न्यूनतम युग्मन

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, न्यूनतम युग्मन क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी) के बीच एक युग्मन को संदर्भित करता है जिसमें केवल विद्युत आवेश वितरण शामिल होता है और आवेश वितरण के उच्च बहुध्रुव क्षण नहीं होते हैं। यह न्यूनतम युग्मन, उदाहरण के लिए, पाउली समीकरण के विपरीत है, जिसमें लैग्रैंगियन यांत्रिकी में सीधे एक इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय क्षण शामिल होता है।

बिजली का गतिविज्ञान

इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, सभी विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन के लिए न्यूनतम युग्मन पर्याप्त है। कणों के उच्च क्षण न्यूनतम युग्मन और गैर-शून्य स्पिन (भौतिकी) के परिणाम हैं।

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में गैर-सापेक्ष आवेशित कण

कार्तीय निर्देशांक में, एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक गैर-सापेक्ष शास्त्रीय कण का Lagrangian यांत्रिकी#Electromagnetism है (एसआई इकाइयों में):

${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi$

कहाँ q कण का विद्युत आवेश है, φ विद्युत क्षमता है, और A_i चुंबकीय वेक्टर क्षमता के घटक हैं जिन पर सभी स्पष्ट रूप से निर्भर हो सकते हैं $x_{i}$ और $t$.

यह Lagrangian, Euler-Lagrange समीकरण के साथ मिलकर, लोरेन्ट्ज़ बल कानून का उत्पादन करता है

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$

और इसे न्यूनतम युग्मन कहा जाता है।

ध्यान दें कि गेज फिक्सिंग के दौरान स्केलर क्षमता और वेक्टर क्षमता के मान बदल जाएंगे, और Lagrangian स्वयं अतिरिक्त शर्तों को भी उठाएगा, लेकिन Lagrangian में अतिरिक्त शर्तें एक स्केलर फ़ंक्शन के कुल समय व्युत्पन्न तक जोड़ती हैं, और इसलिए अभी भी वही यूलर-लग्रेंज समीकरण उत्पन्न करती हैं।

विहित संवेग किसके द्वारा दिया जाता है

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}$

ध्यान दें कि विहित संवेग गेज व्युत्क्रम नहीं हैं, और शारीरिक रूप से मापने योग्य नहीं हैं। हालाँकि, गतिज गति

$P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}$

गेज अपरिवर्तनीय और शारीरिक रूप से मापने योग्य हैं।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी, लैग्रैंगियन के लीजेंड्रे परिवर्तन के रूप में, इसलिए है

${\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi$

यह समीकरण अक्सर क्वांटम यांत्रिकी में प्रयोग किया जाता है।

एक गेज परिवर्तन के तहत,

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$

जहाँ f('r',t) स्थान और समय का कोई भी अदिश फलन है, पूर्वोक्त लैग्रैन्जियन, कैनोनिकल मोमेंटा और हैमिल्टनियन ट्रांसफॉर्म जैसे

$L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$

जो अभी भी उसी हैमिल्टन के समीकरण का उत्पादन करता है:

${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन एक स्थलीय समूह U(1) समूह परिवर्तन से भी गुजरेगा गेज परिवर्तन के दौरान, जिसका तात्पर्य है कि स्थानीय यू (1) परिवर्तनों के तहत सभी भौतिक परिणाम अपरिवर्तनीय होने चाहिए।

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आपेक्षिक आवेशित कण

एक कण के लिए सापेक्षवादी Lagrangian यांत्रिकी (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान m और इलेक्ट्रिक चार्ज q) द्वारा दिया गया है:

${\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)$

इस प्रकार कण का विहित संवेग है

$\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}$

अर्थात्, गतिज संवेग और संभावित संवेग का योग।

वेग के लिए हल करने पर, हम पाते हैं

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}$

तो हैमिल्टनियन है

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi$

इसका परिणाम बल समीकरण (यूलर-लैग्रेंज समीकरण के बराबर) में होता है

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi$

जिससे कोई प्राप्त कर सकता है

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}$

उपरोक्त व्युत्पत्ति वेक्टर कैलकुलस आइडेंटिटी#डॉट उत्पाद नियम का उपयोग करती है:

${\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).$

सापेक्षवादी (गतिज) गति के कार्य के रूप में हैमिल्टनियन के लिए एक समकक्ष अभिव्यक्ति, P = γmẋ(t) = p - qA, है

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V$

इसका फायदा यह है कि गतिज गति P प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है जबकि विहित गति p नही सकता। ध्यान दें कि हैमिल्टनियन (कुल ऊर्जा) को गतिज ऊर्जा के योग के रूप में देखा जा सकता है # कठोर पिंडों की सापेक्ष गतिज ऊर्जा | सापेक्ष ऊर्जा (गतिज + आराम), E = γmc², साथ ही स्थितिज ऊर्जा, V = eφ.

महंगाई

मुद्रास्फीति (ब्रह्मांड विज्ञान) के अध्ययन में, एक अदिश क्षेत्र का न्यूनतम युग्मन आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के न्यूनतम युग्मन को संदर्भित करता है। इसका मतलब है कि मुद्रास्फीति क्षेत्र के लिए कार्रवाई $\varphi$ अदिश वक्रता से युग्मित नहीं है। गुरुत्वाकर्षण के लिए इसका एकमात्र युग्मन लोरेंत्ज़ सहप्रसरण माप (गणित) के लिए युग्मन है ${\sqrt {g}}\,d^{4}x$ मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) से निर्मित (प्लैंक इकाइयों में):

$S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)$

कहाँ $g:=\det g_{\mu \nu }$, और गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का उपयोग करना।