सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान

सामान्य सापेक्षता में, एक सटीक समाधान आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का एक समाधान है जिसकी व्युत्पत्ति सरलीकृत धारणाओं का आह्वान नहीं करती है, हालांकि उस व्युत्पत्ति के लिए प्रारंभिक बिंदु पदार्थ के पूर्ण गोलाकार आकार की तरह एक आदर्श मामला हो सकता है। गणितीय रूप से, एक सटीक समाधान खोजने का मतलब सामान्य पदार्थ, जैसे तरल पदार्थ, या शास्त्रीय शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत | गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के टेन्सर मॉडलिंग राज्यों से सुसज्जित लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड को ढूंढना है।

पृष्ठभूमि और परिभाषा

इन टेंसर क्षेत्रों को किसी भी प्रासंगिक भौतिक कानून का पालन करना चाहिए (उदाहरण के लिए, किसी भी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को मैक्सवेल के समीकरणों को पूरा करना होगा)। गणितीय भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली एक मानक रेसिपी का पालन करते हुए, इन टेंसर क्षेत्रों को तनाव-ऊर्जा टेंसर में विशिष्ट योगदान को भी जन्म देना चाहिए। $T^{\alpha \beta }$. (एक क्षेत्र को लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा वर्णित किया गया है, क्षेत्र के संबंध में भिन्नता से क्षेत्र समीकरण मिलना चाहिए और मीट्रिक के संबंध में भिन्नता से क्षेत्र के कारण तनाव-ऊर्जा योगदान मिलना चाहिए।)

अंत में, जब तनाव-ऊर्जा टेंसर में सभी योगदान जोड़ दिए जाते हैं, तो परिणाम आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का समाधान होना चाहिए

$G^{\alpha \beta }=\kappa \,T^{\alpha \beta }.$

उपरोक्त फ़ील्ड समीकरणों में, $G^{\alpha \beta }$ आइंस्टीन टेंसर है, जिसकी गणना मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) से विशिष्ट रूप से की जाती है, जो लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड की परिभाषा का हिस्सा है। चूंकि आइंस्टीन टेंसर देने से रीमैन टेंसर पूरी तरह से निर्धारित नहीं होता है, लेकिन वेइल टेंसर को अनिर्दिष्ट छोड़ देता है (रिक्की अपघटन देखें), आइंस्टीन समीकरण को एक प्रकार की संगतता स्थिति माना जा सकता है: स्पेसटाइम ज्यामिति को राशि और गति के अनुरूप होना चाहिए कोई भी पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, इस अर्थ में कि यहां और अब गैर-गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग की तत्काल उपस्थिति यहां और अभी रिक्की वक्रता की आनुपातिक मात्रा का कारण बनती है। इसके अलावा, क्षेत्र समीकरणों के सहसंयोजक व्युत्पन्न लेने और बियांची पहचान को लागू करने पर, यह पाया गया है कि गैर-गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग की एक उपयुक्त भिन्न मात्रा/गति, वक्रता में तरंगों को गुरुत्वाकर्षण विकिरण के रूप में प्रसारित कर सकती है, यहां तक ​​कि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में भी #वैक्यूम फ़ील्ड समीकरण, जिसमें कोई पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र नहीं होता है।

परिभाषा के साथ कठिनाइयाँ

कोई भी लोरेंत्ज़ियन मैनिफ़ोल्ड कुछ दाहिने हाथ के लिए आइंस्टीन फ़ील्ड समीकरण का समाधान है। इसे निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा दर्शाया गया है:

• कोई भी लोरेंत्ज़ियन मैनिफ़ोल्ड लें, उसके आइंस्टीन टेंसर की गणना करें $G^{\alpha \beta }$, जो कि एक विशुद्ध गणितीय संक्रिया है
• आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक से विभाजित करें $\kappa$
• परिणामस्वरूप सममित द्वितीय रैंक टेंसर फ़ील्ड को तनाव-ऊर्जा टेंसर घोषित करें $T^{\alpha \beta }$.

इससे पता चलता है कि सामान्य सापेक्षता का उपयोग करने के दो पूरक तरीके हैं:

• कोई तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप को ठीक कर सकता है (मान लीजिए, कुछ भौतिक कारणों से) और आइंस्टीन समीकरणों के समाधान का अध्ययन ऐसे दाहिने हाथ से कर सकता है (उदाहरण के लिए, यदि तनाव-ऊर्जा टेंसर को चुना जाता है) पूर्ण तरल पदार्थ, एक गोलाकार रूप से सममित समाधान एक स्थिर गोलाकार रूप से सममित पूर्ण तरल पदार्थ के रूप में काम कर सकता है)
• वैकल्पिक रूप से, कोई स्पेसटाइम के कुछ ज्यामितीय गुणों को ठीक कर सकता है और ऐसे पदार्थ स्रोत की तलाश कर सकता है जो इन गुणों को प्रदान कर सके। 2000 के दशक से ब्रह्मांड विज्ञानियों ने यही किया है: वे मानते हैं कि ब्रह्मांड सजातीय, समदैशिक और गतिमान है और यह समझने की कोशिश करते हैं कि कौन सा पदार्थ (जिसे काली ऊर्जा कहा जाता है) ऐसी संरचना का समर्थन कर सकता है।

पहले दृष्टिकोण के भीतर कथित तनाव-ऊर्जा टेंसर को उचित पदार्थ वितरण या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से मानक तरीके से उत्पन्न होना चाहिए। व्यवहार में, यह धारणा बहुत स्पष्ट है, खासकर यदि हम स्वीकार्य गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों को केवल 1916 में ज्ञात विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र तक ही सीमित रखते हैं। लेकिन आदर्श रूप से हम कुछ गणितीय लक्षण वर्णन करना चाहेंगे जो कुछ विशुद्ध गणितीय परीक्षण बताए, जिसे हम किसी भी कल्पित तनाव-ऊर्जा टेंसर पर लागू कर सकते हैं, जो एक उचित भौतिक परिदृश्य से उत्पन्न होने वाली हर चीज को पार कर जाता है, और बाकी सभी चीजों को खारिज कर देता है। ऐसा कोई लक्षण वर्णन ज्ञात नहीं है। इसके बजाय, हमारे पास कच्चे परीक्षण हैं जिन्हें ऊर्जा स्थितियों के रूप में जाना जाता है, जो एक रैखिक ऑपरेटर के eigenvalues और eigenvectors पर प्रतिबंध लगाने के समान हैं। एक ओर, ये स्थितियाँ बहुत अधिक अनुमेय हैं: वे ऐसे समाधानों को स्वीकार करेंगे जिन्हें लगभग कोई भी नहीं मानता कि वे शारीरिक रूप से उचित हैं। दूसरी ओर, वे बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक हो सकते हैं: कासिमिर प्रभाव द्वारा सबसे लोकप्रिय ऊर्जा स्थितियों का स्पष्ट रूप से उल्लंघन किया जाता है।

आइंस्टीन ने सटीक समाधान की परिभाषा के एक अन्य तत्व को भी पहचाना: यह एक लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड (अतिरिक्त मानदंडों को पूरा करना) होना चाहिए, यानी एक चिकनी मैनिफोल्ड। लेकिन सामान्य सापेक्षता के साथ काम करने में, उन समाधानों को स्वीकार करना बहुत उपयोगी साबित होता है जो हर जगह सहज नहीं होते हैं; उदाहरणों में एक आदर्श तरल आंतरिक समाधान को वैक्यूम बाहरी समाधान और आवेगी समतल तरंगों से मिला कर बनाए गए कई समाधान शामिल हैं। एक बार फिर, क्रमशः लालित्य और सुविधा के बीच रचनात्मक तनाव को संतोषजनक ढंग से हल करना मुश्किल साबित हुआ है।

ऐसी स्थानीय स्पेसटाइम संरचना आपत्तियों के अलावा, हमारे पास कहीं अधिक चुनौतीपूर्ण समस्या है कि बहुत सारे सटीक समाधान हैं जो स्थानीय रूप से अप्राप्य हैं, लेकिन वैश्विक स्पेसटाइम संरचना बंद टाइमलाइक वक्र या पृथक्करण के बिंदुओं वाली संरचनाओं (पतलून दुनिया) जैसी संदिग्ध विशेषताओं को प्रदर्शित करती है। ). वास्तव में, कुछ सबसे प्रसिद्ध सटीक समाधानों का विश्व स्तर पर एक अजीब चरित्र है।

सटीक समाधान के प्रकार

कई प्रसिद्ध सटीक समाधान तनाव-ऊर्जा टेंसर की इच्छित भौतिक व्याख्या के आधार पर कई प्रकारों में से एक से संबंधित हैं:

• वैक्यूम समाधान (सामान्य सापेक्षता): $T^{\alpha \beta }=0$; ये उन क्षेत्रों का वर्णन करते हैं जिनमें कोई पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मौजूद नहीं है,
• इलेक्ट्रोवैक्यूम समाधान: $T^{\alpha \beta }$ पूरी तरह से एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से उत्पन्न होना चाहिए जो दिए गए घुमावदार लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड पर स्रोत-मुक्त मैक्सवेल समीकरणों को हल करता है; इसका मतलब यह है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का एकमात्र स्रोत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्षेत्र ऊर्जा (और संवेग) है,
• शून्य धूल समाधान: $T^{\alpha \beta }$ एक तनाव-ऊर्जा टेंसर के अनुरूप होना चाहिए, जिसकी व्याख्या असंगत विद्युत चुम्बकीय विकिरण से उत्पन्न होने के रूप में की जा सकती है, बिना दिए गए लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड पर मैक्सवेल क्षेत्र समीकरणों को हल किए बिना,
• द्रव समाधान: $T^{\alpha \beta }$ पूरी तरह से एक तरल पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर से उत्पन्न होना चाहिए (अक्सर इसे एक आदर्श तरल माना जाता है); गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का एकमात्र स्रोत तरल पदार्थ वाले पदार्थ की ऊर्जा, संवेग और तनाव (दबाव और कतरनी तनाव) है।

तरल पदार्थ या विद्युत चुम्बकीय तरंगों जैसी अच्छी तरह से स्थापित घटनाओं के अलावा, कोई ऐसे मॉडल पर विचार कर सकता है जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पूरी तरह से विभिन्न विदेशी काल्पनिक क्षेत्रों की क्षेत्र ऊर्जा द्वारा निर्मित होता है:

• अदिश क्षेत्र समाधान: $T^{\alpha \beta }$ पूरी तरह से एक अदिश क्षेत्र (अक्सर एक द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र) से उत्पन्न होना चाहिए; ये मेसन बीम के शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत उपचार में, या सर्वोत्कृष्टता (भौतिकी) के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं,
• लैंबडावैक्यूम समाधान (मानक शब्द नहीं, बल्कि एक मानक अवधारणा जिसके लिए अभी तक कोई नाम मौजूद नहीं है): $T^{\alpha \beta }$ पूरी तरह से एक गैर-शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से उत्पन्न होता है।

एक संभावना जिस पर बहुत कम ध्यान दिया गया है (शायद इसलिए क्योंकि गणित इतना चुनौतीपूर्ण है) ठोस यांत्रिकी के मॉडलिंग की समस्या है। वर्तमान में, ऐसा लगता है कि इस विशिष्ट प्रकार के लिए कोई सटीक समाधान ज्ञात नहीं हैं।

नीचे हमने भौतिक व्याख्या के आधार पर वर्गीकरण का खाका खींचा है। रिक्की टेंसर की संभावित बीजगणितीय समरूपताओं के सेग्रे वर्गीकरण का उपयोग करके समाधान भी व्यवस्थित किए जा सकते हैं:

• गैर-शून्य इलेक्ट्रोवैक्यूम में सेग्रे प्रकार होता है $\{\,(1,1)(11)\}$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(1,1) x SO(2),
• नल इलेक्ट्रोवैक्यूम और नल धूल में सेग्रे प्रकार होता है $\{\,(2,11)\}$ और आइसोट्रॉपी समूह ई(2),
• उत्तम तरल पदार्थ सेग्रे प्रकार के होते हैं $\{\,1,(111)\}$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(3),
• लैम्ब्डा वैक्यूम में सेग्रे प्रकार होता है $\{\,(1,111)\}$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(1,3)।

शेष सेग्रे प्रकारों की कोई विशेष भौतिक व्याख्या नहीं है और उनमें से अधिकांश तनाव-ऊर्जा टेंसर में किसी भी ज्ञात प्रकार के योगदान के अनुरूप नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण

वैक्यूम समाधान, इलेक्ट्रोवैक्यूम समाधान आदि के उल्लेखनीय उदाहरण विशेष लेखों में सूचीबद्ध हैं (नीचे देखें)। इन समाधानों में एक विशिष्ट प्रकार के पदार्थ या क्षेत्र के कारण ऊर्जा-संवेग टेंसर में अधिकतम एक योगदान होता है। हालाँकि, कुछ उल्लेखनीय सटीक समाधान हैं जिनमें दो या तीन योगदान शामिल हैं, जिनमें शामिल हैं:

• NUT-केर-न्यूमैन-डी सिटर समाधान में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और एक सकारात्मक वैक्यूम ऊर्जा का योगदान होता है, साथ ही केर वैक्यूम का एक प्रकार का वैक्यूम गड़बड़ी होता है जो तथाकथित NUT पैरामीटर द्वारा निर्दिष्ट होता है,
• गोडेल मीट्रिक | गोडेल धूल में दबाव रहित परिपूर्ण तरल पदार्थ (धूल) और सकारात्मक वैक्यूम ऊर्जा का योगदान होता है।

समाधान का निर्माण

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है। सामान्य तौर पर, इससे उन्हें हल करना कठिन हो जाता है। बहरहाल, सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए कई प्रभावी तकनीकें स्थापित की गई हैं।

सबसे सरल में मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) पर समरूपता की स्थिति लागू करना शामिल है, जैसे स्थिर अंतरिक्ष समय (समय अनुवाद के तहत समरूपता) या एक्सिसमेट्री (रोटेशन के कुछ अक्ष के बारे में रोटेशन के तहत समरूपता)। इस प्रकार की पर्याप्त चतुर धारणाओं के साथ, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण को समीकरणों की एक बहुत सरल प्रणाली में कम करना अक्सर संभव होता है, यहां तक ​​कि एक एकल आंशिक अंतर समीकरण (जैसा कि स्थिर अक्षीय सममित वैक्यूम समाधान के मामले में होता है, जो अर्न्स्ट द्वारा विशेषता है) समीकरण) या साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली (जैसा कि श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान निकालने के मामले में होता है)।

यह अनुभवहीन दृष्टिकोण आमतौर पर सबसे अच्छा काम करता है यदि कोई समन्वय आधार के बजाय सामान्य सापेक्षता में फ्रेम फ़ील्ड का उपयोग करता है।

एक संबंधित विचार में वेइल टेंसर, रिक्की टेंसर, या रीमैन टेंसर पर बीजगणितीय समरूपता की स्थिति लागू करना शामिल है। इन्हें अक्सर वेइल टेंसर की संभावित समरूपता के पेट्रोव वर्गीकरण, या रिक्की टेंसर की संभावित समरूपता के सेग्रे वर्गीकरण के संदर्भ में कहा जाता है। जैसा कि ऊपर की चर्चा से स्पष्ट होगा, ऐसे अंसात्ज़ में अक्सर कुछ भौतिक सामग्री होती है, हालाँकि यह उनके गणितीय रूप से स्पष्ट नहीं हो सकता है।

इस दूसरे प्रकार के समरूपता दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर न्यूमैन-पेनरोज़ औपचारिकता के साथ किया जाता है, जो अधिक कुशल बहीखाता पद्धति के लिए स्पिनोरियल मात्रा का उपयोग करता है।

ऐसी समरूपता कटौती के बाद भी, समीकरणों की कम प्रणाली को हल करना अक्सर मुश्किल होता है। उदाहरण के लिए, अर्न्स्ट समीकरण एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है जो कुछ हद तक गैर-रेखीय श्रोडिंगर समीकरण (एनएलएस) जैसा दिखता है।

लेकिन याद रखें कि मिन्कोवस्की स्पेसटाइम पर अनुरूप समूह मैक्सवेल समीकरणों का समरूपता समूह है। यह भी याद रखें कि ऊष्मा समीकरण का समाधान स्केलिंग Ansatz मानकर पाया जा सकता है। ये धारणाएँ विभेदक समीकरण (या समीकरणों की प्रणाली) की बिंदु समरूपता की सोफस झूठ की धारणा के केवल विशेष मामले हैं, और जैसा कि ली ने दिखाया, यह किसी भी अंतर समीकरण पर हमले का अवसर प्रदान कर सकता है जिसमें एक गैर-तुच्छ समरूपता समूह है। दरअसल, अर्न्स्ट समीकरण और एनएलएस दोनों में गैर-तुच्छ समरूपता समूह हैं, और उनकी समरूपता का लाभ उठाकर कुछ समाधान पाए जा सकते हैं। ये समरूपता समूह अक्सर अनंत आयामी होते हैं, लेकिन यह हमेशा एक उपयोगी विशेषता नहीं होती है।

एमी नोएदर ने दिखाया कि ली की समरूपता की धारणा का थोड़ा लेकिन गहरा सामान्यीकरण हमले के और भी अधिक शक्तिशाली तरीके के परिणामस्वरूप हो सकता है। यह इस खोज से निकटता से संबंधित है कि कुछ समीकरण, जिन्हें पूरी तरह से एकीकृत कहा जाता है, संरक्षण कानूनों के अनंत अनुक्रम का आनंद लेते हैं। उल्लेखनीय रूप से, दोनों अर्न्स्ट समीकरण (जो सटीक समाधानों के अध्ययन में कई तरीकों से उत्पन्न होते हैं) और एनएलएस पूरी तरह से एकीकृत हो जाते हैं। इसलिए वे व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन से मिलती-जुलती तकनीकों द्वारा समाधान के लिए अतिसंवेदनशील होते हैं, जो मूल रूप से कॉर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण को हल करने के लिए विकसित किया गया था। कॉर्टेवेग-डी व्रीस (केडीवी) समीकरण, एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण जो solitons के सिद्धांत में उत्पन्न होता है, और जो भी पूरी तरह से एकीकृत है. दुर्भाग्य से, इन तरीकों से प्राप्त समाधान अक्सर उतने अच्छे नहीं होते जितना कोई चाहता है। उदाहरण के लिए, जिस तरह से कोई एकल सॉलिटॉन समाधान से केडीवी का एकाधिक सॉलिटॉन समाधान प्राप्त करता है (जिसे ली की बिंदु समरूपता की धारणा से पाया जा सकता है) के अनुरूप, कोई एक एकाधिक केर ऑब्जेक्ट समाधान प्राप्त कर सकता है, लेकिन दुर्भाग्यवश, इसमें कुछ विशेषताएं हैं जो इसे भौतिक रूप से अविश्वसनीय बनाती हैं। ऐसे कई परिवर्तन भी हैं (देखें बेलिंस्की-ज़खारोव परिवर्तन) जो (उदाहरण के लिए) अन्य तरीकों से पाए गए एक वैक्यूम समाधान को एक नए वैक्यूम समाधान, या एक इलेक्ट्रोवैक्यूम समाधान, या एक तरल समाधान में बदल सकते हैं। ये कुछ आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत से ज्ञात बैक्लुंड परिवर्तनों के अनुरूप हैं, जिनमें सॉलिटन समीकरणों के कुछ प्रसिद्ध उदाहरण भी शामिल हैं। यह कोई संयोग नहीं है, क्योंकि यह घटना समरूपता के संबंध में नोएथर और ली की धारणाओं से भी संबंधित है। दुर्भाग्य से, यहां तक ​​​​कि जब एक अच्छी तरह से समझे जाने वाले, विश्व स्तर पर स्वीकार्य समाधान पर लागू किया जाता है, तो ये परिवर्तन अक्सर एक ऐसा समाधान उत्पन्न करते हैं जिसे कम समझा जाता है और उनकी सामान्य व्याख्या अभी भी अज्ञात है।

समाधान का अस्तित्व

समाधानों के स्पष्ट छोटे परिवारों के निर्माण की कठिनाई को देखते हुए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सामान्य समाधान या यहां तक ​​​​कि निर्वात क्षेत्र समीकरण के सामान्य समाधान की तरह कुछ प्रस्तुत करना तो दूर, गुणात्मक गुणों को खोजने का प्रयास करना एक बहुत ही उचित दृष्टिकोण है जो कि लागू होता है सभी समाधानों के लिए, या कम से कम सभी वैक्यूम समाधानों के लिए। सबसे बुनियादी प्रश्नों में से एक जो कोई पूछ सकता है वह है: क्या समाधान मौजूद हैं, और यदि हां, तो कितने?

आरंभ करने के लिए, हमें क्षेत्र समीकरण की सामान्य सापेक्षता में एक उपयुक्त प्रारंभिक मूल्य समस्या को अपनाना चाहिए, जो समीकरणों की दो नई प्रणालियाँ देता है, एक प्रारंभिक डेटा पर बाधा देता है, और दूसरा इस प्रारंभिक डेटा को एक में विकसित करने की प्रक्रिया देता है। समाधान। फिर, कोई यह साबित कर सकता है कि समाधान कम से कम स्थानीय स्तर पर मौजूद हैं, उन विचारों का उपयोग करके जो अन्य अंतर समीकरणों का अध्ययन करने में सामने आए विचारों से बहुत भिन्न नहीं हैं।

यह जानने के लिए कि हम आशावादी रूप से कितने समाधानों की उम्मीद कर सकते हैं, हम आइंस्टीन की बाधा गणना पद्धति का सहारा ले सकते हैं। तर्क की इस शैली से एक विशिष्ट निष्कर्ष यह है कि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण का एक सामान्य वैक्यूम समाधान तीन चर के चार मनमाने कार्य और दो चर के छह मनमाने कार्य देकर निर्दिष्ट किया जा सकता है। ये फ़ंक्शन प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करते हैं, जिससे एक अद्वितीय वैक्यूम समाधान विकसित किया जा सकता है। (इसके विपरीत, अर्न्स्ट वैक्यूम, सभी स्थिर अक्षीय सममित वैक्यूम समाधानों का परिवार, दो चर के केवल दो कार्य देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जो मनमाने ढंग से भी नहीं हैं, लेकिन दो युग्मित गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए। यह दे सकता है चीजों की भव्य योजना में, सटीक समाधानों का एक विशिष्ट बड़ा परिवार वास्तव में कितना छोटा है, इसका कुछ अंदाजा।)

हालाँकि, यह अपरिष्कृत विश्लेषण समाधानों के वैश्विक अस्तित्व के अधिक कठिन प्रश्न से बहुत कम है। अब तक ज्ञात वैश्विक अस्तित्व के परिणाम एक अन्य विचार को शामिल करने वाले निकले हैं।

वैश्विक स्थिरता प्रमेय

हम अनंत से कुछ विकिरण भेजकर किसी पृथक विशाल वस्तु के बाहर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को परेशान करने की कल्पना कर सकते हैं। हम पूछ सकते हैं: जब आने वाला विकिरण परिवेशीय क्षेत्र के साथ संपर्क करता है तो क्या होता है? शास्त्रीय गड़बड़ी सिद्धांत के दृष्टिकोण में, हम मिन्कोव्स्की वैक्यूम (या एक और बहुत ही सरल समाधान, जैसे डी सिटर लैम्ब्डावैक्यूम) से शुरू कर सकते हैं, बहुत छोटे मीट्रिक गड़बड़ी पेश कर सकते हैं, और एक उपयुक्त गड़बड़ी विस्तार में कुछ क्रम तक केवल शर्तों को बनाए रख सकते हैं - कुछ हद तक जैसे हमारे अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति के लिए एक प्रकार की टेलर श्रृंखला का मूल्यांकन करना। यह दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से बाइनरी पल्सर जैसे गुरुत्वाकर्षण प्रणाली के मॉडल के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले न्यूटोनियन सन्निकटन के पीछे का विचार है। हालाँकि, गैर-रेखीय समीकरणों के मामले में, गड़बड़ी विस्तार आम तौर पर दीर्घकालिक अस्तित्व और स्थिरता के प्रश्नों के लिए विश्वसनीय नहीं होते हैं।

पूर्ण क्षेत्र समीकरण अत्यधिक अरैखिक है, इसलिए हम वास्तव में यह साबित करना चाहते हैं कि मिन्कोव्स्की वैक्यूम छोटी गड़बड़ी के तहत स्थिर है, जिसका इलाज पूरी तरह से अरेखीय क्षेत्र समीकरण का उपयोग करके किया जाता है। इसके लिए कई नए विचारों के परिचय की आवश्यकता है। वांछित परिणाम, कभी-कभी इस नारे द्वारा व्यक्त किया जाता है कि मिन्कोव्स्की वैक्यूम गैर-रेखीय रूप से स्थिर है, अंततः 1993 में दिमित्रियोस क्रिस्टोडौलू और सर्जियो क्लैगरमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। अनुरूप परिणाम डी सिटर लैम्ब्डावैक्यूम (हेल्मुट फ्रेडरिक) के लैम्ब्डावैक गड़बड़ी और मिन्कोव्स्की वैक्यूम (नीना जिप्सर) के इलेक्ट्रोवैक्यूम गड़बड़ी के लिए जाने जाते हैं। इसके विपरीत, एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम को कुछ शर्तों के तहत अस्थिर माना जाता है।

सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय

Main article: Positive energy theorem

एक और मुद्दा जिसके बारे में हम चिंता कर सकते हैं वह यह है कि क्या सकारात्मक द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (और गति) की पृथक सांद्रता की शुद्ध द्रव्यमान-ऊर्जा हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित (और गैर-नकारात्मक) शुद्ध द्रव्यमान उत्पन्न करती है। यह परिणाम, जिसे सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय के रूप में जाना जाता है, अंततः 1979 में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किया गया, जिन्होंने तनाव-ऊर्जा टेंसर की प्रकृति के बारे में एक अतिरिक्त तकनीकी धारणा बनाई। मूल प्रमाण बहुत कठिन है; एडवर्ड विटेन ने जल्द ही एक बहुत छोटा भौतिक विज्ञानी का प्रमाण प्रस्तुत किया, जिसे गणितज्ञों ने और अधिक कठिन तर्कों का उपयोग करके उचित ठहराया है। रोजर पेनरोज़ और अन्य लोगों ने मूल सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय के वेरिएंट के लिए वैकल्पिक तर्क भी पेश किए हैं।

यह भी देखें

• स्पेसटाइम की सूची
• फ़्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक
• वेइल टेंसर की बीजगणितीय समरूपता के लिए पेट्रोव वर्गीकरण

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