हैमिल्टनियन प्रणाली

This article is about the classical theory. For other uses, see Hamiltonian.

हैमिल्टनियन प्रणाली हैमिल्टन के समीकरणों द्वारा शासित एक गतिशील प्रणाली है। भौतिकी में, यह गतिशील प्रणाली एक भौतिक प्रणाली के विकास का वर्णन करती है जैसे ग्रह प्रणाली या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन। इन प्रणालियों का अध्ययन हैमिल्टनियन यांत्रिकी और गतिशील प्रणाली सिद्धांत दोनों में किया जा सकता है।

सिंहावलोकन

अनौपचारिक रूप से, एक हैमिल्टनियन प्रणाली एक भौतिक प्रणाली के विकास समीकरण का वर्णन करने के लिए विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित एक गणितीय औपचारिकता है। इस विवरण का लाभ यह है कि यह गतिशीलता में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, भले ही प्रारंभिक मूल्य समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सके। एक उदाहरण तीन-निकाय समस्या है: जबकि सामान्य समस्या का कोई बंद-रूप समाधान नहीं है, हेनरी पोंकारे | पोंकारे ने पहली बार दिखाया कि यह नियतात्मक अराजकता प्रदर्शित करता है।

औपचारिक रूप से, एक हैमिल्टनियन प्रणाली एक गतिशील प्रणाली है जो स्केलर फ़ंक्शन द्वारा विशेषता है $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$, जिसे हैमिल्टनियन के नाम से भी जाना जाता है। सिस्टम की स्थिति, ${\boldsymbol {r}}$, सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा वर्णित है ${\boldsymbol {p}}$ और ${\boldsymbol {q}}$क्रमशः सामान्यीकृत गति और स्थिति के अनुरूप। दोनों ${\boldsymbol {p}}$ और ${\boldsymbol {q}}$ एक ही आयाम एन के साथ वास्तविक-मूल्य वाले वैक्टर हैं। इस प्रकार, राज्य पूरी तरह से 2एन-आयामी वेक्टर द्वारा वर्णित है

${\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$

और विकास समीकरण हैमिल्टन के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं:

${\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}$

प्रक्षेपवक्र ${\boldsymbol {r}}(t)$ हैमिल्टन के समीकरणों और प्रारंभिक स्थिति द्वारा परिभाषित प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है ${\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}$.

समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन सिस्टम

यदि हैमिल्टनियन स्पष्ट रूप से समय-निर्भर नहीं है, अर्थात यदि $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$, तो हैमिल्टनियन समय के साथ बिल्कुल भी भिन्न नहीं होता है:

derivation ${\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}$ ${\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot \left(-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+0=0$

और इस प्रकार हैमिल्टन गति का एक स्थिरांक है, जिसका स्थिरांक प्रणाली की कुल ऊर्जा के बराबर है: $H=E$. ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं लंगर , लयबद्ध दोलक और गतिशील बिलियर्ड्स

उदाहरण

Main article: Simple harmonic motion

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टन प्रणाली का एक उदाहरण हार्मोनिक ऑसिलेटर है। निर्देशांक द्वारा परिभाषित प्रणाली पर विचार करें ${\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}$ और ${\boldsymbol {q}}=x$. फिर हैमिल्टनियन द्वारा दिया जाता है

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.$

इस प्रणाली का हैमिल्टनियन समय पर निर्भर नहीं करता है और इस प्रकार प्रणाली की ऊर्जा संरक्षित होती है।

सहानुभूतिपूर्ण संरचना

हैमिल्टनियन गतिशील प्रणाली की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि इसकी एक सहानुभूतिपूर्ण संरचना है।लिखना

$\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}$

गतिशील प्रणाली के विकास समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})$

कहाँ

$M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}$

और मैं_N एन × एन पहचान मैट्रिक्स है।

इस संपत्ति का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि एक अतिसूक्ष्म चरण-स्थान की मात्रा संरक्षित है।लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल का प्रमेय इसका एक परिणाम है, जो बताता है कि हैमिल्टनियन प्रणाली पर, एक बंद सतह का चरण-स्थान आयतन समय के विकास के तहत संरक्षित है।

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}$

जहाँ तीसरी समानता विचलन प्रमेय से आती है।

उदाहरण

• गतिशील बिलियर्ड्स
• ग्रह प्रणाली, अधिक विशेष रूप से, एन-बॉडी समस्या।
• विहित सामान्य सापेक्षता

यह भी देखें

• क्रिया-कोण निर्देशांक
• लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल का प्रमेय
• एकीकृत प्रणाली
• सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड
• कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर प्रमेय

अग्रिम पठन

• Almeida, A. M. (1992). Hamiltonian systems: Chaos and quantization. Cambridge monographs on mathematical physics. Cambridge (u.a.: Cambridge Univ. Press)
• Audin, M., (2008). Hamiltonian systems and their integrability. Providence, R.I: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4413-7
• Dickey, L. A. (2003). Soliton equations and Hamiltonian systems. Advanced series in mathematical physics, v. 26. River Edge, NJ: World Scientific.
• Treschev, D., & Zubelevich, O. (2010). Introduction to the perturbation theory of Hamiltonian systems. Heidelberg: Springer
• Zaslavsky, G. M. (2007). The physics of chaos in Hamiltonian systems. London: Imperial College Press.

बाहरी संबंध

• James Meiss (ed.). "Hamiltonian Systems". Scholarpedia.