राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण)

कार्यात्मक विश्लेषण में, एक ऑपरेटर प्रणाली की स्थिति ऑपरेटर मानदंड 1 का एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है। कार्यात्मक विश्लेषण में राज्य क्वांटम यांत्रिकी में घनत्व मैट्रिक्स की धारणा को सामान्य करते हैं, जो क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, दोनों §§ Mixed states​ and pure states. घनत्व मैट्रिक्स बदले में क्वांटम अवस्था को सामान्यीकृत करते हैं, जो केवल शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। एम के लिए सी*-बीजगणित ए में पहचान के साथ एक ऑपरेटर प्रणाली, एम के सभी राज्यों का सेट, जिसे कभी-कभी एस (एम) द्वारा दर्शाया जाता है, उत्तल, कमजोर है-* बानाच दोहरे स्थान एम में बंद है^*. इस प्रकार कमजोर-* टोपोलॉजी के साथ एम के सभी राज्यों का सेट एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस बनाता है, जिसे 'एम का स्टेट स्पेस' के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी के C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण में, इस पिछले अर्थ में स्थितियाँ भौतिक अवस्थाओं के अनुरूप होती हैं, अर्थात भौतिक वेधशालाओं (C*-बीजगणित के स्व-सहायक तत्व) से उनके अपेक्षित माप परिणाम (वास्तविक संख्या) तक मैपिंग।

जॉर्डन अपघटन

राज्यों को संभाव्यता उपायों के गैर-अनुवांशिक सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। गेलफैंड प्रतिनिधित्व के अनुसार, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित A, C के रूप का होता है₀(एक्स) कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ एक्स के लिए। इस मामले में, एस (ए) में एक्स पर सकारात्मक रेडॉन उपाय शामिल हैं, और § pure states एक्स पर मूल्यांकन कार्यात्मकताएं हैं।

अधिक आम तौर पर, जीएनएस निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक राज्य, एक उपयुक्त प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, एक राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण)#वेक्टर राज्य है।

सी*-बीजगणित ए पर एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को 'स्व-सहायक' कहा जाता है यदि यह ए के स्वयं-सहायक तत्वों पर वास्तविक-मूल्यवान है। स्व-सहायक कार्यात्मकताएं हस्ताक्षरित उपायों के गैर-अनुवांशिक एनालॉग हैं।

माप सिद्धांत में हैन अपघटन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक हस्ताक्षरित माप को असंयुक्त सेटों पर समर्थित दो सकारात्मक उपायों के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे नॉनकम्यूटेटिव सेटिंग तक बढ़ाया जा सकता है।

Theorem — Every self-adjoint f in A^* can be written as f = f₊ − f₋ where f₊ and f₋ are positive functionals and ||f|| = ||f₊|| + ||f₋||.

Proof

A proof can be sketched as follows: Let Ω be the weak*-compact set of positive linear functionals on A with norm ≤ 1, and C(Ω) be the continuous functions on Ω. A can be viewed as a closed linear subspace of C(Ω) (this is Kadison's function representation). By Hahn–Banach, f extends to a g in C(Ω)* with

उपरोक्त अपघटन से यह पता चलता है कि A* राज्यों का रैखिक विस्तार है।

राज्यों के कुछ महत्वपूर्ण वर्ग

शुद्ध अवस्थाएँ

करें-मिलमान थ्योरम के अनुसार, एम के राज्य स्थान में चरम बिंदु हैं. राज्य स्थान के चरम बिंदुओं को शुद्ध राज्य कहा जाता है और अन्य राज्यों को मिश्रित राज्य के रूप में जाना जाता है।

वेक्टर स्थितियाँ

हिल्बर्ट स्पेस H और H में एक वेक्टर x के लिए, समीकरण ω_x(ए) := ⟨Ax,x⟩ (बी(एच) में ए के लिए), बी(एच) पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है। चूँकि ω_x(1)=||x||², ओह_x एक अवस्था है यदि ||x||=1. यदि A, B(H) का C*-उप बीजगणित है और M, A में एक संचालिका प्रणाली है, तो ω का प्रतिबंध_x एम से एम पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकता को परिभाषित किया गया है। एच में यूनिट वैक्टर से इस तरह से उत्पन्न होने वाली एम की अवस्थाओं को एम की 'वेक्टर अवस्था' कहा जाता है।

वफादार राज्य

एक राज्य $\tau$ वफादार है, अगर यह सकारात्मक तत्वों पर इंजेक्शन है, यानी, $\tau (a^{*}a)=0$ तात्पर्य $a=0$.

सामान्य अवस्थाएँ

एक राज्य $\tau$ सामान्य कहा जाता है, यदि प्रत्येक एकस्वर के लिए, बढ़ता हुआ नेट (गणित) $H_{\alpha }$ न्यूनतम ऊपरी सीमा वाले ऑपरेटरों की संख्या $H$, $\tau (H_{\alpha })\;$ में एकत्रित हो जाता है $\tau (H)\;$.

ट्रेशियल अवस्थाएँ

एक tracial राज्य एक राज्य है $\tau$ ऐसा है कि

$\tau (AB)=\tau (BA)\;.$

किसी भी पृथक्करणीय C*-बीजगणित के लिए, अनुरेखीय अवस्थाओं का समुच्चय एक चॉक्वेट सिद्धांत है।

कारकीय स्थितियाँ

सी*-बीजगणित ए की एक तथ्यात्मक स्थिति ऐसी स्थिति है कि ए के संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व का कम्यूटेंट एक वॉन न्यूमैन बीजगणित#फैक्टर है।

यह भी देखें

• क्वांटम अवस्था
• गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण
• क्वांटम यांत्रिकी
  • क्वांटम अवस्था
  • घनत्व मैट्रिक्स

संदर्भ

• Lin, H. (2001), An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras, World Scientific