ठोस श्रेणी

गणित में, एक ठोस श्रेणी एक श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) है जो सेट की श्रेणी के लिए एक वफादार फ़ैक्टर से सुसज्जित है (या कभी-कभी किसी अन्य श्रेणी के लिए, नीचे #सापेक्ष संक्षिप्तता देखें)। यह फ़ंक्टर श्रेणी की वस्तुओं को अतिरिक्त गणितीय संरचना के साथ सेट के रूप में और संरचना-संरक्षण कार्यों के रूप में इसके आकारिकी के बारे में सोचना संभव बनाता है। कई महत्वपूर्ण श्रेणियों की ठोस श्रेणियों के रूप में स्पष्ट व्याख्याएं हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी और समूहों की श्रेणी , और तुच्छ रूप से सेट की श्रेणी भी। दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल स्पेस की होमोटॉपी श्रेणी ठोस नहीं है, यानी यह सेट की श्रेणी के लिए एक वफादार फ़ैक्टर को स्वीकार नहीं करती है।

एक ठोस श्रेणी, जब किसी श्रेणी की धारणा के संदर्भ के बिना परिभाषित की जाती है, तो 'ऑब्जेक्ट्स' का एक वर्ग (सेट सिद्धांत) होता है, प्रत्येक एक अंतर्निहित सेट से सुसज्जित होता है; और किन्हीं दो वस्तुओं ए और बी के लिए ए के अंतर्निहित सेट से बी के अंतर्निहित सेट तक, आकारिता कहे जाने वाले कार्यों का एक सेट है। इसके अलावा, प्रत्येक वस्तु ए के लिए, ए के अंतर्निहित सेट पर पहचान कार्य ए से ए तक आकारिकी होना चाहिए, और आकारिकी की संरचना ए से होनी चाहिए। ए से बी और उसके बाद बी से सी तक आकारिकी ए से सी तक की आकारिकी होनी चाहिए।

परिभाषा

एक ठोस श्रेणी एक जोड़ी (सी,यू) ऐसी है कि

• सी एक श्रेणी है, और
• U : C → सेट (सेट और कार्यों की श्रेणी) एक वफादार फ़ंक्टर है।

फ़ैक्टर यू को भुलक्कड़ फ़ंक्टर के रूप में माना जाना चाहिए, जो सी की हर वस्तु को इसके अंतर्निहित सेट और सी में हर आकृतिवाद को इसके अंतर्निहित कार्य के लिए असाइन करता है।

यदि कोई ठोस श्रेणी (C,U) मौजूद है तो एक श्रेणी 'C' ठोस है; यानी, अगर कोई भरोसेमंद फ़ैक्टर U मौजूद है: C → सेट करें। सभी छोटी श्रेणियां ठोस हैं: U को परिभाषित करें ताकि इसका वस्तु भाग C के प्रत्येक ऑब्जेक्ट b को C के सभी morphisms के सेट पर मैप करे जिसका कोडोमेन b है ' (अर्थात् f के रूप के सभी आकारिकी: a → b किसी भी वस्तु a के लिए C), और इसका आकारिकी भाग प्रत्येक आकारिकी को मैप करता है g: b → c का C फंक्शन U(g): U(b) → U(c) जो प्रत्येक सदस्य f: a → b का U(b) रचना के लिए मैप करता है ' 'gf: a → c, U(c) का सदस्य है। (ठोस श्रेणी के तहत आइटम 6#आगे के उदाहरण समान यू को प्रीशेव्स के माध्यम से कम प्राथमिक भाषा में व्यक्त करते हैं।) ठोस श्रेणी#काउंटर-उदाहरण|काउंटर-उदाहरण अनुभाग दो बड़ी श्रेणियों को प्रदर्शित करता है जो ठोस नहीं हैं।

टिप्पणियाँ

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, अंतर्ज्ञान के विपरीत, संक्षिप्तता एक संपत्ति (दर्शन) नहीं है जो एक श्रेणी संतुष्ट हो सकती है या नहीं, बल्कि एक संरचना जिसके साथ एक श्रेणी सुसज्जित हो सकती है या नहीं भी हो सकती है। विशेष रूप से, एक श्रेणी सी कई वफादार फ़ैक्टरों को 'सेट' में प्रवेश दे सकती है। इसलिए कई ठोस श्रेणियां (सी, यू) हो सकती हैं जो सभी एक ही श्रेणी सी से संबंधित हों।

व्यवहार में, हालांकि, वफादार फ़ैक्टर की पसंद अक्सर स्पष्ट होती है और इस मामले में हम केवल ठोस श्रेणी सी की बात करते हैं। उदाहरण के लिए, ठोस श्रेणी 'सेट' का अर्थ है जोड़ी ('सेट', I) जहां मैं पहचान कारक 'सेट' → 'सेट' को दर्शाता हूं।

यू के वफादार होने की आवश्यकता का अर्थ है कि यह एक ही वस्तु के बीच अलग-अलग कार्यों के लिए अलग-अलग आकारिकी को मैप करता है। हालांकि, यू अलग-अलग वस्तुओं को एक ही सेट में मैप कर सकता है और यदि ऐसा होता है, तो यह एक ही फ़ंक्शन के लिए अलग-अलग आकारिकी भी मैप करेगा।

उदाहरण के लिए, यदि S और T एक ही सेट X पर दो अलग-अलग टोपोलॉजी हैं, तो (X, S) और (X, T) टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर मानचित्रों की 'टॉप' श्रेणी में अलग-अलग ऑब्जेक्ट हैं, लेकिन भूलने वाले फ़ैक्टर 'टॉप' → 'सेट' द्वारा उसी सेट X पर मैप किए गए हैं। इसके अलावा, पहचान आकारिकी (X, S) → (X, S) और पहचान आकारिकी (X, T) → (X, T) को 'शीर्ष' में विशिष्ट आकारिकी माना जाता है, लेकिन उनका एक ही अंतर्निहित कार्य होता है, अर्थात् एक्स पर पहचान समारोह।

इसी तरह, चार तत्वों वाले किसी भी सेट को दो गैर-आइसोमॉर्फिक समूह संरचनाएं दी जा सकती हैं: एक आइसोमोर्फिक टू $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, और दूसरा आइसोमॉर्फिक टू $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.

आगे के उदाहरण

1. किसी भी समूह जी को एक मनमानी वस्तु के साथ एक सार श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, $\ast$, और समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक आकारिकी। इस लेख के शीर्ष पर वर्णित सहज ज्ञान युक्त धारणा के अनुसार इसे ठोस नहीं माना जाएगा। लेकिन हर वफादार समूह कार्रवाई (गणित) | जी-सेट (समरूप रूप से, क्रमचय समूह के रूप में जी का हर प्रतिनिधित्व) एक वफादार फ़ैक्टर जी → 'सेट' निर्धारित करता है। चूंकि प्रत्येक समूह स्वयं पर ईमानदारी से कार्य करता है, G को कम से कम एक तरह से एक ठोस श्रेणी में बनाया जा सकता है।
2. इसी तरह, किसी भी poset P को एक अद्वितीय तीर x → y के साथ एक सार श्रेणी के रूप में माना जा सकता है जब भी x ≤ y। इसे एक फ़ैक्टर डी: पी → 'सेट' परिभाषित करके ठोस बनाया जा सकता है जो प्रत्येक ऑब्जेक्ट एक्स को मैप करता है $D(x)=\{a\in P:a\leq x\}$ और प्रत्येक तीर x → y समावेशन मानचित्र पर $D(x)\hookrightarrow D(y)$.
3. संबंधों की श्रेणी श्रेणी जिसकी वस्तुएँ सेट (गणित) हैं और जिनकी आकृतियाँ संबंध (गणित) हैं, प्रत्येक सेट X को उसके पावर सेट में मैप करने के लिए U लेकर ठोस बनाया जा सकता है $2^{X}$ और प्रत्येक संबंध $R\subseteq X\times Y$ समारोह के लिए $\rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}$ द्वारा परिभाषित $\rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}$. यह देखते हुए कि पावर सेट शामिल किए जाने के तहत [[ पूर्ण जाली ]] हैं, इस तरह से कुछ संबंध आर से उत्पन्न होने वाले कार्य वास्तव में पूर्ण जाली हैं इसलिए 'रिल' पूर्ण लैटिस और उनके समर्थन-संरक्षण मानचित्रों के श्रेणी 'सुपर' की पूर्ण उपश्रेणी के बराबर है। इसके विपरीत, इस तुल्यता से शुरू करके हम 'Sup' में 'Rel' के इस एम्बेडिंग के साथ 'Sup' के लिए भुलक्कड़ फ़नकार के समग्र 'Rel' → 'Sup' → 'Set' के रूप में U को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं।
4. श्रेणी 'सेट'^op को प्रत्येक सेट को स्वयं और प्रत्येक फ़ंक्शन f: X → Y को Y से X के संबंध के रूप में प्रस्तुत करके Rel में एम्बेड किया जा सकता है। ' जोड़े के सेट के रूप में गठित (f(x), x) सभी x ∈ X के लिए; इसलिए सेट करें^ऑप ठोस है। इस तरह से उत्पन्न होने वाला भुलक्कड़ फ़ंक्टर फ़ंक्टर # उदाहरण सेट है^ऑप → सेट करें।
5. यह पिछले उदाहरण से अनुसरण करता है कि किसी भी ठोस श्रेणी 'सी' के विपरीत फिर से ठोस है, क्योंकि अगर 'यू' एक वफादार मज़ेदार 'सी' है → सेट करें तो 'सी'^ऑप सम्मिश्र C से सुसज्जित हो सकता है^ऑप → सेट करें^ऑप → सेट करें।
6. यदि 'सी' कोई छोटी श्रेणी है, तो एक वफादार कारक 'पी' मौजूद है: सेट^Cop → सेट करें कि कौन सा प्रीशेफ़ X को कोप्रोडक्ट में मैप करता है $\coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)$. Yoneda एम्बेडिंग Y:C → 'सेट' के साथ इसकी रचना करके^Cop व्यक्ति को एक विश्वासपात्र फ़ंक्टर C → 'सेट' प्राप्त होता है।
7. तकनीकी कारणों से श्रेणी 'प्रतिबंध'₁ बनच रिक्त स्थान और संकुचन (ऑपरेटर सिद्धांत) का अक्सर स्पष्ट भुलक्कड़ मज़ेदार नहीं होता है लेकिन मज़ेदार यू₁ : प्रतिबंध₁ → सेट करें जो एक Banach स्पेस को उसकी (बंद) यूनिट बॉल में मैप करता है।
8. कैटेगरी कैट, जिनकी वस्तुएं छोटी कैटेगरी हैं और जिनकी मॉर्फिज्म फंक्शंस हैं, उन्हें प्रत्येक कैटेगरी सी को उसकी ऑब्जेक्ट्स और मॉर्फिज्म वाले सेट में भेजकर ठोस बनाया जा सकता है। फंक्शंस को केवल वस्तुओं और morphisms पर कार्य करने वाले कार्यों के रूप में देखा जा सकता है।

प्रति-उदाहरण

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी होमोटोपी श्रेणी, जहां ऑब्जेक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस हैं और मॉर्फिज्म निरंतर कार्यों के होमोटॉपी हैं, एक ऐसी श्रेणी का उदाहरण है जो ठोस नहीं है। जबकि वस्तुएं सेट हैं (अतिरिक्त संरचना के साथ), आकारिकी उनके बीच वास्तविक कार्य नहीं हैं, बल्कि कार्यों के वर्ग हैं। तथ्य यह है कि hTop से सेट तक कोई भी वफादार फ़नकार मौजूद नहीं है, यह पहली बार पीटर फ्रायड द्वारा सिद्ध किया गया था। उसी लेख में, फ्रायड पहले के परिणाम का हवाला देते हैं कि छोटी श्रेणियों की श्रेणी और मज़दूरों की प्राकृतिक तुल्यता-वर्ग भी ठोस होने में विफल होते हैं।

ठोस श्रेणियों की अंतर्निहित संरचना

एक ठोस श्रेणी (सी, यू) और एक बुनियादी संख्या एन दिया गया है, चलो यू^N यू द्वारा निर्धारित फ़ंक्टर C → 'सेट' हो^एन(सी) = (यू(सी))^एन. फिर U का एक सबफंक्टर ^N को N-ary विधेय कहा जाता है और a प्राकृतिक परिवर्तन यू^एन → यू एक एन-एरी ऑपरेशन।

सभी एन-आरी की कक्षा एक ठोस श्रेणी (सी, यू) के एन-आरी विधेय और एन-आरी संचालन, एन के साथ सभी कार्डिनल नंबरों की कक्षा में, एक उचित वर्ग हस्ताक्षर (तर्क) बनाती है। इस हस्ताक्षर के लिए मॉडल की श्रेणी में एक पूर्ण उपश्रेणी होती है जो सी के लिए श्रेणियों की समानता है।

सापेक्ष संक्षिप्तता

श्रेणी सिद्धांत के कुछ हिस्सों में, सबसे विशेष रूप से टोपोस सिद्धांत , श्रेणी सेट को एक अलग श्रेणी X से बदलना आम है, जिसे अक्सर आधार श्रेणी कहा जाता है। इस कारण से, एक जोड़ी (C, U) को कॉल करना समझ में आता है जहां C एक श्रेणी है और U एक वफादार functor C → एक्स एक्स पर एक ठोस श्रेणी। उदाहरण के लिए, सिद्धांत संरचना (गणितीय तर्क) के मॉडल के बारे में सोचना उपयोगी हो सकता है # कई-क्रमबद्ध संरचनाएं | 'एन' प्रकार के साथ सेट पर एक ठोस श्रेणी बनाने के रूप में^एन.

इस संदर्भ में, 'सेट' पर एक ठोस श्रेणी को कभी-कभी निर्माण कहा जाता है।

संदर्भ

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.