हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत शास्त्रीय हैमिल्टनियन यांत्रिकी के क्षेत्र-सैद्धांतिक अनुरूप है। यह लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत के साथ-साथ शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में एक औपचारिकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में भी इसके अनुप्रयोग हैं।

परिभाषा

असतत कणों की एक प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी उनके सामान्यीकृत निर्देशांक और संयुग्म गति, और संभवतः, समय का एक कार्य है। सातत्य और क्षेत्रों के लिए, हैमिल्टनियन यांत्रिकी अनुपयुक्त है, लेकिन बड़ी संख्या में बिंदु द्रव्यमानों पर विचार करके, और निरंतर सीमा, यानी अनंत रूप से कई कणों को एक सातत्य या क्षेत्र बनाने पर विचार करके बढ़ाया जा सकता है। चूंकि प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान में स्वतंत्रता की एक या अधिक डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है, इसलिए क्षेत्र निर्माण में असीम रूप से कई डिग्री स्वतंत्रता होती है।

एक अदिश क्षेत्र

हैमिल्टनियन घनत्व खेतों के लिए निरंतर अनुरूप है; यह क्षेत्रों का एक कार्य है, संयुग्म गति क्षेत्र, और संभवतः अंतरिक्ष और समय स्वयं को समन्वयित करते हैं। एक अदिश क्षेत्र के लिए $φ (x, t)$ , हैमिल्टन के घनत्व को लग्रांगियन घनत्व से परिभाषित किया गया है^{[nb 1]}

{\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.

साथ $\nabla$ ग्रेडिएंट ऑपरेटर| डेल या नाबला ऑपरेटर, $x$ अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति वेक्टर है, और $t$ यह समय है। Lagrangian घनत्व प्रणाली में क्षेत्रों, उनके स्थान और समय के डेरिवेटिव का एक कार्य है, और संभवतः स्थान और समय स्वयं को समन्वयित करता है। यह सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा वर्णित असतत कणों की एक प्रणाली के लिए लैग्रैंगियन फ़ंक्शन का क्षेत्र एनालॉग है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जहां प्रत्येक सामान्यीकृत समन्वय में एक समान सामान्यीकृत गति होती है, क्षेत्र $φ (x, t)$ एक संयुग्म गति क्षेत्र है $π (x, t)$ , क्षेत्र के समय व्युत्पन्न के संबंध में लैग्रैन्जियन घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है,

\pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,

जिसमें ओवरडॉट^{[nb 2]} आंशिक व्युत्पन्न समय व्युत्पन्न को दर्शाता है $\partial/\partial t$ , कुल व्युत्पन्न समय व्युत्पन्न नहीं $d / dt$ .

कई अदिश क्षेत्र

कई क्षेत्रों के लिए $φ i (x, t)$ और उनके संयुग्म $π i (x, t)$ हैमिल्टनियन घनत्व उन सभी का एक कार्य है:

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.

जहां प्रत्येक संयुग्म क्षेत्र को उसके क्षेत्र के संबंध में परिभाषित किया गया है,

\pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.

सामान्य तौर पर, किसी भी संख्या में फ़ील्ड के लिए, हैमिल्टनियन घनत्व का वॉल्यूम इंटीग्रल हैमिल्टन को तीन स्थानिक आयामों में देता है:

H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.

हैमिल्टनियन घनत्व हैमिल्टनियन प्रति इकाई स्थानिक आयतन है। संबंधित आयामी विश्लेषण [ऊर्जा] [लंबाई] है⁻³, SI इकाइयों में जूल प्रति मीटर घन, J m^-3.

टेंसर और स्पिनर क्षेत्र

उपरोक्त समीकरणों और परिभाषाओं को वेक्टर क्षेत्र और अधिक सामान्यतः टेंसर फ़ील्ड और स्पिनर फील्ड तक बढ़ाया जा सकता है। भौतिकी में, टेंसर क्षेत्र बोसॉन का वर्णन करते हैं और स्पिनर क्षेत्र फर्मियन का वर्णन करते हैं।

गति के समीकरण

क्षेत्रों के लिए गति के समीकरण असतत कणों के लिए हैमिल्टन के समीकरणों के समान हैं। किसी भी फ़ील्ड के लिए:

Hamiltonian field equations

${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$

जहां फिर से ओवरडॉट्स आंशिक समय व्युत्पन्न हैं, क्षेत्रों के संबंध में परिवर्तनशील व्युत्पन्न

गणित>\frac{\delta}{\delta \phi_i} = \frac{\आंशिक}{\आंशिक \phi_i} - \nabla\cdot \frac{\आंशिक }{\आंशिक (\nabla \phi_i)} - \ फ़्रैक{\आंशिक}{\आंशिक टी} \frac{\आंशिक }{\आंशिक (\आंशिक\phi_i/\आंशिक टी)} \,,</math>

के साथ · डॉट उत्पाद , का उपयोग केवल आंशिक डेरिवेटिव के बजाय किया जाना चाहिए। टेंसर इंडेक्स नोटेशन (योग सम्मेलन सहित) में यह है

गणित> \ frac {\ डेल्टा} {\ डेल्टा \ phi_i} = \ frac {\ आंशिक} {\ आंशिक \ phi_i} - \ आंशिक_ \ mu \ frac {\ आंशिक} {\ आंशिक (\ आंशिक_ \ mu \ phi_i)} </गणित>

कहाँ पे $\partial μ$ चार-ढाल है।

चरण स्थान

मैदान $φ i$ और संयुग्म $π i$ एक अनंत आयामी चरण स्थान बनाते हैं, क्योंकि फ़ील्ड में अनंत संख्या में स्वतंत्रता की डिग्री होती है।

ज़हर ब्रैकेट

दो कार्यों के लिए जो क्षेत्रों पर निर्भर करते हैं $φ i$ तथा $π i$ , उनके स्थानिक व्युत्पन्न, और स्थान और समय निर्देशांक,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

:

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

और फ़ील्ड्स उस वॉल्यूम की सीमा पर शून्य हैं जिस पर इंटीग्रल को ले लिया गया है, फील्ड थ्योरेटिक पॉइज़न ब्रैकेट को परिभाषित किया गया है (क्वांटम यांत्रिकी से कम्यूटेटर के साथ भ्रमित नहीं होना)।^[1]

[A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

कहाँ पे $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ परिवर्तनशील व्युत्पन्न है

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

सतह पर लुप्त हो रहे क्षेत्रों की समान स्थितियों के तहत, निम्नलिखित परिणाम समय के विकास के लिए धारण करते हैं $A$ (इसी तरह के लिए $B$ ):

{\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}

जो कुल समय व्युत्पन्न से पाया जा सकता है $A$ , भागों द्वारा एकीकरण , और उपरोक्त पॉइसन ब्रैकेट का उपयोग करना।

स्पष्ट समय-स्वतंत्रता

निम्नलिखित परिणाम सत्य हैं यदि लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन घनत्व स्पष्ट रूप से समय-स्वतंत्र हैं (वे अभी भी क्षेत्रों और उनके डेरिवेटिव के माध्यम से निहित समय-निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं),

गतिज और स्थितिज ऊर्जा घनत्व

हैमिल्टनियन घनत्व कुल ऊर्जा घनत्व है, गतिज ऊर्जा घनत्व का योग ( ${\mathcal {T}}$ ) और संभावित ऊर्जा घनत्व ( ${\mathcal {V}}$ ),

{\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.

निरंतरता समीकरण

उपरोक्त हैमिल्टनियन घनत्व की परिभाषा का आंशिक समय व्युत्पन्न लेना, और अंतर्निहित भेदभाव और संयुग्म गति क्षेत्र की परिभाषा के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करना, निरंतरता समीकरण देता है:

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

जिसमें हैमिल्टन के घनत्व की व्याख्या ऊर्जा घनत्व के रूप में की जा सकती है, और

\mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

ऊर्जा प्रवाह, या प्रति इकाई समय प्रति इकाई सतह क्षेत्र में ऊर्जा का प्रवाह।

सापेक्ष क्षेत्र सिद्धांत

सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत के सापेक्षता सूत्रीकरण का सिद्धांत है।

हैमिल्टनियन फील्ड थ्योरी का अर्थ आमतौर पर सहानुभूतिपूर्ण हैमिल्टनियन प्रणाली है जब शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत पर लागू किया जाता है, जो एक अनंत-आयामी चरण स्थान पर तात्कालिक हैमिल्टनियन औपचारिकता का रूप लेता है, और जहां विहित निर्देशांक कुछ समय पर क्षेत्र कार्य होते हैं।^[2] यह हैमिल्टनियन औपचारिकता क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पर लागू होती है, उदाहरण के लिए, क्वांटम गेज सिद्धांत में। सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत में, विहित संवेग p^मी_iसभी विश्व निर्देशांक x . के संबंध में क्षेत्रों के डेरिवेटिव से मेल खाती है^मी.^[3] सहसंयोजक हैमिल्टन समीकरण लैग्रेंजियन प्रणाली के समतुल्य हैं | यूलर-लैग्रेंज समीकरण हाइपररेगुलर लैग्रैंजियन सिस्टम के मामले में। सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत हैमिल्टन-डी डोंडर में विकसित किया गया है,^[4] पॉलीसिम्पलेक्टिक,^[5] बहुआयामी^[6] और के-सहानुभूति^[7] वेरिएंट। सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत का एक चरण स्थान एक परिमित-आयामी सहानुभूति मैनिफोल्ड या सहानुभूति मैनिफोल्ड मैनिफोल्ड है।

गैर-स्वायत्त यांत्रिकी | हैमिल्टनियन गैर-स्वायत्त यांत्रिकी को समय अक्ष पर फाइबर बंडल ों पर सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत के रूप में तैयार किया गया है, अर्थात वास्तविक रेखा ।

यह भी देखें

↑ It is a standard abuse of notation to abbreviate all the derivatives and coordinates in the Lagrangian density as follows:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
The $μ$ is an index which takes values 0 (for the time coordinate), and 1, 2, 3 (for the spatial coordinates), so strictly only one derivative or coordinate would be present. In general, all the spatial and time derivatives will appear in the Lagrangian density, for example in Cartesian coordinates, the Lagrangian density has the full form:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Here we write the same thing, but using ∇ to abbreviate all spatial derivatives as a vector.
↑ This is standard notation in this context, most of the literature does not explicitly mention it is a partial derivative. In general total and partial time derivatives of a function are not the same.

उद्धरण

↑ Greiner & Reinhardt 1996, Chapter 2
↑ Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in "Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange" (North Holland, 1991).
↑ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.
↑ Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
↑ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Covariant Hamiltonian equations for field theory, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv:hep-th/9904062.
↑ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
↑ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther's formalism (k-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

लैग्रैन्जियन फील्ड थ्योरी
स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)
एसआई जूनियर
आंशिक व्युत्पन्न
सातत्य समीकरण
निहीत भेदभाव
सापेक्षता का सिद्धांत
विहित क्षण
सहानुभूति कई गुना

संदर्भ

Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer. p. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
Goldstein, Herbert (1980). "Chapter 12: Continuous Systems and Fields". Classical Mechanics (2nd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 562–565. ISBN 0201029189.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. pp. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] It is a standard abuse of notation to abbreviate all the derivatives and coordinates in the Lagrangian density as follows:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
The $μ$ is an index which takes values 0 (for the time coordinate), and 1, 2, 3 (for the spatial coordinates), so strictly only one derivative or coordinate would be present. In general, all the spatial and time derivatives will appear in the Lagrangian density, for example in Cartesian coordinates, the Lagrangian density has the full form:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Here we write the same thing, but using ∇ to abbreviate all spatial derivatives as a vector.

[2] This is standard notation in this context, most of the literature does not explicitly mention it is a partial derivative. In general total and partial time derivatives of a function are not the same.

[3] Greiner & Reinhardt 1996, Chapter 2

[4] Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in "Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange" (North Holland, 1991).

[5] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.

[6] Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.

[7] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Covariant Hamiltonian equations for field theory, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv:hep-th/9904062.

[8] Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.

[9] Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther's formalism (k-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

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