रेत रेकनर

"Psammites" redirects here. For other uses, see Psammite.

द सैंड रेकनर (Greek: Ψαμμίτης, Psammites) तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ का एक काम है, जिसमें उन्होंने ब्रह्मांड में फिट होने वाले रेत के दानों की संख्या के लिए एक ऊपरी सीमा निर्धारित की। ऐसा करने के लिए, उन्हें समकालीन मॉडल के अनुसार ब्रह्मांड के आकार का अनुमान लगाना था, और अत्यधिक बड़ी संख्याओं के बारे में बात करने का एक तरीका ईजाद करना था। काम, जिसे लैटिन में 'आर्किमिडिस सिराकुसानी एरेनेरियस एंड डिमेंसियो सर्कुली' के रूप में भी जाना जाता है, जो अनुवाद में लगभग आठ पृष्ठ लंबा है, सिरैक्यूज़, सिसिली राजा गेलो, हायरो II के बेटे (सिराक्यूज़ के हिरो II के बेटे) को संबोधित किया गया है, और संभवतः आर्किमिडीज का सबसे सुलभ कार्य है; एक मायने में, यह पहला शैक्षिक पत्र है|शोध-व्याख्यात्मक पेपर।

बड़ी संख्या का नामकरण

Periods and orders with their intervals in modern notation
Period	Order	Interval	log10 of interval
1	1	(1, Ơ], where the unit of the second order, Ơ = 108	(0, 8]
	2	(Ơ, Ơ2]	(8, 16]
	···
	k	(Ơk − 1, Ơk]	(8k − 8, 8k]
	···
	Ơ	(ƠƠ − 1, Ƥ], where the unit of the second period, Ƥ = ƠƠ = 108×108	(8×108 − 8, 8×108] = (799,999,992, 800,000,000]
2	1	(Ƥ, ƤƠ]	(8×108, 8 × (108 + 1)] = (800,000,000, 800,000,008]
	2	(ƤƠ, ƤƠ2]	(8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)]
	···
	k	(ƤƠk − 1, ƤƠk]	(8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ] = (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (1.6×109 − 8, 1.6×109] = (1,599,999,992, 1,600,000,000]
···
Ơ	1	(ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ]	(8×108 × (108 − 1),  8 × (108 × (108 − 1) + 1)] = (79,999,999,200,000,000,     79,999,999,200,000,008]
	2	(ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2]	(8 × (108 × (108 − 1) + 1),   8 × (108 × (108 − 1) + 2)]
	···
	k	(ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk]	(8 × (108 × (108 − 1) + k − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ] = (ƤƠƠ−1, ƤƠ]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (8×1016 − 8, 8×1016] = (79,999,999,999,999,992,     80,000,000,000,000,000]

सबसे पहले, आर्किमिडीज़ को बड़ी संख्या के नामकरण की एक प्रणाली का आविष्कार करना पड़ा। उस समय उपयोग की जाने वाली संख्या प्रणाली एक असंख्य (μυριάς - 10,000) तक संख्याओं को व्यक्त कर सकती थी, और असंख्य शब्द का उपयोग करके, कोई भी असंख्य असंख्य (10) तक सभी संख्याओं के नामकरण के लिए इसे तुरंत बढ़ा सकता है।⁸). आर्किमिडीज़ ने 10 तक की संख्याएँ बताईं⁸ पहला ऑर्डर और 10 को कॉल किया⁸ स्वयं दूसरे क्रम की इकाई है। इस इकाई का गुणक तब दूसरा क्रम बन गया, इस इकाई तक असंख्य-असंख्य बार लिया गया, 10⁸·10⁸=10¹⁶. यह तीसरे क्रम की इकाई बन गया, जिसका गुणक तीसरा क्रम था, और इसी तरह। आर्किमिडीज़ ने इस तरह से संख्याओं का नामकरण 10 की इकाई के असंख्य-असंख्य गुना तक जारी रखा⁸-वाँ क्रम, यानी, $(10^{8})^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{8}}$.

ऐसा करने के बाद, आर्किमिडीज़ ने उन आदेशों को बुलाया जिन्हें उन्होंने पहली अवधि के आदेशों को परिभाषित किया था, और अंतिम को बुलाया, $(10^{8})^{(10^{8})}$, दूसरी अवधि की इकाई। इसके बाद उन्होंने इस इकाई के गुणकों को उसी तरह से लेते हुए दूसरी अवधि के आदेशों का निर्माण किया, जिस तरह से पहली अवधि के आदेशों का निर्माण किया गया था। इस तरह से जारी रखते हुए, वह अंततः असंख्य-असंख्य अवधि के आदेशों पर पहुंचे। आर्किमिडीज़ द्वारा नामित सबसे बड़ी संख्या इस अवधि में अंतिम संख्या थी, जो है

$\left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.$

इस संख्या का वर्णन करने का एक अन्य तरीका एक है जिसके बाद (लंबे और छोटे पैमाने) अस्सी क्वाड्रिलियन (80·10¹⁵) शून्य।

आर्किमिडीज की प्रणाली आधार 10 के साथ स्थितीय अंक प्रणाली की याद दिलाती है⁸, जो उल्लेखनीय है क्योंकि प्राचीन यूनानी बहुत ही ग्रीक अंकों का उपयोग करते थे, जिसमें 1 से 9 तक की इकाइयों, दसियों 10 से 90 और सैकड़ों 100 से 900 तक की इकाइयों के लिए वर्णमाला के 27 अलग-अलग अक्षरों का इस्तेमाल होता था।

आर्किमिडीज़ ने भी प्रतिपादक की खोज की और उसे सिद्ध किया, $10^{a}10^{b}=10^{a+b}$, 10 की शक्तियों में हेरफेर करने के लिए आवश्यक है।

ब्रह्मांड के आकार का अनुमान

आर्किमिडीज ने ब्रह्मांड को भरने के लिए आवश्यक रेत के दानों की संख्या के लिए एक ऊपरी सीमा का अनुमान लगाया। ऐसा करने के लिए, उन्होंने सामोस के एरिस्टार्चस के सूर्यकेंद्रित मॉडल का इस्तेमाल किया। एरिस्टार्चस द्वारा मूल कार्य खो गया है। हालांकि आर्किमिडीज़ का यह कार्य उनके सिद्धांत के कुछ जीवित संदर्भों में से एक है, जिससे सूर्य स्थिर रहता है जबकि पृथ्वी सूर्य की परिक्रमा करती है। आर्किमिडीज़ के अपने शब्दों में:

His [Aristarchus'] hypotheses are that the fixed stars and the Sun remain unmoved, that the Earth revolves about the Sun on the circumference of a circle, the Sun lying in the middle of the orbit, and that the sphere of fixed stars, situated about the same center as the Sun, is so great that the circle in which he supposes the Earth to revolve bears such a proportion to the distance of the fixed stars as the center of the sphere bears to its surface.

इस मॉडल के बड़े आकार का कारण यह है कि यूनानी उपलब्ध तकनीकों के साथ तारकीय लंबन का निरीक्षण करने में असमर्थ थे, जिसका अर्थ है कि कोई भी लंबन बहुत छोटा है और इसलिए तारों को पृथ्वी से बड़ी दूरी पर रखा जाना चाहिए (सूर्यकेंद्रवाद को सत्य मानते हुए) ).

आर्किमिडीज़ के अनुसार, एरिस्टार्कस ने यह नहीं बताया कि तारे पृथ्वी से कितनी दूर हैं। इसलिए आर्किमिडीज़ को निम्नलिखित धारणाएँ बनानी पड़ीं:

• ब्रह्मांड गोलाकार था
• सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा के व्यास के लिए ब्रह्मांड के व्यास का अनुपात सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा के व्यास के पृथ्वी के व्यास के अनुपात के बराबर है।

यह धारणा यह कहकर भी व्यक्त की जा सकती है कि पृथ्वी की अपनी कक्षा के चारों ओर गति के कारण होने वाला तारकीय लंबन पृथ्वी के चारों ओर गति के कारण होने वाले सौर लंबन के बराबर है। अनुपात में रखें:

${\frac {\text{Diameter of Universe}}{\text{Diameter of Earth orbit around the Sun}}}={\frac {\text{Diameter of Earth orbit around the Sun}}{\text{ Diameter of Earth}}}$ ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए, आर्किमिडीज़ ने अपने आयामों की निम्नलिखित धारणाएँ बनाईं:

• कि पृथ्वी की परिधि 300 असंख्य प्राचीन यूनानी भार और माप#लंबाई (5.55·10) से बड़ी नहीं थी⁵ किमी)।
• कि चंद्रमा पृथ्वी से बड़ा नहीं था, और सूर्य चंद्रमा से तीस गुना बड़ा नहीं था।
• कि सूर्य का कोणीय व्यास, जैसा कि पृथ्वी से देखा गया है, एक समकोण (π/400 कांति = 0.45डिग्री (कोण)|डिग्री डिग्री) के 1/200 से अधिक था।

आर्किमिडीज ने तब निष्कर्ष निकाला कि ब्रह्मांड का व्यास 10 से अधिक नहीं था¹⁴ स्टेडियम (आधुनिक इकाइयों में, लगभग 2 प्रकाश वर्ष), और इसके लिए 10 से अधिक की आवश्यकता नहीं होगी⁶³ इसे भरने के लिए रेत के दाने। इन मापों के साथ, आर्किमिडीज़ के विचार-प्रयोग में रेत का प्रत्येक दाना लगभग 19 माइक्रोन (0.019 मिमी) व्यास का रहा होगा।

अरस्तू ब्रह्मांड में रेत के दानों की संख्या की गणना

आर्किमिडीज का दावा है कि अगल-बगल रखे गए चालीस खसखस ​​​​एक ग्रीक डैक्टाइल (उंगली-चौड़ाई) के बराबर होंगे जो लंबाई में लगभग 19 मिमी (3/4 इंच) थे। चूँकि आयतन एक रेखीय आयाम के घन के रूप में आगे बढ़ता है (क्योंकि यह सिद्ध हो चुका है कि गोलों का उनके व्यास के एक दूसरे से तीन प्रतियों का अनुपात होता है) तो व्यास में एक डैक्टाइल गोले में शामिल होगा (हमारी वर्तमान संख्या प्रणाली का उपयोग करके) 40³, या 64,000 खसखस।

फिर उन्होंने दावा किया (बिना सबूत के) कि प्रत्येक खसखस ​​​​में रेत के असंख्य (10,000) दाने हो सकते हैं। दो आंकड़ों को एक साथ गुणा करते हुए उन्होंने 640,000,000 को व्यास में एक डैक्टिल क्षेत्र में रेत के काल्पनिक अनाज की संख्या के रूप में प्रस्तावित किया।

आगे की गणना को आसान बनाने के लिए, उन्होंने 640 मिलियन से एक बिलियन तक गोल किया, केवल यह देखते हुए कि पहली संख्या दूसरी से छोटी है, और इसलिए बाद में गणना की गई रेत के दानों की संख्या अनाज की वास्तविक संख्या से अधिक हो जाएगी। याद करें कि इस निबंध के साथ आर्किमिडीज का मेटा-लक्ष्य यह दिखाना था कि पहले असंभव रूप से बड़ी संख्या के साथ गणना कैसे की जाए, न कि केवल ब्रह्मांड में रेत के दानों की संख्या की सही गणना करना।

एक ग्रीक स्टेडियम की लंबाई 600 ग्रीक फीट थी, और प्रत्येक फुट 16 डैक्टाइल लंबा था, इसलिए एक स्टेडियम में 9,600 डैक्टाइल थे। आर्किमिडीज़ ने गणना को आसान बनाने के लिए इस संख्या को 10,000 (एक असंख्य) तक गोल किया, फिर से ध्यान दिया कि परिणामी संख्या रेत के दानों की वास्तविक संख्या से अधिक होगी।

10,000 का घन एक खरब (10¹²); और एक ट्रिलियन (एक स्टेडियम-गोले में डैक्टाइल-गोले की संख्या) द्वारा एक बिलियन (एक डैक्टाइल-गोले में रेत के दानों की संख्या) को गुणा करने पर 10 प्राप्त होता है²¹, स्टेडियम के गोले में रेत के दानों की संख्या।

आर्किमिडीज ने अनुमान लगाया था कि अरिस्टार्चियन यूनिवर्स 10 था¹⁴ स्टेडियम व्यास में हैं, इसलिए तदनुसार वहाँ होगा (10¹⁴)³ ब्रह्मांड में स्टेडियम-गोले, या 10^{42</उप>। गुणा 1021 10 तक42 10 देता है63, अरिस्टार्चियन यूनिवर्स में रेत के दानों की संख्या। एक खसखस ​​में रेत के असंख्य (10,000) अनाज के आर्किमिडीज के अनुमान के बाद; एक डैक्टाइल-गोले में 64,000 खसखस; 10,000 डैक्टाइल के रूप में एक स्टेडियम की लंबाई; और 19 मिमी को डैक्टाइल की चौड़ाई के रूप में स्वीकार करते हुए, आर्किमिडीज़ के विशिष्ट रेत के दाने का व्यास 18.3 माइक्रोन होगा, जिसे आज हम गाद का एक दाना कहेंगे। वर्तमान में, रेत के सबसे छोटे दाने को 50 माइक्रोन व्यास के रूप में परिभाषित किया जाएगा।}

अतिरिक्त गणना

आर्किमिडीज़ ने रास्ते में कुछ दिलचस्प प्रयोग और संगणनाएँ कीं। एक प्रयोग सूर्य के कोणीय आकार का अनुमान लगाना था, जैसा कि पृथ्वी से देखा गया है। आर्किमिडीज की विधि विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि यह आंख की पुतली के परिमित आकार को ध्यान में रखती है, और इसलिए साइकोफिज़िक्स में प्रयोग का पहला ज्ञात उदाहरण हो सकता है, मानव धारणा के यांत्रिकी से संबंधित [[मनोविज्ञान]] की शाखा, जिसका विकास आम तौर पर हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ को दिया जाता है। सौर लंबन और दर्शक और सूर्य के बीच की अलग-अलग दूरियों के लिए एक और दिलचस्प संगणना, चाहे पृथ्वी के केंद्र से या सूर्योदय के समय पृथ्वी की सतह से देखी गई हो। यह सौर लंबन से निपटने वाली पहली ज्ञात संगणना हो सकती है।

उद्धरण

There are some, king Gelon, who think that the number of the sand is infinite in multitude; and I mean by the sand not only that which exists about Syracuse and the rest of Sicily but also that which is found in every region whether inhabited or uninhabited. Again there are some who, without regarding it as infinite, yet think that no number has been named which is great enough to exceed its magnitude. And it is clear that they who hold this view, if they imagined a mass made up of sand in other respects as large as the mass of the Earth, including in it all the seas and the hollows of the Earth filled up to a height equal to that of the highest of the mountains, would be many times further still from recognizing that any number could be expressed which exceeded the multitude of the sand so taken.

But I will try to show you by means of geometrical proofs, which you will be able to follow, that, of the numbers named by me and given in the work which I sent to Zeuxippus, some exceed not only the number of the mass of sand equal in magnitude to the Earth filled up in the way described, but also that of the mass equal in magnitude to the universe.

— Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli

अग्रिम पठन

• The Sand-Reckoner, by Gillian Bradshaw. Forge (2000), 348pp, ISBN 0-312-87581-9. This is a historical novel about the life and work of Archimedes.

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• ब्रम्हांड
• सिरैक्यूज़ का हीरो II
• लंबी और छोटी तराजू
• घातांक
• समोस का एरिस्टार्चस
• रवि
• कक्षीय अवधि
• धरती
• सूर्य केन्द्रीयता

बाहरी संबंध

• Original Greek text
• The Sand Reckoner (annotated)
• The Sand Reckoner (Arenario) Italian annotated translation, with notes about Archimedes and Greek mathematical notation and unit of measure. Source file of the Arenarius Greek text (for LaTeX).
• Archimedes, The Sand Reckoner, by Ilan Vardi; includes a literal English version of the original Greek text