मोटी हो जाओ

सार बीजगणित में, एक सेमिरिंग एक रिंग (बीजगणित) के समान एक बीजगणितीय संरचना है, लेकिन आवश्यकता के बिना प्रत्येक तत्व में एक योगात्मक व्युत्क्रम होना चाहिए।

रिग शब्द का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है- यह एक मजाक के रूप में उत्पन्न हुआ, यह सुझाव देता है कि रिग नकारात्मक तत्वों के बिना छल्ले हैं, rng (बीजगणित) का उपयोग करने के समान है जिसका अर्थ गुणक पहचान के बिना एक अंगूठी है।

उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग्स अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है, बीजगणितीय विविधता को टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना संरचनाओं से जोड़ता है।

परिभाषा

एक सेमिरिंग एक सेट है (गणित) $R$ दो बाइनरी ऑपरेशन से लैस $\,+\,$ और $\,\cdot ,\,$ जोड़ और गुणा कहा जाता है, जैसे कि:

• $(R,+)$ तत्समक तत्व के साथ क्रमविनिमेय मोनॉइड है $0$:
  • $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • $0+a=a=a+0$
  • $a+b=b+a$
• $(R,\,\cdot \,)$ पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड है $1$:
  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • $1\cdot a=a=a\cdot 1$
• गुणन बाएँ और दाएँ योग पर वितरण नियम:
  • $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
  • $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$
• द्वारा गुणा $0$ संहारक तत्व $R$:
  • $0\cdot a=0=a\cdot 0$

प्रतीक $\cdot$ आमतौर पर अंकन से छोड़ा जाता है; वह है, $a\cdot b$ अभी लिखा है $ab.$ इसी तरह, संचालन का एक क्रम पारंपरिक है, जिसमें $\,\cdot \,$ पहले लगाया जाता है $\,+\,$; वह है, $a+bc$ है $a+(bc).$ एक रिंग (बीजगणित) की तुलना में, एक सेमीरिंग अतिरिक्त के तहत व्युत्क्रम की आवश्यकता को छोड़ देता है; अर्थात्, इसके लिए केवल क्रमविनिमेय मोनॉइड की आवश्यकता होती है, क्रमविनिमेय समूह की नहीं। एक अंगूठी में, योगात्मक व्युत्क्रम आवश्यकता गुणक शून्य के अस्तित्व को दर्शाती है, इसलिए यहां इसे स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। यदि एक सेमिरिंग का गुणन क्रमविनिमेय है, तो इसे क्रमविनिमेय सेमिरिंग कहा जाता है। कुछ लेखक ऐसे हैं जो इस आवश्यकता को छोड़ना पसंद करते हैं कि एक सेमीरिंग में 0 या 1 है। यह बीच की सादृश्यता बनाता है ring और semiring एक ओर और group और semigroup दूसरी ओर अधिक सुचारू रूप से कार्य करें। ये लेखक अक्सर उपयोग करते हैं rig यहां परिभाषित अवधारणा के लिए।

सिद्धांत

क्रमविनिमेय छल्लों पर क्रमविनिमेय छल्लों पर (सहयोगी) बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) के सिद्धांत का सामान्यीकरण सीधे क्रमविनिमेय अर्धवृत्तों पर बीजगणित के सिद्धांत से किया जा सकता है। एक सेमिरिंग जिसमें प्रत्येक तत्व एक योजक बेवकूफ है (यानी, $a+a=a$ सभी तत्वों के लिए $a$) कहा जाता हैidempotent semiring.उदासीन सेमिरिंग सेमीरिंग थ्योरी के लिए विशिष्ट हैं क्योंकि कोई भी इम्पोटेंट सेमिरिंग जो कि एक रिंग भी है, वास्तव में तुच्छ अंगूठी है। कोई आंशिक आदेश परिभाषित कर सकता है $\,\leq \,$ सेटिंग द्वारा एक बेवकूफ सेमिरिंग पर $a\leq b$ जब कभी भी $a+b=b$ (या, समकक्ष, यदि कोई मौजूद है $x$ ऐसा है कि $a+x=b$). इस आदेश के संबंध में सबसे कम तत्व है $0,$ मतलब है कि $0\leq a$ सभी के लिए $a.$ जोड़ और गुणा इस अर्थ में क्रम का सम्मान करते हैं कि $a\leq b$ तात्पर्य $ac\leq bc$ और $ca\leq cb$ और $(a+c)\leq (b+c).$

अनुप्रयोग

$(\max ,+)$ एच> और $(\min ,+)$ रियल पर ट्रॉपिकल सेमीरिंग का उपयोग अक्सर डिस्क्रीट इवेंट सिस्टम पर प्रदर्शन मूल्यांकन में किया जाता है। वास्तविक संख्या तो लागत या आगमन का समय है; अधिकतम ऑपरेशन एक घटना के सभी पूर्वापेक्षाओं के लिए प्रतीक्षा करने के अनुरूप है (इस प्रकार अधिकतम समय लेता है) जबकि न्यूनतम ऑपरेशन सबसे अच्छा, कम खर्चीला विकल्प चुनने में सक्षम होने से मेल खाता है; और + उसी पथ के साथ संचय से मेल खाता है।

सबसे छोटे पथों के लिए फ्लोयड-वॉर्शल एल्गोरिथम इस प्रकार एक संगणना के रूप में सुधारित किया जा सकता है $(\min ,+)$ बीजगणित। इसी तरह, एक छिपे छिपा हुआ मार्कोव मॉडल में एक अवलोकन अनुक्रम के अनुरूप सबसे संभावित राज्य अनुक्रम खोजने के लिए विटरबी एल्गोरिथ्म भी एक गणना के रूप में तैयार किया जा सकता है। $(\max ,\times )$ संभावनाओं पर बीजगणित। ये गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम उनमें से प्रत्येक की गणना करने की तुलना में अधिक कुशलता से शब्दों की एक बड़ी (संभवतः घातीय) संख्या पर मात्राओं की गणना करने के लिए उनके संबंधित सेमीरिंग की वितरण संपत्ति पर भरोसा करते हैं।

उदाहरण

परिभाषा के अनुसार, कोई भी अंगूठी भी एक सेमिरिंग है। सेमीरिंग का एक प्रेरक उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं का समूह है $\mathbb {N}$ (0 (संख्या) सहित) साधारण जोड़ और गुणा के तहत। इसी तरह, गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ और गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सेमीरिंग बनाती हैं। ये सभी सेमीरिंग कम्यूटिव हैं।

सामान्य तौर पर

• किसी दिए गए रिंग के सभी आइडियल (रिंग थ्योरी) का सेट आदर्शों के जोड़ और गुणन के तहत एक आदर्श सेमिरिंग बनाता है।
• कोई भी कितने ज्वाइन और मल्टीप्लिकेशन के तहत एक इम्पोटेंट सेमीरिंग है।
• कोई भी बंधी हुई, वितरणात्मक जाली ज्वाइन और मीट के तहत एक कम्यूटेटिव, इम्पोटेंट सेमीरिंग है।
• विशेष रूप से, एक बूलियन बीजगणित (संरचना) एक ऐसा सेमिरिंग है। एक बूलियन रिंग भी एक सेमीरिंग (वास्तव में, एक रिंग) है, लेकिन यह नीचे की ओर नहीं है addition. ए Boolean semiring एक बूलियन बीजगणित के एक उपसमुच्चय के लिए एक सेमीरिंग आइसोमोर्फिक है।
• एक रिंग में एक सामान्य तिरछा जाली $R$ संचालन गुणन और नाबला के लिए एक आदर्श संगोष्ठी है, जहां बाद के संचालन को परिभाषित किया गया है $a\nabla b=a+b+ba-aba-bab.$
• कोई भी सी-सेमिरिंग भी एक सेमिरिंग है, जहां योग उदासीन है और मनमाना सेटों पर परिभाषित किया गया है।
• किसी भी वितरण श्रेणी में वस्तुओं के आइसोमोर्फिज्म वर्ग, सह-उत्पाद और उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) संचालन के तहत, बर्नसाइड रिग के रूप में जाना जाने वाला एक सेमिरिंग बनाते हैं। बर्नसाइड रिग एक रिंग है अगर और केवल अगर श्रेणी छोटी श्रेणियों की श्रेणी है।

सेट्स की सेमिरिंग

See also: Ring of sets § semiring

एsemiring(सेट का) एक (गैर-खाली) संग्रह है ${\mathcal {S}}$ के सबसेट का $X$ ऐसा है कि <ओल> <ली>$\varnothing \in {\mathcal {S}}.$

• यदि (3) धारण करता है, तब $\varnothing \in {\mathcal {S}}$ अगर और केवल अगर ${\mathcal {S}}\neq \varnothing .$</ली>

अगर $E,F\in {\mathcal {S}}$ तब $E\cap F\in {\mathcal {S}}.$</ली>

अगर $E,F\in {\mathcal {S}}$ तो वहाँ एक दूसरे से अलग सेट की एक परिमित संख्या मौजूद है $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}$ ऐसा है कि $E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.$</ली> </ओल> शर्तें (2) और (3) एक साथ $S\neq \varnothing$ इसका मतलब है $\varnothing \in S.$ इस तरह के सेमीरिंग्स का उपयोग माप सिद्धांत में किया जाता है। सेट के सेमीरिंग का एक उदाहरण आधा खुला, आधा बंद वास्तविक अंतराल (गणित) का संग्रह है $[a,b)\subset \mathbb {R} .$ एsemialgebra याelementary family एक संग्रह है ${\mathcal {S}}$ के सबसेट का $X$ (3) को छोड़कर सेमिरिंग गुणों को संतुष्ट करना:

• अगर $E\in {\mathcal {S}}$ तो वहाँ एक दूसरे से अलग सेट की एक परिमित संख्या मौजूद है $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}$ ऐसा है कि $X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.$

यह अवस्था (3) से अधिक प्रबल है, जिसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है। अगर ${\mathcal {S}}$ एक अर्धबीजगणित है और $E,F\in {\mathcal {S}}$, तो हम लिख सकते हैं $F^{c}=F_{1}\cup ...\cup F_{n}$ अलग करने के लिए $F_{i}\in S$. तब:

$$E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup ...\cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup ...\cup (E\cap F_{n})$$

और हर $E\cap F_{i}\in S$ चूंकि यह चौराहे के नीचे बंद है, और अलग हो गया है क्योंकि वे अलग हो गए हैं $F_{i}$'एस। इसके अलावा हालत सख्ती से मजबूत है: कोई भी $S$ वह एक वलय और अर्धबीजगणित दोनों एक बीजगणित है, इसलिए कोई भी वलय जो बीजगणित नहीं है वह भी एक अर्धबीजगणित नहीं है (उदाहरण के लिए एक अनंत सेट पर परिमित सेट का संग्रह $X$).

विशिष्ट उदाहरण

• The (non-negative) terminating fractions Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "ब" found.in 1:42"): {\displaystyle \frac{\N_0}{b^{\N_0}} := \बाएं\{ mb^{-n} : m, n \in \N_0 \right\}} किसी दिए गए आधार के लिए स्थितीय संकेतन में गणित> बी \ एन। </ गणित> हमारे पास है गणित>\frac{\N_0}{b^{\N_0

\subseteq \frac{\N_0}{c^{\N_0}}</math>‍ अगर $b$ विभाजित $c.$ आगे, ${\frac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\cup \left(-{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\right)$ आधार के सभी समाप्ति भिन्नों का वलय है $b,$ और घना सेट है $\mathbb {Q}$ के लिए $|b|>1.$

$\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ जोड़ और गुणा के साथ विस्तारित (और $0\cdot \infty =0$).| एक सेमिरिंग दिया $S,$ वसा मैट्रिक्स $M_{n}(S)$ चौक का $n{\text{ by }}n$ मैट्रिक्स (गणित) सामान्य मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स के मैट्रिक्स गुणन के तहत एक सेमिरिंग बनाते हैं, और मैट्रिक्स की यह सेमीरिंग आम तौर पर गैर-कम्यूटेटिव होती है, भले ही $S$ क्रमविनिमेय हो सकता है। उदाहरण के लिए, गैर-नकारात्मक प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स, $M_{n}(\mathbb {N} ),$ एक मैट्रिक्स सेमीरिंग बनाएं।| अगर $A$ एक कम्यूटेटिव मोनोइड है, सेट $\operatorname {End} (A)$ एंडोमोर्फिज्म का $f:A\to A$ एक सेमिरिंग बनाता है, जहां जोड़ बिंदुवार जोड़ होता है और गुणन कार्य संयोजन होता है। शून्य रूपवाद और पहचान संबंधित तटस्थ तत्व हैं। अगर $A$ प्राकृतिक संख्याओं का योगात्मक मोनॉइड है जिसे हम प्राकृतिक संख्याओं का सेमीरिंग प्राप्त करते हैं $\operatorname {End} (A),$ अगर $A=S^{n}$ साथ $S$ एक सेमिरिंग, हम प्राप्त करते हैं (प्रत्येक आकारिकी को एक मैट्रिक्स से जोड़ने के बाद) वर्ग की सेमिरिंग $n{\text{ by }}n$ में गुणांक के साथ मैट्रिसेस $S,$ और अगर $A$ एक एबेलियन समूह है | (कम्यूटेटिव) समूह, फिर $\operatorname {End} (A)$ एक (आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं) एंडोमोर्फिज्म रिंग है।

|Boolean semiringक्रमविनिमेय सेमिरिंग है $\mathbf {B}$ दो-तत्व बूलियन बीजगणित द्वारा गठित और द्वारा परिभाषित $1+1=1.$ यह निडर हैऔर एक सेमिरिंग का सबसे सरल उदाहरण है जो रिंग नहीं है। दो सेट दिए गए हैं $X$ और $Y,$ के बीच द्विआधारी संबंध $X$ और $Y$ द्वारा अनुक्रमित मेट्रिसेस के अनुरूप $X$ और $Y$ बूलियन सेमीरिंग में प्रविष्टियों के साथ, मैट्रिक्स जोड़ संबंधों के संघ से मेल खाता है, और मैट्रिक्स गुणन संबंधों की संरचना से मेल खाता है। | एक सेट दिया $U,$ द्विआधारी संबंधों का सेट खत्म $U$ संघ (संबंधों के सेट के रूप में) और गुणा संबंधों की संरचना के साथ एक सेमिरिंग है। सेमीरिंग का शून्य रिक्त संबंध है और इसकी इकाई पहचान संबंध है।ये संबंध मैट्रिक्स सेमीरिंग (वास्तव में, मैट्रिक्स सेमीअलजेब्रा) द्वारा अनुक्रमित वर्ग मैट्रिसेस के अनुरूप हैं $U$ बूलियन सेमीरिंग में प्रविष्टियों के साथ, और फिर जोड़ और गुणा सामान्य मैट्रिक्स ऑपरेशन हैं, जबकि शून्य और इकाई सामान्य शून्य मैट्रिक्स और पहचान मैट्रिक्स हैं। एस प्राकृतिक संख्या गुणांक के साथ, निरूपित $\mathbb {N} [x],$ एक क्रमविनिमेय सेमिरिंग बनाता है। वास्तव में, यह एकल जनरेटर पर मुक्त वस्तु कम्यूटेटिव सेमीरिंग है $\{x\}.$ एस को विभिन्न प्रकार से परिभाषित किया गया है। max-plus }} मोटी हो जाओ $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}$के साथ एक क्रमविनिमेय, idempotent Semiring है $\max(a,b)$ सेमिरिंग जोड़ के रूप में सेवारत (पहचान $-\infty$) और साधारण जोड़ (पहचान 0) सेमीरिंग गुणन के रूप में कार्य करता है। एक वैकल्पिक सूत्रीकरण में, उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग है $\mathbb {R} \cup \{\infty \},$ और न्यूनतम अतिरिक्त ऑपरेशन के रूप में अधिकतम की जगह लेता है। एक संबंधित संस्करण है $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ अंतर्निहित सेट के रूप में। किसी दिए गए अनंतता बुनियादी संख्या छोटा है, कार्डिनल जोड़ और गुणा के तहत एक सेमिरिंग है। का वर्ग all cardinals एक आंतरिक मॉडल के रूप में (आंतरिक मॉडल) कार्डिनल जोड़ और गुणन के तहत एक (वर्ग) सेमीरिंग। |probability semiringसामान्य जोड़ और गुणा के तहत गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का।पर $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ द्वारा दिए गए जोड़ के साथ

$$x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)$$

गुणन के साथ $\,+,\,$ शून्य तत्व $+\infty ,$ और इकाई तत्व $0.$| शून्य वस्तु के रूप में खाली वर्ग के साथ संयुक्त वर्ग (गैर-नकारात्मक पूर्णांक आकार के साथ बहुत सी वस्तुओं के समूह जैसे कि प्रत्येक आकार की सूक्ष्म रूप से कई वस्तुएं हैं) का परिवार (समरूपता तुल्यता वर्ग), केवल खाली वर्ग से युक्त वर्ग इकाई के रूप में सेट करें, योग के रूप में वर्गों के संघ को अलग करें, और गुणन के रूप में वर्गों के कार्टेशियन उत्पाद। | जन लुकासिविज़|लुकासिविक्ज़ सेमीरिंग: बंद अंतराल $[0,1]$ अधिकतम तर्कों को लेकर दिए गए जोड़ के साथ ($a+b=\max(a,b)$) और गुणन $ab$ द्वारा दिए गए $\max(0,a+b-1)$ बहु-मूल्यवान तर्क में प्रकट होता है।| एंड्रयू विटर्बी सेमीरिंग को भी बेस सेट पर परिभाषित किया गया है $[0,1]$ और इसके योग के रूप में अधिकतम है, लेकिन इसका गुणन वास्तविक संख्याओं का सामान्य गुणन है। यह संभाव्य विश्लेषण में प्रकट होता है।| एक वर्णमाला (परिमित सेट) Σ दिया गया है, औपचारिक भाषाओं का सेट खत्म हो गया है $\Sigma$ (क्लीन स्टार के सबसेट|$\Sigma ^{*}$) स्ट्रिंग संघनन द्वारा प्रेरित उत्पाद के साथ एक सेमिरिंग है $L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}:w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}$ और भाषाओं के मिलन के रूप में जोड़ (अर्थात समुच्चय के रूप में साधारण मिलन)। इस सेमिरिंग का शून्य खाली सेट (रिक्त भाषा) है और सेमीरिंग की इकाई केवल खाली स्ट्रिंग वाली भाषा है।| पिछले उदाहरण को सामान्य बनाना (देखकर $\Sigma ^{*}$ मुक्त मोनोइड के रूप में $\Sigma$), लेना $M$ कोई भी मोनॉइड होना; शक्ति सेट $\wp (M)$ के सभी उपसमूहों में से $M$ जोड़ और सेट-वार गुणा के रूप में सेट-सैद्धांतिक संघ के तहत एक सेमिरिंग बनाता है: $U\cdot V=\{u\cdot v:u\in U,\ v\in V\}.$| इसी प्रकार यदि $(M,e,\cdot )$ एक मोनोइड है, तो परिमित multiset्स का सेट $M$ एक सेमिरिंग बनाता है। अर्थात्, एक तत्व एक कार्य है $f:M\to \mathbb {N}$; का एक तत्व दिया $M,$ फ़ंक्शन आपको बताता है कि वह तत्व उस मल्टीसेट में कितनी बार होता है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है। योजक इकाई निरंतर शून्य कार्य है। गुणक इकाई फ़ंक्शन मैपिंग है $e$ को $1,$ और अन्य सभी तत्व $M$ को $0.$ राशि द्वारा दिया गया है $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ और उत्पाद द्वारा दिया गया है $(fg)(x)=\sum \{f(y)g(z):y\cdot z=x\}.$ }}

विविधताएं

पूर्ण और निरंतर सेमीरिंग

एक पूर्ण सेमिरिंग एक सेमिरिंग है जिसके लिए योज्य मोनॉइड एक पूर्ण मोनॉइड है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक परिमित योग ऑपरेशन है $\Sigma _{I}$ किसी भी सूचकांक सेट के लिए $I$ और यह कि निम्नलिखित (अनंत) वितरण कानूनों को धारण करना चाहिए:

$$\sum _{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\right),\qquad \sum _{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\right)\cdot a.$$

एक पूर्ण सेमिरिंग के उदाहरण हैं संघ के तहत एक मोनॉइड का पावर सेट और एक पूर्ण सेमीरिंग पर मैट्रिक्स सेमीरिंग।

एक निरंतर सेमिरिंग को उसी तरह परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए अतिरिक्त मोनोइड एक निरंतर मोनोइड होता है। यही है, आंशिक रूप से कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति के साथ आदेश दिया गया है # ऑर्डर किए गए सेटों के लिए सामान्यीकरण, और जिसके लिए अतिरिक्त और गुणन आदेश और सुप्रीम का सम्मान करते हैं। सेमिरिंग $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ सामान्य योग के साथ, गुणा और क्रम बढ़ाया गया एक सतत सेमिरिंग है। कोई भी निरंतर सेमीरिंग पूर्ण है:इसे परिभाषा के भाग के रूप में लिया जा सकता है।

स्टार सेमीरिंग

एक स्टार सेमीरिंग (कभी-कभी वर्तनी स्टारसेमिरिंग) एक अतिरिक्त यूनरी ऑपरेटर के साथ एक सेमीरिंग है ^∗, संतुष्टि देने वाला

$$a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.$$

एक क्लेन बीजगणित एक तारा है जो उदासीन जोड़ और कुछ अतिरिक्त स्वयंसिद्धों के साथ है। वे औपचारिक भाषाओं और नियमित अभिव्यक्तियों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं।

पूरा स्टार सेमीरिंग

एक पूर्ण स्टार सेमिरिंग में, स्टार ऑपरेटर सामान्य क्लेन स्टार की तरह अधिक व्यवहार करता है: एक पूर्ण सेमिरिंग के लिए हम क्लीन स्टार की सामान्य परिभाषा देने के लिए इन्फिनिटरी योग ऑपरेटर का उपयोग करते हैं:

$$a^{*}=\sum _{j\geq 0}{a^{j}},$$

कहाँ $a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{cases}}$ ध्यान दें कि स्टार सेमीरिंग ** - बीजगणित से संबंधित नहीं हैं, जहां स्टार ऑपरेशन को जटिल संयुग्मन के रूप में माना जाना चाहिए।

कॉनवे सेमिरिंग

एक कॉनवे सेमिरिंग एक स्टार सेमिरिंग है जो सम-स्टार और उत्पाद-स्टार समीकरणों को संतुष्ट करता है:

$${\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{*}&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}$$

प्रत्येक पूर्ण स्टार सेमीरिंग भी एक कॉनवे सेमीरिंग है, लेकिन बातचीत पकड़ में नहीं आती है। कॉनवे सेमीरिंग का एक उदाहरण जो पूर्ण नहीं है, विस्तारित गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय है $\mathbb {Q} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ सामान्य जोड़ और गुणा के साथ (यह अपरिमेय संख्याओं को हटाकर इस खंड में दिए गए विस्तारित गैर-ऋणात्मक वास्तविक के साथ उदाहरण का एक संशोधन है)।

एक पुनरावृति सेमिरिंग एक कॉनवे सेमिरिंग है जो कॉनवे समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा स्टार-सेमिरिंग्स में समूहों से जुड़े।

उदाहरण

स्टार सेमिरिंग्स के उदाहरणों में शामिल हैं:

• (#द्विआधारी संबंध) कुछ आधार सेट पर द्विआधारी संबंधों की संगोष्ठी $U$ जिसमें $R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}$ सभी के लिए $R\subseteq U\times U.$ यह स्टार ऑपरेशन वास्तव में रिफ्लेक्सिव क्लोजर और सकर्मक बंद है $R$ (अर्थात, सबसे छोटा रिफ्लेक्सिव और सकर्मक बाइनरी रिलेशन ओवर $U$ युक्त $R.$).* #औपचारिक भाषाएं भी एक पूर्ण स्टार सेमिरिंग है, जिसमें स्टार ऑपरेशन क्लेन स्टार (सेट/भाषाओं के लिए) के साथ मेल खाता है।* गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक का सेट $[0,\infty ]$ रियल के सामान्य जोड़ और गुणा के साथ एक पूर्ण स्टार सेमीरिंग है जिसके द्वारा दिए गए स्टार ऑपरेशन के साथ $a^{*}={\frac {1}{1-a}}$ के लिए $0\leq a<1$ (यानी, ज्यामितीय श्रृंखला) और $a^{*}=\infty$ के लिए $a\geq 1.$* बूलियन सेमीरिंग के साथ $0^{*}=1^{*}=1.$* सेमीरिंग चालू $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ विस्तारित जोड़ और गुणा के साथ, और $0^{*}=1,a^{*}=\infty$ के लिए $a\geq 1.$

डायोड

डायओइड शब्द (डबल मोनॉइड के लिए) का उपयोग विभिन्न प्रकार के सेमीरिंग्स के लिए किया गया है:

• इसका उपयोग 1972 में कुंतज़मैन द्वारा किया गया था, जिसे अब सेमिरिंग कहा जाता है।
• औसत बेवकूफ उपसमूह का उपयोग बैसेली एट अल द्वारा पेश किया गया था। 1992 में।
• डायोड नाम का प्रयोग कभी-कभी स्वाभाविक रूप से आदेशित सेमीरिंग को निरूपित करने के लिए भी किया जाता है।

सामान्यीकरण

सेमीरिंग्स के सामान्यीकरण के लिए गुणक पहचान के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए गुणन एक मोनोइड के बजाय एक अर्धसमूह है। ऐसी संरचनाओं को कहा जाता है hemirings या pre-semirings. एक और सामान्यीकरण हैं left-pre-semirings, जिसके लिए अतिरिक्त रूप से सही-वितरण की आवश्यकता नहीं होती है (या right-pre-semirings, जिसे वाम-वितरण की आवश्यकता नहीं है)।

फिर भी एक और सामान्यीकरण हैं near-semirings: उत्पाद के लिए एक तटस्थ तत्व की आवश्यकता नहीं होने के अलावा, या सही-वितरण (या बाएं-वितरण), उन्हें क्रमविनिमेय होने के लिए अतिरिक्त की आवश्यकता नहीं होती है। जिस तरह क्रमसूचक संख्या एक (वर्ग) सेमीरिंग बनाते हैं, वैसे ही क्रमिक संख्याएँ एक निकट-सेमीरिंग बनाती हैं, जब मानक क्रमिक अंकगणित को ध्यान में रखा जाता है। हालांकि, ऑर्डिनल्स के वर्ग को इसके बजाय तथाकथित ऑर्डिनल अंकगणित#प्राकृतिक संक्रियाओं|प्राकृतिक (या हेसनबर्ग) संक्रियाओं पर विचार करके एक सेमीरिंग में बदला जा सकता है।

श्रेणी सिद्धांत में, ए 2-rig एक श्रेणी है जिसमें एक रिग के समान कार्यात्मक संचालन होता है। यह कि कार्डिनल संख्याएँ एक रिग बनाती हैं, यह कहने के लिए वर्गीकृत किया जा सकता है कि सेट की श्रेणी (या अधिक सामान्यतः, कोई भी टॉपोज़) 2-रिग है।

यह भी देखें

• Ring of sets
• Valuation algebra

टिप्पणियाँ

उद्धरण

ग्रन्थसूची

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