वेंडरमोंडे मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक वेंडरमोंडे मैट्रिक्स, जिसका नाम अलेक्जेंड्रे-थियोफाइल वेंडरमोंडे के नाम पर रखा गया है, प्रत्येक पंक्ति में एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के साथ एक मैट्रिक्स (गणित) है: एक $(m+1)\times (n+1)$ आव्यूह

$V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}$

या $V_{i,j}=x_{i}^{j}$ सभी शून्य-आधारित क्रमांकन|शून्य-आधारित सूचकांकों के लिए $i$ और $j$. अधिकांश लेखक वेंडरमोंडे मैट्रिक्स को उपरोक्त मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित करते हैं।

वेंडरमोंडे मैट्रिक्स $V$ एक बहुपद का मूल्यांकन करता है $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}$ बिंदुओं के एक सेट पर (अर्थात्) $x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}$) वेंडरमोंडे प्रणाली में $Va=f$. अधिक औपचारिक रूप से, $V$ रैखिक मानचित्र का मैट्रिक्स है जो एक बहुपद के गुणांकों के वेक्टर को मैप करता है $a={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$ वेंडरमोंडे मैट्रिक्स में प्रदर्शित होने वाले मानों पर बहुपद के मानों के वेक्टर तक $f={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}$.

यह वैंडरमोंडे मैट्रिक्स को उलटने के बाद से बहुपद प्रक्षेप में उपयोगी हो सकता है (दिया गया है)। $n=m$) बहुपद के गुणांकों को के पदों में व्यक्त करने की अनुमति देता है $x_{i}$ और मूल्य $p(x_{i})$ उन बिंदुओं पर बहुपद का. दूसरे शब्दों में, दिया गया $n+1$ निर्देशांक के साथ अलग-अलग नोड्स $(x_{i},p(x_{i}))$, वहाँ एक अद्वितीय बहुपद मौजूद है $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}$ डिग्री का $n$ जो उन्हें प्रक्षेपित करता है और इसके गुणांकों को हल करके गणना की जा सकती है $a=V^{-1}f$. डीएफटी मैट्रिक्स वेंडरमोंडे मैट्रिक्स का एक बहुत ही विशेष उदाहरण है।

अनुप्रयोग

विशिष्ट बिंदुओं के लिए वेंडरमोंडे निर्धारक का लुप्त न होना $x_{i}$ दिखाता है कि, अलग-अलग बिंदुओं के लिए, उन बिंदुओं पर गुणांक से लेकर मान तक का नक्शा एक-से-एक पत्राचार है, और इस प्रकार बहुपद प्रक्षेप समस्या एक अद्वितीय समाधान के साथ हल करने योग्य है; इस परिणाम को अनसॉल्वेंस प्रमेय कहा जाता है, और यह चीनी शेषफल प्रमेय#ओवर यूनिवेरिएट बहुपद रिंगों और यूक्लिडियन डोमेन का एक विशेष मामला है।

वेंडरमोंडे निर्धारक का उपयोग सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में किया जाता है। जब मान $x_{i}$ एक परिमित क्षेत्र से संबंधित है, तो वेंडरमोंडे निर्धारक को ए भी कहा जाता है मूर मैट्रिक्स और इसमें विशिष्ट गुण हैं जिनका उपयोग, उदाहरण के लिए, बीसीएच कोड और रीड-सोलोमन त्रुटि सुधार कोड के सिद्धांत में किया जाता है।

समीकरण हल करना $Va=f$ (अर्थात प्रक्षेप बहुपद की गणना) रैखिक समीकरणों की प्रणाली#एक रैखिक प्रणाली को हल करने से एक एल्गोरिथ्म प्राप्त होता है ${\mathcal {O}}(n^{3})$ समय की जटिलता. वेंडरमोंडे मैट्रिक्स की संरचना का उपयोग करते हुए, कोई न्यूटन बहुपद|न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग कर सकता है (या लैग्रेंज बहुपद) में समीकरण को हल करने के लिए ${\mathcal {O}}(n^{2})$ समय, चुपचाप LU अपघटन की गणना करता है $V^{-1}$. परिणामी एल्गोरिदम अत्यंत सटीक समाधान उत्पन्न करता है, भले ही $V$ शर्त संख्या है|बीमार कंडीशन है।

असतत फूरियर रूपांतरण को एक विशिष्ट वेंडरमोंडे मैट्रिक्स, डीएफटी मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां संख्याएं होती हैं $x_{i}$ एकता की जड़ें बनने के लिए चुना गया है। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके एक वेक्टर के साथ वेंडरमोंडे मैट्रिक्स के उत्पाद की गणना करना संभव है $O(n\log ^{2}n)$ समय। वैंडरमोंडे निर्धारक के सूत्र द्वारा, भरने वाले कारक एक (क्वांटम हॉल प्रभाव में दिखाई देने वाला) के साथ लाफलिन तरंग फ़ंक्शन को एक स्लेटर निर्धारक के रूप में देखा जा सकता है। यह अब एक से भिन्न कारकों को भरने के लिए सत्य नहीं है, अर्थात, भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव में।

यह बहुपद प्रतिगमन का डिजाइन मैट्रिक्स है।

यह मनमानी की सामान्यीकृत मात्रा है $k$-चक्रीय पॉलीटोप के चेहरे। विशेष रूप से, यदि $F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})$ एक है $k$-चक्रीय पॉलीटोप का चेहरा $C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}$ (कहाँ $T=\{t_{1},\dots ,t_{N}\}_{<}\subset \mathbb {Z}$), तब

$$\mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.$$

निर्धारक

एक वर्ग मैट्रिक्स वेंडरमोंडे मैट्रिक्स के निर्धारक को वेंडरमोंडे बहुपद या वेंडरमोंडे निर्धारक कहा जाता है। इसका मान बहुपद है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$

जो गैर-शून्य है यदि और केवल यदि सभी $x_{i}$ विशिष्ट हैं.

वेंडरमोंडे निर्धारक को कभी-कभी विवेचक कहा जाता था, हालाँकि, वर्तमान में, एक बहुपद का विभेदक बहुपद के एक फलन के मूल के वेंडरमोंडे निर्धारक का वर्ग होता है। वेंडरमोंडे निर्धारक एक वैकल्पिक रूप है $x_{i}$, जिसका अर्थ है कि दो का आदान-प्रदान $x_{i}$ को क्रमपरिवर्तित करते समय चिन्ह बदल देता है $x_{i}$ सम क्रमपरिवर्तन से निर्धारक का मान नहीं बदलता है। इस प्रकार यह ऑर्डर के चुनाव पर निर्भर करता है $x_{i}$, जबकि इसका वर्ग, विवेचक, किसी भी क्रम पर निर्भर नहीं करता है, और इसका तात्पर्य है, गैलोइस सिद्धांत द्वारा, कि विभेदक बहुपद के गुणांकों का एक बहुपद कार्य है जिसमें है $x_{i}$ जड़ों के रूप में.

प्रमाण

वर्गाकार वेंडरमोंडे मैट्रिक्स की मुख्य संपत्ति

$V={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}$

यह है कि इसके निर्धारक का सरल रूप है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

इस समानता के तीन प्रमाण नीचे दिये गये हैं। पहला बहुपद गुणों का उपयोग करता है, विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन का। यद्यपि संकल्पनात्मक रूप से सरल, इसमें अमूर्त बीजगणित की गैर-प्राथमिक अवधारणाएँ शामिल हैं। दूसरे प्रमाण के लिए किसी स्पष्ट गणना की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसमें एक रेखीय मानचित्र के निर्धारक और आधार में परिवर्तन की अवधारणाएं शामिल हैं। यह वेंडरमोंडे मैट्रिक्स के एलयू अपघटन की संरचना भी प्रदान करता है। तीसरा केवल प्राथमिक मैट्रिक्स का उपयोग करके अधिक प्राथमिक और अधिक जटिल है।

बहुपद गुणों का उपयोग करना

लीबनिज़ सूत्र (निर्धारक) द्वारा, $\det(V)$ में एक बहुपद है $x_{i}$, पूर्णांक गुणांक के साथ। की सभी प्रविष्टियाँ $i$वें कॉलम (शून्य-आधारित) में कुल डिग्री है $i$. इस प्रकार, फिर से लाइबनिज सूत्र के अनुसार, सारणिक के सभी पदों की कुल डिग्री होती है

$0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};$

(अर्थात् सारणिक इस घात का एक सजातीय बहुपद है)।

यदि, के लिए $i\neq j$, एक स्थानापन्न $x_{i}$ के लिए $x_{j}$, किसी को दो समान पंक्तियों वाला एक मैट्रिक्स मिलता है, जिसका इस प्रकार शून्य निर्धारक होता है। इस प्रकार, कारक प्रमेय द्वारा, $x_{j}-x_{i}$ का भाजक है $\det(V)$. बहुभिन्नरूपी बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड डोमेन द्वारा, सभी का गुणनफल $x_{j}-x_{i}$ विभाजित $\det(V)$, वह है

$\det(V)=Q\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),$

कहाँ $Q$ एक बहुपद है. सभी के उत्पाद के रूप में $x_{j}-x_{i}$ और $\det(V)$ एक ही डिग्री हो $n(n+1)/2$, बहुपद $Q$ वास्तव में, एक स्थिरांक है। यह स्थिरांक एक है, क्योंकि विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल $V$ है $x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}$, जो एकपदी भी है जो सभी कारकों का पहला पद लेने पर प्राप्त होता है $\textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$ इससे यह सिद्ध होता है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

रैखिक मानचित्रों का उपयोग करना

होने देना F एक ऐसा क्षेत्र (गणित) बनें जिसमें सभी शामिल हों $x_{i},$ और $P_{n}$ F से कम या उसके बराबर घात वाले बहुपदों का सदिश समष्टि n में गुणांक के साथ F. होने देना

$\varphi :P_{n}\to F^{n+1}$

द्वारा परिभाषित रेखीय मानचित्र बनें

$p(x)\mapsto (p(x_{0}),p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))$.

वेंडरमोंडे मैट्रिक्स का मैट्रिक्स है $\varphi$ के विहित आधार के संबंध में $P_{n}$ और $F^{n+1}.$ के आधार में परिवर्तन $P_{n}$ वेंडरमोंडे मैट्रिक्स को परिवर्तन-आधार मैट्रिक्स द्वारा गुणा करने के बराबर है M (दाएं से). इससे निर्धारक नहीं बदलता, यदि का निर्धारक M है 1.

बहुपद $1$, $x-x_{0}$, $(x-x_{0})(x-x_{1})$, …, $(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})$ संबंधित डिग्री 0, 1,…, के मोनिक बहुपद हैं n. एकपदी आधार पर उनका मैट्रिक्स एक ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स है U (यदि एकपदी को बढ़ती डिग्री में क्रमबद्ध किया जाता है), सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ एक के बराबर होती हैं। इस प्रकार यह मैट्रिक्स निर्धारक का परिवर्तन-आधारित मैट्रिक्स है। का मैट्रिक्स $\varphi$ इस पर नया आधार है

$L={\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n-1})\end{bmatrix}}$.

इस प्रकार वेंडरमोंडे निर्धारक इस मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है, जो इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद है।

इससे वांछित समानता सिद्ध होती है। इसके अलावा, किसी को LU का अपघटन प्राप्त होता है V जैसा $V=LU^{-1}$.

पंक्ति और स्तंभ संचालन द्वारा

यह तीसरा प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि कोई मैट्रिक्स के एक कॉलम में किसी अन्य कॉलम के स्केलर द्वारा उत्पाद जोड़ता है तो निर्धारक अपरिवर्तित रहता है।

तो, प्रत्येक कॉलम को घटाकर - पहले वाले को छोड़कर - पिछले कॉलम को गुणा किया जाता है $x_{0}$, निर्धारक नहीं बदला गया है। (किसी ऐसे कॉलम को घटाने के लिए जिसे अभी तक नहीं बदला गया है, ये घटाव अंतिम कॉलम से शुरू करके किया जाना चाहिए)। यह मैट्रिक्स देता है

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

पहली पंक्ति के साथ Laplace_expansion लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\det(V)=\det(B)$, साथ

$B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

जैसा कि सभी प्रविष्टियों में है $i$-वीं पंक्ति $B$ का एक कारक है $x_{i+1}-x_{0}$, कोई इन कारकों को बाहर निकाल सकता है और प्राप्त कर सकता है

$\det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')$,

कहाँ $V'$ में एक वेंडरमोंडे मैट्रिक्स है $x_{1},\ldots ,x_{n}$. इस प्रक्रिया को इस छोटे वेंडरमोंडे मैट्रिक्स पर दोहराते हुए, अंततः वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है $\det(V)$ सभी के उत्पाद के रूप में $x_{j}-x_{i}$ ऐसा है कि $i<j$.

परिणामी गुण

एक m × n आयताकार वेंडरमोंडे मैट्रिक्स ऐसा है m ≤ n में मैट्रिक्स की अधिकतम रैंक होती है m यदि और केवल यदि सभी x_i अलग हैं.

एक m × n आयताकार वेंडरमोंडे मैट्रिक्स ऐसा है m ≥ n में मैट्रिक्स की अधिकतम रैंक होती है n यदि और केवल यदि हैं n की x_i जो विशिष्ट हैं।

एक वर्ग वेंडरमोंडे मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि x_i अलग हैं. व्युत्क्रम के लिए एक स्पष्ट सूत्र ज्ञात है।

कन्फ्लुएंट वेंडरमोंडे मैट्रिसेस

जैसा कि पहले बताया गया है, एक वेंडरमोंडे मैट्रिक्स एक बहुपद के गुणांक खोजने के रैखिक बीजगणित बहुपद प्रक्षेप का वर्णन करता है $p(x)$ डिग्री का $n-1$ मूल्यों के आधार पर $p(\alpha _{1}),\,...,\,p(\alpha _{n})$, कहाँ $\alpha _{1},\,...,\,\alpha _{n}$ विशिष्ट बिंदु हैं. अगर $\alpha _{i}$ भिन्न नहीं हैं, तो इस समस्या का कोई अद्वितीय समाधान नहीं है (जो इस तथ्य से परिलक्षित होता है कि संबंधित वेंडरमोंडे मैट्रिक्स एकवचन है)। हालाँकि, यदि हम दोहराए गए बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मान देते हैं, तो समस्या का एक अनूठा समाधान हो सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या

${\begin{cases}p(0)=a\\p'(0)=b\\p(1)=c\end{cases}}$

कहाँ $p$ घात ≤ 2 का एक बहुपद है, सभी के लिए इसका एक अद्वितीय समाधान है $a,b,c$. सामान्य तौर पर, मान लीजिए $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ (आवश्यक रूप से भिन्न नहीं) संख्याएँ हैं, और अंकन में आसानी के लिए मान लीजिए कि समान मान सूची में निरंतर अनुक्रम में आते हैं। वह है

$\alpha _{1}=\cdots =\alpha _{m_{1}},\ \alpha _{m_{1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{2}},\ \ldots ,\ \alpha _{m_{k-1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{k}}$

कहाँ $m_{k}=n,$ $m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k},$ और $\alpha _{m_{1}},\ldots ,\alpha _{m_{k}}$ विशिष्ट हैं. फिर संगत प्रक्षेप समस्या है

${\begin{cases}p(\alpha _{m_{1}})=\beta _{1},&p'(\alpha _{m_{1}})=\beta _{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(\alpha _{m_{1}})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{1}+1},&p'(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k-1}+1},&p'(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k}}\end{cases}}$

और इस समस्या के लिए संबंधित मैट्रिक्स को कंफ्लुएंट वेंडरमोंडे मैट्रिक्स कहा जाता है। हमारे मामले में (जो सामान्य मामला है, मैट्रिक्स की पंक्तियों को क्रमपरिवर्तित करने तक) इसके लिए सूत्र इस प्रकार दिया गया है: यदि $1\leq i,j\leq n$, तब $m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}$ कुछ के लिए (अद्वितीय) $0\leq \ell \leq k-1$ (हमें विचार विमर्श करना है $m_{0}=0$). तो हमारे पास हैं

$V_{i,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}j<i-m_{\ell };\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}\alpha _{i}^{j-(i-m_{\ell })},&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}$

वेंडरमोंडे मैट्रिक्स का यह सामान्यीकरण इसे वंडरमोंडे मैट्रिक्स के अधिकांश गुणों को बरकरार रखते हुए वंडरमोंडे मैट्रिक्स को गैर-एकवचन बनाता है (जैसे कि समीकरणों की प्रणाली के लिए एक अद्वितीय समाधान मौजूद है)। इसकी पंक्तियाँ मूल वेंडरमोंडे पंक्तियों की व्युत्पन्न (कुछ क्रम की) हैं।

इस सूत्र को प्राप्त करने का दूसरा तरीका यह है कि इसमें से कुछ को छोड़ दिया जाए $\alpha _{i}$मनमाने ढंग से एक-दूसरे के करीब चले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $\alpha _{1}=\alpha _{2}$, फिर दे देना $\alpha _{2}\to \alpha _{1}$ मूल वेंडरमोंडे मैट्रिक्स में, पहली और दूसरी पंक्तियों के बीच का अंतर संगम वेंडरमोंडे मैट्रिक्स में संबंधित पंक्ति उत्पन्न करता है। यह हमें सामान्यीकृत इंटरपोलेशन समस्या (एक बिंदु पर दिए गए मान और डेरिवेटिव) को मूल मामले से जोड़ने की अनुमति देता है जहां सभी बिंदु अलग-अलग होते हैं: दिया जा रहा है $p(\alpha ),p'(\alpha )$ दिए जाने के समान है $p(\alpha ),p(\alpha +\varepsilon )$ कहाँ $\varepsilon$ बहुत छोटी है।

यह भी देखें

• Companion matrix § Diagonalizability
• शूर बहुपद - एक सामान्यीकरण
• वैकल्पिक मैट्रिक्स
• लैग्रेंज बहुपद
• रोन्स्कियन
• मैट्रिक्स की सूची
• एक परिमित क्षेत्र पर निर्धारक को मूर करें
• विएटा के सूत्र

अग्रिम पठन

• Ycart, Bernard (2013), "A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant", Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv:1204.4716, Bibcode:2012arXiv1204.4716Y.

बाहरी संबंध

• वेंडरमोंडे मैट्रिक्स at ProofWiki