स्थितीय संकेतन

स्थितीय अंक प्रणाली में प्रयुक्त शब्दों की शब्दावली

स्थितीय संकेतन सामान्यतः हिंदू-अरबी या दशमलव अंक प्रणाली के किसी भी मूलांक के विस्तार को दर्शाता है। स्थानीय प्रणाली में किसी संख्या के मान में, अंक के योगदान को उस अंक के मान से गुणा किए जाने वाले एक कारक द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो उस अंक की स्थिति द्वारा निर्धारित होता है। प्रारम्भिक अंक प्रणालियों जैसे कि रोमन अंक में, एक अंक का केवल एक मान होता है: जैसे I का अर्थ एक, X का अर्थ दस और C का सौ होता है। यद्यपि, इन्हे यदि किसी अन्य अंक से पहले रखा जाता है तो ये संख्या को उस मान से ऋण कर देते है। आधुनिक स्थितीय प्रणालियों जैसे कि दशमलव में, अंक की स्थिति का अर्थ है कि इसके मान को किसी मान से गुणा किया जाना चाहिए: जैसे 555 में, तीन समान प्रतीकों क्रमशः पांच सैकड़ों, पांच दसियों और पांच इकाइयों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बेबीलोनियन अंक जिसका आधार 60 है, विकसित होने वाली पहली स्थितीय प्रणाली थी, और इसका प्रभाव आज भी उपलब्ध है इनके अनुसार समय और कोणों को 60 से संबंधित लम्बाई में गिना जाता है, जैसे कि एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत्त में 360 डिग्री आदि। आज, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली जिनका आधार दस है, विश्व स्तर पर सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रणाली है। यद्यपि, द्विआधारी अंक प्रणाली का उपयोग लगभग सभी कंप्यूटरों और विद्युतीय उपकरणो में किया जाता है क्योंकि विद्युत परिपथ में इन्हे कुशलता से लागू करना सरल होता है।

ऋणात्मक आधार, जटिल संख्या आधार या ऋणात्मक अंकों वाली प्रणालियों का वर्णन किया गया है। उनमें से अधिकांश को ऋणात्मक संख्याओं को निरूपित करने के लिए ऋण चिह्न की आवश्यकता नहीं होती है।

एक मूलांक बिंदु का उपयोग, अंश को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित होता है और यादृच्छिक विधि से सटीकता के साथ किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। स्थितीय संकेतन के साथ, अंकगणित किसी भी प्राचीन अंक प्रणाली की तुलना में बहुत सरल है। जब पश्चिमी यूरोप में इसे प्रस्तुत किया गया तो इसने संकेतन का तेजी से प्रसार किया।

इतिहास

एसयू काला बाजार (तस्वीर में दर्शाई गई संख्या 6,302,715,408 है)

वर्तमान में, आधार -10 प्रणाली, जो संभवतः दस अंगुलियों पर गणना से प्रेरित है, सर्वव्यापी है। अन्य आधारों का उपयोग अतीत में किया गया है, और कुछ का आज भी उपयोग किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, बेबीलोनियाई अंक, जिसे प्रथम स्थितीय अंक प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है, आधार -60 था। यद्यपि, इसमें वास्तविक शून्य का अभाव था। प्रारंभ में केवल संदर्भ से अनुमान लगाया गया था, बाद में, लगभग 700 ईसा पूर्व तक, शून्य को अंकों के मध्य एक स्थान या विराम चिह्न द्वारा इंगित किया जाने लगा।^[1] यह एक वास्तविक शून्य के अतिरिक्त एक चर था क्योंकि इसका उपयोग अकेले या किसी संख्या के अंत में नहीं किया गया था। 2 और 120 (2×60) जैसी संख्याएँ समान दिखती थीं क्योंकि बड़ी संख्या में अंतिम स्थान का अभाव था। केवल संदर्भ ही उन्हें अलग कर सकता है।

पॉलीमैथ आर्किमिडीज (सी. 287-212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था⁸^[2] और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को विलाप करने के लिए प्रेरित किया कि यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता तो विज्ञान उनके दिनों में कितनी ऊंचाइयों तक पहुंच चुका होता।^[3]

स्थितीय संकेतन के मानक बनने से पहले, रोमन अंकों जैसे साधारण धनात्मक प्रणाली का उपयोग किया जाता था, और प्राचीन रोम में और मध्य युग के समय अंकगणित के लिए एबैकस या स्टोन काउंटर का उपयोग किया जाता था।^[4]

चीनी रॉड अंक; ऊपरी पंक्ति लंबवत रूप
निचली पंक्ति क्षैतिज रूप

स्थितीय अंक प्रणाली में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए गिनती की छड़ें और अधिकांश अबेकस का उपयोग किया गया है। अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए गिनने की छड़ों या अबेकस के साथ, गणना के आरंभिक, मध्यवर्ती और अंतिम मानों का लेखन सरलता से प्रत्येक स्थिति या स्तंभ में एक सरल योज्य प्रणाली के साथ किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण को तालिकाओं के याद रखने की आवश्यकता नहीं है और शीघ्रता से व्यावहारिक परिणाम दे सकता है।

सबसे पुरानी उपलब्ध स्थितीय संकेतन प्रणाली या तो चीनी रॉड अंकों की है, जो कम से कम 8 वीं शताब्दी की प्रारंभ से या संभावतः खमेर अंक से उपयोग की जाती है, जो 7 वीं शताब्दी में स्थितीय-संख्याओं के संभावित उपयोग को दर्शाती है। खमेर अंक और अन्य भारतीय अंक लगभग तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के ब्राह्मी अंकों से उत्पन्न होते हैं, जब उस समय प्रतीकों का उपयोग नहीं किया गया था। मध्यकालीन भारतीय अंक स्थितीय हैं, जैसा कि व्युत्पन्न अरबी अंक हैं, जिनका उल्लेख 10वीं शताब्दी से प्राप्त होता है।

फ्रांसीसी क्रांति (1789-1799) के उपरांत, नई फ्रांसीसी सरकार ने दशमलव प्रणाली के विस्तार को बढ़ावा दिया।^[5] उनमें से कुछ समर्थक-दशमलव प्रयास—जैसे दशमलव समय और दशमलव कैलेंडर—असफल रहे। अन्य फ्रांसीसी दशमलव प्रयास-मुद्रा दशमलवकरण और भार और माप का मीट्रिकेशन-फ्रांस से लगभग पूरे संसार में व्यापक रूप से फैल गया।

स्थितीय अंशों का इतिहास

जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने अभिलेखित किया कि स्थितीय दशमलव अंशों का उपयोग प्रथम बार अरब गणितज्ञ अबू-हसन अल-उक्लिदिसी द्वारा 10वीं शताब्दी के प्रारंभ में किया गया था।^[6] यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने 1350 के निकट दशमलव अंशों का उपयोग किया, परंतु उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई अंकन विकसित नहीं किया।^[7] फ़ारसी गणितज्ञ जमशीद अल-काशी ने 15वीं शताब्दी में दशमलव भिन्नों की खोज की।^[6]9वीं शताब्दी की प्रारंभ में अलखावरिज़मी ने इस्लामिक देशों में भिन्नों को प्रस्तुत किया; उनकी अंश प्रस्तुति सुन त्स़ी सुआनजिंग के पारंपरिक चीनी गणितीय अंशों के समान थी।^[8] क्षैतिज पट्टी के बिना शीर्ष पर अंश और तल पर भाजक के साथ अंश का यह रूप 10 वीं शताब्दी के अबू-हसन अल-उक्लिदिसी और 15 वीं शताब्दी के जमशेद अल-काशी के कार्य अंकगणितीय कुंजी द्वारा भी उपयोग किया गया था।^[8]^[9]

एक से कम संख्या, एक अंश के दशमलव प्रतिनिधित्व को अपनाने का श्रेय प्रायः साइमन स्टीवन को उनकी पाठ्यपुस्तक डी थिएन्डे के माध्यम से दिया जाता है;^[10] परंतु स्टीविन और ई.जे. डिज्कस्टरहुइस दोनों संकेत करते हैं कि रेजीओमोंटानस ने सामान्य दशमलव के यूरोपीय रूप को अपनाने में योगदान दिया:^[11]

यूरोपीय गणितज्ञों ने जब हिंदुओं से अरबों के माध्यम से पूर्णांकों के लिए स्थितीय मान का विचार लिया, तो इस विचार को भिन्नों तक विस्तारित करने की उपेक्षा की। कुछ शताब्दियों के लिए उन्होंने स्वयं को सामान्य और सेक्सेजिमल अंशों का उपयोग करने तक सीमित कर लिया। यह आधा-अधूरापन कभी भी पूरी तरह से दूर नहीं हुआ है, और साठवाँ अंश अभी भी हमारे त्रिकोणमिति, खगोल विज्ञान और समय के मापन का आधार बनते हैं। गणितज्ञों ने 10 रूप की लंबाई की इकाइयों की संख्या के बराबर त्रिज्या Rⁿ लेकर अंशों से बचने का प्रयास किया और फिर n के लिए इतना बड़ा अभिन्न मान को निरूपित किया कि सभी घटित होने वाली मात्राओं को पूर्णांकों द्वारा पर्याप्त सटीकता के साथ व्यक्त किया जा सकता था। इस पद्धति को लागू करने वाला पहला जर्मन खगोलशास्त्री रेजीओमोंटानस था। जितना कि वह गोणीमेट्रिकल रेखांश को एक इकाई R/10n में व्यक्त करते थे, रेजियोमॉन्टेनस को दशमलव स्थानीय भिन्नों के सिद्धांत के पूर्ववत समझा जा सकता है।^[11]^: 17, 18

दिज्क्स्टरहुइस के अनुमान में, डी थिएन्डे के प्रकाशन के उपरांत दशमलव स्थितीय अंशों की पूरी प्रणाली को स्थापित करने के लिए केवल एक छोटे से अग्रिम संख्या की आवश्यकता थी, और यह कदम कई लेखकों द्वारा तुरंत उठाया गया था। डिज्कस्टरहुइस ने उल्लेख किया कि स्टीविन अपने पूर्व योगदान के लिए, यह कहते हुए कि जर्मन खगोलशास्त्री की त्रिकोणमितीय तालिकाओं में वास्तव में 'दसवीं प्रगति की संख्या' का संपूर्ण सिद्धांत सम्मिलित है, रेगिओमोंटानस को पूरा श्रेय देते हैं।^[11]^: 19

गणित

अंक प्रणाली का आधार

अंक प्रणाली में मूलांक $r$ सामान्यतः शून्य सहित अद्वितीय संख्यात्मक अंकों की संख्या होती है, जो एक स्थितीय संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती है। कुछ विषयों में, जैसे ऋणात्मक आधार $b$ के साथ, मूलांक निरपेक्ष मान $r=|b|$ होता है। उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली के लिए आधार और आधार दस है, क्योंकि यह 0 से 9 तक के दस अंकों का उपयोग करता है। जब कोई संख्या 9 होती है, तो अगली संख्या कोई अन्य भिन्न प्रतीक नहीं होगी, बल्कि 1 के उपरांत 0 होगा। द्विआधारी संख्याओ में, आधार दो होता है, क्योंकि 1 लिखने के बाद, 2 या किसी अन्य लिखित प्रतीक के अतिरिक्त, यह सीधे 10 पर चला जाता है,जिसके बाद 11 और 100 आता है।

स्थितीय अंक प्रणाली के उच्चतम प्रतीक का मान सामान्यतः उस अंक प्रणाली के मूलांक के मान से एक कम होता है। मानक स्थितीय अंक प्रणाली एक दूसरे से केवल उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले आधार में भिन्न होती है।

आधार एक पूर्णांक है जो 1 से अधिक है, क्योंकि शून्य के आधार में कोई अंक नहीं होगा, और 1 के आधार में केवल शून्य अंक होगा। नकारात्मक आधारों का संभवतः ही कभी उपयोग किया जाता है। $|b|$ से अधिक के साथ किसी प्रणाली में अद्वितीय अंक, संख्याओं के कई भिन्न-भिन्न संभावित प्रतिनिधित्व हो सकते हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि मूलांक परिमित है, जिससे यह पता चलता है कि अंकों की संख्या अत्यधिक कम है। अन्यथा, अंक की लंबाई आवश्यक रूप से इसके आकार में लॉगरिदमिक नहीं होती है।

विशेषण संख्या सहित कुछ गैर-मानक स्थितीय अंक प्रणालियों में, आधार की परिभाषा या अनुमत अंक ऊपर से परिवर्तित होते हैं।

मानक आधार-दस अर्थात दसमलव के स्थितीय संकेतन में, दस दशमलव अंक और संख्या होती है

5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})

.

मानक आधार-सोलह अर्थात हेक्साडेसिमल में, सोलह हेक्साडेसिमल अंक (0–9 और A–F) होते हैं और संख्या

14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),

जहां बी संख्या ग्यारह को एक प्रतीक के रूप में दर्शाती है।

सामान्यतः, आधार-बी में, बी अंक $\{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D$ होते हैं और संख्या

(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})

है $\forall k\colon a_{k}\in D.$

ध्यान दें कि $a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ अंकों के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है, गुणन का नहीं।

अंकन

गणितीय संकेतन में आधार का वर्णन करते समय, इस अवधारणा के लिए सामान्यतः अक्षर b को प्रतीक के रूप में उपयोग किया जाता है, इसलिए, बाइनरी अंक प्रणाली के लिए, b समानता 2. आधार को व्यक्त करने का एक अन्य सामान्य तरीका इसे 'दशमलव' के रूप में लिखना है ' उस संख्या के बाद सबस्क्रिप्ट जिसका प्रतिनिधित्व किया जा रहा है (इस अंकन का उपयोग इस लेख में किया गया है)। 1111011₂ तात्पर्य यह है कि संख्या 1111011 एक आधार-2 संख्या है, जो 123₁₀ (एक दशमलव संकेतन प्रतिनिधित्व) के समान है , 173₈ ऑक्टाडेसीमल और 7बी₁₆ हेक्साडेसिमल अंक संकेतन को संदर्भित करता है। पुस्तकों और लेखों में, प्रारंभ में संख्या आधारों के लिखित संक्षिप्त रूपों का उपयोग करते समय, आधार को बाद में मुद्रित नहीं किया जाता है: यह माना जाता है कि बाइनरी 1111011 1111011₂ के समान है.

आधार b को वाक्यांश base-b द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। अर्थात द्विआधारी संख्या का आधार 2 हैं; अष्टक संख्या का आधार 8 हैं; दशमलव संख्या का आधार 10 हैं; और इसी प्रकार हेक्साडेसीमल संख्या का आधार 16 है।

किसी दिए गए मूलांक b के लिए अंकों का समुच्चय {0, 1, ..., b−2, b−1} अंकों का मानक समुच्चय कहलाता है। इस प्रकार, बाइनरी नंबरों में अंक {0, 1} होते हैं; दशमलव संख्या में अंक {0, 1, 2, ..., 8, 9};होते हैं। इसलिए, निम्नलिखित सांकेतिक त्रुटियां हैं:

जैसे 52₂, 2₂, 1ए₉. सभी स्थितियों में, एक या अधिक अंक दिए गए आधार के लिए अनुमत अंकों के समुच्चय में समायोजित नहीं होते हैं।

घातांक

स्थितीय अंक प्रणाली आधार के घातांक का उपयोग करके कार्य करती है। एक अंक का मान उसके स्थान के मान से गुणा किया गया अंक है। स्थानीय मान nवें घात तक उठाए गए आधार की संख्या है, जहां n किसी दिए गए अंक और आधार बिंदु के बीच अन्य अंकों की संख्या है। यदि दिया गया अंक मूलांक बिंदु के बाईं ओर है अर्थात इसका मान एक पूर्णांक है तो n धनात्मक या शून्य है; यदि अंक मूलांक बिंदु के दाहिने हाथ की ओर है अर्थात, इसका मान भिन्नात्मक है तो n ऋणात्मक है।

उपयोग के एक उदाहरण के रूप में, संख्या 465 इसके संबंधित आधार b में, जो कम से कम आधार 7 होना चाहिए क्योंकि इसमें उच्चतम अंक 6 है।

4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}

के समान है।

यदि संख्या 465 आधार-10 में होती, तो यह:

4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465

(465₁₀ = 465₁₀) के समान होगी।

यद्यपि, यदि संख्या आधार 7 में थी, तो यह:

4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243

(465₇ = 243₁₀) के समान होगी।

10_b = b किसी भी आधार b के लिए, 10_b के बाद से = 1×b¹ + 0×बी^{0। उदाहरण के लिए, 10₂ = 2; 10₃ = 3; 10₁₆ = 16₁₀. ध्यान दें कि अंतिम 16 को आधार 10 में इंगित किया गया है। आधार एक अंकों के अंकों के लिए कोई अंतर नहीं करता है।}

इस अवधारणा को आरेख का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। एक वस्तु एक इकाई का प्रतिनिधित्व करती है। जब वस्तुओं की संख्या आधार b के बराबर या उससे अधिक होती है, तब वस्तुओं का एक समूह b वस्तुओं के साथ निर्मित किया जाता है। जब इन समूहों की संख्या b से अधिक हो जाती है, तब वस्तुओं के इन समूहों का एक समूह b वस्तुओं के साथ बनाया जाता है। इस प्रकार भिन्न-भिन्न आधारों में एक ही संख्या के भिन्न-भिन्न मूल्य होंगे:

241 in base 5:
   2 groups of 5² (25)           4 groups of 5          1 group of 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo

241 in base 8:
   2 groups of 8² (64)          4 groups of 8          1 group of 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo

अग्रणी ऋण चिह्न की अनुमति देकर अंकन को और बढ़ाया जा सकता है। यह नकारात्मक संख्याओं के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है। किसी दिए गए आधार के लिए, प्रत्येक प्रतिनिधित्व ठीक एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या में कम से कम एक प्रतिनिधित्व होता है। परिमेय संख्याओं के निरूपण वे निरूपण हैं जो परिमित हैं, बार संकेतन का उपयोग करते हैं, या अंकों के एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले चक्र के साथ समाप्त होते हैं।

संख्या और अंक

अंक एक प्रतीक है जिसका उपयोग स्थितीय संकेतन के लिए किया जाता है, और किसी संख्या में एक या एक से अधिक अंक होते हैं जिनका उपयोग स्थिति संकेतन के साथ संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। आज के सबसे साधारण अंक अरबी अंक 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , और 9 हैं। संख्या आधार के संदर्भ में अंक और संख्या के मध्य का अंतर सबसे स्पष्ट है।

एक से अधिक अंकों की स्थिति वाले गैर-शून्य अंक का अर्थ भिन्न संख्या आधार में एक भिन्न संख्या होगा, परंतु सामान्यतः, अंकों का अर्थ समान होगा।^[12] उदाहरण के लिए, आधार -8 अंक 23₈ इसमें दो अंक होते हैं, 2 और 3 , और एक आधार संख्या सबस्क्रिप्टेड 8 के साथ। आधार-10 में परिवर्तित होने पर, 23₈ 19₁₀ के बराबर है, अर्थात 23₈ = 19₁₀. यहाँ हमारे अंकन में, सबस्क्रिप्ट₈ अंक 23₈ संख्या का भाग है, परंतु यह स्थिति सदैव संभव नहीं हों सकती है।

संख्या 23 की अमानक स्थितीय अंक प्रणाली संख्या होने की कल्पना करें। तब 23 आधार -4 से कोई भी आधार हो सकता है। आधार-4 में 23 का तात्पर्य 11₁₀ होता है, अर्थात 23₄ = 11₁₀ । आधार-60 में, 23 का अर्थ संख्या 123₁₀ है, अर्थात 23₆₀ = 123₁₀। अंक 23 तब, इस परिप्रेक्ष्य में, आधार -10 संख्याओं {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123} के समुच्चय से मेल खाता है, जबकि इसके अंक 2 और 3 सदैव अपने मूल अर्थ द्वारा ही संदर्भित किए जाते है।

कुछ अनुप्रयोगों में जब पदों की एक निश्चित संख्या के साथ एक संख्या को एक बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है, तो प्रति स्थिति अधिक अंकों के साथ एक उच्च संख्या-आधार का उपयोग किया जा सकता है। एक तीन-अंकीय, दशमलव अंक केवल 999 तक का प्रतिनिधित्व कर सकता है। परंतु यदि संख्या-आधार को 11 तक बढ़ा दिया जाता है, मान लीजिए, अंक A को जोड़कर, तो वही तीन स्थितियाँ, जो AAA तक अधिकतम होती हैं, एक संख्या को उतनी बड़ी संख्या में प्रदर्शित कर सकती हैं। हम संख्या आधार को हम पुनः बढ़ा सकते हैं और बी को 11 नामित कर सकते हैं। परंतु संख्या-अंक-अंक पदानुक्रम में संख्या और अंक के बीच एक संभावित कूट भी है। आधार-60 में तीन अंकों का अंक ZZZ क तात्पर्य 215999 हो सकता है. यदि हम अपने अक्षर या अंक के पूरे संग्रह का उपयोग करते हैं तो हम अंततः एक आधार-62 अंक प्रणाली को निर्मित कर सकते हैं, परंतु हम अंक 1 और 0 के साथ भ्रम को कम करने के लिए दो अंक और बड़े O को हटा देते हैं।^[13]

हमारे पास एक आधार-60, या षष्टिभुजीय संख्या प्रणाली बची है जो 62 मानक अल्फ़ान्यूमेरिक्स में से 60 का उपयोग करती है। सामान्यतः, संभावित मानों की संख्या जिन्हें ए द्वारा $d$ आधार में दर्शाया जा सकता है वो अंक $r$ तथा संख्या $r^{d}$ है। .

कंप्यूटर विज्ञान में सामान्य अंक प्रणाली बाइनरी (मूलांक 2), अष्टाधारी (मूलांक 8), और हेक्साडेसिमल (मूलांक 16) हैं। बाइनरी अंक प्रणाली में केवल 0 और 1 अंक ही अंकों में होते हैं। अष्टक अंकों में, आठ अंक 0–7 होते हैं। हेक्साडेसिमल 0-9 ए-एफ है, जहां दस अंक अपने सामान्य अर्थ को बनाए रखते हैं, और कुल सोलह अंकों के लिए अक्षर 10-15 के मूल्यों के अनुरूप होते हैं। अंक 10 द्विआधारी अंक 2, अष्टाधारी अंक 8, या हेक्साडेसिमल अंक 16 है।

आधार बिंदु

अंकन को आधार b के ऋणात्मक घातांकों में विस्तारित किया जा सकता है। इस प्रकार तथाकथित आधार बिंदु, अधिकतर ».«, नकारात्मक घातांक वाले लोगों से गैर-नकारात्मक वाले पदों के विभाजक के रूप में उपयोग किया जाता है।

जो संख्याएँ पूर्णांक नहीं हैं वे मूलांक बिंदु से आगे के स्थानों का उपयोग करती हैं। इस बिंदु के पीछे प्रत्येक स्थिति के लिए और इस प्रकार इकाई अंक के बाद, घातांक b का प्रतिपादक nⁿ 1 से घटता है और घातांक 0 तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2.35 इसके बराबर है:

2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}

चिह्न

यदि अंकों के समूह में आधार और सभी अंक गैर-ऋणात्मक हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं को व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसे दूर करने के लिए, एक ऋणात्मक संख्या, अंक प्रणाली में जोड़ी जाती है। सामान्य अंकन में यह अन्यथा गैर-ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले अंकों की संख्याओ से पूर्व होता है।

आधार रूपांतरण

किसी आधार $b_{2}$ में रूपांतरण एक $n$ पूर्णांक के $b_{1}$ आधार में प्रतिनिधित्व यूक्लिडियन विभाजन $b_{2}:$ के उत्तराधिकार द्वारा किया जा सकता है। आधार में सबसे दाहिनी ओर का अंक $b_{2}$ के विभाजन का शेष है दूसरा सबसे दाहिना अंक भागफल के भाग का शेषफल $b_{2},$ है। सबसे बाईं ओर का अंक अंतिम भागफल होता है। सामान्यतः, दाएं से $k$ वां अंक विभाजन का शेषफल है।

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (इकाई का स्थान)
0x101A/10 = 0x19C R: 2 (दहाई स्थान)
 0x19C/10 = 0x29 R: 2 (सौ स्थान)
  0x29/10 = 0x4 आर: 1 ...
                      4

एक बड़े आधार में परिवर्तित करते समय (जैसे बाइनरी से दशमलव तक), $b_{2}$ एक अंक के रूप में $b_{1}$ शेष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए: 0b11111001 (बाइनरी) का 249 (दशमलव) में परिवर्तन:

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = 9 इकाई के स्थान के लिए)
   0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = 4 दसियों के लिए)
      0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = 2 सैकड़ों के लिए)

अंश भाग के लिए, मूलांक बिंदु के बाद अंकों को लेकर रूपांतरण किया जा सकता है, और इसे दशमलव अंश और लक्ष्य मूलांक में प्रतिशत द्वारा विभाजित किया जा सकता है। दशमलव को दोहराने की संभावना के कारण सन्निकटन की आवश्यकता हो सकती है अन्य आधारों पर विस्तार गैर-समाप्ति वाले अंक यदि इर्रिड्यूसिबल अंश के भाजक में परिवर्तित करने के लिए आधार के प्रमुख कारक में से किसी के अलावा एक प्रमुख कारक है। उदाहरण के लिए, दशमलव में 0.1 (1/10) बाइनरी में 0b1/0b1010 है, इसे उस आधार में विभाजित करके परिणाम 0b0.00011 (क्योंकि 10 के प्रमुख कारकों में से एक 5 है)।

व्यवहार में, ऊपर आवश्यक दोहराए गए विभाजन की तुलना में हॉर्नर की विधि अधिक कुशल है^[14]. स्थितीय संकेतन में एक संख्या को बहुपद के रूप में माना जा सकता है, जहां प्रत्येक अंक एक गुणांक होता है। गुणांक एक अंक से बड़ा हो सकता है, इसलिए आधारों को परिवर्तित करने का एक कुशल तरीका प्रत्येक अंक को परिवर्तित करना है, फिर लक्ष्य आधार के भीतर हॉर्नर की विधि के माध्यम से बहुपद का मूल्यांकन करना है। प्रत्येक अंक को परिवर्तित करना एक साधारण लुकअप टेबल है, जो महँगे विभाजन या मापांक संचालन की आवश्यकता को दूर करता है; और x से गुणा करने पर दायां स्थानांतरण हो जाता है। यद्यपि, अन्य बहुपद मूल्यांकन एल्गोरिदम भी कार्य करेंगे, जैसे एकल या विरल अंकों के लिए घातांक। उदाहरण:

0xA10B को 41227 में परिवर्तन
 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

 तालिका देखें:
  0x0 = 0
  0x1 = 1
  ...
  0x9 = 9
  0xA = 10
  0xB = 11
  0xC = 12
  0xD = 13
  0xE = 14
  0xF = 15
 इसलिए 0xA10B के दशमलव अंक 10, 1, 0 और 11 हैं।
 
 अंकों को इस तरह से बाहर निकालें की सबसे महत्वपूर्ण अंक 10 हटा दिया गया है:
  10 1 0 11 <- 0xA10B के अंक

  ---------------
  10
 फिर हम स्रोत आधार (16) से नीचे की संख्या को गुणा करते हैं, उत्पाद को स्रोत मान के अगले अंक के नीचे रखा जाता है, और फिर जोड़ते हैं:
  10 1 0 11
     160
  ---------------
  10 161

 अंतिम जोड़ निष्पादित होने तक दोहराएं:
  10 1 0 11
     160 2576 41216
  ---------------
  10 161 2576 41227
  
 और वह दशमलव में 41227 है।

0b11111001 को 249 में परिवर्तित करे
 तालिका देखे:
  0बी0 = 0
  0बी1 = 1

परिणाम:
 1 1 1 1 1 0 0 1 <- 0b11111001 के अंक
    2 6 14 30 62 124 248
 ---------------------------------------
 1 3 7 15 31 62 124 249

प्रतिबंधी भिन्न

जिन संख्याओं का परिमित निरूपण होता है, वे अर्द्धचक्र बनाती हैं

{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.

अधिक स्पष्ट रूप से, यदि $p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b$ का गुणनखंड है $b$ प्राइम्स में $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P}$ घातांक के साथ $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N}$ ,^[15] फिर भाजक के गैर-खाली समुच्चय के साथ $S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$ अपने पास

\mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}

जहाँ $\langle S\rangle$ $p\in S$ द्वारा उत्पन्न समूह है और ${\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}$ तथाकथित स्थानीयकरण के एक चक्र का स्थानीयकरण है।

गुणांक एक अंक से बड़ा हो सकता है, इसलिए आधारों को परिवर्तित करने का एक कुशल तरीका प्रत्येक अंक को परिवर्तित करना है, फिर लक्ष्य आधार के भीतर हॉर्नर की विधि के माध्यम से बहुपद का मूल्यांकन करना है। प्रत्येक अंक को परिवर्तित करना एक साधारण लुकअप टेबल है, जो महँगे विभाजन या मापांक संचालन की आवश्यकता को दूर करता है; और x से गुणा करने पर दायां स्थानांतरण हो जाता है।

अनंत निरूपण

परिमेय संख्या

बिंदु से परे अंकों की एक अनंत संख्या की अनुमति देने के लिए गैर-पूर्णांक का प्रतिनिधित्व बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1.12112111211112 ... आधार-3 अनंत श्रृंखला के योग का प्रतिनिधित्व करता है:

{\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}

चूंकि अंकों की एक पूर्ण अनंत संख्या को स्पष्ट रूप से नहीं लिखा जा सकता है, अनुगामी दीर्घवृत्त (...) छोड़े गए अंकों को निर्दिष्ट करता है, जो किसी प्रकार के प्रतिरूप का पालन कर सकता है या नहीं भी कर सकता है। एक सामान्य प्रतिरूप तब होता है जब अंकों का एक परिमित अनुक्रम असीम रूप से पुनरावर्तित होता है। यह पुनरावर्तित खंड में एक विनकुलम प्रतीक खींचकर नामित किया गया है:

2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}

यह पुनरावर्तित किया जाने वाला दशमलव संकेत है जिसके लिए एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत अंकन या वाक्यांश उपलब्ध नहीं है।

आधार 10 के लिए इसे पुनरावर्ती दशमलव या आवर्ती दशमलव कहा जाता है।

एक अपरिमेय संख्या में सभी पूर्णांक आधारों में एक अनंत गैर-पुनरावर्तन का प्रतिनिधित्व होता है। एक परिमेय संख्या का परिमित निरूपण है या अनंत आवर्ती निरूपण की आवश्यकता है, यह आधार पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक तिहाई का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जा सकता है:

0.1_{3}

0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}

या, निहित आधार के साथ:

0.{\overline {3}}=0.3333333\dots

(0.999 भी देखें...)

0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}

0.2_{6}

सबसे बड़े सामान्य विभाजक (p, q) = 1 के साथ पूर्णांक p और q के लिए, अंश p/q का आधार b में एक परिमित प्रतिनिधित्व है यदि और केवल यदि q का प्रत्येक प्रमुख कारक भी b का एक प्रमुख कारक है।

किसी दिए गए आधार के लिए, कोई भी संख्या जिसे अंकों की परिमित संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, में एक या दो अनंत प्रतिनिधित्व सहित कई प्रतिनिधित्व होंगे:

1. शून्यों की एक परिमित या अनंत संख्या जोड़ी जा सकती है:

3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}

2. अंतिम गैर-शून्य अंक को एक से कम किया जा सकता है और अंकों की एक अनंत संख्या, प्रत्येक आधार से कम एक के अनुरूप होती है, संलग्न होती है या किसी भी निम्न शून्य अंकों को प्रतिस्थापित करती है:

3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}

1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad

(0.999 भी देखें...)

220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}

अपरिमेय संख्या

एक वास्तविक अपरिमेय संख्या में सभी पूर्णांक आधारों में एक अनंत गैर-पुनरावर्तन प्रतिनिधित्व होता है।

उदाहरण समाधेय nवें मूल हैं

y={\sqrt[{n}]{x}}

साथ $y^{n}=x$ और $y \notin Q$ , वे संख्याएँ जिन्हें बीजगणितीय संख्याएँ या संख्याएँ कहते हैं

\pi ,e

जो अतींद्रिय संख्या हैं। अतींद्रियों की संख्या असीमित है और उन्हें परिमित संख्या में प्रतीकों के साथ लिखने की एकमात्र विधि उन्हें एक प्रतीक या प्रतीकों का एक परिमित क्रम देना है।

अनुप्रयोग

दशमलव प्रणाली

दशमलव (आधार-10) हिंदू-अरबी अंक प्रणाली में, दाईं ओर से शुरू होने वाली प्रत्येक स्थिति 10 का एक उच्च घातांक है। पहली स्थिति 1 E0|10⁰ का प्रतिनिधित्व करती है, दूसरी स्थिति 1 E1|10¹ (10), तीसरी स्थिति 1 E2|10² (10 × 10 या 100), चौथी स्थिति 1000 या 10³ (10 × 10 × 10 या 1000)।

दशमलव मान दशमलव विभाजक द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो भिन्न-भिन्न स्थानों में भिन्न हो सकते हैं। सामान्यतः यह विभाजक एक अवधि या पूर्ण विराम या अल्पविराम होता है। इसके दाईं ओर के अंकों को 10 से गुणा करके एक ऋणात्मक शक्ति या घातांक तक बढ़ा दिया जाता है। विभाजक के दाईं ओर की पहली स्थिति 1 E-1|10⁻¹ दर्शाती है (0.1), दूसरी स्थिति 1 E-2|10⁻² (0.01), और इसी तरह प्रत्येक क्रमिक स्थिति के लिए चिन्ह निरूपित किए गए है।

उदाहरण के लिए, आधार-10 अंक प्रणाली में संख्या 2674 है:

(2 × 10³) + (6 × 10²) + (7 × 10¹) + (4 × 10⁰)

या

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1)।

षष्टिभुजीय प्रणाली

षष्टिभुजीय प्रणाली या आधार -60 प्रणाली का उपयोग बेबीलोनियन अंकों और अन्य मेसोपोटामियन प्रणालियों के अभिन्न और भिन्नात्मक भागों के लिए किया गया था, यूनानी खगोलविदों द्वारा केवल आंशिक भाग के लिए यूनानी अंकों का उपयोग किया गया था, और अभी भी आधुनिक समय और कोणों के लिए उपयोग केवल मिनटों के लिए और सेकंड के लिए किया जाता है। यद्यपि, ये सभी उपयोग स्थितीय नहीं थे।

आधुनिक समय प्रत्येक स्थिति को एक बृहदान्त्र या प्रधान द्वारा अलग करता है। उदाहरण के लिए, समय 10:25:59 (10 घंटे 25 मिनट 59 सेकंड) हो सकता है। कोण समान अंकन का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक कोण 10°25′59″ 10 डिग्री कोण 25 मिनट 59 सेकंड कोण हो सकता है । दोनों ही विषयों में, केवल मिनट और सेकंड षष्टिभुजीय प्रतीकों का उपयोग करते हैं - कोणीय डिग्री 59 से बड़ी हो सकती है, और समय और कोण दोनों एक सेकंड के दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं। यह हेलेनिस्टिक और पुनर्जागरण खगोलविदों द्वारा उपयोग की जाने वाली संख्याओं के विपरीत है, जिन्होंने सूक्ष्म वृद्धि के लिए तीसरे कोण, चौथे कोण आदि का उपयोग किया।

अपरकेस और लोअरकेस अक्षरों वाले अंकों के समुच्चय का उपयोग षष्टिभुजीय नंबरों के लिए लघु अंकन उदाहरण के लिए 10:25:59 'ARz' की अनुमति देता है, बन जाता है, जो यूआरएल आदि में उपयोग के लिए उपयोगी है, परंतु यह मनुष्यों के लिए बहुत सुगम नहीं है।

1930 के दशक में, ओटो नेउगेबॉयर ने बेबीलोनियन और हेलेनिस्टिक संख्याओं के लिए एक आधुनिक अंकन प्रणाली की प्रारंभ की, जो प्रत्येक स्थिति में 0 से 59 तक आधुनिक दशमलव संकेतन को प्रतिस्थापित करती है, जबकि संख्या के अभिन्न और भिन्नात्मक भागों को अलग करने और अल्पविराम का उपयोग करने के लिए अर्धविराम (;) का उपयोग करती है। (,) प्रत्येक भाग के भीतर पदों को अलग करने के लिए।^[16] उदाहरण के लिए, बेबीलोनियन और हेलेनिस्टिक खगोलविदों दोनों द्वारा उपयोग किया जाने वाला माध्य समकालिक महीना और अभी भी हिब्रू पंचांग में 29;31,50,8,20 दिनों का उपयोग किया जाता है, और उपरोक्त उदाहरण में प्रयुक्त कोण 10;25,59 को 23,31,12 डिग्री लिखा जाएगा।

संगणन

संगणन में, आधार-2 अंक प्रणाली, आधार-8 अंक प्रणाली और हेक्साडेसिमल आधार का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर, सबसे बुनियादी स्तर पर, केवल पारंपरिक शून्य और एक के अनुक्रम से संचालित होते हैं, इस प्रकार दो की घातों से संचालन इस अर्थ में सरल है। हेक्साडेसिमल प्रणाली का उपयोग बाइनरी के लिए शॉर्टहैंड के रूप में किया जाता है - प्रत्येक 4 बाइनरी अंक एक और केवल एक हेक्साडेसिमल अंक से संबंधित होते हैं। हेक्साडेसिमल में, 9 के बाद के छह अंकों को ए, बी, सी, डी, ई और एफ (और कभी-कभी ए, बी, सी, डी, ई और एफ) द्वारा दर्शाया जाता है।

ऑक्टल नंबरिंग प्रणाली का उपयोग बाइनरी नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के दूसरे तरीके के रूप में भी किया जाता है। इस परिप्रेक्ष्य में आधार 8 है और इसलिए केवल अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7 का उपयोग किया जाता है। बाइनरी से ऑक्टल में परिवर्तित करते समय प्रत्येक 3 बिट एक और केवल एक ऑक्टल अंक से संबंधित होते हैं।

हेक्साडेसिमल, दशमलव, ऑक्टल और अन्य आधारों की एक विस्तृत विविधता का उपयोग बाइनरी-टू-टेक्स्ट एन्कोडिंग, यादृच्छिक ढंग से सटीक अंकगणित के कार्यान्वयन और अन्य अनुप्रयोगों के लिए किया गया है।

आधारों और उनके अनुप्रयोगों की सूची के लिए, अंक प्रणालियों की सूची देखें।

मानव भाषा में अन्य आधार

आधार-12 प्रणालियां लोकप्रिय रही हैं क्योंकि आधार-10 की तुलना में इनका गुणा और भाग करना जितना सरल है, जोड़ और घटाव उतना ही सरल है। बारह एक उपयोगी आधार है क्योंकि इसमें कई विभाजक हैं। यह एक, दो, तीन, चार और छह का सबसे छोटा समापवर्तक है। अंग्रेजी में अभी भी "डोजन" के लिए एक विशेष शब्द है, और 10² के शब्द के संयोजन से, "हंडरेड" और वाणिज्यिकता ने 12² के लिए "ग्रोस" शब्द विकसित किया। मानक 12-घंटे की घड़ी और अंग्रेजी इकाइयों में 12 का सामान्य उपयोग आधार की उपयोगिता पर जोर देता है। इसके अतिरिक्त, दशमलव में इसके रूपांतरण से पहले, पुरानी ब्रिटिश मुद्रा पौंड स्टर्लिंग आंशिक रूप से आधार-12 का उपयोग करती थी; एक शिलिंग में 12 पेंस, एक पाउंड में 20 शिलिंग, और इसलिए एक पाउंड में 240 पेंस थे। इसलिए शब्द एलएसडी या अधिक उपयुक्त रूप से, £ एसडी था।

कलमबुस से पहले मेसोअमेरिका की माया अंकों और अन्य सभ्यताओं ने आधार -20 का उपयोग किया, जैसा कि कई उत्तरी अमेरिकी जनजातियों ने किया था। मध्य और पश्चिमी अफ्रीका की भाषाओं में भी आधार-20 मतगणना प्रणाली के प्रमाण मिलते हैं।

गॉलिश भाषा आधार-20 प्रणाली के अवशेष भी फ्रेंच में उपलब्ध हैं, जैसा कि आज 60 से 99 तक की संख्याओं के नामों में देखा जाता है। उदाहरण के लिए, पैंसठ सिक्सेंटे-सिनक जिनका शाब्दिक रूप, साठ तथा पांच है, जबकि पचहत्तर, सोइक्सेंटे-क्विन्ज़ जिनका शाब्दिक रूप, साठ तथा पन्द्रह है। इसके अलावा, 80 और 99 के बीच किसी भी संख्या के लिए, दहाई-स्तंभ संख्या को बीस के गुणक के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, बयासी क्वात्रे-विंग्ट-ड्यूक्स जिनका शाब्दिक रूप, चार बीस तथा दो है, जबकि नब्बे-दो क्वात्रे-विंग्ट-डोज़ जिनका शाब्दिक रूप से, चार बीस तथा बारह है। पुराने फ्रांसीसी में, चालीस को दो बिसवां दशा और साठ को तीन बिसवां दशा के रूप में व्यक्त किया गया था, जिससे तिरपन को दो बिसवां दशा तथा तेरह, और इसी प्रकार अन्य संख्याओ को भी व्यक्त किया जाता था।

अंग्रेजी में 20 के उपयोग में समान आधार-20 की गणना दिखाई देती है। यद्यपि अत्यधिक ऐतिहासिक रूप से, यह कभी-कभी बोलचाल में प्रयोग किया जाता है। बाइबिल के राजा जेम्स संस्करण में भजन 90 का पद 10 से प्रारंभ होता है: "हमारे वर्षों के दिन साठ वर्ष और दस हैं; और चाहे बल के कारण वे अस्सी वर्ष के हों, तों भी उनका बल परिश्रम और शोक है"।

आयरिश भाषा में अतीत में आधार -20 का भी उपयोग किया गया था, बीस फिचिड, चालीस धा फिचिड, साठ ट्राई फिचिड और अस्सी सीथ्रे फिचिड। इस प्रणाली का एक अवशेष आधुनिक शब्द 40, डाओइचेड में देखा जा सकता है।

वेल्श भाषा आज भी एक आधार-20 गणना प्रणाली का उपयोग करती है, विशेष रूप से लोगों की आयु, तिथियों और सामान्य वाक्यों में। 15 भी महत्वपूर्ण है, जहां 16 से 19 "15 पर एक", "15 पर दो" आदि होता है। 18 सामान्यतः "दो नौ" कहलाता है। दसमलव प्रणाली सामान्यतः उपयोग की जाती है।।

इनुइट भाषाएँ आधार-20 गणना प्रणाली का उपयोग करती हैं। काक्टोविक, अलास्का के छात्रों ने 1994 में एक काक्टोविक अंक आधार-20 अंक प्रणाली का आविष्कार किया^[17] डेनिश भाषा अंक एक समान विजीसिमल आधार-20 संरचना प्रदर्शित करते हैं।

न्यूज़ीलैंड की माओरी भाषा में भी एक अंतर्निहित आधार-20 प्रणाली का प्रमाण है, जैसा कि ते होकोव्हिटू ए टू शब्द में एक युद्ध पार्टी और तामा-होकोताही का वर्णन है, जो एक महान योद्धा है।

3000 ईसा पूर्व से 2050 ईसा पूर्व मिस्र के पुराने साम्राज्य में द्विआधारी अंक प्रणाली का उपयोग किया जाता था। यह 1 से छोटी परिमेय संख्याओं को राउंड ऑफ करके कर्सिव था 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, 1/64 शब्द फेंके जाने के साथ प्रणाली को आई ऑफ होरस कहा जाता था।

कई ऑस्ट्रेलियाई आदिवासी भाषाएँ बाइनरी या बाइनरी-जैसी गिनती प्रणालियों को नियोजित करती हैं। उदाहरण के लिए, जो या को नहीं में, एक से छह तक की संख्याएँ उरापोन, उकासर, उकासर-उरापोन, उकासर-उकासर, उकासर-उकासर-उरापोन, उकासर-उकासर-उकासर हैं।

उत्तर और मध्य अमेरिकी मूल निवासियों ने चार मुख्य दिशाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए आधार -4 का उपयोग किया। मेसोअमेरिकन्स ने एक संशोधित आधार-20 प्रणाली बनाने के लिए एक दूसरा आधार-5 प्रणाली जोड़ने का प्रयास किया।

कई संस्कृतियों में गिनती के लिए आधार-5 प्रणाली पाँच का का उपयोग किया गया है। स्पष्ट रूप से यह मानव हाथ पर अंकों की संख्या पर आधारित है। इसे अन्य आधारों का उप-आधार भी माना जा सकता है, जैसे कि आधार-10, आधार-20, और आधार-60।

एक आधार-8 प्रणाली उत्तरी कैलिफोर्निया के युकी जनजाति द्वारा तैयार की गई थी, जो उंगलियों के बीच की जगहों को गिनने के लिए उपयोग करती थी, जो एक से आठ तक के अंकों के अनुरूप होती थी।^[18] भाषाई साक्ष्य भी हैं जो बताते हैं कि कांस्य युग प्रोटो-इंडो यूरोपीय जिनसे अधिकांश यूरोपीय और भारतीय भाषाएँ ने आधार -8 प्रणाली या एक प्रणाली जो केवल 8 तक गिनती कर सकती है; को आधार -10 से परिवर्तित कर दिया गया होगा। इसका प्रमाण यह है कि 9 के लिए शब्द "न्यूम" जिसे कुछ लोगों द्वारा "न्यू" से उत्पन्न होने का सुझाव देता है, जिससे प्रकट होता है कि नंबर 9 हाल ही में आविष्कृत किया गया था और इसे "नई संख्या" कहा जाता था।^[19] कई प्राचीन मतगणना प्रणालियाँ प्राथमिक आधार के रूप में पाँच का उपयोग करती हैं जो लगभग निश्चित रूप से किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों की संख्या से आती हैं। प्रायः इन प्रणालियों को कभी दस, कभी बीस द्वितीयक आधार के साथ पूरक किया जाता है। कुछ अफ्रीकी भाषाओं जैसे गिनी-बिसाऊ की द्योला भाषा, मध्य अफ्रीका की बांदा भाषाएँ में पाँच के लिए शब्द हाथ या मुट्ठी के समान है। द्वितीयक आधार तक पहुंचने तक 5 के संयोजन में 1, 2, 3, या 4 जोड़कर गिनती जारी रहती है। बीस के परिप्रेक्ष्य में, इस शब्द का अर्थ प्रायः मनुष्य पूर्ण होता है। इस प्रणाली को क्विनजेसीमल कहा जाता है। यह सूडान क्षेत्र की कई भाषाओं में पाया जाता है।

पापुआ न्यू गिनी में बोली जाने वाली टेलीफोल भाषा, आधार -27 अंक प्रणाली रखने के लिए उल्लेखनीय है।

गैर-मानक स्थितीय अंक प्रणाली

दिलचस्प गुण तब उपलब्ध होते हैं जब आधार निश्चित या सकारात्मक नहीं होता है और जब अंक प्रतीक नकारात्मक मानों को दर्शाता है। और भी कई विविधताएँ हैं जो प्रणाली कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए व्यावहारिक और सैद्धांतिक मूल्य के रूप में संदर्भित किए जाते है।

संतुलित त्रिगुट^[20] 3 के आधार का उपयोग करता है परंतु अंक समुच्चय है {1,0,1} के अतिरिक्त {0,1,2} 1 का तुल्य मान -1 है। स्विच करने से संख्या का निषेध सरली से बन जाता है 1s पर। इस प्रणाली का उपयोग संतुलन की समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है, जिसके लिए अज्ञात वजन निर्धारित करने के लिए ज्ञात काउंटर-वेट का न्यूनतम समुच्चय खोजने की आवश्यकता होती है। 1, 3, 9, ... 3ⁿ का भार ज्ञात इकाइयों का उपयोग 1 + 3 + ... + 3ⁿ तक किसी भी अज्ञात भार को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। तुला के दोनों ओर बाट का प्रयोग किया जा सकता है या बिल्कुल नहीं। अज्ञात वजन के साथ तराजू के पलड़े पर उपयोग किए गए वजन के साथ नामित किया गया है 1, 1 के साथ यदि खाली पैन पर उपयोग किया जाता है, और 0 के साथ यदि उपयोग नहीं किया जाता है। यदि एक अज्ञात भार W को 3 (3¹) इसके पलड़े पर और 1 और 27 (3⁰ और 3³) तो दशमलव में इसका वजन 25 या 10 है1

10113 = 1 \times 3 3 + 0 \times 3 2 - 1 \times 3 1 + 1 \times 3 0 = 25.

भाज्य संख्या प्रणाली एक भिन्न मूलांक का उपयोग करती है, भाज्य को स्थान मान के रूप में देती है; वे चीनी शेष प्रमेय और अवशेष संख्या प्रणाली गणन से संबंधित हैं। यह प्रणाली प्रभावी रूप से क्रमपरिवर्तन की गणना करती है। इसका एक व्युत्पन्न गिनती प्रणाली के रूप में हनोई पहेली विन्यास के स्तंभों का उपयोग करता है। स्तंभों के विन्यास को 1-टू-1 पत्राचार में उस चरण की दशमलव गणना के साथ रखा जा सकता है जिस पर समायोजन होता है और इसके विपरीत।

दशमलव समकक्ष	−3	−2	−1	1	2	3	4	5	6	7	8
संतुलित आधार 3	10	11	1	1	11	10	11	111	110	111	101
आधार−2	1101	10	11	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
गुणक				10	100	110	200	210	1000	1010	1100

गैर-स्थितीय स्थिति

प्रत्येक स्थान को स्थानिक नहीं होने की आवश्यकता होती है। बाबिलोनी षष्टिभुजीय संख्याएँ स्थानिक थीं, लेकिन प्रत्येक स्थान पर दो प्रकार के वेज समूह थे जो एकों और दसों को प्रतिष्ठित करते थे जैसे एक संकीर्ण ऊँची वेज | जो एक के लिए था और एक खुला बाएं ओर इशारी वेज जो दस के लिए था। प्रत्येक स्थान पर 5+9=14 प्रतीक हो सकते थे अर्थात् 5 दसों के लिए ⟨⟨⟨⟨⟨ और 9 एकों के लिए |||||||||, जो एक या दो निकटतम वर्गों में समूहित होते थे जिनमें तीन ऊंचाइयों के प्रतीक थे, या अवस्थान के अभाव के लिए एक स्थानधारक (\) था। यूनानी खगोलज्ञों ने प्रत्येक स्थान के लिए एक या दो ग्रीक वर्णमाला के संख्यात्मक प्रतीक का उपयोग किया जहाँ 10-50 को प्रतिष्ठित करने के लिए 5 अक्षरों में से एक चुना जाता था और/या 1-9 को प्रतिष्ठित करने के लिए 9 अक्षरों में से एक चुना जाता था, या अंत में एक शून्य प्रतीक को चुन लिया जाता था।^[21]

यह भी देखें

उदाहरण:

अंक प्रणाली की सूची
श्रेणी: स्थितीय अंक प्रणाली

संदर्भ

O'Connor, John; Robertson, Edmund (December 2000). "Babylonian Numerals". Archived from the original on 11 September 2014. Retrieved 21 August 2010.
Kadvany, John (December 2007). "Positional Value and Linguistic Recursion". Journal of Indian Philosophy. 35 (5–6): 487–520. doi:10.1007/s10781-007-9025-5. S2CID 52885600.
Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming. Vol. 2. Addison-Wesley. pp. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
Ifrah, George (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. p. 176. ISBN 9780486233680.

बाहरी संबंध

[multiref1-1] Kaplan, Robert (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford: Oxford University Press. pp. 11–12 – via archive.org.

[Greek_numerals-2] "ग्रीक अंक". Archived from the original on 26 November 2016. Retrieved 31 May 2016.

[3] Menninger, Karl: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl, Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed., 1979, ISBN 3-525-40725-4, pp. 150–153

[4] Ifrah, page 187

[5] L. F. Menabrea. Translated by Ada Augusta, Countess of Lovelace. "Sketch of The Analytical Engine Invented by Charles Babbage" Archived 15 September 2008 at the Wayback Machine. 1842.

[Berggren-6] 6.0 ^6.1 Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.

[7] Gandz, S.: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.

[Lam-8] 8.0 ^8.1 Lam Lay Yong, "The Development of Hindu-Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", Chinese Science, 1996 p38, Kurt Vogel notation

[9] Lay Yong, Lam. "एक चीनी उत्पत्ति, हमारे अंक प्रणाली के इतिहास का पुनर्लेखन". Archive for History of Exact Sciences. 38: 101–108.

[van-10] B. L. van der Waerden (1985). बीजगणित का इतिहास। ख़्वारिज़्मी से एमी नोथेर तक. Berlin: Springer-Verlag.

[EJD-11] 11.0 ^11.1 ^11.2 E. J. Dijksterhuis (1970) Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Martinus Nijhoff Publishers, Dutch original 1943

[12] The digit will retain its meaning in other number bases, in general, because a higher number base would normally be a notational extension of the lower number base in any systematic organization. In the mathematical sciences there is virtually only one positional-notation numeral system for each base below 10, and this extends with few, if insignificant, variations on the choice of alphabetic digits for those bases above 10.

[13] We do not usually remove the lowercase digits "l" and lowercase "o", for in most fonts they are discernible from the digits "1" and "0".

[14] User 'Gone'. "संख्या प्रणाली - आधार $n$ से $m$ में कैसे बदलें". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 6 August 2020. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)

[15] The exact size of the $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}$ does not matter. They only have to be ≥ 1.

[16] Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2, ISBN 9780940490291, archived from the original on 1 October 2016, retrieved 18 September 2019

[kakt-17] Bartley, Wm. Clark (January–February 1997). "ओल्ड वे काउंट बनाना" (PDF). Sharing Our Pathways. 2 (1): 12–13. Archived (PDF) from the original on 25 June 2013. Retrieved 27 February 2017.

[18] Barrow, John D. (1992), Pi in the sky: counting, thinking, and being, Clarendon Press, p. 38, ISBN 9780198539568.

[19] (Mallory & Adams 1997) Encyclopedia of Indo-European Culture

[20] Knuth, pages 195–213

[21] Ifrah, pages 261–264

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]