जेट बंडल

"Jet space" redirects here. Not to be confused with space jet.

विभेदक टोपोलॉजी में, जेट बंडल एक निश्चित निर्माण है जो किसी दिए गए चिकने फाइबर बंडल से एक नया चिकना मैनिफोल्ड फाइबर बंडल बनाता है। यह एक फाइबर बंडल के फाइबर बंडल # अनुभागों पर एक अपरिवर्तनीय रूप में अंतर समीकरण लिखना संभव बनाता है। जेट (गणित) को टेलर विस्तार के समन्वय मुक्त संस्करणों के रूप में भी देखा जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, जेट बंडलों को चार्ल्स एह्रेसमैन के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, और एली कार्टन की विधि (कार्टन की समतुल्यता विधि) पर एक अग्रिम थे, नए पेश किए गए औपचारिक चर पर विभेदक रूप की शर्तों को लागू करके व्युत्पन्न के साथ ज्यामितीय रूप से निपटने के लिए। जेट बंडलों को कभी-कभी स्प्रे कहा जाता है, हालांकि स्प्रे (गणित) आमतौर पर संबंधित बंडल पर प्रेरित संबंधित वेक्टर क्षेत्र को विशेष रूप से संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, फिन्सलर कई गुना पर जियोडेसिक स्प्रे ।)

1980 के दशक की शुरुआत से, जेट बंडल नक्शों के यौगिक से जुड़ी घटनाओं का वर्णन करने के लिए एक संक्षिप्त तरीके के रूप में प्रकट हुए हैं, विशेष रूप से वे जो विविधताओं के कैलकुलस से जुड़े हैं। नतीजतन, जेट बंडल को अब सहसंयोजक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत के लिए सही डोमेन के रूप में पहचाना जाता है और इस दृष्टिकोण का उपयोग करके क्षेत्रों के सामान्य सापेक्षता योगों में बहुत काम किया जाता है।

जेट्स

Main article: Jet (mathematics)

मान लीजिए एम एक एम-आयामी कई गुना है और वह (ई, π, एम) एक फाइबर बंडल है। p ∈ M के लिए, मान लीजिए Γ(p) उन सभी स्थानीय अनुभागों के समुच्चय को निरूपित करता है जिनके डोमेन में p है। होने देना $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ एक बहु-अनुक्रमणिका (गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक m-tuple, जरूरी नहीं कि आरोही क्रम में हो), फिर परिभाषित करें:

${\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}$

स्थानीय अनुभागों σ, η ∈ Γ(p) को समान r-जेट को p पर परिभाषित करें यदि

$\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.$

दो नक्शों में समान r-जेट वाला संबंध एक तुल्यता संबंध है। इस संबंध के तहत एक आर-जेट एक समकक्ष वर्ग है, और प्रतिनिधि σ वाले आर-जेट को निरूपित किया जाता है $j_{p}^{r}\sigma$. पूर्णांक r को जेट का 'आदेश' भी कहा जाता है, p इसका 'स्रोत' है और σ(p) इसका 'लक्ष्य' है।

जेट कई गुना

π का r-th जेट मैनिफोल्ड सेट है

$J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.$

हम अनुमानों को परिभाषित कर सकते हैं उदा_rऔर π_r,0 द्वारा क्रमशः स्रोत और लक्ष्य प्रक्षेपण कहा जाता है

${\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}$

यदि 1 ≤ k ≤ r, तो 'k-जेट प्रोजेक्शन' फ़ंक्शन π है_r,kद्वारा परिभाषित

${\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}$

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि π_r= पी o π_r,0 और यह कि यदि 0 ≤ m ≤ k, तो π_r,m= पी_k,m o π_r,k. π को मानना ​​पारंपरिक है_r,rजे पर पहचान समारोह के रूप में^r(π) और J की पहचान करने के लिए⁰(π) ई के साथ।

कार्य उदा_r,k, पाई_r,0 और π_rहैं स्मूथ फंक्शन#स्मूथनेस विशेषण सबमर्सन (गणित)।

ई पर एक समन्वय प्रणाली जे पर एक समन्वय प्रणाली उत्पन्न करेगी^आर(π). चलो (यू, यू) ई पर एक अनुकूलित समन्वय चार्ट बनें, जहां यू = (एक्स^मैं, यू^α). 'प्रेरित समन्वय चार्ट (यू^आर, यू^आर)' ऑन जे^आर(π) द्वारा परिभाषित किया गया है

${\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$

कहां

${\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}$

और यह $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ व्युत्पन्न निर्देशांक के रूप में जाना जाने वाला कार्य:

${\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}$

ई पर अनुकूलित चार्ट (यू, यू) के एक एटलस को देखते हुए, चार्ट के संबंधित संग्रह (यू^आर, यू^r) एक परिमित-आयामी C है^∞ जे पर एटलस^आर(π).

जेट बंडल

चूंकि प्रत्येक पर एटलस है $J^{r}(\pi )$ एक कई गुना, ट्रिपल परिभाषित करता है$(J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))$,$(J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)$और$(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$सभी फाइबरयुक्त कई गुना परिभाषित करते हैं। विशेष रूप से, अगर$(E,\pi ,M)$एक फाइबर बंडल, ट्रिपल है$(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$π के r-वें जेट बंडल को परिभाषित करता है।

यदि W ⊂ M एक खुला सबमेनिफोल्ड है, तो

$J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,$

यदि पी ∈ एम, तो फाइबर $\pi _{r}^{-1}(p)\,$ निरूपित किया जाता है $J_{p}^{r}(\pi )$.

मान लीजिए σ π का ​​एक स्थानीय खंड है जिसका डोमेन W ⊂ M है। 'σ का r-th जेट प्रवर्धन' मानचित्र है $j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )$ द्वारा परिभाषित

$(j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,$

ध्यान दें कि $\pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}$, इसलिए $j^{r}\sigma$ वास्तव में एक खंड है। स्थानीय निर्देशांक में, $j^{r}\sigma$ द्वारा दिया गया है

$\left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,$

हम पहचानते हैं$j^{0}\sigma$साथ $\sigma$ .

बीजगणितीय-ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य

अनुभागों के शीफ का एक स्वतंत्र रूप से प्रेरित निर्माण $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$दिया हुआ है।

एक विकर्ण मानचित्र पर विचार करें ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$, जहां चिकना कई गुना $M$ द्वारा स्थानीय रूप से रिंग किया गया स्थान है $C^{k}(U)$ प्रत्येक खुले के लिए $U$. होने देना ${\mathcal {I}}$ के आदर्श शेफ बनें $\Delta _{n}(M)$, समान रूप से चलो ${\mathcal {I}}$ चिकने रोगाणु (गणित) का शीफ ​​(गणित) हो जो लुप्त हो जाता है $\Delta _{n}(M)$ सबके लिए $0<n\leq k$. भागफल शीफ का प्रतिलोम छवि फ़ंक्टर ${\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)$ से ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ को $M$ द्वारा $\Delta _{n}$ के-जेट्स का शीफ ​​है। विहित समावेशन द्वारा दिए गए इंजेक्शन के अनुक्रम की सीधी सीमा ${\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}$ ढेरों का, अनंत जेट शीफ को जन्म देता है ${\mathcal {J}}^{\infty }(TM)$. निरीक्षण करें कि प्रत्यक्ष सीमा निर्माण द्वारा यह एक फ़िल्टर्ड रिंग है।

उदाहरण

यदि π तुच्छ बंडल है (M × 'R', pr₁, एम), तो पहले जेट बंडल के बीच एक विहित भिन्नता है $J^{1}(\pi )$ और टी * एम × 'आर'। इस भिन्नता का निर्माण करने के लिए, प्रत्येक σ के लिए $\Gamma _{M}(\pi )$ लिखो ${\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,$.

तब, जब भी p ∈ M

$j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,$

नतीजतन, मैपिंग

${\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}$

अच्छी तरह से परिभाषित है और स्पष्ट रूप से इंजेक्शन है। निर्देशांक में इसे लिखने से पता चलता है कि यह एक भिन्नता है, क्योंकि यदि (xⁱ, u) M × 'R' पर निर्देशांक हैं, जहाँ u = id है_R पहचान निर्देशांक है, तो व्युत्पन्न निर्देशांक यू_iजे पर¹(π) निर्देशांक ∂ के संगत है_i टी * एम पर।

इसी तरह, यदि π तुच्छ बंडल है ('R' × M, pr₁, आर), तो उनके बीच एक विहित भिन्नता मौजूद है $J^{1}(\pi )$और आर × 'टीएम'।

संपर्क संरचना

अंतरिक्ष जे^r(π) एक प्राकृतिक वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) वहन करता है, यानी स्पर्शरेखा बंडल TJ का एक उप-बंडल^r(π)), जिसे कार्टन वितरण कहा जाता है। कार्टन वितरण सभी स्पर्शरेखा विमानों द्वारा होलोनोमिक वर्गों के रेखांकन तक फैला हुआ है; यानी फॉर्म जे के सेक्शन^rφ φ के लिए π का ​​एक भाग।

कार्टन वितरण का सर्वनाश J पर एक-रूप का एक स्थान है|विभेदक एक-रूप जिसे संपर्क रूप कहा जाता है^आर(π). जे पर अंतर एक-रूपों का स्थान^r(π) द्वारा दर्शाया जाता है $\Lambda ^{1}J^{r}(\pi )$ और संपर्क प्रपत्रों के स्थान को द्वारा निरूपित किया जाता है $\Lambda _{C}^{r}\pi$. एक रूप एक संपर्क रूप है, बशर्ते इसका पुलबैक (अंतर ज्यामिति) प्रत्येक दीर्घीकरण के साथ शून्य हो। दूसरे शब्दों में, $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ एक संपर्क फ़ॉर्म है अगर और केवल अगर

$\left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0$

एम पर π के सभी स्थानीय वर्गों के लिए।

कार्टन वितरण जेट रिक्त स्थान पर मुख्य ज्यामितीय संरचना है और आंशिक अंतर समीकरणों के ज्यामितीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। कार्टन वितरण पूरी तरह से गैर-पूर्णांकीय हैं। विशेष रूप से, वे वितरण (अंतर ज्यामिति) नहीं हैं। कार्टन वितरण का आयाम जेट स्थान के क्रम के साथ बढ़ता है। हालाँकि, अनंत जेट्स के स्थान पर J^∞ कार्टन वितरण समावेशी और परिमित-आयामी हो जाता है: इसका आयाम बेस मैनिफोल्ड एम के आयाम के साथ मेल खाता है।

उदाहरण

मामले पर विचार करें (ई, π, एम), जहां ई ≃ 'आर'² और एम ≃ 'आर'। फिर, (जे¹(π), π, M) पहले जेट बंडल को परिभाषित करता है, और इसे (x, u, u द्वारा समन्वित किया जा सकता है₁), कहां

${\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}$

सभी p ∈ M और σ in Γ के लिए_p(पाई)। जे पर एक सामान्य 1-फॉर्म¹(π) रूप लेता है

$\theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,$

जी में एक खंड σ_p(π) का पहला दीर्घीकरण होता है

$j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).$

इसलिए, (जे¹σ)*θ की गणना इस प्रकार की जा सकती है

${\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}$

यह सभी वर्गों σ के लिए गायब हो जाएगा अगर और केवल अगर c = 0 और a = −bσ′(x)। इसलिए, θ = b(x, u, u₁) मैं₀आवश्यक रूप से मूल संपर्क फ़ॉर्म θ का गुणक होना चाहिए₀ = डु - यू₁डीएक्स। दूसरे जेट स्पेस की ओर बढ़ते हुए जे²(π) अतिरिक्त निर्देशांक u के साथ₂, ऐसा है कि

$u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,$

एक सामान्य 1-रूप में निर्माण होता है

$\theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,$

यह एक संपर्क फ़ॉर्म है अगर और केवल अगर

${\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}$

जिसका अर्थ है कि e = 0 और a = −bσ′(x) − cσ′′(x). इसलिए, θ एक संपर्क फ़ॉर्म है अगर और केवल अगर

$\theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},$

कहाँ θ₁ = से₁ - में₂dx अगला मूल संपर्क फ़ॉर्म है (ध्यान दें कि यहाँ हम फॉर्म θ की पहचान कर रहे हैं₀ इसके पुल-बैक के साथ $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ एक्स²(π))।

सामान्य रूप से, x, u ∈ 'R', J पर एक संपर्क फ़ॉर्म प्रदान करना^r+1(π) को बुनियादी संपर्क रूपों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है

$\theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,$

कहां

$u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.$

समान तर्क सभी संपर्क रूपों के पूर्ण लक्षण वर्णन की ओर ले जाते हैं।

स्थानीय निर्देशांकों में, प्रत्येक संपर्क J पर एक-रूप होता है^r+1(π) को एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है

$\theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }$

चिकने गुणांक के साथ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ बुनियादी संपर्क रूपों की

$\theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,$

|मैं| संपर्क प्रपत्र के 'आदेश' के रूप में जाना जाता है $\theta _{i}^{\alpha }$. ध्यान दें कि जे पर संपर्क फ़ॉर्म^r+1(π) के पास ज़्यादा से ज़्यादा r ऑर्डर हैं। संपर्क प्रपत्र π के उन स्थानीय वर्गों का लक्षण वर्णन प्रदान करते हैं_r+1जो कि π के खंडों का विस्तार है।

माना ψ ∈ Γ_W(पाई_r+1), तो ψ = जे^r+1σ जहां σ ∈ Γ_W(π) अगर और केवल अगर $\psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,$

वेक्टर फ़ील्ड्स

कुल स्थान E पर एक सामान्य सदिश क्षेत्र, द्वारा समन्वित $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$, है

$V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,$

एक सदिश क्षेत्र को क्षैतिज कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी लंबवत गुणांक गायब हो जाते हैं, यदि $\phi ^{\alpha }$ = 0।

एक सदिश क्षेत्र को लंबवत कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी क्षैतिज गुणांक गायब हो जाते हैं, यदि ρ^{मैं </सुप> = 0।}

नियत (x, u) के लिए, हम पहचान करते हैं

$V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$

निर्देशांक (x, u, ρ^मैं, एफ^α), फाइबर टी में एक तत्व के साथ_xuE में TE के ऊपर (x, u) को 'TE में एक स्पर्शरेखा सदिश' कहा जाता है। अनुभाग

${\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}$

के साथ E पर सदिश क्षेत्र कहलाता है

$V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}$

और ψ Γ (TE) में।

जेट बंडल जे^r(π) द्वारा समन्वित है $(x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,$. नियत (x, u, w) के लिए पहचान कीजिए

$V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}$

निर्देशांक होना

$\left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),$

फाइबर में एक तत्व के साथ $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ टीजे का^r(π) ओवर (x, u, w) ∈ J^r(π), जिसे 'TJ में एक स्पर्शरेखा सदिश' कहा जाता है^आर(π)। यहां,

$v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }$

जे पर वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं^आर(π). अनुभाग

${\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}$

'जे' पर एक सदिश क्षेत्र है^r(π), और हम कहते हैं $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$

आंशिक अंतर समीकरण

चलो (ई, π, एम) एक फाइबर बंडल बनें। π पर एक 'आर-वाँ क्रम आंशिक अंतर समीकरण' जेट मैनिफोल्ड जे का एक बंद मैनिफोल्ड एम्बेडिंग सबमनीफोल्ड एस है^आर(π). एक समाधान एक स्थानीय खंड σ ∈ Γ है_W(π) संतोषजनक $j_{p}^{r}\sigma \in S$एम में सभी पी के लिए।

प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण

माना π तुच्छ बंडल है (R² × R, pr₁, आर²) वैश्विक निर्देशांक के साथ (x^{1</सुप>, एक्स2</सुप>, यू1</सुप>). फिर नक्शा F : J1(π) → R द्वारा परिभाषित}

$F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}$

विभेदक समीकरण को जन्म देता है

$S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}$

जिसे लिखा जा सकता है

${\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.$

विशेष

${\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}$

द्वारा दी गई पहली लम्बाई है

$j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)$

और इस अवकल समीकरण का एक हल है, क्योंकि

${\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}$

इसलिए $j_{p}^{1}\sigma \in S$ प्रत्येक p ∈ 'R' के लिए^{2</उप>।}

जेट लम्बाई

एक स्थानीय भिन्नता ψ : जे^आर(π) → जे^r(π) आदेश r के संपर्क परिवर्तन को परिभाषित करता है यदि यह संपर्क आदर्श को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि यदि θ J पर कोई संपर्क फ़ॉर्म है^r(π), तो ψ*θ भी एक संपर्क फ़ॉर्म है।

सदिश क्षेत्र V द्वारा उत्पन्न प्रवाह^r जेट स्पेस पर J^r(π) संपर्क परिवर्तनों का एक-पैरामीटर समूह बनाता है यदि और केवल यदि झूठ व्युत्पन्न ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ किसी भी संपर्क फ़ॉर्म का θ संपर्क आदर्श को संरक्षित करता है।

आइए पहले आदेश मामले से शुरू करें। एक सामान्य सदिश क्षेत्र V पर विचार करें¹ वह जे¹(π), द्वारा दिया गया

$V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.$

हम अब आवेदन करते हैं ${\mathcal {L}}_{V^{1}}$ बुनियादी संपर्क प्रपत्रों के लिए $\theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},$ और प्राप्त करने के लिए उनके निर्देशांक के संदर्भ में कार्यों के बाहरी व्युत्पन्न का विस्तार करें:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}$

इसलिए, वी¹ एक संपर्क रूपांतरण निर्धारित करता है यदि और केवल यदि dx के गुणांक^{मैं और $du_{i}^{k}$ सूत्र में लुप्त हो जाते हैं। बाद की आवश्यकताएं संपर्क शर्तों को दर्शाती हैं}

${\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0$

पूर्व की आवश्यकताएं वी में पहले व्युत्पन्न शब्दों के गुणांक के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करती हैं¹:

$\chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)$

कहां

${\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}$

कुल डेरिवेटिव डी के ज़ीरोथ ऑर्डर ट्रंकेशन को दर्शाता है_i.

इस प्रकार, संपर्क की स्थिति विशिष्ट रूप से किसी भी बिंदु या संपर्क वेक्टर क्षेत्र के विस्तार को निर्धारित करती है। यानी अगर ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ इन समीकरणों को संतुष्ट करता है, वी^r को J पर सदिश क्षेत्र में V का r-वाँ दीर्घीकरण कहा जाता है^आर(π)।

किसी विशेष उदाहरण पर लागू होने पर इन परिणामों को सबसे अच्छा समझा जाता है। इसलिए, आइए हम निम्नलिखित की जांच करें।

उदाहरण

मामले पर विचार करें (ई, π, एम), जहां ई ≅ 'आर'² और एम ≃ 'आर'। फिर, (जे¹(π), π, E) पहले जेट बंडल को परिभाषित करता है, और इसे (x, u, u द्वारा समन्वित किया जा सकता है₁), कहां

${\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}$

सभी p ∈ M और σ in Γ के लिए_p(π)। जे पर एक संपर्क फ़ॉर्म¹(π) का रूप है

$\theta =du-u_{1}dx$

E पर सदिश V पर विचार करें, जिसका रूप है

$V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}$

फिर, इस सदिश क्षेत्र का J तक पहला विस्तार¹(π) है

${\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}$

यदि हम अब इस दीर्घ सदिश क्षेत्र के संबंध में संपर्क प्रपत्र के लाई डेरिवेटिव को लेते हैं, ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ हमने प्राप्त किया

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}$

इसलिए, संपर्क आदर्श के संरक्षण के लिए, हमें आवश्यकता होती है

$1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.$

और इसलिए जे पर वेक्टर फ़ील्ड के लिए वी की पहली लम्बाई¹(π) है

$V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.$

आइए, J पर सदिश क्षेत्र में V के दूसरे दीर्घीकरण की भी गणना करें²(π). हमारे पास है $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ जे पर निर्देशांक के रूप में²(π). इसलिए, दीर्घ सदिश का रूप है

$V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$

संपर्क सूत्र हैं

${\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}$

संपर्क आदर्श को बनाए रखने के लिए, हमें आवश्यकता है

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}$

अब θ के पास u नहीं है₂ निर्भरता। इसलिए, इस समीकरण से हम ρ के लिए सूत्र चुनेंगे, जो आवश्यक रूप से वही परिणाम होगा जो हमने V के लिए पाया था^{1</उप>। इसलिए, समस्या सदिश क्षेत्र V को लंबा करने के समान है1 से जे2(π). कहने का मतलब यह है कि हम दीर्घ सदिश क्षेत्रों, r बार के संबंध में संपर्क रूपों के लाई डेरिवेटिव को पुनरावर्ती रूप से लागू करके सदिश क्षेत्र का r-वाँ दीर्घीकरण उत्पन्न कर सकते हैं। तो हमारे पास}

$\rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}$

इसलिए

${\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}$

इसलिए, V के संबंध में दूसरे संपर्क फ़ॉर्म का लाई डेरिवेटिव² है

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}$

इसलिए, के लिए ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ संपर्क आदर्श को बनाए रखने के लिए, हमें चाहिए

$3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.$

और इसलिए J पर एक सदिश क्षेत्र में V का दूसरा विस्तार²(π) है

$V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$

ध्यान दें कि वी में दूसरी व्युत्पन्न शर्तों को छोड़कर वी की पहली लम्बाई को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है², या J पर वापस प्रक्षेपित करके¹(पी).

अनंत जेट स्थान

अनुमानों के अनुक्रम की व्युत्क्रम सीमा $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ अनंत जेट स्पेस को जन्म देता है जे^∞(π). एक बिंदु $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ π के खंडों का समतुल्य वर्ग है जिसमें k के सभी मानों के लिए σ के समान k-जेट है। प्राकृतिक प्रक्षेपण π_∞ एमएपीएस $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ पी में।

केवल निर्देशांक के संदर्भ में सोचकर, जे^∞(π) एक अनंत-आयामी ज्यामितीय वस्तु प्रतीत होती है। वास्तव में, जे पर एक अलग-अलग संरचना को पेश करने का सबसे आसान तरीका^∞(π), अवकलनीय चार्टों पर निर्भर न होकर, क्रमविनिमेय बीजगणित पर अवकलन कलन द्वारा दिया जाता है। अनुमानों के अनुक्रम के लिए दोहरी $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ कई गुना इंजेक्शन का क्रम है $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ क्रमविनिमेय बीजगणित का। आइए निरूपित करें $C^{\infty }(J^{k}(\pi ))$ बस द्वारा ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$. अब सीधे सीमा ले लो ${\mathcal {F}}(\pi )$ की ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$'एस। यह एक क्रमविनिमेय बीजगणित होगा, जिसे ज्यामितीय वस्तु J पर सुचारू कार्य बीजगणित माना जा सकता है^∞(π). उसका अवलोकन करो ${\mathcal {F}}(\pi )$, एक सीधी सीमा के रूप में पैदा होने के कारण, एक अतिरिक्त संरचना होती है: यह एक फ़िल्टर किया गया क्रमविनिमेय बीजगणित है।

मोटे तौर पर बोलना, एक ठोस तत्व $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ हमेशा किसी न किसी का होगा ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, इसलिए यह परिमित-आयामी कई गुना जे पर एक सहज कार्य है^k(π) सामान्य अर्थ में।

असीम रूप से लंबे समय तक पीडीई

PDEs E ⊆ J की k-वीं क्रम प्रणाली दी गई है^k(π), E पर लुप्त होने का संग्रह I(E) J पर सहज कार्य करता है^∞(π) बीजगणित में एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, और इसलिए प्रत्यक्ष सीमा में ${\mathcal {F}}(\pi )$ भी।

इसके सभी तत्वों पर लागू कुल व्युत्पन्न की सभी संभावित रचनाओं को जोड़कर I(E) को बढ़ाएं। इस तरह हमें एक नया आदर्श I मिलता है ${\mathcal {F}}(\pi )$ जो अब टोटल डेरिवेटिव लेने की प्रक्रिया के तहत बंद है। सबमेनिफोल्ड ई_(∞) जे का^∞(π) I द्वारा काटे गए को E का 'अनंत दीर्घीकरण' कहा जाता है।

ज्यामितीय रूप से, ई_(∞) 'ई' के औपचारिक समाधानों की बहुविध है। एक बिंदु $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ई. का_(∞) आसानी से एक खंड σ द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसका के-जेट का ग्राफ बिंदु पर ई के स्पर्शरेखा है $j_{p}^{k}(\sigma )$ स्पर्शरेखा के मनमाने ढंग से उच्च क्रम के साथ।

विश्लेषणात्मक रूप से, यदि E को φ = 0 द्वारा दिया जाता है, तो एक औपचारिक समाधान को एक बिंदु p में सेक्शन σ के टेलर गुणांक के सेट के रूप में समझा जा सकता है जो टेलर श्रृंखला को गायब कर देता है $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ बिंदु पर पी।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि I के क्लोजर गुण का अर्थ है कि E_(∞) अनंत-क्रम संपर्क संरचना के लिए स्पर्शरेखा है ${\mathcal {C}}$ जे पर^∞(π), ताकि प्रतिबंधित करके ${\mathcal {C}}$ यू_(∞) किसी को विविधता मिलती है $(E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})$, और संबद्ध कठिनाई # विनोग्रादोव अनुक्रम | विनोग्रादोव (सी-स्पेक्ट्रल) अनुक्रम का अध्ययन कर सकते हैं।

टिप्पणी

इस लेख में एक बंडल के स्थानीय वर्गों के जेट्स को परिभाषित किया गया है, लेकिन कार्यों के जेट्स को परिभाषित करना संभव है: एम → एन, जहां एम और एन कई गुना हैं; f का जेट तब सेक्शन के जेट से मेल खाता है

जीआर_f: एम → एम × एन

जीआर_f(पी) = (पी, एफ (पी))

(जीआर_fतुच्छ बंडल (M × N, π) के 'फ़ंक्शन f का ग्राफ़') के रूप में जाना जाता है₁, एम)। हालाँकि, यह प्रतिबंध सिद्धांत को सरल नहीं करता है, क्योंकि π की वैश्विक तुच्छता π की वैश्विक तुच्छता का संकेत नहीं देती है।₁.

यह भी देखें

• जेट समूह
• जेट (गणित)
• Lagrangian प्रणाली
• परिवर्तनशील द्विजटिल

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंतर टोपोलॉजी
• विविधताओं की गणना
• चिकना कई गुना
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• एक प्रपत्र
• संपर्क करें प्रपत्र
• आंशिक विभेदक समीकरण
• स्पर्शरेखा वेक्टर
• कई गुना बंद
• उलटा सीमा
• क्रमविनिमेय बीजगणित पर अंतर कलन
• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• difity

आगे की पढाई

• Ehresmann, C., "Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie." Geometrie Differentielle, Colloq. Inter. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Saunders, D. J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Olver, P. J., "Equivalence, Invariants and Symmetry", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1