उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग

उदासीन विश्लेषण में, उष्णकटिबंधीय मोटी हो जाओ क्रमशः न्यूनतम (या अधिकतम) के संचालन के साथ विस्तारित वास्तविक संख्याओं का एक संगोष्ठी है और क्रमशः जोड़ और गुणन के सामान्य (शास्त्रीय) संचालन की जगह लेता है।

उष्णकटिबंधीय संगोष्ठी में विभिन्न अनुप्रयोग हैं (उष्णकटिबंधीय विश्लेषण देखें), और उष्णकटिबंधीय ज्यामिति का आधार बनता है। "उष्णकटिबंधीय" नाम हंगरी में जन्मे कंप्यूटर वैज्ञानिक इमरे साइमन का एक संदर्भ है, इसलिए नाम दिया गया क्योंकि वह ब्राजील में रहते थे और काम करते थे।

परिभाषा

min tropical semiring (या 'min-plus semiring याmin-plus algebra) सेमिरिंग (ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗) है, संचालन के साथ:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

संचालन ⊕ और ⊗ को क्रमशः उष्णकटिबंधीय जोड़ और उष्णकटिबंधीय गुणन कहा जाता है। ⊕ की इकाई +∞ है, और ⊗ की इकाई 0 है।

इसी प्रकार, दmax tropical semiring (या 'max-plus semiring याmax-plus algebra याArctic semiring) सेमीरिंग (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) है, संचालन के साथ:

$x\oplus y=\max\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

⊕ की इकाई −∞ है, और ⊗ की इकाई 0 है।

निषेध के तहत दो सेमीरिंग आइसोमॉर्फिक हैं $x\mapsto -x$, और आम तौर पर इनमें से एक को चुना जाता है और केवल उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है। लेखकों और उपक्षेत्रों के बीच परंपराएं भिन्न होती हैं: कुछ न्यूनतम सम्मेलन का उपयोग करते हैं, कुछ अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करते हैं।

ट्रॉपिकल जोड़ निःशक्तता है, इस प्रकार एक ट्रॉपिकल सेमिरिंग सेमिरिंग # इडेमपोटेंट सेमिरिंग का एक उदाहरण है।

एक उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग को एक 'के रूप में भी जाना जाता है।tropical algebra, हालांकि यह एक उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग पर एक साहचर्य बीजगणित के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

उष्णकटिबंधीय घातांक को पुनरावृत्त उष्णकटिबंधीय उत्पादों के रूप में सामान्य तरीके से परिभाषित किया गया है।

मूल्यवान क्षेत्र

Main article: Valued field

ट्रॉपिकल सेमिरिंग ऑपरेशंस मॉडल कैसे मूल्यांकन (बीजगणित) एक मूल्यवान क्षेत्र में जोड़ और गुणा के तहत व्यवहार करता है। एक वास्तविक मूल्यवान क्षेत्र $K$ एक समारोह से सुसज्जित क्षेत्र है

$v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$

जो सभी के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है $a$, $b$ में $K$:

$v(a)=\infty$ अगर और केवल अगर $a=0,$

$v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),$

$v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),$ समानता के साथ अगर $v(a)\neq v(b).$

इसलिए वैल्यूएशन v, K से लेकर ट्रॉपिकल सेमिरिंग तक लगभग एक सेमीरिंग होमोमोर्फिज्म है, सिवाय इसके कि होमोमोर्फिज्म प्रॉपर्टी तब विफल हो सकती है जब समान वैल्यूएशन वाले दो तत्व एक साथ जुड़ जाते हैं।

कुछ सामान्य मूल्यवान क्षेत्र:

• $\mathbb {Q}$ या $\mathbb {C}$ तुच्छ मूल्यांकन के साथ, $v(a)=0$ सभी के लिए $a\neq 0$,
• $\mathbb {Q}$ या p-adic मूल्यांकन के साथ इसका विस्तार, $v(p^{n}a/b)=n$ के लिए $a$ और $b$ कोप्राइम टू $p$,
• औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का क्षेत्र $K((t))$ (पूर्णांक शक्तियाँ), या प्यूसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र $K\{\{t\}\}$, या हैन शृंखला का क्षेत्र, का सबसे छोटा प्रतिपादक लौटाने वाले मूल्यांकन के साथ $t$ सीरीज में नजर आ रहे हैं।

संदर्भ

• Litvinov, G. L. (2005). "The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction". arXiv:math/0507014v1.