त्रिकोणीय मैट्रिक्स

Not to be confused with a triangular array, a related concept.

For the rings, see triangular matrix ring.

गणित में, त्रिकोणीय आव्यूह एक विशेष प्रकार का वर्ग आव्यूह होता है। एक स्क्वायर मैट्रिक्स कहा जाता हैlower triangular यदि सभी प्रविष्टियाँ ऊपर मुख्य विकर्ण शून्य हैं। इसी तरह, एक वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता हैupper triangular यदि सभी प्रविष्टियाँ नीचे मुख्य विकर्ण शून्य हैं।

क्योंकि त्रिकोणीय मैट्रिसेस वाले मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना आसान है, वे संख्यात्मक विश्लेषण में बहुत महत्वपूर्ण हैं। LU अपघटन एल्गोरिथम द्वारा, एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स को निम्न त्रिकोणीय मैट्रिक्स L और एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स U के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है यदि और केवल यदि इसके सभी प्रमुख प्रमुख लघु (रैखिक बीजगणित) गैर हैं -शून्य।

विवरण

फॉर्म का एक मैट्रिक्स

$L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}$

निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स या बाएं त्रिकोणीय मैट्रिक्स कहा जाता है, और समान रूप से फॉर्म का मैट्रिक्स कहा जाता है

$U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}$

ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स या सही त्रिकोणीय मैट्रिक्स कहा जाता है। एक निचले या बाएं त्रिकोणीय मैट्रिक्स को आमतौर पर चर L से दर्शाया जाता है, और एक ऊपरी या दाएं त्रिकोणीय मैट्रिक्स को आमतौर पर चर U या R से दर्शाया जाता है।

एक मैट्रिक्स जो ऊपरी और निचले त्रिकोणीय दोनों है, विकर्ण मैट्रिक्स है। वे आव्यूह जो त्रिभुजाकार आव्यूहों के समान (रैखिक बीजगणित) होते हैं उन्हें त्रिभुजाकार कहा जाता है।

विकर्ण के ऊपर (नीचे) शून्य के साथ एक गैर-वर्ग (या कभी-कभी कोई भी) मैट्रिक्स को निचला (ऊपरी) ट्रैपोज़ाइडल मैट्रिक्स कहा जाता है। गैर-शून्य प्रविष्टियाँ एक चतुर्भुज का आकार बनाती हैं।

उदाहरण

यह मैट्रिक्स

${\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

ऊपरी त्रिकोणीय है और यह मैट्रिक्स है

${\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}$

निचला त्रिकोणीय है।

आगे और पीछे प्रतिस्थापन

रूप में एक मैट्रिक्स समीकरण $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ या $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए आगे प्रतिस्थापन और ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए समान रूप से बैक प्रतिस्थापन नामक पुनरावृत्त प्रक्रिया द्वारा हल करना बहुत आसान है। इस प्रक्रिया को इसलिए कहा जाता है क्योंकि निचले त्रिकोणीय आव्यूहों के लिए, पहले गणना की जाती है $x_{1}$, फिर उसे हल करने के लिए अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करता है $x_{2}$, और के माध्यम से दोहराता है $x_{n}$. एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स में, एक पीछे की ओर काम करता है, पहले कंप्यूटिंग करता है $x_{n}$, फिर उसे हल करने के लिए पिछले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करना $x_{n-1}$, और के माध्यम से दोहराना $x_{1}$.

ध्यान दें कि इसके लिए मैट्रिक्स को उलटने की आवश्यकता नहीं है।

आगे प्रतिस्थापन

मैट्रिक्स समीकरण L'x' = 'b' को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}$

ध्यान दें कि पहला समीकरण ($\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$) ही शामिल है $x_{1}$, और इस प्रकार कोई हल कर सकता है $x_{1}$ सीधे। दूसरे समीकरण में केवल शामिल है $x_{1}$ और $x_{2}$, और इस प्रकार हल किया जा सकता है जब एक बार पहले से ही हल किए गए मूल्य में एक विकल्प के लिए $x_{1}$. इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए $k$-वाँ समीकरण केवल शामिल है $x_{1},\dots ,x_{k}$, और कोई हल कर सकता है $x_{k}$ के लिए पहले हल किए गए मानों का उपयोग करना $x_{1},\dots ,x_{k-1}$. परिणामी सूत्र हैं:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}$

ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स यू के साथ एक मैट्रिक्स समीकरण को समान तरीके से हल किया जा सकता है, केवल पीछे की ओर काम करना।

अनुप्रयोग

उपज वक्र बनाने के लिए वित्तीय बूटस्ट्रैपिंग (वित्त) में फॉरवर्ड प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।

गुण

एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का स्थानान्तरण एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स है और इसके विपरीत।

एक मैट्रिक्स जो सममित और त्रिकोणीय दोनों है, विकर्ण है। एक समान नस में, एक मैट्रिक्स जो दोनों सामान्य मैट्रिक्स है (अर्थात् ए^*ए = एए^*, जहां ए^* संयुग्म पारगमन है) और त्रिकोणीय भी विकर्ण है। इसे A की विकर्ण प्रविष्टियों को देखकर देखा जा सकता है^*ए और एए^{*</सुप>.}

त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक और स्थायी (गणित) विकर्ण प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होते हैं, जैसा कि प्रत्यक्ष संगणना द्वारा जांचा जा सकता है।

वास्तव में अधिक सत्य है: त्रिकोणीय मैट्रिक्स के eigenvalues ​​वास्तव में इसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं। इसके अलावा, प्रत्येक eigenvalue विकर्ण पर ठीक k बार होता है, जहां k इसकी बीजगणितीय बहुलता है, अर्थात, विशेषता बहुपद के एक बहुपद की जड़ की बहुलता $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ए का। दूसरे शब्दों में, त्रिकोणीय एन × एन मैट्रिक्स ए की विशेषता बहुपद बिल्कुल है

$p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$,

वह है, अद्वितीय डिग्री n बहुपद जिसकी जड़ें A की विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं (बहुगुणों के साथ)। इसे देखने के लिए, उस पर गौर करें $xI-A$ त्रिकोणीय भी है और इसलिए इसका निर्धारक है $\det(xI-A)$ इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$.

विशेष रूप

एकत्रिकीय मैट्रिक्स

यदि (ऊपरी या निचले) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर सभी प्रविष्टियाँ 1 हैं, तो मैट्रिक्स को (ऊपरी या निचला) एकत्रिकोणीय कहा जाता है।

इन मेट्रिसेस के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य नाम यूनिट (ऊपरी या निचले) त्रिकोणीय हैं, या बहुत कम आदर्श (ऊपरी या निचले) त्रिकोणीय हैं। हालाँकि, एक यूनिट त्रिकोणीय मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स के समान नहीं है, और मानक त्रिकोणीय मैट्रिक्स का मैट्रिक्स मानदंड की धारणा से कोई लेना-देना नहीं है।

सभी परिमित इकाईत्रिकोणीय आव्यूह एकशक्तिशाली होते हैं।

कड़ाई से त्रिकोणीय मैट्रिक्स

यदि किसी (ऊपरी या निचले) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर सभी प्रविष्टियाँ भी 0 हैं, तो मैट्रिक्स को सख्ती से (ऊपरी या निचला) त्रिकोणीय कहा जाता है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय|केली-हैमिल्टन प्रमेय के परिणाम के रूप में सभी परिमित कड़ाई से त्रिकोणीय आव्यूह अधिकांश n पर सूचकांक के निलपोटेंट मैट्रिक्स हैं।

परमाणु त्रिकोणीय मैट्रिक्स

Main article: Frobenius matrix

एक परमाणु (ऊपरी या निचला) त्रिकोणीय मैट्रिक्स यूनिट्रिएंगुलर मैट्रिक्स का एक विशेष रूप है, जहां एक कॉलम में प्रविष्टियों को छोड़कर सभी ऑफ-डायगोनल तत्व शून्य हैं। इस तरह के मैट्रिक्स को फ्रोबेनियस मैट्रिक्स, गॉस मैट्रिक्स या गॉस ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिक्स भी कहा जाता है।

त्रिकोणीयता

एक मैट्रिक्स जो एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है, त्रिकोणीयकरण के रूप में जाना जाता है। संक्षेप में, यह एक ध्वज (रैखिक बीजगणित) को स्थिर करने के बराबर है: ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस ठीक वे हैं जो मानक ध्वज को संरक्षित करते हैं, जो मानक आदेशित आधार द्वारा दिया जाता है $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ और परिणामी झंडा $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$ सभी झंडे संयुग्मित होते हैं (जैसा कि सामान्य रेखीय समूह आधारों पर सकर्मक रूप से कार्य करता है), इसलिए कोई भी मैट्रिक्स जो ध्वज को स्थिर करता है वह मानक ध्वज को स्थिर करने वाले के समान होता है।

कोई भी जटिल वर्ग मैट्रिक्स त्रिकोणीय है।वास्तव में, एक क्षेत्र (गणित) पर एक मैट्रिक्स ए जिसमें ए के सभी आइगेनवैल्यू होते हैं (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर कोई मैट्रिक्स) एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समान है। यह इस तथ्य पर प्रेरण का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि ए के पास एक ईजेनवेक्टर है, ईजेनवेक्टर द्वारा भागफल स्थान लेकर और यह दिखाने के लिए कि ए ध्वज को स्थिर करता है, और इस प्रकार उस ध्वज के आधार के संबंध में त्रिकोणीय है।

जॉर्डन सामान्य रूप प्रमेय द्वारा एक अधिक सटीक बयान दिया गया है, जिसमें कहा गया है कि इस स्थिति में, ए एक बहुत ही विशेष रूप के ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समान है। सरल त्रिकोणीयकरण परिणाम अक्सर पर्याप्त होता है, और किसी भी मामले में जॉर्डन सामान्य रूप प्रमेय को साबित करने में प्रयोग किया जाता है। जटिल मैट्रिसेस के मामले में, त्रिकोणीयकरण के बारे में अधिक कहना संभव है, अर्थात्, किसी वर्ग मैट्रिक्स ए में शूर अपघटन होता है। इसका मतलब यह है कि ए ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए एकात्मक रूप से समतुल्य है (यानी समान, एकात्मक मैट्रिक्स को आधार के परिवर्तन के रूप में उपयोग करना); इसके बाद ध्वज के लिए हर्मिटियन आधार लिया जाता है।

एक साथ त्रिकोणीयता

See also: Simultaneously diagonalizable

मेट्रिसेस का एक सेट $A_{1},\ldots ,A_{k}$ कहा जाता हैsimultaneously triangularisable अगर कोई आधार है जिसके तहत वे सभी ऊपरी त्रिकोणीय हैं; समतुल्य रूप से, यदि वे एक एकल समानता मैट्रिक्स पी द्वारा ऊपरी त्रिकोणीयकरण योग्य हैं, तो मैट्रिसेस का ऐसा सेट मैट्रिसेस के बीजगणित पर विचार करके अधिक आसानी से समझा जा सकता है, अर्थात् सभी बहुपदों को उत्पन्न करता है। $A_{i},$ लक्षित $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ समकालिक त्रिकोणीयता का मतलब है कि यह बीजगणित ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के लाइ सबलजेब्रा में संयुग्मित है, और इस बीजगणित के समतुल्य है जो एक बोरेल सबलजेब्रा का लाइ सबलजेब्रा है।

मूल परिणाम यह है कि (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर), आने वाले मैट्रिक्स $A,B$ या अधिक आम तौर पर $A_{1},\ldots ,A_{k}$ एक साथ त्रिकोणीय हैं। यह पहले दिखा कर सिद्ध किया जा सकता है कि आने वाले मेट्रिसेस में एक सामान्य ईजेनवेक्टर होता है, और फिर पहले की तरह आयाम पर शामिल होता है। यह फ्रोबेनियस द्वारा सिद्ध किया गया था, जो 1878 में शुरू होने वाली जोड़ी के लिए शुरू हुआ था, जैसा कि मैट्रिसेस पर चर्चा की गई थी। एकल मैट्रिक्स के लिए, जटिल संख्याओं पर इन्हें एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा त्रिभुजित किया जा सकता है।

तथ्य यह है कि आने वाले मेट्रिसेस में एक सामान्य ईजेनवेक्टर होता है, जिसे हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट के परिणाम के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: कम्यूटिंग मेट्रिसेस एक कम्यूटेटिव बीजगणित बनाते हैं $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ ऊपर $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ जिसे के-डायमेंशनल एफ़िन स्पेस में विविधता के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, और एक (सामान्य) ईजेनवेल्यू (और इसलिए एक सामान्य ईजेनवेक्टर) का अस्तित्व इस विविधता से मेल खाता है जिसमें एक बिंदु होता है (गैर-रिक्त), जो की सामग्री है (कमजोर) Nullstellensatz। बीजगणितीय शब्दों में, ये संकारक k चरों में बहुपद बीजगणित के बीजगणित निरूपण के अनुरूप होते हैं।

यह लाई के प्रमेय द्वारा सामान्यीकृत है, जो दर्शाता है कि एक हल करने योग्य लाई बीजगणित का कोई भी प्रतिनिधित्व एक साथ ऊपरी त्रिकोणीयकरण योग्य है, मैट्रिसेस को एबेलियन लाइ बीजगणित मामला होने का मामला है, एबेलियन एक फोर्टियोरी सॉल्वेबल है।

अधिक आम तौर पर और सटीक रूप से, मेट्रिसेस का एक सेट $A_{1},\ldots ,A_{k}$ एक साथ त्रिकोणीय है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ k नॉन-कम्यूटिंग वेरिएबल्स में सभी बहुपद p के लिए nilpotent है, जहाँ $[A_{i},A_{j}]$ कम्यूटेटर है; आने-जाने के लिए $A_{i}$ कम्यूटेटर गायब हो जाता है इसलिए यह धारण करता है। यह 1951 में ड्रेज़िन, डेंगी और ग्रुएनबर्ग द्वारा सिद्ध किया गया था; 1994 में प्रसोलोव द्वारा एक संक्षिप्त प्रमाण दिया गया है। एक दिशा स्पष्ट है: यदि मेट्रिसेस एक साथ त्रिकोणीय हैं, तब $[A_{i},A_{j}]$ सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीयकरणीय (इसलिए नीलपोटेंट) है, जिसे किसी भी गुणा द्वारा संरक्षित किया जाता है $A_{k}$ या इसके संयोजन - त्रिकोणीयकरण के आधार पर विकर्ण पर अभी भी 0 होगा।

त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बीजगणित

4-बिट ग्रे कोड क्रमपरिवर्तन की शक्तियां।

ऊपरी त्रिकोणीयता कई परिचालनों द्वारा संरक्षित है:

• दो ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का योग ऊपरी त्रिभुजाकार होता है।
• दो ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का गुणनफल ऊपरी त्रिभुजाकार होता है।
• एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम, यदि यह मौजूद है, ऊपरी त्रिकोणीय है।
• एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स और एक अदिश का उत्पाद ऊपरी त्रिकोणीय है।

एक साथ इन तथ्यों का मतलब है कि ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस किसी दिए गए आकार के लिए वर्ग मैट्रिसेस के सहयोगी बीजगणित का एक subalgebra बनाते हैं। इसके अतिरिक्त, इससे यह भी पता चलता है कि ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों को एक निश्चित आकार के वर्ग आव्यूहों के लाई बीजगणित के लाई सबलजेब्रा के रूप में देखा जा सकता है, जहां कम्यूटेटर #रिंग सिद्धांत द्वारा दिए गए लेट ब्रैकेट [ए, बी] ab − ba. सभी ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का झूठ बीजगणित एक हल करने योग्य झूठ बीजगणित है। इसे अक्सर सभी वर्ग मैट्रिसेस के लाई बीजगणित के बोरेल सबलजेब्रा के रूप में जाना जाता है।

ये सभी परिणाम मान्य हैं यदि ऊपरी त्रिकोणीय को निचले त्रिकोणीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; विशेष रूप से निचले त्रिकोणीय आव्यूह भी झूठ बीजगणित बनाते हैं। हालांकि, ऊपरी और निचले त्रिकोणीय मैट्रिसेस को मिलाने वाले ऑपरेशन सामान्य रूप से त्रिकोणीय मैट्रिसेस का उत्पादन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपरी और निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का योग कोई भी मैट्रिक्स हो सकता है; एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक निचले त्रिकोणीय का उत्पाद आवश्यक रूप से त्रिकोणीय भी नहीं है।

एकत्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय एक लाई समूह बनाता है।

कड़ाई से ऊपरी (या निचले) त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय एक निलपोटेंट लाई बीजगणित बनाता है, जिसे निरूपित किया जाता है ${\mathfrak {n}}.$ यह बीजगणित का व्युत्पन्न झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {b}}$, सभी ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का झूठा बीजगणित; प्रतीकों में, ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ इसके साथ ही, ${\mathfrak {n}}$ एकत्रिकोणीय आव्यूहों के लाई समूह का लाई बीजगणित है।

वास्तव में, एंगेल के प्रमेय के अनुसार, कोई भी परिमित-आयामी निलपोटेंट लाई बीजगणित सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के एक सबलजेब्रा के साथ संयुग्मित होता है, यानी, एक परिमित-आयामी निलपोटेंट ले बीजगणित एक साथ सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय है।

ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बीजगणित में कार्यात्मक विश्लेषण में प्राकृतिक सामान्यीकरण होता है जो हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर घोंसला बीजगणित पैदा करता है।

See also: Affine group

बोरेल उपसमूह और बोरेल सबलजेब्रस

Main articles: Borel subgroup and Borel subalgebra

किसी दिए गए प्रकार (ऊपरी या निचले) के व्युत्क्रमणीय त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय एक समूह (गणित) बनाता है, वास्तव में एक झूठ समूह है, जो सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के सामान्य रेखीय समूह का एक उपसमूह है। एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स सटीक रूप से उलटा होता है जब इसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ उलटी (गैर-शून्य) होती हैं।

वास्तविक संख्या से अधिक, यह समूह काट दिया गया है $2^{n}$ घटकों के अनुसार प्रत्येक विकर्ण प्रविष्टि सकारात्मक या नकारात्मक है। पहचान घटक विकर्ण पर धनात्मक प्रविष्टियों के साथ व्युत्क्रमणीय त्रिकोणीय मैट्रिसेस है, और सभी उलटा त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समूह इस समूह का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है और विकर्ण मैट्रिक्स का समूह है $\pm 1$ विकर्ण पर, घटकों के अनुरूप।

व्युत्क्रमणीय ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों के लाई समूह का झूठ बीजगणित सभी ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय है, अनिवार्य रूप से उलटा नहीं है, और एक हल करने योग्य लाई बीजगणित है। ये क्रमशः ली समूह जीएल के मानक बोरेल उपसमूह बी हैं_n और मानक बोरेल सबलजेब्रा ${\mathfrak {b}}$ झूठ बीजगणित जीएल का_n.

ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह ठीक वे हैं जो ध्वज (रैखिक बीजगणित) को स्थिर करते हैं। उनमें से उल्टे सामान्य रैखिक समूह का एक उपसमूह बनाते हैं, जिनके संयुग्मित उपसमूह कुछ (अन्य) पूर्ण ध्वज के स्टेबलाइजर के रूप में परिभाषित होते हैं। ये उपसमूह बोरेल उपसमूह हैं। इनवर्टिबल लोअर त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समूह ऐसा उपसमूह है, क्योंकि यह रिवर्स ऑर्डर में मानक आधार से जुड़े मानक ध्वज का स्टेबलाइज़र है।

मानक ध्वज के कुछ हिस्सों को भूलकर प्राप्त आंशिक ध्वज के स्टेबलाइज़र को ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है (लेकिन इसके तत्व सभी त्रिभुज मैट्रिक्स नहीं हैं)। ऐसे समूह के संयुग्म कुछ आंशिक ध्वज के स्थिरक के रूप में परिभाषित उपसमूह हैं। इन उपसमूहों को परवलयिक उपसमूह कहा जाता है।

उदाहरण

2×2 ऊपरी इकाईत्रिकोणीय आव्यूहों का समूह अदिशों के क्षेत्र के एबेलियन समूह के लिए समरूपी है; सम्मिश्र संख्याओं के मामले में यह परवलयिक मोबियस रूपांतरणों से बने समूह से संबंधित है; 3×3 ऊपरी एकत्रिकीय आव्यूह हाइजेनबर्ग समूह बनाते हैं।

यह भी देखें

• गाउस विलोपन
• क्यूआर अपघटन
• चोल्स्की अपघटन
• हेसनबर्ग मैट्रिक्स
• त्रिविकर्ण मैट्रिक्स
• अपरिवर्तनीय उप-स्थान