शर्त संख्या

संख्यात्मक विश्लेषण में, किसी फ़ंक्शन की स्थिति संख्या (गणित) मापती है कि इनपुट तर्क में एक छोटे से बदलाव के लिए फ़ंक्शन का आउटपुट मान कितना बदल सकता है। इसका उपयोग यह मापने के लिए किया जाता है कि किसी फ़ंक्शन का विश्लेषण इनपुट में परिवर्तन या त्रुटियों के प्रति कितना संवेदनशील है, और इनपुट में त्रुटि के परिणामस्वरूप आउटपुट में कितनी त्रुटि होती है। अक्सर, कोई उलटी समस्या को हल कर रहा होता है: दिया हुआ $f(x)=y,$ एक x के लिए हल कर रहा है, और इस प्रकार (स्थानीय) व्युत्क्रम की शर्त संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए। रैखिक प्रतिगमन में क्षण मैट्रिक्स की स्थिति संख्या का उपयोग बहुसंरेखता के निदान के रूप में किया जा सकता है।^[1]^[2] शर्त संख्या व्युत्पन्न का एक अनुप्रयोग है^{[citation needed]}, और इसे औपचारिक रूप से इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में एसिम्प्टोटिक सबसे खराब स्थिति वाले सापेक्ष परिवर्तन के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन किसी समस्या का समाधान है और तर्क समस्या में डेटा हैं। शर्त संख्या अक्सर रैखिक बीजगणित में प्रश्नों पर लागू होती है, इस मामले में व्युत्पन्न सीधा है लेकिन त्रुटि कई अलग-अलग दिशाओं में हो सकती है, और इस प्रकार मैट्रिक्स की ज्यामिति से गणना की जाती है। अधिक सामान्यतः, स्थिति संख्याओं को कई चरों में गैर-रेखीय कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

कम स्थिति संख्या वाली समस्या को अच्छी तरह से अनुकूलित कहा जाता है, जबकि उच्च स्थिति संख्या वाली समस्या को खराब स्थिति वाली समस्या कहा जाता है। गैर-गणितीय शब्दों में, एक खराब स्थिति वाली समस्या वह होती है, जहां इनपुट (स्वतंत्र चर) में एक छोटे से बदलाव के लिए उत्तर या आश्रित चर में एक बड़ा बदलाव होता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का सही समाधान/उत्तर ढूंढना कठिन हो जाता है। शर्त संख्या समस्या की एक संपत्ति है. समस्या के साथ कितने भी एल्गोरिदम जोड़े जाते हैं जिनका उपयोग समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है, यानी समाधान की गणना करने के लिए। कुछ एल्गोरिदम में संख्यात्मक स्थिरता नामक एक गुण होता है; सामान्य तौर पर, एक पिछड़े स्थिर एल्गोरिदम से अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्याओं को सटीक रूप से हल करने की उम्मीद की जा सकती है। संख्यात्मक विश्लेषण पाठ्यपुस्तकें समस्याओं की स्थिति संख्या के लिए सूत्र देती हैं और ज्ञात पिछड़े स्थिर एल्गोरिदम की पहचान करती हैं।

एक सामान्य नियम के रूप में, यदि शर्त संख्या $\kappa (A)=10^{k}$ , तो आप तक का नुकसान हो सकता है $k$ अंकगणितीय विधियों से सटीकता के नुकसान के कारण संख्यात्मक विधि में जो खो जाएगा उसके शीर्ष पर सटीकता के अंक।^[3] हालाँकि, शर्त संख्या एल्गोरिथम में होने वाली अधिकतम अशुद्धि का सटीक मान नहीं देती है। यह आम तौर पर इसे केवल एक अनुमान के साथ बांधता है (जिसका गणना मूल्य अशुद्धि को मापने के लिए मानक की पसंद पर निर्भर करता है)।

त्रुटि विश्लेषण के संदर्भ में सामान्य परिभाषा

एक समस्या दी गई है $f$ और एक एल्गोरिदम ${\tilde {f}}$ एक इनपुट के साथ $x$ और आउटपुट ${\tilde {f}}(x),$ त्रुटि यह है $\delta f(x):=f(x)-{\tilde {f}}(x),$ निरपेक्ष त्रुटि है $\|\delta f(x)\|=\left\|f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\|$ और सापेक्ष त्रुटि है $\|\delta f(x)\|/\|f(x)\|=\left\|f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\|/\|f(x)\|.$ इस संदर्भ में, किसी समस्या की पूर्ण स्थिति संख्या $f$ है^{[clarification needed]}

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\,\sup _{\|\delta x\|\,\leq \,\varepsilon }{\frac {\|\delta f(x)\|}{\|\delta x\|}}

और सापेक्ष स्थिति संख्या है^{[clarification needed]}

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\,\sup _{\|\delta x\|\,\leq \,\varepsilon }{\frac {\|\delta f(x)\|/\|f(x)\|}{\|\delta x\|/\|x\|}}.

आव्यूह

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरण से जुड़ी शर्त संख्या Ax = b एक सीमा देता है कि अनुमान के बाद समाधान x कितना गलत होगा। ध्यान दें कि यह राउंड-ऑफ़ त्रुटि के प्रभावों को ध्यान में रखने से पहले है; कंडीशनिंग मैट्रिक्स (गणित) की एक संपत्ति है, न कि संबंधित सिस्टम को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कंप्यूटर की कलन विधि या तैरनेवाला स्थल सटीकता। विशेष रूप से, किसी को शर्त संख्या के बारे में (बहुत मोटे तौर पर) उस दर के रूप में सोचना चाहिए जिस पर समाधान x, b में परिवर्तन के संबंध में बदल जाएगा। इस प्रकार, यदि शर्त संख्या बड़ी है, तो b में एक छोटी सी त्रुटि भी x में बड़ी त्रुटि का कारण बन सकती है। दूसरी ओर, यदि शर्त संख्या छोटी है, तो x में त्रुटि b में त्रुटि से बहुत बड़ी नहीं होगी।

शर्त संख्या को x में सापेक्ष त्रुटि और b में सापेक्ष त्रुटि के अधिकतम अनुपात के रूप में अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया है।

माना कि b में त्रुटि e है। यह मानते हुए कि ए एक गैर विलक्षण मैट्रिक्स मैट्रिक्स है, समाधान ए में त्रुटि⁻¹b, A है⁻¹e. समाधान में सापेक्ष त्रुटि का b में सापेक्ष त्रुटि से अनुपात है

{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}/{\frac {\|e\|}{\|b\|}}={\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}.

अधिकतम मान (गैर-शून्य बी और ई के लिए) को निम्नानुसार दो ऑपरेटर मानदंडों के उत्पाद के रूप में देखा जाता है:

{\begin{aligned}\max _{e,b\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max _{b\neq 0}\left\{{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}\\&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max _{x\neq 0}\left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\right\}\\&=\left\|A^{-1}\right\|\,\|A\|.\end{aligned}}

किसी भी सुसंगत मैट्रिक्स मानदंड के लिए समान परिभाषा का उपयोग किया जाता है, यानी जो संतुष्ट करता है

\kappa (A)=\left\|A^{-1}\right\|\,\left\|A\right\|\geq \left\|A^{-1}A\right\|=1.

जब शर्त संख्या बिल्कुल एक होती है (जो केवल तभी हो सकती है जब A एक आइसोमेट्री#रैखिक आइसोमेट्री का एक अदिश गुणक हो), तो एक समाधान एल्गोरिदम समाधान का एक अनुमान ढूंढ सकता है (सिद्धांत रूप में, जिसका अर्थ है कि एल्गोरिदम अपनी कोई त्रुटि पेश नहीं करता है) जिसकी सटीकता डेटा से भी बदतर नहीं है।

हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि एल्गोरिदम तेजी से इस समाधान में परिवर्तित हो जाएगा, बस यह स्रोत डेटा (बैकवर्ड त्रुटि) पर अशुद्धि के कारण मनमाने ढंग से विचलन नहीं करेगा, बशर्ते कि एल्गोरिदम द्वारा शुरू की गई आगे की त्रुटि मध्यवर्ती गोलाई त्रुटियों को जमा करने के कारण भी अलग न हो।^{[clarification needed]}

स्थिति संख्या भी अनंत हो सकती है, लेकिन इसका तात्पर्य यह है कि समस्या अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई समस्या है। (डेटा की प्रत्येक पसंद के लिए एक अद्वितीय, अच्छी तरह से परिभाषित समाधान नहीं है; यानी, मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स नहीं है), और किसी भी एल्गोरिदम से विश्वसनीय रूप से समाधान खोजने की उम्मीद नहीं की जा सकती है।

शर्त संख्या की परिभाषा मानक की पसंद पर निर्भर करती है, जैसा कि दो उदाहरणों से स्पष्ट किया जा सकता है।

अगर $\|\cdot \|$ मैट्रिक्स मानदंड है#मैट्रिक्स मानदंड वेक्टर मानदंडों से प्रेरित है|मैट्रिक्स मानदंड (वेक्टर) यूक्लिडियन मानदंड से प्रेरित है (कभी-कभी एल के रूप में जाना जाता है)²मानदंड और आम तौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $\|\cdot \|_{2}$ ), तब

\kappa (A)={\frac {\sigma _{\text{max}}(A)}{\sigma _{\text{min}}(A)}},

कहाँ $\sigma _{\text{max}}(A)$ और $\sigma _{\text{min}}(A)$ के अधिकतम और न्यूनतम एकवचन मान हैं $A$ क्रमश। इस तरह:

अगर $A$ तो, सामान्य मैट्रिक्स है $\kappa (A)={\frac {\left|\lambda _{\text{max}}(A)\right|}{\left|\lambda _{\text{min}}(A)\right|}},$ कहाँ $\lambda _{\text{max}}(A)$ और $\lambda _{\text{min}}(A)$ के अधिकतम और न्यूनतम (मोडुलि द्वारा) eigenvalues हैं $A$ क्रमश।
अगर $A$ तो, एकात्मक मैट्रिक्स है $\kappa (A)=1.$

एल के संबंध में शर्त संख्या²संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में इतनी बार उठता है कि इसे एक नाम दिया गया है, मैट्रिक्स की स्थिति संख्या।

अगर $\|\cdot \|$ मैट्रिक्स मानदंड है#वेक्टर मानदंडों से प्रेरित मैट्रिक्स मानदंड|मैट्रिक्स मानदंड से प्रेरित है $L^{\infty }$ (वेक्टर) मानदंड और $A$ त्रिकोणीय मैट्रिक्स गैर-एकवचन है (यानी) $a_{ii}\neq 0$ सभी के लिए $i$ ), तब

\kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}{\min _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}}

याद दिला दें कि किसी भी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के eigenvalues केवल विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं।

इस मानदंड के साथ गणना की गई स्थिति संख्या आम तौर पर यूक्लिडियन मानदंड के सापेक्ष गणना की गई स्थिति संख्या से बड़ी होती है, लेकिन इसका मूल्यांकन अधिक आसानी से किया जा सकता है (और यह अक्सर व्यावहारिक रूप से गणना योग्य स्थिति संख्या होती है, जब हल करने की समस्या में गैर-रेखीय बीजगणित शामिल होता है)^{[clarification needed]}, उदाहरण के लिए जब अपरिमेय और पारलौकिक फ़ंक्शन फ़ंक्शंस या संख्याओं को संख्यात्मक तरीकों से अनुमानित किया जाता है)।

यदि शर्त संख्या एक से अधिक बड़ी नहीं है, तो मैट्रिक्स अच्छी तरह से वातानुकूलित है, जिसका अर्थ है कि इसके व्युत्क्रम की गणना अच्छी सटीकता के साथ की जा सकती है। यदि शर्त संख्या बहुत बड़ी है, तो मैट्रिक्स को खराब स्थिति वाला कहा जाता है। व्यावहारिक रूप से, ऐसा मैट्रिक्स लगभग एकवचन होता है, और इसके व्युत्क्रम की गणना, या समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली के समाधान में बड़ी संख्यात्मक त्रुटियां होने की संभावना होती है। एक मैट्रिक्स जो उलटा नहीं है, अक्सर कहा जाता है कि इसकी स्थिति संख्या अनंत के बराबर होती है। वैकल्पिक रूप से, इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $\kappa (A)=\|A\|\|A^{\dagger }\|$ , कहाँ $A^{\dagger }$ मूर-पेनरोज़ छद्म व्युत्क्रम है। वर्ग आव्यूहों के लिए, यह दुर्भाग्य से शर्त संख्या को असंतत बना देता है, लेकिन यह आयताकार आव्यूहों के लिए एक उपयोगी परिभाषा है, जो कभी भी उलटे नहीं होते हैं लेकिन फिर भी समीकरणों की प्रणालियों को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

अरेखीय

स्थिति संख्याओं को गैर-रेखीय कार्यों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, और कैलकुलस का उपयोग करके गणना की जा सकती है। स्थिति संख्या बिंदु के साथ बदलती रहती है; कुछ मामलों में कोई व्यक्ति फ़ंक्शन के डोमेन या प्रश्न के डोमेन पर अधिकतम (या सर्वोच्च) स्थिति संख्या का उपयोग समग्र स्थिति संख्या के रूप में कर सकता है, जबकि अन्य मामलों में किसी विशेष बिंदु पर स्थिति संख्या अधिक रुचि की होती है।

एक चर

एक अवकलनीय फलन की शर्त संख्या $f$ एक फ़ंक्शन के रूप में एक वेरिएबल में है $\left|xf'/f\right|$ . एक बिंदु पर मूल्यांकन किया गया $x$ , यह है

\left|{\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right|.

सबसे सुंदर ढंग से, इसे लघुगणकीय व्युत्पन्न के अनुपात (के पूर्ण मूल्य) के रूप में समझा जा सकता है $f$ , जो है $(\log f)'=f'/f$ , और का लघुगणकीय व्युत्पन्न $x$ , जो है $(\log x)'=x'/x=1/x$ , का अनुपात प्राप्त होता है $xf'/f$ . ऐसा इसलिए है क्योंकि लॉगरिदमिक व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन में सापेक्ष परिवर्तन की असीम दर है: यह व्युत्पन्न है $f'$ के मूल्य के आधार पर स्केल किया गया $f$ . ध्यान दें कि यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का शून्य है, तो बिंदु पर इसकी स्थिति संख्या अनंत है, क्योंकि इनपुट में अनंत परिवर्तन आउटपुट को शून्य से सकारात्मक या नकारात्मक में बदल सकते हैं, जिससे हर में शून्य के साथ एक अनुपात प्राप्त होता है, इसलिए अनंत सापेक्ष परिवर्तन होता है।

अधिक सीधे तौर पर, एक छोटा सा बदलाव दिया गया है $\Delta x$ में $x$ , में सापेक्ष परिवर्तन $x$ है $[(x+\Delta x)-x]/x=(\Delta x)/x$ , जबकि सापेक्ष परिवर्तन होता है $f(x)$ है $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ . अनुपात लेने से पैदावार होती है

{\frac {[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}{(\Delta x)/x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.

अंतिम पद अंतर भागफल (छेदिका रेखा का ढलान) है, और सीमा (गणित) लेने से व्युत्पन्न प्राप्त होता है।

सामान्य प्रारंभिक कार्यों की स्थिति संख्याएं महत्वपूर्ण आंकड़ों की गणना में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं और व्युत्पन्न से तुरंत गणना की जा सकती हैं; महत्व अंकगणित#ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस देखें। कुछ महत्वपूर्ण बातें नीचे दी गई हैं:

Name	Symbol	Condition number
Addition / subtraction	$x+a$	$\left\|{\frac {x}{x+a}}\right\|$
Scalar multiplication	$ax$	$1$
Division	$1/x$	$1$
Polynomial	$x^{n}$	$\|n\|$
Exponential function	$e^{x}$	$\|x\|$
Natural logarithm function	$\ln(x)$	$\left\|{\frac {1}{\ln(x)}}\right\|$
Sine function	$\sin(x)$	$\|x\cot(x)\|$
Cosine function	$\cos(x)$	$\|x\tan(x)\|$
Tangent function	$\tan(x)$	$\|x(\tan(x)+\cot(x))\|$
Inverse sine function	$\arcsin(x)$	${\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}$
Inverse cosine function	$\arccos(x)$	${\frac {\|x\|}{sqrt{1-x^{2}}arccos(x)}}$
व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन	गणित>\arctan(x)</math> \|\| गणित>\frac{x}{(1+x^2)\arctan(x)}</math>

अनेक चर

कंडीशन नंबरों को किसी भी फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया जा सकता है $f$ किसी फ़ंक्शन के कुछ डोमेन से उसका डेटा मैप करना (उदा. an $m$ -वास्तविक संख्याओं का समूह $x$ ) कुछ कोडोमेन में (उदा. an $n$ -वास्तविक संख्याओं का समूह $f(x)$ ), जहां डोमेन और कोडोमेन दोनों बनच स्थान हैं। वे व्यक्त करते हैं कि वह फ़ंक्शन अपने तर्कों में छोटे बदलावों (या छोटी त्रुटियों) के प्रति कितना संवेदनशील है। यह कई कम्प्यूटेशनल समस्याओं की संवेदनशीलता और संभावित सटीकता कठिनाइयों का आकलन करने में महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, रूट-फाइंडिंग_एल्गोरिदम#रूट्स_ऑफ_पोलिनोमियल्स या कंप्यूटिंग आइगेनवैल्यू।

की शर्त संख्या $f$ एक बिंदु पर $x$ (विशेष रूप से, इसकी सापेक्ष स्थिति संख्या^[4] फिर इसे आंशिक परिवर्तन के अधिकतम अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $f(x)$ किसी भी आंशिक परिवर्तन के लिए $x$ , उस सीमा में जहां परिवर्तन होता है $\delta x$ में $x$ असीम रूप से छोटा हो जाता है:^[4]

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\sup _{\|\delta x\|\leq \varepsilon }\left[\left.{\frac {\left\|f(x+\delta x)-f(x)\right\|}{\|f(x)\|}}\right/{\frac {\|\delta x\|}{\|x\|}}\right],

कहाँ $\|\cdot \|$ के डोमेन/कोडोमेन पर एक नॉर्म (गणित) है $f$ .

अगर $f$ अवकलनीय है, यह इसके बराबर है:^[4]

{\frac {\|J(x)\|}{\|f(x)\|/\|x\|}},

कहाँ $J(x)$ आंशिक व्युत्पन्न के जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है $f$ पर $x$ , और $\|J(x)\|$ मैट्रिक्स पर प्रेरित मानदंड है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Belsley, David A.; Kuh, Edwin; Welsch, Roy E. (1980). "The Condition Number". Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity. New York: John Wiley & Sons. pp. 100–104. ISBN 0-471-05856-4.
↑ Pesaran, M. Hashem (2015). "The Multicollinearity Problem". समय श्रृंखला और पैनल डेटा अर्थमिति. New York: Oxford University Press. pp. 67–72 [p. 70]. ISBN 978-0-19-875998-0.
↑ Cheney; Kincaid (2008). संख्यात्मक गणित और कंप्यूटिंग. p. 321. ISBN 978-0-495-11475-8.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Trefethen, L. N.; Bau, D. (1997). संख्यात्मक रैखिक बीजगणित. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

अग्रिम पठन

Demmel, James (1990). "Nearest Defective Matrices and the Geometry of Ill-conditioning". In Cox, M. G.; Hammarling, S. (eds.). Reliable Numerical Computation. Oxford: Clarendon Press. pp. 35–55. ISBN 0-19-853564-3.

बाहरी संबंध

Condition Number of a Matrix at Holistic Numerical Methods Institute
MATLAB library function to determine condition number
Condition number – Encyclopedia of Mathematics
Who Invented the Matrix Condition Number? by Nick Higham

[1] Belsley, David A.; Kuh, Edwin; Welsch, Roy E. (1980). "The Condition Number". Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity. New York: John Wiley & Sons. pp. 100–104. ISBN 0-471-05856-4.

[2] Pesaran, M. Hashem (2015). "The Multicollinearity Problem". समय श्रृंखला और पैनल डेटा अर्थमिति. New York: Oxford University Press. pp. 67–72 [p. 70]. ISBN 978-0-19-875998-0.

[Numerical_Mathematics_and_Computing.2C_by_Cheney_and_Kincaid-3] Cheney; Kincaid (2008). संख्यात्मक गणित और कंप्यूटिंग. p. 321. ISBN 978-0-495-11475-8.

[TrefethenBau-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Trefethen, L. N.; Bau, D. (1997). संख्यात्मक रैखिक बीजगणित. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

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