के अर्थ में परिवर्तन भी उत्पन्न करते हैं: मैट्रिक्स iσ₁, iσ₂, iσ₃ वास्तविक झूठ बीजगणित के लिए एक आधार तैयार करें ${\mathfrak {su}}(2)$, जो घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) विशेष एकात्मक समूह SU(2)#n = 2|SU(2) के लिए है। तीन आव्यूहों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर बीजगणित σ₁, σ₂, σ₃ क्लिफोर्ड बीजगणित के समरूपी है $\ \mathbb {R} ^{3}\ ,$ और (इकाई सहयोगी) बीजगणित द्वारा उत्पन्न iσ₁, iσ₂, iσ₃ चतुष्कोणों के समान (समरूपता) कार्य करता है ($\mathbb {H}$).

बीजगणितीय गुण

Cayley table; the entry shows the value of the row times the column.

×	$\sigma _{\mathrm {x} }$	$\sigma _{\mathrm {y} }$	$\sigma _{\mathrm {z} }$
$\sigma _{\mathrm {x} }$	$I$	$i\sigma _{\mathrm {z} }$	$-i\sigma _{\mathrm {y} }$
$\sigma _{\mathrm {y} }$	$-i\sigma _{\mathrm {z} }$	$I$	$i\sigma _{\mathrm {x} }$
$\sigma _{\mathrm {z} }$	$i\sigma _{\mathrm {y} }$	$-i\sigma _{\mathrm {x} }$	$I$

पाउली मैट्रिक्स के सभी तीन को एक ही अभिव्यक्ति में संकलित किया जा सकता है:

$\sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}$

इसका समाधान कहां है i² = −1 काल्पनिक इकाई है, और δ_jk क्रोनकर डेल्टा है, जो बराबर है +1 अगर j = k और 0 अन्यथा। यह अभिव्यक्ति मानों को प्रतिस्थापित करके संख्यात्मक रूप से किसी एक आव्यूह का चयन करने के लिए उपयोगी है j = 1, 2, 3 , बदले में तब उपयोगी होता है जब बीजगणितीय जोड़-तोड़ में किसी भी आव्यूह (लेकिन कोई विशेष नहीं) का उपयोग किया जाना होता है।

मैट्रिक्स अनैच्छिक मैट्रिक्स हैं:

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

कहाँ I पहचान मैट्रिक्स है. पाउली मैट्रिसेस के मैट्रिक्स के निर्धारक और ट्रेस हैं:

${\begin{aligned}\det \sigma _{j}&~=\ -1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&~=~~~\;0.\end{aligned}}$

जिससे, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रत्येक मैट्रिक्स σ_j के eigenvalues ​​+1 और −1 हैं।

पहचान मैट्रिक्स को शामिल करने के साथ, I (कभी-कभी दर्शाया जाता है σ₀ ), पाउली मैट्रिसेस हिल्बर्ट स्पेस का एक ऑर्थोगोनल आधार (हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर|हिल्बर्ट-श्मिट के अर्थ में) बनाते हैं। 2 × 2 हर्मिटियन मैट्रिसेस, ${\mathcal {H}}_{2}$ ऊपर $\mathbb {R}$, और सभी जटिल संख्याओं का हिल्बर्ट स्थान 2 × 2 मैट्रिक्स, $\ {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )$.

कम्यूटेशन और विरोधी कम्यूटेशन संबंध

पाउली मैट्रिसेस निम्नलिखित कम्यूटेटर संबंधों का पालन करते हैं:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\ ,$

जहां संरचना स्थिर है ε_ijk लेवी-सिविटा प्रतीक है और आइंस्टीन सारांश संकेतन का उपयोग किया जाता है।

ये कम्यूटेशन संबंध पाउली मैट्रिसेस को लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व का जनक बनाते हैं $(\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3)~.$ वे एंटीकम्यूटेटर संबंधों को भी संतुष्ट करते हैं:

$\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I\ ,$

कहाँ $\ \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}$ परिभाषित किया जाता है $\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j}\ ,$ और δ_jk क्रोनकर डेल्टा है। I दर्शाता है 2 × 2 शिनाख्त सांचा।

ये कम्यूटेशन विरोधी संबंध पाउली मैट्रिसेस को क्लिफोर्ड बीजगणित के प्रतिनिधित्व के जनरेटर बनाते हैं $\ \mathbb {R} ^{3}\ ,$ लक्षित $\ \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} )~.$ जनरेटर का सामान्य निर्माण ${\textstyle \ \sigma _{ij}={\tfrac {1}{4}}\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]\ ,}$ का $\ {\mathfrak {so}}(3)\$ क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का उपयोग करने से महत्वहीन संख्यात्मक कारकों तक, ऊपर दिए गए रूपान्तरण संबंधों को पुनः प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के तौर पर कुछ स्पष्ट कम्यूटेटर और एंटी-कम्यूटेटर नीचे दिए गए हैं:

Commutators	Anticommutators
${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\\\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{3},\sigma _{1}\right\}&=0\end{aligned}}$

आइजनवेक्टर और आइजेनवैल्यू

प्रत्येक (हर्मिटियन) पाउली मैट्रिस के दो स्वदेशी मान हैं, +1 और −1. संबंधित सामान्यीकृत तरंग फ़ंक्शन eigenvectors हैं:

${\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\;,&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}\;,&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\;,&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}$

पाउली वेक्टर

पाउली वेक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है

$${\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}\ ,$$

कहाँ ${\hat {x}}_{1}$, ${\hat {x}}_{2}$, और ${\hat {x}}_{3}$ अधिक परिचितों के लिए समतुल्य संकेतन हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, और ${\hat {z}}$.

पाउली वेक्टर वेक्टर आधार से पाउली मैट्रिक्स आधार तक एक मैपिंग तंत्र प्रदान करता है निम्नलिखित नुसार,

$${\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\left(a_{k}\ {\hat {x}}_{k}\right)\cdot \left(\sigma _{\ell }\ {\hat {x}}_{\ell }\right)=a_{k}\ \sigma _{\ell }\;{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\\\&=a_{k}\ \sigma _{\ell }\ \delta _{k\ell }=a_{k}\ \sigma _{k}\\\\&=~a_{1}\;{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~+~a_{2}\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&\;\;0\end{pmatrix}}~+~a_{3}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करना|आइंस्टीन का सारांश सम्मेलन।

अधिक औपचारिक रूप से, यह एक मानचित्र को परिभाषित करता है $\ \mathbb {R} ^{3}\$ ट्रेसलेस हर्मिटियन के वेक्टर स्पेस में $2\times 2$ matrices. यह मानचित्र की संरचनाओं को एन्कोड करता है $\ \mathbb {R} ^{3}\$ एक मानक वेक्टर स्पेस के रूप में और एक लाई बीजगणित के रूप में (इसके लाई ब्रैकेट के रूप में क्रॉस-उत्पाद के साथ) मैट्रिक्स के कार्यों के माध्यम से, मानचित्र को लाई बीजगणित का एक समरूपता बनाता है। यह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के दृष्टिकोण से पाउली मैट्रिसेस को आपस में जोड़ता है।

पाउली वेक्टर को देखने का दूसरा तरीका इस प्रकार है $2\times 2$ हर्मिटियन ट्रेसलेस मैट्रिक्स-वैल्यू डुअल वेक्टर, यानी का एक तत्व $\ {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\$ जो मानचित्र $\ {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}~.$

पूर्णता संबंध

का प्रत्येक घटक $\ {\vec {a}}\$ मैट्रिक्स से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है (नीचे #पूर्णता एंकर देखें)

$${\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}~.$$

यह मानचित्र का व्युत्क्रम बनता है ${\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$, जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि मानचित्र एक आक्षेप है।

निर्धारक

मानदंड निर्धारक द्वारा दिया जाता है (ऋण चिह्न तक)

$$\det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-\left|{\vec {a}}\right|^{2}~.$$

फिर एक की संयुग्मन क्रिया पर विचार करना ${\text{SU}}(2)$ आव्यूह $U$ मैट्रिक्स के इस स्थान पर,

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\;{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}~U^{-1}\ ,$

हम देखतें है $\ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,$ ओर वो $\ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ हर्मिटियन और ट्रेसलेस है। तब इसे परिभाषित करना समझ में आता है $\ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\$ कहाँ $\ {\vec {a}}'\$ के समान मानदंड है $\ {\vec {a}}\ ,$ और इसलिए व्याख्या करें $\ U\$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष के घूर्णन के रूप में। वास्तव में, यह पता चला है कि पर विशेष प्रतिबंध $\ U\$ तात्पर्य यह है कि घूर्णन अभिविन्यास संरक्षण है। यह मानचित्र की परिभाषा की अनुमति देता है $\ R:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\$ द्वारा दिए गए

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,$

कहाँ $\ R(U)\in \mathrm {SO} (3)~.$ यह मानचित्र दोहरे आवरण का साकार बोध है $\ \mathrm {SO} (3)\$ द्वारा $\ \mathrm {SU} (2)\ ,$ और इसलिए यह दिखाता है $\ {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3)~.$ के घटक $R(U)$ उपरोक्त ट्रेसिंग प्रक्रिया का उपयोग करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:

$R(U)_{ij}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right)$

क्रॉस-उत्पाद

क्रॉस-उत्पाद मैट्रिक्स कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है (एक कारक तक)। $2i$)

$$\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]=2i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}~.$$

वास्तव में, एक आदर्श का अस्तित्व इस तथ्य से उत्पन्न होता है $\mathbb {R} ^{3}$ एक झूठ बीजगणित है: हत्या प्रपत्र देखें।

इस क्रॉस-प्रोडक्ट का उपयोग उपरोक्त मानचित्र की अभिविन्यास-संरक्षण संपत्ति को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

eigenvalues ​​​​और eigenvectors

के eigenvalues $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ हैं $\ \pm |{\vec {a}}|~.$ यह ट्रेसलेसनेस और स्पष्ट रूप से निर्धारक की गणना से तुरंत अनुसरण करता है।

अधिक संक्षेप में, निर्धारक की गणना किए बिना जिसके लिए पाउली मैट्रिसेस के स्पष्ट गुणों की आवश्यकता होती है, यह इस प्रकार है $\ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,$ चूँकि इसे इसमें शामिल किया जा सकता है $\ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.$ रैखिक बीजगणित में एक मानक परिणाम (एक रैखिक नक्शा जो अलग-अलग रैखिक कारकों में लिखे गए बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है वह विकर्ण है) इसका मतलब है $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ संभावित eigenvalues ​​​​के साथ विकर्ण है $\ \pm |{\vec {a}}|~.$ की ट्रेसलेसनेस $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ इसका मतलब है कि इसका प्रत्येक eigenvalue बिल्कुल एक है।

इसके सामान्यीकृत eigenvectors हैं

$$\psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.$$

ये अभिव्यक्तियाँ एकवचन बन जाती हैं $a_{3}\to -1$. उन्हें अनुमति देकर बचाया जा सकता है ${\vec {a}}=(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))$ और सीमा ले रहा हूँ $\epsilon \to 0$, जो सही eigenvectors (0,1) और (1,0) उत्पन्न करता है $\sigma _{z}$.

वैकल्पिक रूप से, कोई गोलाकार निर्देशांक का उपयोग कर सकता है ${\vec {a}}=a(\cos \vartheta \cos \varphi ,\cos \vartheta \sin \varphi ,\sin \vartheta )$ eigenvectors प्राप्त करने के लिए $\psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))$ और $\psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))$.

पाउली 4-वेक्टर

स्पिनर सिद्धांत में प्रयुक्त पॉली 4-वेक्टर लिखा गया है $\ \sigma ^{\mu }\$ घटकों के साथ

$\sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})~.$

यह एक मानचित्र को परिभाषित करता है $\mathbb {R} ^{1,3}$ हर्मिटियन मैट्रिसेस के वेक्टर स्पेस के लिए,

$x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,$

जो अपने निर्धारक में मिन्कोवस्की मीट्रिक (ज्यादातर माइनस कन्वेंशन के साथ) को भी एन्कोड करता है:

$\det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.$

इस 4-वेक्टर का पूर्णता संबंध भी है। दूसरे पाउली 4-वेक्टर को परिभाषित करना सुविधाजनक है

${\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }})~.$

और मिन्कोव्स्की मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके ऊपर उठाने और कम करने की अनुमति दें। फिर रिश्ता लिखा जा सकता है

$$x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}~.$$

पाउली 3-वेक्टर केस के समान, हम एक मैट्रिक्स समूह पा सकते हैं जो आइसोमेट्री के रूप में कार्य करता है $\ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;$ इस मामले में मैट्रिक्स समूह है $\ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,$ और यह दिखाता है $\ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3)~.$ उपरोक्त के समान, इसे स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है $\ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\$ घटकों के साथ

$\Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right)~.$

वास्तव में, निर्धारक गुण अमूर्त रूप से ट्रेस गुणों का अनुसरण करता है $\ \sigma ^{\mu }~.$ के लिए $\ 2\times 2\$ मैट्रिक्स, निम्नलिखित पहचान रखती है:

$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB)~.$

अर्थात्, 'क्रॉस-टर्म्स' को ट्रेस के रूप में लिखा जा सकता है। कब $\ A,B\$ अलग होने के लिए चुना गया है $\ \sigma ^{\mu }\ ,$ क्रॉस-शर्तें गायब हो जाती हैं। इसके बाद यह स्पष्ट रूप से सारांश दिखाता है, ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)~.}$ चूँकि मैट्रिक्स हैं $\ 2\times 2\ ,$ यह इसके बराबर है ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}$

डॉट और क्रॉस उत्पाद से संबंध

पाउली वैक्टर इन कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों को संबंधित वेक्टर उत्पादों के साथ खूबसूरती से मैप करते हैं। कम्यूटेटर को एंटीकम्यूटेटर में जोड़ने से प्राप्त होता है

${\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}$

ताकि,

$~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~$

दो के घटकों के साथ समीकरण के प्रत्येक पक्ष में टेंसर संकुचन 3-वेक्टर a_p और b_q (जो पाउली मैट्रिसेस के साथ आवागमन करता है, यानी, a_pσ_q = σ_qa_p) प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए σ_q और वेक्टर घटक a_p (और इसी तरह के साथ b_q) पैदावार

$~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.~$

अंत में, डॉट उत्पाद के लिए सूचकांक संकेतन और टेंसरों के लिए क्रॉस उत्पाद#सूचकांक संकेतन का अनुवाद करने पर परिणाम मिलता है

$~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~$

(1)

अगर i की पहचान स्यूडोस्केलर से की जाती है σ_xσ_yσ_z तो दाहिना हाथ बन जाता है $a\cdot b+a\wedge b$ जो ज्यामितीय बीजगणित में दो सदिशों के गुणनफल की परिभाषा भी है।

यदि हम स्पिन ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित करते हैं J = ħ/2σ, तब J रूपान्तरण संबंध को संतुष्ट करता है:

$$\mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J}$$

या समकक्ष, पाउली वेक्टर संतुष्ट करता है:

$${\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}$$

कुछ ट्रेस संबंध

निम्नलिखित निशान कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}$

यदि मैट्रिक्स σ₀ = I भी माना जाता है, ये रिश्ते बनते हैं

$${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}$$

जहां ग्रीक सूचकांक α, β, γ और μ से मान ग्रहण करें {0, x, y, z} और अंकन ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$ शामिल सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन पर योग को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।

पॉली वेक्टर का घातांक

के लिए

${\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,$

किसी के पास, सम शक्तियों के लिए, 2p, p = 0, 1, 2, 3, ...

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I$

जिसे सबसे पहले दिखाया जा सकता है p = 1 एंटीकम्युटेशन संबंधों का उपयोग करने वाला मामला। सुविधा के लिए, मामला p = 0 माना जाता है I रिवाज के सन्दर्भ मे।

विषम शक्तियों के लिए, 2q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

$\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.$

मैट्रिक्स घातांक, और टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हुए#कुछ सामान्य कार्यों की मैकलॉरिन श्रृंखला की सूची,

${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}$.

अंतिम पंक्ति में, पहला योग कोज्या है, जबकि दूसरा योग ज्या है; तो, अंततः,

$~~e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~$

(2)

जो चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन है# यूलर के सूत्र में घूर्णन के रूप में चतुर्भुजों का उपयोग करते हुए, चतुर्भुजों तक बढ़ाया गया।

ध्यान दें कि

$\det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}$,

जबकि घातांक का निर्धारक स्वयं न्यायसंगत है 1, जो इसे SU(2) का सामान्य समूह तत्व बनाता है।

सूत्र का अधिक सारगर्भित संस्करण (2) सामान्य के लिए 2 × 2 मैट्रिक्स को मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल#वाया लॉरेंट सीरीज़ के लेख में पाया जा सकता है। का एक सामान्य संस्करण (2) एक विश्लेषणात्मक (ए और -ए पर) फ़ंक्शन के लिए सिल्वेस्टर के सूत्र के अनुप्रयोग द्वारा प्रदान किया जाता है,

$f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.$

समूह रचना नियम SU(2)

सूत्र का सीधा अनुप्रयोग (2) समूह की संरचना कानून का एक मानकीकरण प्रदान करता है SU(2). कोई सीधे तौर पर समाधान कर सकता है c में

$${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}$$

जो सामान्य समूह गुणन को निर्दिष्ट करता है, जहां, स्पष्ट रूप से,

 
$$\cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,$$

कोज्या का गोलाकार नियम. दिया गया c, तब,

$${\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right)~.$$

नतीजतन, इस समूह तत्व में समग्र रोटेशन पैरामीटर (इस मामले में संबंधित बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र का एक बंद रूप) बस राशि है

$$e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.$$

(बेशक, जब ${\hat {n}}$ इसके समानांतर ${\hat {m}}$, ऐसा ही है ${\hat {k}}$, और c = a + b.)

See also: Rotation formalisms in three dimensions § Rodrigues vector, and Spinor § Three dimensions

संयुक्त क्रिया

इसी प्रकार पाउली वेक्टर पर किसी भी कोण का घूमना, पर संयुक्त क्रिया को पूरा करना भी आसान है $a$ किसी भी धुरी के साथ ${\hat {n}}$:

$$R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.$$

उपरोक्त सूत्र के साथ किसी भी यूनिट वेक्टर के डॉट उत्पाद को लेने से किसी भी रोटेशन के तहत किसी एकल क्वबिट ऑपरेटर की अभिव्यक्ति उत्पन्न होती है। उदाहरण के तौर पर ऐसा दिखाया जा सकता है ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$.

See also: Rodrigues' rotation formula

पूर्णता संबंध

एक वैकल्पिक संकेतन जो आमतौर पर पॉली मैट्रिसेस के लिए उपयोग किया जाता है वह वेक्टर इंडेक्स लिखना है k सुपरस्क्रिप्ट में, और मैट्रिक्स सूचकांकों को सबस्क्रिप्ट के रूप में, ताकि पंक्ति में तत्व α और कॉलम β की k-वें पाउली मैट्रिक्स है σ ^k_αβ.

इस अंकन में, पाउली मैट्रिक्स के लिए पूर्णता संबंध लिखा जा सकता है

${\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }~.$

Proof

The fact that the Pauli matrices, along with the identity matrix I, form an orthogonal basis for the Hilbert space of all 2 × 2 complex matrices means that we can express any matrix M as

$$M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}$$

where c is a complex number, and a is a 3-component, complex vector. It is straightforward to show, using the properties listed above, that

$$\operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}$$

where "tr" denotes the trace, and hence that

$${\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M~.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}$$

which can be rewritten in terms of matrix indices as

$$2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,$$

where summation over the repeated indices is implied γ and δ. Since this is true for any choice of the matrix M, the completeness relation follows as stated above. Q.E.D.

जैसा कि ऊपर बताया गया है, 2 × 2 इकाई मैट्रिक्स को इसके द्वारा निरूपित करना आम बात है σ₀, इसलिए σ⁰_αβ = δ_αβ.पूर्णता संबंध को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.$$

तथ्य यह है कि किसी भी हर्मिटियन जटिल संख्या 2 × 2 मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और पाउली मैट्रिक्स भी 2 × 2 मिश्रित राज्य (भौतिकी) के घनत्व मैट्रिक्स के बलोच क्षेत्र प्रतिनिधित्व की ओर जाता है, (सकारात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स 2) × 2 यूनिट ट्रेस के साथ मैट्रिक्स। इसे पहले एक मनमाना हर्मिटियन मैट्रिक्स को वास्तविक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करके देखा जा सकता है {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃} जैसा ऊपर बताया गया है, और फिर धनात्मक-अर्धनिश्चित और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) लगाना 1 स्थितियाँ।

शुद्ध अवस्था के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक में,

$${\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},$$

निष्क्रिय घनत्व मैट्रिक्स

$${\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$$

राज्य eigenvector पर कार्य करता है ${\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$ eigenvalue +1 के साथ, इसलिए यह एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) की तरह कार्य करता है।

क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर के साथ संबंध

होने देना P_jk दो स्पिनों के बीच ट्रांसपोज़िशन (गणित) (क्रमपरिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है) हो σ_j और σ_k टेंसर उत्पाद स्थान में रहना $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$,

$P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle ~.$

इस ऑपरेटर को अधिक स्पष्ट रूप से एक्सचेंज इंटरैक्शन#स्पिन का समावेशन|डिराक के स्पिन एक्सचेंज ऑपरेटर के रूप में भी लिखा जा सकता है।

$P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.$

इसके eigenvalues ​​​​इसलिए हैं 1 या −1. इस प्रकार इसका उपयोग हैमिल्टनियन में एक अंतःक्रियात्मक शब्द के रूप में किया जा सकता है, जो इसके सममित बनाम एंटीसिमेट्रिक आइजेनस्टेट्स के ऊर्जा आइगेनवैल्यू को विभाजित करता है।

एसयू(2)

समूह SU(2) एकात्मक मैट्रिक्स का झूठ समूह है 2 × 2 इकाई निर्धारक के साथ मैट्रिक्स; इसका झूठ बीजगणित सभी का समुच्चय है 2 × 2 ट्रेस 0 के साथ एंटी-हर्मिटियन मैट्रिक्स। जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि लाई बीजगणित ${\mathfrak {su}}_{2}$ सेट द्वारा त्रि-आयामी वास्तविक बीजगणित रैखिक विस्तार है {iσ_k}. कॉम्पैक्ट नोटेशन में,

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}~.$

परिणामस्वरूप, प्रत्येक iσ_j को एक झूठ समूह के रूप में देखा जा सकता है#एसयू(2) के एक झूठ समूह से जुड़ा झूठ बीजगणित। एसयू(2) के तत्व इन तीन जनरेटरों के रैखिक संयोजनों के घातांक हैं, और पाउली वेक्टर पर चर्चा करते समय ऊपर बताए अनुसार गुणा करते हैं। यद्यपि यह SU(2) उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त है, यह SU(2)|का प्रतिनिधित्व का उचित प्रतिनिधित्व सिद्धांत नहीं है su(2), क्योंकि पाउली आइगेनवैल्यू को अपरंपरागत रूप से बढ़ाया जाता है। पारंपरिक सामान्यीकरण है λ = 1/2, ताकि

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}~.$

चूँकि SU(2) एक सघन समूह है, इसलिए इसका कार्टन अपघटन तुच्छ है।

एसओ(3)

झूठ बीजगणित ${\mathfrak {su}}(2)$ लाई बीजगणित के लिए समरूपता है ${\mathfrak {so}}(3)$, जो ली समूह घूर्णन समूह SO(3)|SO(3), त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन के समूह (गणित) से मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, कोई यह कह सकता है कि iσ_j त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अनंत सूक्ष्म घुमावों का एक अहसास (और, वास्तव में, सबसे कम-आयामी अहसास) है। हालाँकि, फिर भी ${\mathfrak {su}}(2)$ और ${\mathfrak {so}}(3)$ झूठ बीजगणित के रूप में समरूपी हैं, SU(2) और SO(3) लाई समूह के समान समरूपी नहीं हैं। SU(2) वास्तव में का एक डबल कवरिंग समूह है SO(3), जिसका अर्थ है कि इसमें दो-से-एक समूह समरूपता है SU(2) को SO(3), रोटेशन समूह SO(3)#SO(3) और SU(2) के बीच संबंध|SO(3) और SU(2) के बीच संबंध देखें।

चतुर्भुज

Main article: Spinor § Three dimensions

का वास्तविक रैखिक विस्तार {I, iσ₁, iσ₂, iσ₃} चतुर्भुजों के वास्तविक बीजगणित के समरूपी है, $\mathbb {H}$, आधार वैक्टर की अवधि द्वारा दर्शाया गया है $\left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.$ से समरूपता $\mathbb {H}$ इस सेट को निम्नलिखित मानचित्र द्वारा दिया गया है (पॉली मैट्रिसेस के लिए उल्टे संकेतों पर ध्यान दें):

$$\mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.$$

वैकल्पिक रूप से, समरूपता को उल्टे क्रम में पाउली मैट्रिसेस का उपयोग करके मानचित्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है,

$\mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.$

छंदों के समुच्चय के रूप में U ⊂ $\mathbb {H}$ एक समूह समरूपी बनाता है SU(2), U वर्णन करने का एक और तरीका देता है SU(2). से दो-से-एक समरूपता SU(2) को SO(3) इस सूत्रीकरण में पाउली मैट्रिक्स के संदर्भ में दिया जा सकता है।

भौतिकी

शास्त्रीय यांत्रिकी

Main article: Quaternions and spatial rotation

शास्त्रीय यांत्रिकी में, पाउली मैट्रिसेस केली-क्लेन मापदंडों के संदर्भ में उपयोगी होते हैं। गणित का सवाल P पद के अनुरूप ${\vec {x}}$ अंतरिक्ष में एक बिंदु को उपरोक्त पाउली वेक्टर मैट्रिक्स के संदर्भ में परिभाषित किया गया है,

$P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}~.$

नतीजतन, परिवर्तन मैट्रिक्स Q_θ के बारे में घूर्णन के लिए x-एक कोण के माध्यम से अक्ष θ को पाउली मैट्रिसेस और यूनिट मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है:$Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}~.$ जैसा कि ऊपर बताया गया है, सामान्य पॉली वेक्टर घुमावों के लिए समान अभिव्यक्तियाँ अनुसरण करती हैं।

क्वांटम यांत्रिकी

क्वांटम यांत्रिकी में, प्रत्येक पाउली मैट्रिक्स एक कोणीय गति ऑपरेटर से संबंधित होता है जो स्पिन-1/2|स्पिन के स्पिन (भौतिकी) का वर्णन करने वाले एक अवलोकनीय से मेल खाता है। 1⁄2 कण, तीन स्थानिक दिशाओं में से प्रत्येक में। ऊपर उल्लिखित कार्टन अपघटन के तत्काल परिणाम के रूप में, iσ_j सापेक्षता के सिद्धांत पर कार्य करने वाले घूर्णन समूह SO(3) के एक प्रक्षेप्य प्रतिनिधित्व (स्पिन प्रतिनिधित्व) के जनरेटर हैं | स्पिन के साथ गैर-सापेक्षवादी कण 1⁄2. कणों के क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण को तीन आयामों में दो-घटक स्पिनरों के रूप में दर्शाया गया है। उसी प्रकार, पाउली मैट्रिसेस आइसोस्पिन से संबंधित हैं।

स्पिन की एक दिलचस्प संपत्ति 1⁄2कणों का तात्पर्य यह है कि उन्हें 4 के कोण से घुमाया जाना चाहिएπ अपने मूल विन्यास पर लौटने के लिए। यह ऊपर वर्णित एसयू (2) और एसओ (3) के बीच दो-से-एक पत्राचार के कारण है, और तथ्य यह है कि, हालांकि कोई 2-गोले पर उत्तर-दक्षिण ध्रुव के रूप में स्पिन को ऊपर/नीचे देखता है। S², वे वास्तव में दो आयामी जटिल हिल्बर्ट स्पेस में ओर्थोगोनल वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं।

एक चक्कर के लिए 1⁄2कण, स्पिन ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है J = ħ/2σ, SU(2)|SU(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का मौलिक प्रतिनिधित्व। इस प्रतिनिधित्व के क्रोनेकर उत्पादों को बार-बार अपने साथ लेकर, कोई भी सभी उच्चतर अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का निर्माण कर सकता है। अर्थात्, मनमाने ढंग से बड़े j के लिए, तीन स्थानिक आयामों में उच्च स्पिन प्रणालियों के लिए परिणामी स्पिन ऑपरेटरों की गणना इस स्पिन ऑपरेटर और सीढ़ी ऑपरेटर#कोणीय गति का उपयोग करके की जा सकती है। वे इसमें पाए जा सकते हैं Rotation group SO(3) § A note on Lie algebras. पॉली मैट्रिसेस के लिए यूलर के फॉर्मूले के उपरोक्त सामान्यीकरण का एनालॉग फॉर्मूला, स्पिन मैट्रिसेस के संदर्भ में समूह तत्व, ट्रैक्टेबल है, लेकिन कम सरल है। मल्टीपार्टिकल सिस्टम, सामान्य पाउली समूह के क्वांटम यांत्रिकी में भी उपयोगी है G_n को सभी से मिलकर परिभाषित किया गया है n-पॉली मैट्रिसेस के गुना टेन्सर उत्पाद।

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, चार आयामों में स्पिनर 4 × 1 (या 1 × 4) मैट्रिक्स हैं। इसलिए इन स्पिनरों पर काम करने वाले पाउली मैट्रिसेस या सिग्मा मैट्रिसेस 4 × 4 मैट्रिसेस होने चाहिए। उन्हें 2 × 2 पाउली मैट्रिसेस के रूप में परिभाषित किया गया है

${\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}~.$

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $\ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\$ मैट्रिक्स में बीजगणितीय गुण समान होते हैं σ_k मैट्रिक्स.

हालाँकि, सापेक्षतावादी कोणीय गति तीन-वेक्टर नहीं है, बल्कि दूसरे क्रम का चार-टेंसर है। इस तरह $\ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\$ द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है Σ_μν , लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का जनक#द (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) स्पिन प्रतिनिधित्व। कोणीय गति की प्रतिसममिति द्वारा, Σ_μνएंटीसिमेट्रिक भी हैं। अतः केवल छह स्वतंत्र आव्यूह हैं।

पहले तीन हैं $\ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}~.$ शेष तीन, $\ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,$ जहां डिराक समीकरण|डिराक α_k मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}~.$

सापेक्षतावादी स्पिन मैट्रिक्स Σ_μν को गामा मैट्रिक्स के कम्यूटेटर के रूप में संक्षिप्त रूप में लिखा जाता है

$\Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}~.$

क्वांटम जानकारी

क्वांटम जानकारी में, सिंगल-क्विबिट क्वांटम गेट्स 2 × 2 एकात्मक मैट्रिक्स हैं। पाउली मैट्रिसेस कुछ सबसे महत्वपूर्ण सिंगल-क्विबिट ऑपरेशन हैं। उस संदर्भ में, ऊपर दिए गए कार्टन अपघटन को सिंगल-क्विबिट गेट का Z-Y अपघटन कहा जाता है। एक अलग कार्टन जोड़ी चुनने से सिंगल-क्विबिट गेट का समान X-Y अपघटन मिलता है।

यह भी देखें

• भौतिक स्थान का बीजगणित
• तीन आयामों में स्पिनर
• गामा मैट्रिक्स
  • § Dirac basis
• कोनेदार गति
• गेल-मान मैट्रिसेस
• पोंकारे समूह
• पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण
• बलोच क्षेत्र
• यूलर की चार-वर्ग पहचान
• पाउली मैट्रिसेस के उच्च स्पिन सामान्यीकरण के लिए, देखें Spin (physics) § Higher spins
• विनिमय मैट्रिक्स (पहला पाउली मैट्रिक्स ऑर्डर दो का एक्सचेंज मैट्रिक्स है)
• विभाजन-चतुर्भुज

संदर्भ

• The Pauli spin matrices - The Feynman Lectures on Physics
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. (1968). Quantum Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf (2010). Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14505-3.