पुराना क्वांटम सिद्धांत

पुराना क्वांटम सिद्धांत 1900-1925 के वर्षों के परिणामों का एक संग्रह है जो आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी से पहले के हैं। सिद्धांत कभी भी पूर्ण या आत्मनिर्भर नहीं था, बल्कि शास्त्रीय यांत्रिकी के अनुमानी सुधारों का एक सेट था। सिद्धांत को अब WKB सन्निकटन के रूप में समझा जाता है # Schr.C3.B6dinger समीकरण के लिए आवेदन | अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के लिए। पुराने क्वांटम सिद्धांत की मुख्य और अंतिम उपलब्धियां एडमंड स्टोनर और पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा आवर्त सारणी के आधुनिक रूप का निर्धारण थीं, जो दोनों परमाणु के बोहर मॉडल में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड संवर्द्धन पर आधारित थे। पुराने क्वांटम सिद्धांत का मुख्य उपकरण बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण स्थिति थी, एक शास्त्रीय प्रणाली के कुछ राज्यों को अनुमत राज्यों के रूप में चुनने की एक प्रक्रिया: तब प्रणाली केवल अनुमत राज्यों में से एक में मौजूद हो सकती है और किसी अन्य राज्य में नहीं।

इतिहास

पुराने क्वांटम सिद्धांत को मैक्स प्लैंक के 1900 के कार्य द्वारा एक काले शरीर में प्रकाश के उत्सर्जन और अवशोषण पर प्लैंक के नियम की खोज के साथ उनके प्लैंक के स्थिरांक का परिचय देने के लिए प्रेरित किया गया था, और आइंस्टीन ठोस पर अल्बर्ट आइंस्टीन के काम के बाद बयाना में शुरू हुआ। 1907 में सॉलिड्स ने उन्हें वाल्थर नर्नस्ट के ध्यान में लाया। आइंस्टीन, पीटर डेबी के बाद, विशिष्ट ताप विसंगति को समझाते हुए, परमाणुओं की गति के लिए क्वांटम सिद्धांतों को लागू किया।

1910 में, आर्थर एरिक हास ने अपने 1910 के पेपर में जे जे थॉमसन के परमाणु मॉडल को विकसित किया जिसने इलेक्ट्रॉनिक ऑर्बिटल्स के परिमाणीकरण से जुड़े हाइड्रोजन परमाणु के उपचार को रेखांकित किया, इस प्रकार बोहर मॉडल (1913) को तीन साल तक प्रत्याशित किया।

जॉन विलियम निकोलसन को एक परमाणु मॉडल बनाने वाले पहले व्यक्ति के रूप में जाना जाता है, जिसने कोणीय गति को h/2π के रूप में निर्धारित किया। नील्स बोह्र ने परमाणु के बोह्र मॉडल के अपने 1913 के पेपर में उन्हें उद्धृत किया। 1913 में, नील्स बोह्र ने बाद में परिभाषित पत्राचार सिद्धांत के मूल सिद्धांतों को प्रदर्शित किया और इसका उपयोग हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल को तैयार करने के लिए किया, जिसने परमाणु उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की व्याख्या की। अगले कुछ वर्षों में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने लोरेंत्ज़ और आइंस्टीन द्वारा पेश किए गए क्वांटम नंबरों के स्थिरोष्म अपरिवर्तनीय के सिद्धांत का उपयोग करते हुए स्वैच्छिक पूर्णांक प्रणालियों के लिए क्वांटम नियम का विस्तार किया। सोमरफेल्ड ने महत्वपूर्ण योगदान दिया कोणीय संवेग के z-घटक को परिमाणित करके, जिसे पुराने क्वांटम युग में अंतरिक्ष परिमाणीकरण (जर्मन: Richtungsquantelung) कहा जाता था। यह मॉडल, जिसे बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल के रूप में जाना जाता है, ने इलेक्ट्रॉन की कक्षाओं को हलकों के बजाय दीर्घवृत्त होने की अनुमति दी, और क्वांटम अध: पतन की अवधारणा को पेश किया। इलेक्ट्रॉन स्पिन (भौतिकी) के मुद्दे को छोड़कर, सिद्धांत ने Zeeman प्रभाव की सही व्याख्या की होगी। सोमेरफेल्ड का मॉडल बोह्र की तुलना में आधुनिक क्वांटम मैकेनिकल तस्वीर के ज्यादा करीब था।

1910 के दशक में और 1920 के दशक में, मिश्रित परिणामों के साथ पुराने क्वांटम सिद्धांत का उपयोग करके कई समस्याओं पर हमला किया गया। आणविक रोटेशन और कंपन स्पेक्ट्रा को समझा गया और इलेक्ट्रॉन के स्पिन की खोज की गई, जिससे अर्ध-पूर्णांक क्वांटम संख्याओं का भ्रम पैदा हुआ। मैक्स प्लैंक ने शून्य बिंदु ऊर्जा की शुरुआत की और अर्नोल्ड सोमरफेल्ड ने सापेक्षतावादी हाइड्रोजन परमाणु को अर्ध-वर्गीकृत किया। हेनरी क्रेमर्स ने स्टार्क प्रभाव की व्याख्या की। सत्येन्द्र नाथ बोस और आइंस्टीन ने फोटॉन के लिए सही क्वांटम सांख्यिकी दी थी।

1913 के सौर मंडल बोह्र का सोमरफेल्ड विस्तार वर्णक्रमीय सूक्ष्म संरचना की व्याख्या करने के लिए अण्डाकार कक्षाओं को जोड़कर हाइड्रोजन परमाणु का मॉडल।

क्रेमर्स ने गति के फूरियर घटकों के संदर्भ में क्वांटम राज्यों के बीच संक्रमण की संभावनाओं की गणना के लिए एक नुस्खा दिया, विचार जो वर्नर हाइजेनबर्ग के सहयोग से परमाणु संक्रमण संभावनाओं के अर्ध-वर्गीय मैट्रिक्स-जैसे विवरण के लिए विस्तारित किए गए थे। हाइजेनबर्ग ने इन ट्रांजिशन मैट्रिसेस के एक संस्करण के संदर्भ में सभी क्वांटम सिद्धांत को फिर से तैयार किया, जिससे मैट्रिक्स यांत्रिकी का निर्माण हुआ।

1924 में, लुई डी ब्रोगली ने पदार्थ के तरंग सिद्धांत की शुरुआत की, जिसे थोड़े समय बाद अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा पदार्थ तरंगों के लिए एक अर्धशास्त्रीय समीकरण तक बढ़ाया गया था। 1926 में इरविन श्रोडिंगर ने पूरी तरह से क्वांटम यांत्रिक तरंग-समीकरण की खोज की, जिसने अस्पष्टता और विसंगतियों के बिना पुराने क्वांटम सिद्धांत की सभी सफलताओं को पुन: पेश किया। श्रोडिंगर की तरंग यांत्रिकी मैट्रिक्स यांत्रिकी से अलग विकसित हुई जब तक कि श्रोडिंगर और अन्य ने यह साबित नहीं कर दिया कि दोनों विधियों ने समान प्रयोगात्मक परिणामों की भविष्यवाणी की है। पॉल डिराक ने बाद में 1926 में साबित किया कि दोनों विधियों को परिवर्तन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) नामक एक अधिक सामान्य विधि से प्राप्त किया जा सकता है।

1950 के दशक में जोसेफ केलर ने आइंस्टीन की 1917 की व्याख्या का उपयोग करते हुए बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण को अद्यतन किया, अब आइंस्टीन-ब्रिलॉइन-केलर विधि के रूप में जाना जाता है। 1971 में, मार्टिन गुत्ज़विलर ने इस बात को ध्यान में रखा कि यह विधि केवल समाकलनीय प्रणालियों के लिए काम करती है और पथ समाकल सूत्रीकरण से एक क्या अराजकता है प्राप्त करती है।

मूल सिद्धांत

See also: Jun Ishiwara § Quantum physics

पुराने क्वांटम सिद्धांत का मूल विचार यह है कि परमाणु प्रणाली में गति परिमाणित या असतत होती है। सिस्टम शास्त्रीय यांत्रिकी का पालन करता है सिवाय इसके कि हर गति की अनुमति नहीं है, केवल उन गतियों को जो परिमाणीकरण की स्थिति का पालन करते हैं:

$\oint _{H(p,q)=E}p_{i}\,dq_{i}=n_{i}h$

जहां $p_{i}$ प्रणाली के क्षण हैं और $q_{i}$ संगत निर्देशांक हैं। क्वांटम संख्याएँ $n_{i}$ पूर्णांक हैं और इंटीग्रल को निरंतर ऊर्जा पर गति की एक अवधि में लिया जाता है (जैसा कि हैमिल्टन यांत्रिकी द्वारा वर्णित है)। इंटीग्रल फेज स्पेस में एक क्षेत्र है, जो एक मात्रा है जिसे क्रिया कहा जाता है और इसे (बिना घटाए) प्लैंक स्थिरांक की इकाइयों में परिमाणित किया जाता है। इस कारण से, प्लैंक स्थिरांक को अक्सर क्रिया की मात्रा कहा जाता था।

पुरानी क्वांटम स्थिति को समझने के लिए, शास्त्रीय गति को वियोज्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि अलग-अलग निर्देशांक हैं $q_{i}$ जिसके संदर्भ में गति आवधिक है। अलग-अलग गतियों की अवधि समान नहीं होती है, वे असंगत भी हो सकते हैं, लेकिन निर्देशांक का एक सेट होना चाहिए जहां गति बहु-आवधिक तरीके से विघटित हो जाती है।

पुरानी क्वांटम स्थिति के लिए प्रेरणा पत्राचार सिद्धांत था, जो भौतिक अवलोकन द्वारा पूरक था कि जो मात्राएँ परिमाणित हैं, वे रूद्धोष्म अपरिवर्तनीय होनी चाहिए। हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए प्लैंक के क्वांटिज़ेशन नियम को देखते हुए, या तो स्थिति एक सामान्य प्रणाली में एक योगात्मक स्थिरांक तक परिमाणित करने के लिए सही क्लासिकल मात्रा निर्धारित करती है।

इस परिमाणीकरण की स्थिति को अक्सर विल्सन-सोमरफेल्ड नियम के रूप में जाना जाता है, विलियम विल्सन (अंग्रेजी अकादमिक) द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित और अर्नोल्ड सोमरफेल्ड।

उदाहरण

=== लयबद्ध दोलक === के थर्मल गुण पुराने क्वांटम सिद्धांत में सबसे सरल प्रणाली हार्मोनिक ऑसीलेटर है, जिसका हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है:

$H={p^{2} \over 2m}+{m\omega ^{2}q^{2} \over 2}.$

पुराना क्वांटम सिद्धांत हार्मोनिक ऑसिलेटर के ऊर्जा स्तरों के परिमाणीकरण के लिए एक नुस्खा देता है, जो ऊष्मप्रवैगिकी के बोल्ट्ज़मैन संभाव्यता वितरण के साथ संयुक्त होने पर, संग्रहीत ऊर्जा के लिए सही अभिव्यक्ति और एक क्वांटम ऑसिलेटर की विशिष्ट गर्मी दोनों को प्राप्त करता है। सामान्य तापमान पर। ठोस पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा के लिए एक मॉडल के रूप में लागू, इसने पूर्व-क्वांटम ऊष्मप्रवैगिकी में एक विसंगति को हल किया जिसने 19वीं शताब्दी के वैज्ञानिकों को परेशान किया था। आइए अब इसका वर्णन करते हैं।

एच के स्तर सेट कक्षाएँ हैं, और क्वांटम स्थिति यह है कि चरण अंतरिक्ष में एक कक्षा से घिरा क्षेत्र एक पूर्णांक है। यह इस प्रकार है कि प्लैंक नियम के अनुसार ऊर्जा की मात्रा निर्धारित की जाती है:

$E=n\hbar \omega ,\,$

एक परिणाम जो पहले अच्छी तरह से जाना जाता था, और पुरानी क्वांटम स्थिति तैयार करने के लिए प्रयोग किया जाता था। यह परिणाम भिन्न होता है ${\tfrac {1}{2}}\hbar \omega$ क्वांटम यांत्रिकी की मदद से प्राप्त परिणामों से। पुराने क्वांटम सिद्धांत की व्युत्पत्ति में इस स्थिरांक की उपेक्षा की गई है, और इसका उपयोग करके इसका मूल्य निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

क्वांटीकृत ऑसीलेटर के थर्मल गुणों को अलग-अलग राज्यों में से प्रत्येक में ऊर्जा के औसत से पाया जा सकता है, यह मानते हुए कि वे बोल्टज़मान वजन के साथ कब्जा कर रहे हैं:

$U={\sum _{n}\hbar \omega ne^{-\beta n\hbar \omega } \over \sum _{n}e^{-\beta n\hbar \omega }}={\hbar \omega e^{-\beta \hbar \omega } \over 1-e^{-\beta \hbar \omega }},\;\;\;{\rm {where}}\;\;\beta ={\frac {1}{kT}},$

kT थर्मोडायनामिक तापमान का बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है, जो कि ऊर्जा की अधिक प्राकृतिक इकाइयों में मापा जाने वाला तापमान है। मात्रा $\beta$ ऊष्मप्रवैगिकी में तापमान की तुलना में अधिक मौलिक है, क्योंकि यह ऊर्जा से संबंधित ऊष्मप्रवैगिकी क्षमता है।

इस अभिव्यक्ति से, यह देखना आसान है कि के बड़े मूल्यों के लिए $\beta$, बहुत कम तापमान के लिए, हार्मोनिक ऑसिलेटर में औसत ऊर्जा U बहुत तेज़ी से, घातांकी तेज़ी से शून्य तक पहुँचती है। कारण यह है कि kT तापमान T पर यादृच्छिक गति की विशिष्ट ऊर्जा है, और जब यह इससे छोटा होता है $\hbar \omega$, दोलक को ऊर्जा की एक मात्रा भी देने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है। तो थरथरानवाला अपनी जमीनी अवस्था में रहता है, बिना किसी ऊर्जा के भंडारण के।

इसका मतलब यह है कि बहुत ठंडे तापमान पर, बीटा के संबंध में ऊर्जा में परिवर्तन, या समतुल्य रूप से तापमान के संबंध में ऊर्जा में परिवर्तन भी चरघातांकी रूप से छोटा होता है। तापमान के संबंध में ऊर्जा में परिवर्तन विशिष्ट ऊष्मा है, इसलिए विशिष्ट ऊष्मा कम तापमान पर घातीय रूप से छोटी होती है, शून्य की तरह

$\exp(-\hbar \omega /kT)$

के छोटे मूल्यों पर $\beta$, उच्च तापमान पर, औसत ऊर्जा U बराबर होती है $1/\beta =kT$. यह शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी के समविभाजन प्रमेय को पुन: उत्पन्न करता है: तापमान T पर प्रत्येक हार्मोनिक ऑसिलेटर में औसतन kT ऊर्जा होती है। इसका मतलब यह है कि शास्त्रीय यांत्रिकी में एक दोलक की विशिष्ट ऊष्मा स्थिर होती है और k के बराबर होती है। स्प्रिंग्स से जुड़े परमाणुओं के संग्रह के लिए, एक ठोस का एक उचित मॉडल, कुल विशिष्ट गर्मी ऑसिलेटर्स की कुल संख्या के बराबर होती है। तीन आयामों में स्वतंत्र दोलनों की तीन संभावित दिशाओं के अनुरूप, प्रत्येक परमाणु के लिए समग्र रूप से तीन दोलक हैं। तो एक शास्त्रीय ठोस की विशिष्ट गर्मी हमेशा 3k प्रति परमाणु होती है, या रसायन विज्ञान इकाइयों में, 3R प्रति मोल (इकाई) परमाणुओं की होती है।

कमरे के तापमान पर एकपरमाणुक ठोस में लगभग 3k प्रति परमाणु की समान विशिष्ट ऊष्मा होती है, लेकिन कम तापमान पर ऐसा नहीं होता है। ठंडे तापमान पर विशिष्ट ऊष्मा कम होती है, और परम शून्य पर यह शून्य हो जाती है। यह सभी भौतिक प्रणालियों के लिए सत्य है, और इस अवलोकन को ऊष्मप्रवैगिकी का तीसरा नियम कहा जाता है। शास्त्रीय यांत्रिकी तीसरे नियम की व्याख्या नहीं कर सकता, क्योंकि शास्त्रीय यांत्रिकी में विशिष्ट ऊष्मा तापमान से स्वतंत्र होती है।

19वीं शताब्दी में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा शास्त्रीय यांत्रिकी और ठंडे पदार्थों की विशिष्ट गर्मी के बीच यह विरोधाभास नोट किया गया था, और उन लोगों के लिए एक गहरी पहेली बनी हुई थी जिन्होंने पदार्थ के परमाणु सिद्धांत की वकालत की थी। आइंस्टीन ने 1906 में परमाणु गति को परिमाणित करके प्रस्तावित करके इस समस्या का समाधान किया। यह यांत्रिक प्रणालियों के लिए क्वांटम सिद्धांत का पहला प्रयोग था। थोड़ी देर बाद, पीटर डेबी ने विभिन्न आवृत्तियों के साथ परिमाणित दोलित्रों के संदर्भ में ठोस विशिष्ट तापों का एक मात्रात्मक सिद्धांत दिया (आइंस्टीन ठोस और डेबी मॉडल देखें)।

एक आयामी क्षमता: U = 0

एक आयामी समस्याओं को हल करना आसान है। किसी भी ऊर्जा E पर, संवेग p का मान संरक्षण समीकरण से पाया जाता है:

${\sqrt {2m(E-U(q))}}={\sqrt {2mE}}=p={\text{const.}}$

जो शास्त्रीय मोड़ बिंदुओं के बीच क्यू के सभी मूल्यों पर एकीकृत है, जहां गति गायब हो जाती है। लंबाई एल के एक बॉक्स में एक कण के लिए अभिन्न अंग सबसे आसान है, जहां क्वांटम स्थिति है:

$2\int _{0}^{L}p\,dq=nh$

जो अनुमत क्षण देता है:

$p={nh \over 2L}$

और ऊर्जा का स्तर

$E_{n}={p^{2} \over 2m}={n^{2}h^{2} \over 8mL^{2}}$

एक आयामी क्षमता: यू = एफएक्स

पुराने क्वांटम सिद्धांत के साथ हल करने के लिए एक और आसान मामला सकारात्मक आधा रेखा पर एक रैखिक क्षमता है, निरंतर सीमित बल एफ एक कण को ​​​​अभेद्य दीवार से बांधता है। यह मामला पूर्ण क्वांटम यांत्रिक उपचार में बहुत अधिक कठिन है, और अन्य उदाहरणों के विपरीत, यहाँ अर्धशास्त्रीय उत्तर सटीक नहीं है, लेकिन अनुमानित है, बड़ी मात्रा में संख्याओं में अधिक सटीक होता जा रहा है।

$2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}\ dx=nh$

ताकि क्वांटम स्थिति हो

${4 \over 3}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \over F}=nh$

जो ऊर्जा के स्तर को निर्धारित करता है,

$E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}$

विशिष्ट मामले में F = mg, कण पृथ्वी की गुरुत्वाकर्षण क्षमता द्वारा सीमित है और यहाँ की दीवार पृथ्वी की सतह है।

एक आयामी क्षमता: यू = {{1/2}केएक्स²

इस मामले को हल करना भी आसान है, और यहाँ अर्ध-शास्त्रीय उत्तर क्वांटम वन से ग्राउंड-स्टेट एनर्जी के भीतर सहमत है। इसकी परिमाणीकरण-स्थिति अभिन्न है

$2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)}}\ dx=nh$

समाधान के साथ

$E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega$

दोलन कोणीय आवृत्ति के लिए $\omega$, पहले जैसा।

रोटेटर

एक अन्य सरल प्रणाली रोटेटर है। एक रोटेटर में द्रव्यमान M होता है जो लंबाई R की एक द्रव्यमान रहित कठोर छड़ के अंत में होता है और दो आयामों में Lagrangian होता है:

$L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}$

जो निर्धारित करता है कि कोणीय संवेग J संयुग्मित होता है $\theta$, ध्रुवीय निर्देशांक, $J=MR^{2}{\dot {\theta }}$. पुरानी क्वांटम स्थिति के लिए आवश्यक है कि J को की अवधि से गुणा किया जाए $\theta$ प्लैंक स्थिरांक का एक पूर्णांक गुणक है:

$2\pi J=nh\,$

कोणीय संवेग का पूर्णांक गुणज होना $\hbar$. बोह्र मॉडल में, वृत्ताकार कक्षाओं पर लगाया गया यह प्रतिबंध ऊर्जा स्तरों को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त था।

तीन आयामों में, एक कठोर रोटेटर को दो कोणों से वर्णित किया जा सकता है - $\theta$ और $\phi$, कहाँ $\theta$ मनमाने ढंग से चुने गए z-अक्ष के सापेक्ष झुकाव है $\phi$ एक्स-वाई विमान के प्रक्षेपण में रोटेटर कोण है। Lagrangian के लिए गतिज ऊर्जा फिर से एकमात्र योगदान है:

$L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta ){\dot {\phi }})^{2}\,$

और संयुग्म संवेग हैं $p_{\theta }={\dot {\theta }}$ और $p_{\phi }=\sin(\theta )^{2}{\dot {\phi }}$. के लिए गति का समीकरण $\phi$ तुच्छ है: $p_{\phi }$ एक स्थिर है:

$p_{\phi }=l_{\phi }\,$

जो कोणीय संवेग का z-घटक है। क्वांटम स्थिति मांग करती है कि निरंतर का अभिन्न अंग $l_{\phi }$ जैसा $\phi$ 0 से भिन्न होता है $2\pi$ एच का एक पूर्णांक एकाधिक है:

$l_{\phi }=m\hbar \,$

और m को चुंबकीय क्वांटम संख्या कहा जाता है, क्योंकि कोणीय गति का z घटक z दिशा के साथ रोटेटर का चुंबकीय क्षण होता है, जहां रोटेटर के अंत में कण चार्ज होता है।

चूंकि त्रि-आयामी रोटेटर धुरी के चारों ओर घूम रहा है, इसलिए कुल कोणीय गति को द्वि-आयामी रोटेटर के समान ही प्रतिबंधित किया जाना चाहिए। दो क्वांटम स्थितियाँ कुल कोणीय संवेग और कोणीय संवेग के z-घटक को पूर्णांक l,m तक सीमित करती हैं। इस स्थिति को आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी में पुन: प्रस्तुत किया गया है, लेकिन पुराने क्वांटम सिद्धांत के युग में यह एक विरोधाभास का कारण बना: मनमाने ढंग से चुने गए z- अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति का अभिविन्यास कैसे निर्धारित किया जा सकता है? ऐसा लगता है कि अंतरिक्ष में एक दिशा चुन रही है।

इस घटना, एक धुरी के बारे में कोणीय गति का परिमाणीकरण, को अंतरिक्ष परिमाणीकरण नाम दिया गया था, क्योंकि यह घूर्णी व्युत्क्रम के साथ असंगत लग रहा था। आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय गति को उसी तरह परिमाणित किया जाता है, लेकिन किसी एक अभिविन्यास में निश्चित कोणीय गति के असतत राज्य अन्य अभिविन्यासों में राज्यों के जितना अध्यारोपण हैं, ताकि परिमाणीकरण की प्रक्रिया एक पसंदीदा अक्ष को न चुने। इस कारण से, नाम स्थान परिमाणीकरण पक्ष से बाहर हो गया, और उसी घटना को अब कोणीय गति का परिमाणीकरण कहा जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु

हाइड्रोजन परमाणु का कोणीय भाग सिर्फ रोटेटर है, और क्वांटम संख्या l और m देता है। केवल शेष चर रेडियल समन्वय है, जो आवधिक एक-आयामी संभावित गति को निष्पादित करता है, जिसे हल किया जा सकता है।

कुल कोणीय गति एल के एक निश्चित मूल्य के लिए, शास्त्रीय केप्लर समस्या के लिए हैमिल्टनियन है (दो स्थिरांक को अवशोषित करने के लिए द्रव्यमान की इकाई और ऊर्जा की इकाई को फिर से परिभाषित किया गया है):

$H={p_{r}^{2} \over 2}+{l^{2} \over 2r^{2}}-{1 \over r}.$

ऊर्जा को स्थिर (एक ऋणात्मक) नियत करना और रेडियल संवेग के लिए हल करना $p_{r}$, क्वांटम स्थिति अभिन्न है:

$\oint {\sqrt {2E-{l^{2} \over r^{2}}+{2 \over r}}}\ dr=kh$

जिसे अवशेषों की विधि से हल किया जा सकता है,और एक नया क्वांटम नंबर देता है $k$ जो ऊर्जा के संयोजन के साथ निर्धारित करता है $l$. ऊर्जा है:

$E=-{1 \over 2(k+l)^{2}}$

और यह केवल k और l के योग पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य क्वांटम संख्या n है। चूँकि k सकारात्मक है, किसी दिए गए n के लिए l के अनुमत मान n से बड़े नहीं हैं। चरम मूल्यों पर कुछ अस्पष्टता के साथ, सही क्वांटम यांत्रिक गुणकों को छोड़कर, ऊर्जाएं बोह्र मॉडल में पुन: पेश करती हैं।

डी ब्रोगली तरंगें

1905 में, आइंस्टीन ने नोट किया कि एक बॉक्स में क्वांटाइज्ड इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड ऑसिलेटर्स की एन्ट्रापी, शॉर्ट वेवलेंथ के लिए, उसी बॉक्स में बिंदु कणों की गैस की एन्ट्रापी के बराबर होती है। बिंदु कणों की संख्या क्वांटा की संख्या के बराबर होती है। आइंस्टीन ने निष्कर्ष निकाला कि क्वांटा को ऐसे माना जा सकता है जैसे कि वे स्थानीयकरण योग्य वस्तुएं हों (देखना पृष्ठ 139/140), प्रकाश के कण। आज हम उन्हें फोटोन कहते हैं (गिल्बर्ट एन लुईस द्वारा प्रकृति (पत्रिका) को लिखे एक पत्र में दिया गया नाम)।)

आइंस्टीन का सैद्धांतिक तर्क ऊष्मप्रवैगिकी पर आधारित था, राज्यों की संख्या की गणना पर, और इसलिए पूरी तरह से आश्वस्त नहीं था। फिर भी, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि प्रकाश में तरंग कण द्वैत के गुण होते हैं, अधिक सटीक रूप से आवृत्ति के साथ एक विद्युत चुम्बकीय स्थायी तरंग $\omega$ परिमाणित ऊर्जा के साथ:

$E=n\hbar \omega \,$

प्रत्येक को एक ऊर्जा के साथ एन फोटॉन से युक्त माना जाना चाहिए $\hbar \omega$. आइंस्टीन यह वर्णन नहीं कर सके कि फोटोन तरंग से कैसे संबंधित थे।

फोटॉनों में संवेग के साथ-साथ ऊर्जा भी होती है, और संवेग होना ही था $\hbar k$ कहाँ $k$ विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंग संख्या है। यह सापेक्षता द्वारा आवश्यक है, क्योंकि संवेग और ऊर्जा एक चार-वेक्टर बनाते हैं, जैसा कि आवृत्ति और तरंग-संख्या करते हैं।

1924 में, पीएचडी उम्मीदवार के रूप में, लुइस डी ब्रोगली ने क्वांटम स्थिति की एक नई व्याख्या प्रस्तावित की। उन्होंने सुझाव दिया कि सभी पदार्थ, इलेक्ट्रॉनों के साथ-साथ फोटॉन, संबंधों का पालन करने वाली तरंगों द्वारा वर्णित हैं।

$p=\hbar k$

या, तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में व्यक्त किया गया $\lambda$ बजाय,

$p={h \over \lambda }$

उन्होंने तब नोट किया कि क्वांटम स्थिति:

$\int p\,dx=\hbar \int k\,dx=2\pi \hbar n$

तरंग के चरण में परिवर्तन की गणना करता है क्योंकि यह शास्त्रीय कक्षा के साथ यात्रा करता है, और यह आवश्यक है कि यह एक पूर्णांक गुणक हो $2\pi$. तरंग दैर्ध्य में व्यक्त, शास्त्रीय कक्षा के साथ तरंग दैर्ध्य की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए। यह रचनात्मक हस्तक्षेप के लिए स्थिति है, और इसने परिमाणित कक्षाओं के कारण की व्याख्या की- पदार्थ तरंगें असतत ऊर्जाओं पर केवल असतत आवृत्तियों पर खड़ी तरंगें बनाती हैं।

उदाहरण के लिए, एक बॉक्स में सीमित एक कण के लिए, एक स्थायी तरंग को दीवारों के बीच की दुगुनी दूरी के बीच तरंग दैर्ध्य की एक पूर्णांक संख्या में फिट होना चाहिए। स्थिति बन जाती है:

$n\lambda =2L\,$

ताकि परिमाणित संवेग हैं:

$p={\frac {nh}{2L}}$

पुराने क्वांटम ऊर्जा स्तरों का पुनरुत्पादन।

इस विकास को आइंस्टीन द्वारा अधिक गणितीय रूप दिया गया, जिन्होंने नोट किया कि तरंगों के लिए चरण कार्य, $\theta (J,x)$, एक यांत्रिक प्रणाली में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के समाधान के साथ पहचाना जाना चाहिए, एक समीकरण जिसे 19 वीं शताब्दी में विलियम रोवन हैमिल्टन ने तरंग यांत्रिकी के एक प्रकार की लघु-तरंग दैर्ध्य सीमा माना था। श्रोडिंगर ने तब उचित तरंग समीकरण पाया जो चरण के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण से मेल खाता था, यह प्रसिद्ध श्रोडिंगर समीकरण है जो उनके नाम को धारण करता है।

क्रेमर्स संक्रमण मैट्रिक्स

पुराने क्वांटम सिद्धांत को केवल विशेष यांत्रिक प्रणालियों के लिए तैयार किया गया था जिन्हें क्रिया कोण चर में अलग किया जा सकता था जो आवधिक थे। यह विकिरण के उत्सर्जन और अवशोषण से संबंधित नहीं था। फिर भी, हेंड्रिक क्रामर्स उत्सर्जन और अवशोषण की गणना कैसे की जानी चाहिए, इसका वर्णन करने के लिए अनुमान लगाने में सक्षम थे।

क्रेमर्स ने सुझाव दिया कि एक क्वांटम प्रणाली की कक्षाओं का फूरियर विश्लेषण किया जाना चाहिए, कक्षा आवृत्ति के गुणकों में हार्मोनिक्स में विघटित:

$X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{n;k}$

इंडेक्स एन कक्षा की क्वांटम संख्या का वर्णन करता है, यह सोमरफेल्ड मॉडल में एन-एल-एम होगा। आवृत्ति $\omega$ कक्षा की कोणीय आवृत्ति है $2\pi /T_{n}$ जबकि k फूरियर मोड के लिए एक इंडेक्स है। बोह्र ने सुझाव दिया था कि शास्त्रीय गति का k-वें हार्मोनिक स्तर n से स्तर n-k के संक्रमण के अनुरूप है।

क्रामर्स ने प्रस्तावित किया कि राज्यों के बीच संक्रमण विकिरण के शास्त्रीय उत्सर्जन के अनुरूप था, जो कि कक्षा आवृत्तियों के गुणकों पर आवृत्तियों पर होता है। विकिरण के उत्सर्जन की दर के समानुपाती होती है $|X_{k}|^{2}$, जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी में होगा। विवरण अनुमानित था, क्योंकि फूरियर घटकों में आवृत्तियाँ नहीं थीं जो स्तरों के बीच ऊर्जा रिक्ति से बिल्कुल मेल खाती थीं।

इस विचार से मैट्रिक्स यांत्रिकी का विकास हुआ।

सीमाएं

पुराने क्वांटम सिद्धांत की कुछ सीमाएँ थीं:

• पुराना क्वांटम सिद्धांत वर्णक्रमीय रेखाओं की तीव्रता की गणना करने के लिए कोई साधन प्रदान नहीं करता है।
• यह विषम Zeeman प्रभाव (यानी, जहां इलेक्ट्रॉन के स्पिन की उपेक्षा नहीं की जा सकती) की व्याख्या करने में विफल रहता है।
• यह अराजक प्रणालियों, यानी गतिशील प्रणालियों की मात्रा निर्धारित नहीं कर सकता है जिसमें प्रक्षेपवक्र न तो बंद हैं और न ही आवधिक हैं और जिनका विश्लेषणात्मक रूप मौजूद नहीं है। यह 2-इलेक्ट्रॉन परमाणु के रूप में सरल प्रणालियों के लिए एक समस्या प्रस्तुत करता है जो प्रसिद्ध गुरुत्वाकर्षण तीन-शरीर की समस्या के अनुरूप शास्त्रीय रूप से अराजक है।

हालाँकि इसका उपयोग एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं (जैसे हीलियम) और Zeeman प्रभाव का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। बाद में यह प्रस्तावित किया गया था कि पुराना क्वांटम सिद्धांत वास्तव में WKB सन्निकटन है | विहित क्वांटम यांत्रिकी के लिए अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन लेकिन इसकी सीमाओं की अभी भी जांच चल रही है।

तो देखें

• बोह्र मॉडल
• बोह्र-सोमरफेल्ड मॉडल

अग्रिम पठन

• Thewlis, J., ed. (1962). Encyclopaedic Dictionary of Physics.
• Pais, Abraham (1982). "Max Born's Statistical Interpretation of Quantum Mechanics" (PDF). Science. 218 (4578): 1193–8. Bibcode:1982Sci...218.1193P. doi:10.1126/science.218.4578.1193. PMID 17802457. S2CID 34406257. Address to annual meeting of the Optical Society of America October 21, 1982 (Tucson AZ). Retrieved 2013-09-08.
• Planck, Max (1922). The origin and development of the quantum theory. Translated by Silberstein, L.; Clarke, H. T. Oxford: Clarendon Press.