एंडोमोर्फिज्म
गणित में, एक एंडोमोर्फिज्म एक गणितीय वस्तु से स्वयं में एक आकारिकी है। एक एंडोमोर्फिज्म जो एक समाकृतिकता भी है, एक आकारिता है। उदाहरण के लिए, सदिश स्थान का एंडोमोर्फिज्म V एक रेखीय नक्शा है f: V → V, और एक समूह का एंडोमोर्फिज्म (गणित) G एक समूह समरूपता है f: G → G. सामान्य तौर पर, हम किसी भी श्रेणी (गणित) में एंडोमोर्फिज्म के बारे में बात कर सकते हैं। सेट की श्रेणी में, एंडोमोर्फिज्म एक सेट (गणित) एस से स्वयं के कार्य (गणित) हैं।
किसी भी श्रेणी में, किसी भी दो एंडोमोर्फिज्म की कार्य संरचना X फिर से एक एंडोमोर्फिज्म है X. यह इस प्रकार है कि सभी एंडोमोर्फिज्म का सेट X एक मोनोइड बनाता है, पूर्ण परिवर्तन मोनोइड, और निरूपित End(X) (या EndC(X) श्रेणी पर जोर देना C).
ऑटोमोर्फिज्म
एक उलटा कार्य एंडोमोर्फिज्म का X ऑटोमोर्फिज्म कहा जाता है। सभी स्वाकारिताओं का समुच्चय किसका उपसमुच्चय है End(X) एक समूह (गणित) संरचना के साथ, जिसे ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है X और निरूपित Aut(X). निम्नलिखित आरेख में, तीर निहितार्थ को दर्शाता है:
| Automorphism | ⇒ | Isomorphism |
| ⇓ | ⇓ | |
| Endomorphism | ⇒ | (Homo)morphism |
एंडोमोर्फिज्म रिंग्स
एबेलियन समूह के कोई भी दो एंडोमोर्फिज्म, A, नियम द्वारा एक साथ जोड़ा जा सकता है (f + g)(a) = f(a) + g(a). इस जोड़ के तहत, और गुणन को कार्य रचना के रूप में परिभाषित किया जा रहा है, एक एबेलियन समूह के एंडोमोर्फिज्म एक रिंग (गणित) (एंडोमोर्फिज्म रिंग) बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एंडोमोर्फिज्म का सेट ℤn सभी की अंगूठी है n × n मैट्रिक्स (गणित) पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ। एक सदिश स्थान या मॉड्यूल (गणित) के एंडोमोर्फिज्म भी एक अंगूठी बनाते हैं, जैसा कि किसी भी वस्तु के एंडोमोर्फिज्म एक पूर्ववर्ती श्रेणी में करते हैं। एक गैर-बेलियन समूह के एंडोमोर्फिज्म एक बीजगणितीय संरचना उत्पन्न करते हैं जिसे निकट-अंगूठी के रूप में जाना जाता है। एक के साथ प्रत्येक रिंग अपने नियमित मॉड्यूल की एंडोमोर्फिज्म रिंग है, और इसलिए एक एबेलियन समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग की उप-रिंग है;[1] हालाँकि ऐसे छल्ले हैं जो किसी एबेलियन समूह की एंडोमोर्फिज़्म रिंग नहीं हैं।
ऑपरेटर सिद्धांत
किसी भी ठोस श्रेणी में, विशेष रूप से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, एंडोमोर्फिज्म एक सेट से मानचित्र होते हैं, और उस सेट पर यूनरी ऑपरेटरों के रूप में व्याख्या की जा सकती है, तत्वों पर क्रिया (समूह सिद्धांत), और तत्व कक्षा (समूह सिद्धांत) की धारणा को अनुमति देता है। परिभाषित किया जाना है, आदि।
वर्तमान श्रेणी (टोपोलॉजी, मीट्रिक (गणित), ...) के लिए परिभाषित अतिरिक्त संरचना के आधार पर, ऐसे ऑपरेटरों के पास निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी), परिबद्ध समारोह, और इसी तरह के गुण हो सकते हैं। ऑपरेटर सिद्धांत के बारे में लेख में अधिक जानकारी मिलनी चाहिए।
एंडोफंक्शन
एक एंडोफंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका फ़ंक्शन का डोमेन उसके कोडोमेन के बराबर होता है। एक समरूपता एंडोफंक्शन एक एंडोमोर्फिज्म है।
होने देना S एक मनमाना सेट हो। एंडोफंक्शन के बीच S का क्रमपरिवर्तन पाता है S और प्रत्येक से जुड़े निरंतर कार्य x में S एक ही तत्व c में S. का हर क्रमपरिवर्तन S कोडोमेन अपने डोमेन के बराबर है और यह आपत्तिजनक और व्युत्क्रमणीय है। यदि S एक से अधिक तत्व हैं, एक निरंतर कार्य करता है S एक छवि (गणित) है जो इसके कोडोमेन का एक उचित उपसमुच्चय है, और इस प्रकार विशेषण नहीं है (और इसलिए उलटा नहीं है)। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या से संबद्ध कार्य n की मंजिल n/2 इसकी छवि इसके कोडोमेन के बराबर है और यह व्युत्क्रमणीय नहीं है।
परिमित एंडोफंक्शन निर्देशित स्यूडोफॉरेस्ट के बराबर हैं। आकार के सेट के लिए n वहाँ हैं nn सेट पर एंडोफंक्शन।
विशेषण एंडोफंक्शन के विशेष उदाहरण इनवोल्यूशन (गणित) हैं; यानी, उनके व्युत्क्रमों के साथ मेल खाने वाले कार्य।
यह भी देखें
- सहायक एंडोमोर्फिज्म
- एपिमोर्फिज्म (प्रोजेक्टिव होमोमोर्फिज्म)
- फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म
- मोनोमोर्फिज्म (इंजेक्शनी होमोमोर्फिज्म)
टिप्पणियाँ
- ↑ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.
संदर्भ
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
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बाहरी संबंध
- "Endomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]