मैट्रिक्स घातांक

गणित में, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल सामान्य घातांक प्रकार्य के अनुरूप वर्ग मैट्रिक्स पर एक मैट्रिक्स फ़ंक्शन है। इसका उपयोग रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है। झूठ समूहों के सिद्धांत में, मैट्रिक्स घातांक एक मैट्रिक्स झूठ बीजगणित और संबंधित झूठ समूह के बीच घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) देता है।

होने देना X सेम n×n वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या मैट्रिक्स (गणित)। का घातांक X, द्वारा चिह्नित e^X या exp(X), है n×n शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया मैट्रिक्स

$$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$$

कहाँ $X^{0}$ पहचान मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है $I$ समान आयामों के साथ $X$. उपरोक्त श्रृंखला हमेशा अभिसरण करती है, इसलिए का घातांक X अच्छी तरह से परिभाषित है. अगर X एक 1×1 मैट्रिक्स है जिसका मैट्रिक्स घातांक है X एक 1×1 मैट्रिक्स है जिसका एकल तत्व एकल तत्व का सामान्य घातांकीय फलन है X.

गुण

प्राथमिक गुण

होने देना X और Y होना n×n जटिल मैट्रिक्स और चलो a और b मनमाना सम्मिश्र संख्याएँ हों। हम निरूपित करते हैं n×n पहचान मैट्रिक्स द्वारा I और शून्य मैट्रिक्स 0 से। मैट्रिक्स घातांक निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है। हम उन गुणों से शुरू करते हैं जो एक शक्ति श्रृंखला के रूप में परिभाषा के तत्काल परिणाम हैं:

• e⁰ = I
• exp(X^T) = (exp X)^T, कहाँ X^T के स्थानान्तरण को दर्शाता है X.
• exp(X^∗) = (exp X)^∗, कहाँ X^∗ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है X.
• अगर Y तो व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है e^YXY−1 = Ye^XY⁻¹.

अगला मुख्य परिणाम यह है:

• अगर $XY=YX$ तब $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$.

इस पहचान का प्रमाण वास्तविक संख्याओं के घातांक के लिए संबंधित पहचान के लिए मानक शक्ति-श्रृंखला तर्क के समान है। कहने का तात्पर्य यह है कि जब तक $X$ और $Y$ हंगामा, इससे तर्क पर कोई फर्क नहीं पड़ता $X$ और $Y$ संख्याएँ या आव्यूह हैं। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह पहचान आम तौर पर यदि नहीं रखती है $X$ और $Y$ हंगामा न करें (हर्मिटियन मैट्रिक्स के घातांक के लिए #असमानताएं देखें| नीचे गोल्डन-थॉम्पसन असमानता)।

पूर्ववर्ती पहचान के परिणाम निम्नलिखित हैं:

• e^aXe^bX = e^{(a + b)X}
• e^Xe^−X = I

उपरोक्त परिणामों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित दावों को आसानी से सत्यापित कर सकते हैं। अगर X तो सममित मैट्रिक्स है e^X भी सममित है, और यदि X तो तिरछा-सममित मैट्रिक्स|तिरछा-सममित है e^X ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है. अगर X तो हर्मिटियन मैट्रिक्स है e^X हर्मिटियन भी है, और यदि X तो तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स है|तिरछा-हर्मिटियन e^X एकात्मक मैट्रिक्स है.

अंत में, मैट्रिक्स घातांक का एक लाप्लास परिवर्तन संकल्पात्मक औपचारिकता के बराबर होता है,

$$\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$$

सभी पर्याप्त रूप से बड़े सकारात्मक मूल्यों के लिए s.

रैखिक अंतर समीकरण प्रणाली

Main article: Matrix differential equation

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल के महत्व का एक कारण यह है कि इसका उपयोग रैखिक साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है। का समाधान

$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$$

कहाँ A एक स्थिर मैट्रिक्स है, द्वारा दिया गया है

$$y(t)=e^{At}y_{0}.$$

मैट्रिक्स घातांक का उपयोग अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए भी किया जा सकता है

$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$$

उदाहरण के लिए नीचे #एप्लिकेशन पर अनुभाग देखें।

फॉर्म के अंतर समीकरणों के लिए कोई बंद-फॉर्म समाधान नहीं है

$${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$$

कहाँ A स्थिर नहीं है, लेकिन मैग्नस श्रृंखला अनंत योग के रूप में समाधान देती है।

मैट्रिक्स घातांक का निर्धारक

जैकोबी के सूत्र के अनुसार, किसी भी जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए निम्नलिखित ट्रेस पहचान होती है:

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

एक कम्प्यूटेशनल उपकरण प्रदान करने के अलावा, यह सूत्र दर्शाता है कि एक मैट्रिक्स घातांक हमेशा एक उलटा मैट्रिक्स होता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि उपरोक्त समीकरण का दाहिना हाथ हमेशा गैर-शून्य होता है, और इसी तरह det(e^A) ≠ 0, जिसका तात्पर्य यह है e^A उलटा होना चाहिए.

वास्तविक-मूल्य वाले मामले में, सूत्र मानचित्र को भी प्रदर्शित करता है

$$\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$$

पहले बताए गए जटिल मामले के विपरीत, विशेषण कार्य नहीं होना। यह इस तथ्य से पता चलता है कि, वास्तविक-मूल्य वाले मैट्रिक्स के लिए, सूत्र का दाहिना पक्ष हमेशा सकारात्मक होता है, जबकि नकारात्मक निर्धारक के साथ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मौजूद होते हैं।

वास्तविक सममित मैट्रिक्स

एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक सकारात्मक निश्चित होता है। होने देना $S$ सेम n×n वास्तविक सममित मैट्रिक्स और $x\in \mathbb {R} ^{n}$ एक स्तंभ वेक्टर. मैट्रिक्स घातांक और सममित मैट्रिक्स के प्रारंभिक गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$$

तब से $e^{S/2}$ उलटा है, समानता ही मान्य है $x=0$, और हमारे पास है $x^{T}e^{S}x>0$ सभी गैर-शून्य के लिए $x$. इस तरह $e^{S}$ सकारात्मक निश्चित है.

योगों का घातांक

किसी भी वास्तविक संख्या (स्केलर) के लिए x और y हम जानते हैं कि घातांकीय फलन संतुष्ट करता है e^x+y = e^x e^y. कम्यूटिंग मैट्रिसेस के लिए भी यही सच है। यदि मैट्रिक्स X और Y आवागमन (मतलब वह XY = YX), तब,

$$e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$$

हालाँकि, उन आव्यूहों के लिए जो लघुकरण नहीं करते हैं, उपरोक्त समानता आवश्यक रूप से मान्य नहीं है।

झूठ उत्पाद सूत्र

भले ही X और Y लघुकरण न करें, घातांक e^{X + Y} की गणना लाई उत्पाद सूत्र द्वारा की जा सकती है

$$e^{X+Y}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{n}}X}e^{{\frac {1}{n}}Y}\right)^{n}.$$

एक बड़े परिमित का उपयोग करना n उपरोक्त अनुमान लगाने के लिए सुजुकी-ट्रॉटर विस्तार का आधार है, जिसका उपयोग अक्सर टाइम-इवोल्विंग ब्लॉक डिसीमेशन#द सुजुकी-ट्रॉटर विस्तार में किया जाता है।

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला

दूसरी दिशा में, यदि X और Y हमारे पास पर्याप्त रूप से छोटे (लेकिन आवश्यक रूप से आने-जाने वाले नहीं) मैट्रिक्स हैं

$$e^{X}e^{Y}=e^{Z},$$

कहाँ Z की गणना कम्यूटेटर में एक श्रृंखला के रूप में की जा सकती है X और Y बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के माध्यम से:

$$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$$

जहां शेष पद सभी पुनरावृत्त कम्यूटेटर शामिल हैं X और Y. अगर X और Y आवागमन, तो सभी कम्यूटेटर शून्य हैं और हमारे पास बस है Z = X + Y.

हर्मिटियन मैट्रिक्स के घातांक के लिए असमानताएँ

Main article: Golden–Thompson inequality

हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स घातांक के मैट्रिक्स ट्रेस से संबंधित एक उल्लेखनीय प्रमेय है।

अगर A और B तो फिर हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं

$$\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$$

कम्यूटेटिविटी की कोई आवश्यकता नहीं है। यह दिखाने के लिए प्रति उदाहरण हैं कि गोल्डन-थॉम्पसन असमानता को तीन मैट्रिक्स तक नहीं बढ़ाया जा सकता है - और, किसी भी घटना में, tr(exp(A)exp(B)exp(C)) हर्मिटियन के लिए वास्तविक होने की गारंटी नहीं है A, B, C. हालाँकि, इलियट एच. लिब ने साबित किया यदि हम अभिव्यक्ति को निम्नानुसार संशोधित करते हैं तो इसे तीन आव्यूहों में सामान्यीकृत किया जा सकता है

$$\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$$

घातांकीय मानचित्र

मैट्रिक्स का घातांक सदैव एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स होता है। का व्युत्क्रम मैट्रिक्स e^X द्वारा दिया गया है e^−X. यह इस तथ्य के अनुरूप है कि किसी सम्मिश्र संख्या का घातांक सदैव शून्येतर होता है। फिर मैट्रिक्स घातांक हमें एक मानचित्र देता है

$$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$$

सभी n×n आव्यूहों के स्थान से लेकर डिग्री के सामान्य रैखिक समूह तक n, अर्थात सभी n×n व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समूह (गणित)। वास्तव में, यह मानचित्र विशेषणात्मक है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स को किसी अन्य मैट्रिक्स के घातांक के रूप में लिखा जा सकता है (इसके लिए सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र C पर विचार करना आवश्यक है न कि R पर)।

किन्हीं दो आव्यूहों के लिए X और Y,

$$\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$$

कहाँ ‖ · ‖ एक मनमाना मैट्रिक्स मानदंड दर्शाता है। यह इस प्रकार है कि घातीय मानचित्र निरंतरता (गणित) और लिप्सचिट्ज़ के कॉम्पैक्ट सेट उपसमुच्चय पर निरंतर है M_n(C).

वो नक्शा

$$t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$$

सामान्य रैखिक समूह में एक स्मूथ फ़ंक्शन # स्मूथनेस वक्र को परिभाषित करता है जो पहचान तत्व से होकर गुजरता है t = 0.

वास्तव में, यह सामान्य रैखिक समूह का एक-पैरामीटर उपसमूह देता है

$$e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$$

एक बिंदु t पर इस वक्र (या स्पर्शरेखा वेक्टर) का व्युत्पन्न इस प्रकार दिया गया है

$${\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.$$

(1)

पर व्युत्पन्न t = 0 केवल मैट्रिक्स X है, जिसका अर्थ है कि X इस एक-पैरामीटर उपसमूह को उत्पन्न करता है।

आम तौर पर अधिक, एक सामान्य के लिए t-आश्रित प्रतिपादक, X(t),

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

उपरोक्त अभिव्यक्ति लेते हुए e^X(t) इंटीग्रल साइन के बाहर और बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला की मदद से इंटीग्रैंड का विस्तार करके कोई मैट्रिक्स एक्सपोनेंट के व्युत्पन्न के लिए निम्नलिखित उपयोगी अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है,

$$\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में गुणांक घातांक में दिखाई देने वाले से भिन्न हैं। बंद रूप के लिए, घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न देखें।

दिशात्मक व्युत्पन्न जब हर्मिटियन मैट्रिक्स तक सीमित हो

होने देना $X$ एक हो $n\times n$ विशिष्ट eigenvalues ​​​​के साथ हर्मिटियन मैट्रिक्स। होने देना $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ इसका eigen-decomposition हो जहाँ $E$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है जिसके कॉलम eigenvectors हैं $X$, $E^{*}$ इसका संयुग्म स्थानान्तरण है, और $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ संगत eigenvalues ​​​​का वेक्टर। फिर, किसी के लिए $n\times n$ हर्मिटियन मैट्रिक्स $V$, का दिशात्मक व्युत्पन्न $\exp :X\to e^{X}$ पर $X$ दिशा में $V$ है

$$D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$$

कहाँ ${\bar {V}}=E^{*}VE$, परिचालक $\odot$ Hadamard उत्पाद को दर्शाता है, और, सभी के लिए $1\leq i,j\leq n$, गणित का सवाल $G$ परिभाषित किया जाता है

$$G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$$

इसके अलावा, किसी के लिए भी $n\times n$ हर्मिटियन मैट्रिक्स $U$, दिशाओं में दूसरा दिशात्मक व्युत्पन्न $U$ और $V$ है

$$D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$$

जहां मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन $F$ सभी के लिए परिभाषित किया गया है $1\leq i,j\leq n$, जैसा

$$F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$$

साथ

$$\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$$

मैट्रिक्स घातांक की गणना

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करने के लिए विश्वसनीय और सटीक तरीके ढूंढना मुश्किल है, और यह अभी भी गणित और संख्यात्मक विश्लेषण में काफी वर्तमान शोध का विषय है। मैटलैब, जीएनयू ऑक्टेव और SciPy सभी पैडे सन्निकटन का उपयोग करते हैं। इस अनुभाग में, हम उन विधियों पर चर्चा करते हैं जो सैद्धांतिक रूप से किसी भी मैट्रिक्स पर लागू होती हैं, और जिन्हें छोटे मैट्रिक्स के लिए स्पष्ट रूप से लागू किया जा सकता है। इसके बाद के अनुभाग बड़े मैट्रिक्स पर संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयुक्त तरीकों का वर्णन करते हैं।

विकर्णीय मामला

यदि कोई मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स है:

$$A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$$

तो मुख्य विकर्ण पर प्रत्येक प्रविष्टि को घातांकित करके इसका घातांक प्राप्त किया जा सकता है:

$$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$$

यह परिणाम किसी को विकर्णीय मैट्रिक्स को घातांकित करने की भी अनुमति देता है। अगर

A = UDU⁻¹

और D तो विकर्ण है

e^A = Ue^DU⁻¹.

सिल्वेस्टर के सूत्र के अनुप्रयोग से समान परिणाम प्राप्त होता है। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि विकर्ण मैट्रिक्स का जोड़ और गुणन, इसलिए घातांक भी, तत्व-वार जोड़ और गुणन के बराबर है, और इसलिए घातांक; विशेष रूप से, विकर्ण मामले के लिए एक-आयामी घातांक को तत्व-वार महसूस किया जाता है। )

उदाहरण: विकर्णीय

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स

$$A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$$

के रूप में विकर्ण किया जा सकता है

$${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$$

इस प्रकार,

$$e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$$

निलपोटेंट केस

एक मैट्रिक्स N निलपोटेंट मैट्रिक्स है यदि N^q = 0 कुछ पूर्णांक q के लिए। इस मामले में, मैट्रिक्स घातांक e^N की गणना सीधे श्रृंखला विस्तार से की जा सकती है, क्योंकि श्रृंखला सीमित संख्या में पदों के बाद समाप्त हो जाती है:

$$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$$

चूँकि श्रृंखला में चरणों की एक सीमित संख्या है, यह एक मैट्रिक्स बहुपद है, जो बहुपद मूल्यांकन#मैट्रिक्स बहुपद हो सकता है।

सामान्य मामला

जॉर्डन-शेवेल्ली अपघटन का उपयोग करना

जॉर्डन-शेवेल्ली अपघटन द्वारा, कोई भी $n\times n$ जटिल प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स एक्स को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$X=A+N$$

कहाँ

• A विकर्णीय है
• एन निलपोटेंट है
• एन के साथ एक क्रमविनिमेयता

इसका मतलब यह है कि हम पिछले दो मामलों को घटाकर एक्स के घातांक की गणना कर सकते हैं:

$$e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$$

ध्यान दें कि काम करने के अंतिम चरण के लिए हमें ए और एन की क्रमपरिवर्तनशीलता की आवश्यकता है।

जॉर्डन विहित रूप का उपयोग करना

एक निकट से संबंधित विधि यह है कि, यदि फ़ील्ड बीजगणितीय रूप से बंद है, तो जॉर्डन फॉर्म के साथ काम करना है X. लगता है कि X = PJP⁻¹ कहाँ J का जॉर्डन रूप है X. तब

$$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$$

इसके अलावा, तब से

$${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$$

इसलिए, हमें केवल यह जानना होगा कि जॉर्डन ब्लॉक के मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना कैसे करें। लेकिन प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक फॉर्म का है

$${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$$

कहाँ N एक विशेष निलपोटेंट मैट्रिक्स है। का मैट्रिक्स घातांक J तब द्वारा दिया जाता है

$$e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$$

प्रक्षेपण मामला

अगर P एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स है (यानी निष्क्रिय है: P² = P), इसका मैट्रिक्स घातांक है:

e^P = I + (e − 1)P.

घातांकीय फलन के विस्तार से इसे प्राप्त करना, प्रत्येक शक्ति P को कम कर देता है P जो योग का एक सामान्य कारक बन जाता है:

$$e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$$

रोटेशन केस

एक साधारण घुमाव के लिए जिसमें लंबवत इकाई सदिश होती है a और b एक विमान निर्दिष्ट करें, रोटेशन मैट्रिक्स#घातीय मानचित्र R को एक समान घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें यूलर के रोटेशन प्रमेय#रोटेशन के जेनरेटर शामिल हैं G और कोण θ.

$${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$$

की शक्तियों को कम करने से घातांकीय परिणाम का सूत्र G श्रृंखला विस्तार में और संबंधित श्रृंखला गुणांक की पहचान करना G² और G साथ −cos(θ) और sin(θ) क्रमश। यहाँ के लिए दूसरी अभिव्यक्ति e^Gθ अभिव्यक्ति के समान है R(θ) यूलर के घूर्णन प्रमेय#घूर्णन के जेनरेटर की व्युत्पत्ति वाले लेख में, R(θ) = e^Gθ.

दो आयामों में, यदि $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ और $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$, तब $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$, $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$, और

$$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$$

समतल घूर्णन के लिए मानक मैट्रिक्स तक कम हो जाता है।

गणित का सवाल P = −G² प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) पर एक वेक्टर ab-तल और घूर्णन केवल वेक्टर के इस भाग को प्रभावित करता है। इसे दर्शाने वाला एक उदाहरण इसका घूर्णन है 30° = π/6 द्वारा फैलाए गए विमान में a और b,

$${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$$

होने देना N = I - P, इसलिए N² = N और इसके उत्पादों के साथ P और Gशून्य हैं. इससे हमें शक्तियों का मूल्यांकन करने की अनुमति मिलेगी R.

$${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$$

Further information: Rodrigues' rotation formula and Axis–angle representation § Exponential map from so(3) to SO(3)

लॉरेंट श्रृंखला द्वारा मूल्यांकन

केली-हैमिल्टन प्रमेय के आधार पर मैट्रिक्स घातांक को क्रम के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है n−1.

अगर P और Q_t एक चर में शून्येतर बहुपद हैं, जैसे कि P(A) = 0, और यदि मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन

$$f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$$

तो, संपूर्ण कार्य है

$$e^{tA}=Q_{t}(A).$$

इसे सिद्ध करने के लिए उपरोक्त दो समानताओं में से पहली को इससे गुणा करें P(z) और प्रतिस्थापित करें z द्वारा A.

ऐसा बहुपद Q_t(z) को इस प्रकार पाया जा सकता है−सिल्वेस्टर का सूत्र देखें। दे aकी जड़ हो P, Q_a,t(z) के गुणनफल से हल किया जाता है P लॉरेंट श्रृंखला द्वारा#लॉरेंट श्रृंखला का मुख्य भाग f पर a: यह प्रासंगिक फ्रोबेनियस सहसंयोजक के समानुपाती है। फिर योग S_tप्र. का_a,t, कहाँ a की सभी जड़ों पर चलता है P, को विशेष के रूप में लिया जा सकता है Q_t. अन्य सभी प्र_tका गुणज जोड़ने पर प्राप्त होगा P को S_t(z). विशेष रूप से, S_t(z), सिल्वेस्टर का सूत्र|लैग्रेंज-सिल्वेस्टर बहुपद, एकमात्र है Q_tजिसकी डिग्री उससे कम है P.

उदाहरण: एक मनमाना 2×2 मैट्रिक्स के मामले पर विचार करें,

$$A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$$

घातीय मैट्रिक्स e^tA, केली-हैमिल्टन प्रमेय के आधार पर, फॉर्म का होना चाहिए

$$e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$$

(किसी भी जटिल संख्या के लिए z और कोई सी-बीजगणित B, हम फिर से निरूपित करते हैं z का उत्पाद z की इकाई द्वारा B.)

होने देना α और β के अभिलक्षणिक बहुपद के मूल बनें A,

$$P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$$

तो हमारे पास हैं

$$S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$$

इस तरह

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$$

अगर α ≠ β; जबकि, यदि α = β,

$$S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$$

ताकि

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$$

परिभाषित

$${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$$

अपने पास

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$$

कहाँ sin(qt)/q 0 है यदि t = 0, और t अगर q = 0.

इस प्रकार,

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

इस प्रकार, जैसा कि ऊपर बताया गया है, मैट्रिक्स A दो पारस्परिक रूप से आने वाले टुकड़ों के योग में विघटित होकर, ट्रेसफुल टुकड़ा और ट्रेसलेस टुकड़ा,

$$A=sI+(A-sI)~,$$

मैट्रिक्स घातांक दो संबंधित टुकड़ों के घातांक के एक सादे उत्पाद में कम हो जाता है। यह अक्सर भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला एक सूत्र है, क्योंकि यह पाउली स्पिन मैट्रिसेस # पाउली वेक्टर के एक्सपोनेंशियल के लिए यूलर के सूत्र के एनालॉग के बराबर है, जो कि समूह एसयू (2) के दोहरे प्रतिनिधित्व का घूर्णन है।

बहुपद S_t को निम्नलिखित प्रक्षेप लक्षण वर्णन भी दिया जा सकता है। परिभाषित करना e_t(z) ≡ e^tz, और n ≡ deg P. तब S_t(z) अद्वितीय डिग्री है < n बहुपद जो संतुष्ट करता है S_t^(k)(a) = e_t^(k)(a) जब कभी भी k की बहुलता से कम है a की जड़ के रूप में P. जैसा कि हम स्पष्ट रूप से कर सकते हैं, हम मान लेते हैं P का न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है A. हम आगे यह भी मानते हैं A एक विकर्णीय मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, की जड़ें P सरल हैं, और प्रक्षेप लक्षण वर्णन यह इंगित करता है S_t लैग्रेंज इंटरपोलेशन सूत्र द्वारा दिया गया है, इसलिए यह सिल्वेस्टर का सूत्र है|लैग्रेंज−सिल्वेस्टर बहुपद।

दूसरे चरम पर, यदि P = (z - a)ⁿ, तब

$$S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$$

उपरोक्त अवलोकनों में शामिल नहीं किया गया सबसे सरल मामला कब है $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ साथ a ≠ b, कौन सी पैदावार

$$S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$$

सिल्वेस्टर के सूत्र के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन

उपरोक्त की एक व्यावहारिक, त्वरित गणना निम्नलिखित तीव्र चरणों तक कम हो जाती है। ऊपर से याद करें कि एक n×n मैट्रिक्स exp(tA) पहले के एक रैखिक संयोजन के बराबर है n−1 की शक्तियाँ A केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा। विकर्णीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स के लिए, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, उदाहरण के लिए। 2×2 मामले में, सिल्वेस्टर का सूत्र प्राप्त होता है exp(tA) = B_α exp(tα) + B_β exp(tβ), जहां Bs फ्रोबेनियस सहसंयोजक हैं A.

हालाँकि, इन्हें आसानी से हल करना सबसे आसान है Bसीधे, इस अभिव्यक्ति और इसके पहले व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके t = 0, के अनुसार A और I, ऊपर जैसा ही उत्तर खोजने के लिए।

लेकिन बुखाइम के कारण सामान्यीकरण में, यह सरल प्रक्रिया दोषपूर्ण मैट्रिक्स मैट्रिक्स के लिए भी काम करती है। इसे यहां एक मैट्रिक्स के 4×4 उदाहरण के लिए दर्शाया गया है जो विकर्णीय नहीं है, और Bs प्रक्षेपण मैट्रिक्स नहीं हैं।

विचार करना

$$A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$$

eigenvalues ​​​​के साथ λ₁ = 3/4 और λ₂ = 1, प्रत्येक दो की बहुलता के साथ।

प्रत्येक eigenvalue के घातांक को गुणा करने पर विचार करें t, exp(λ_it). प्रत्येक घातांकित eigenvalue को संबंधित अनिर्धारित गुणांक मैट्रिक्स से गुणा करें B_i. यदि eigenvalues ​​​​में बीजगणितीय बहुलता 1 से अधिक है, तो प्रक्रिया को दोहराएं, लेकिन अब एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें t प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, रैखिक स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए।

(यदि एक eigenvalue में तीन की बहुलता होती, तो तीन पद होते: $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$. इसके विपरीत, जब सभी eigenvalues ​​​​अलग-अलग होते हैं, तो Bs केवल फ्रोबेनियस सहसंयोजक हैं, और उनके लिए नीचे दिए गए समाधान इन 4 eigenvalues ​​​​के वेंडरमोंडे मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के बराबर है।)

ऐसे सभी शब्दों का योग, यहां चार ऐसे हैं,

$${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$$

सभी अज्ञात आव्यूहों को हल करने के लिए B की पहली तीन शक्तियों के संदर्भ में A और पहचान के लिए, किसी को चार समीकरणों की आवश्यकता होती है, ऊपर वाला एक ऐसा समीकरण प्रदान करता है t = 0. इसके अलावा, इसे इसके संबंध में अलग करें t,

$$Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$$

और फिर,

$${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$$

और एक बार फिर,

$${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$$

(सामान्य मामले में, n−1 डेरिवेटिव लेने की आवश्यकता है।)

सेटिंग t = 0 इन चार समीकरणों में, चार गुणांक आव्यूह Bअब इसका समाधान हो सकता है,

$${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$$

उपज

$${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$$

के मान के साथ प्रतिस्थापित करना A गुणांक मैट्रिक्स उत्पन्न करता है

$${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

तो अंतिम उत्तर है

$$e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$$

यह प्रक्रिया eAt की गणना के लिए मैट्रिक्स डिफरेंशियल इक्वेशन#पुट्ज़र एल्गोरिथम से बहुत छोटी है। ऐसे मामलों में कभी-कभी पुट्ज़र एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

See also: Derivative of the exponential map

चित्रण

मान लीजिए कि हम घातांक की गणना करना चाहते हैं

$$B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$$

इसका जॉर्डन सामान्य रूप है

$$J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$$

जहां मैट्रिक्स P द्वारा दिया गया है

$$P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$$

आइए सबसे पहले exp(J) की गणना करें। अपने पास

$$J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$$

1×1 मैट्रिक्स का घातांक मैट्रिक्स की एक प्रविष्टि का घातांक मात्र है, इसलिए exp(J₁(4)) = [e⁴]. जे का घातांक₂(16) सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है e^{(λI + N)} = e^λ e^N उपर्युक्त; यह प्रदान करता है

$${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

इसलिए, मूल मैट्रिक्स का घातांक B है

$${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

अनुप्रयोग

रैखिक अवकल समीकरण

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल में रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों के लिए अनुप्रयोग हैं। (मैट्रिक्स अंतर समीकरण भी देखें।) इस आलेख में पहले से याद करें कि फॉर्म का एक सजातीय अंतर समीकरण

$$\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$$

समाधान है e^At y(0).

यदि हम वेक्टर पर विचार करें

$$\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$$

हम अमानवीय युग्मित रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

$$\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$$

के एक एकीकृत कारक का उपयोग करने के लिए एक ansatz बनाना e^−At और भर में गुणा करने पर, पैदावार होती है

$${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$$

दूसरा चरण इस तथ्य के कारण संभव है कि, यदि AB = BA, तब e^AtB = Be^At. तो, गणना e^At केवल तीसरे चरण के संबंध में एकीकृत करके, सिस्टम के समाधान की ओर ले जाता है t.

इसका समाधान एकीकृत और गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $e^{{\textbf {A}}t}$ एलएचएस में घातांक को खत्म करने के लिए। उस समय ध्यान दें $e^{{\textbf {A}}t}$ एक मैट्रिक्स है, यह देखते हुए कि यह एक मैट्रिक्स घातांक है, हम ऐसा कह सकते हैं $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$. दूसरे शब्दों में, $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$.

उदाहरण (सजातीय)

सिस्टम पर विचार करें

$${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$$

संबंधित दोषपूर्ण मैट्रिक्स है

$$A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$$

मैट्रिक्स घातांक है

$$e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

ताकि सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान हो

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

की राशि

$${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$$

उदाहरण (अमानवीय)

अब अमानवीय प्रणाली पर विचार करें

$${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$$

हमारे पास फिर से है

$$A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$$

और

$$\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$$

पहले से ही, हमारे पास सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान पहले से ही है। चूँकि सजातीय और विशेष समाधानों का योग अमानवीय समस्या का सामान्य समाधान देता है, अब हमें केवल विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है।

हमारे पास, ऊपर से,

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$$

जिसे मापदंडों की भिन्नता के माध्यम से अपेक्षित विशेष समाधान प्राप्त करने के लिए और अधिक सरल बनाया जा सकता है। नोट सी = वाई_p(0). अधिक कठोरता के लिए, निम्नलिखित सामान्यीकरण देखें।

अमानवीय मामला सामान्यीकरण: मापदंडों की भिन्नता

अमानवीय मामले के लिए, हम एकीकृत कारकों (मापदंडों की भिन्नता के समान एक विधि) का उपयोग कर सकते हैं। हम फॉर्म का एक विशेष समाधान चाहते हैं y_p(t) = exp(tA) z(t),

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$$

के लिए y_p समाधान होना,

$${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$$

इस प्रकार,

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$$

कहाँ c समस्या की प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है।

अधिक सटीक रूप से, समीकरण पर विचार करें

$$Y'-A\ Y=F(t)$$

प्रारंभिक शर्त के साथ Y(t₀) = Y₀, कहाँ

• A एक n द्वारा n जटिल मैट्रिक्स,
• F कुछ खुले अंतराल से एक सतत कार्य है I से ℂⁿ,
• $t_{0}$ का एक बिंदु है I, और
• $Y_{0}$ का एक वेक्टर है Cⁿ.

उपरोक्त प्रदर्शित समानता को बायीं ओर से गुणा करने पर e^−tA पैदावार

$$Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$$

हम दावा करते हैं कि समीकरण का समाधान है

$$P(d/dt)\ y=f(t)$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ के लिए 0 ≤ k < n है

$$y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$$

जहां संकेतन इस प्रकार है:

• $P\in \mathbb {C} [X]$ डिग्री का एक राक्षसी बहुपद है n > 0,
• f कुछ खुले अंतराल पर परिभाषित एक सतत जटिल मान फ़ंक्शन है I,
• $t_{0}$ का एक बिंदु है I,
• $y_{k}$ एक जटिल संख्या है, और

s_k(t) का गुणांक है $X^{k}$ द्वारा निरूपित बहुपद में $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$ उपधारा मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल#ऊपर लॉरेंट श्रृंखला द्वारा मूल्यांकन में।

इस दावे को सही ठहराने के लिए, हम अपना क्रम बदलते हैं n अदिश समीकरण को सामान्य साधारण अंतर समीकरण द्वारा एक क्रम में एक वेक्टर समीकरण में # प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी। हमारा सदिश समीकरण रूप लेता है

$${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$$

कहाँ A का ट्रांसपोज़ साथी मैट्रिक्स है P. जैसा कि ऊपर बताया गया है, हम इस समीकरण को हल करते हैं, उपधारा मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल में किए गए अवलोकन द्वारा मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करते हैं # सिल्वेस्टर के सूत्र के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन | उपरोक्त सिल्वेस्टर के सूत्र के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन।

यदि n=2 हमें निम्नलिखित कथन प्राप्त होता है। का समाधान

$$y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$$

है

$$y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$$

जहां कार्य करता है s₀ और s₁ उपरोक्त लॉरेंट श्रृंखला द्वारा उपधारा मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल # मूल्यांकन के अनुसार हैं।

मैट्रिक्स-मैट्रिक्स घातांक

किसी अन्य मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक (मैट्रिक्स-मैट्रिक्स घातांक), परिभाषित किया जाता है

$$X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}$$

$$^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}$$

किसी भी सामान्य मैट्रिक्स और बीजगणितीय वक्र#एकवचन|गैर-एकवचन के लिए n×n आव्यूह X, और कोई भी जटिल n×n आव्यूह Y.

मैट्रिक्स-मैट्रिक्स घातांक के लिए, बाएँ घातांक के बीच एक अंतर है ^YX और सही घातांक X^Y, क्योंकि मैट्रिक्स-टू-मैट्रिक्स के लिए गुणन ऑपरेटर क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,

• अगर X तो सामान्य और गैर-विलक्षण है X^Y और ^YX eigenvalues ​​​​का एक ही सेट है।
• अगर X सामान्य और गैर-विलक्षण है, Y सामान्य है, और XY = YX, तब X^Y = ^YX.
• अगर X सामान्य और गैर-एकवचन है, और X, Y, Z फिर एक दूसरे के साथ आवागमन करें X^Y+Z = X^Y·X^Z और ^Y+ZX = ^YX·^ZX.

यह भी देखें

• मैट्रिक्स फ़ंक्शन
• मैट्रिक्स लघुगणक
• सी0-अर्धसमूह|सी₀-अर्धसमूह
• घातांक प्रकार्य
• घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)
• मैग्नस विस्तार
• घातांकीय मानचित्र का व्युत्पन्न
• वेक्टर प्रवाह
• गोल्डन-थॉम्पसन असमानता
• चरण-प्रकार वितरण
• झूठ उत्पाद सूत्र
• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला
• फ्रोबेनियस सहसंयोजक
• सिल्वेस्टर का सूत्र
• आव्यूहों के त्रिकोणमितीय फलन

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1..
• Moler, Cleve; Van Loan, Charles F. (2003). "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later" (PDF). SIAM Review. 45 (1): 3–49. Bibcode:2003SIAMR..45....3M. CiteSeerX 10.1.1.129.9283. doi:10.1137/S00361445024180. ISSN 1095-7200..
• Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics". Journal of Mathematical Physics. 26 (4): 601–612. Bibcode:1985JMP....26..601S. doi:10.1063/1.526596.
• Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.
• Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0-486-44972-2.
• Van Kortryk, T. S. (2016). "Matrix exponentials, SU(N) group elements, and real polynomial roots". Journal of Mathematical Physics. 57 (2): 021701. arXiv:1508.05859. Bibcode:2016JMP....57b1701V. doi:10.1063/1.4938418. S2CID 119647937.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Matrix Exponential". MathWorld.