साधारण अंगूठी

अमूर्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा, एक साधारण वलय एक शून्य वलय है | गैर-शून्य वलय (गणित) जिसमें शून्य आदर्श और स्वयं के अलावा कोई दो-तरफा आदर्श (रिंग सिद्धांत) नहीं है। विशेष रूप से, एक क्रमविनिमेय वलय एक साधारण वलय है यदि और केवल यदि यह एक क्षेत्र (गणित) है।

एक साधारण वलय का केंद्र (रिंग सिद्धांत) आवश्यक रूप से एक क्षेत्र होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक साधारण वलय इस क्षेत्र पर एक साहचर्य बीजगणित है। फिर इसे इस क्षेत्र पर एक सरल बीजगणित कहा जाता है।

कई संदर्भों (उदाहरण के लिए, लैंग (2002) या बोरबाकी (2012)) के अतिरिक्त यह आवश्यक है कि एक साधारण रिंग बाएँ या दाएँ मतलब अंगूठी (या समकक्ष अर्ध-सरल रिंग|अर्ध-सरल) हो। ऐसी शब्दावली के तहत बिना किसी गैर-तुच्छ दो-तरफा आदर्शों वाली एक गैर-शून्य अंगूठी को अर्ध-सरल कहा जाता है।

वे छल्ले जो छल्ले के समान सरल होते हैं लेकिन स्वयं पर एक साधारण मॉड्यूल नहीं होते हैं, मौजूद होते हैं: एक क्षेत्र पर एक पूर्ण मैट्रिक्स रिंग में कोई भी गैर-तुच्छ दो-तरफा आदर्श नहीं होता है (क्योंकि कोई भी आदर्श नहीं होता है) $M_{n}(R)$ स्वरूप का है $M_{n}(I)$ साथ $I$ का एक आदर्श $R$), लेकिन इसमें गैर-तुच्छ बाएं आदर्श हैं (उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के सेट जिनमें कुछ निश्चित शून्य कॉलम हैं)।

एक साधारण वलय का एक तात्कालिक उदाहरण एक विभाजन वलय है, जहां प्रत्येक गैर-शून्य तत्व का एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है, उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक। इसके अलावा, किसी के लिए भी $n\geq 1$, का बीजगणित $n\times n$ एक डिवीजन रिंग में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स सरल है।

जोसेफ वेडरबर्न ने साबित कर दिया कि यदि एक अंगूठी है $R$ एक क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी सरल बीजगणित है $k$, यह कुछ विभाजन बीजगणित पर मैट्रिक्स बीजगणित के लिए समरूपी है $k$. विशेष रूप से, एकमात्र सरल वलय जो वास्तविक संख्याओं पर परिमित-आयामी बीजगणित हैं, वे वास्तविक संख्याओं, जटिल संख्याओं या चतुर्भुज पर आव्यूह के वलय हैं।

वेडरबर्न ने 1907 में अपने डॉक्टरेट थीसिस, ऑन हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर्स में इन परिणामों को साबित किया, जो लंदन गणितीय सोसायटी की कार्यवाही में दिखाई दिया। उनकी थीसिस ने क्षेत्रों पर परिमित-आयामी सरल और अर्धसरल बीजगणित को वर्गीकृत किया। सरल बीजगणित अर्धसरल बीजगणित के निर्माण खंड हैं: कोई भी परिमित-आयामी अर्धसरल बीजगणित, बीजगणित के अर्थ में, परिमित-आयामी सरल बीजगणित का एक कार्टेशियन उत्पाद है।

किसी को शब्दावली से सावधान रहना चाहिए: हर साधारण वलय एक Semisimple_module#Semisimple_rings नहीं है, और हर साधारण बीजगणित एक semisimple बीजगणित नहीं है! हालाँकि, प्रत्येक परिमित-आयामी सरल बीजगणित एक अर्धसरल बीजगणित है, और प्रत्येक सरल वलय जो बाएँ या दाएँ आर्टिनियन वलय है, एक अर्धसरल वलय है।

एक साधारण वलय का एक उदाहरण जो अर्धसरल नहीं है, वेइल बीजगणित है। वेइल बीजगणित एक साधारण बीजगणित का उदाहरण भी देता है जो अपने केंद्र पर एक विभाजन बीजगणित पर मैट्रिक्स बीजगणित नहीं है: वेइल बीजगणित अनंत-आयामी है, इसलिए वेडरबर्न का प्रमेय लागू नहीं होता है।

वेडरबर्न के परिणाम को बाद में वेडरबर्न-आर्टिन प्रमेय में अर्धसरल वलय के रूप में सामान्यीकृत किया गया: यह कहता है कि प्रत्येक अर्धसरल वलय विभाजन वलय पर मैट्रिक्स वलय का एक सीमित उत्पाद है। इस सामान्यीकरण के परिणामस्वरूप, प्रत्येक साधारण वलय जो बाएँ या दाएँ आर्टिनियन वलय है, एक विभाजन वलय के ऊपर एक मैट्रिक्स वलय है।

उदाहरण

होने देना $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र बनें, $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र हो, और $\mathbb {H}$ चतुर्भुज.

• एक केंद्रीय सरल बीजगणित (जिसे कभी-कभी ब्राउर बीजगणित भी कहा जाता है) एक क्षेत्र (गणित) पर एक सरल परिमित-आयामी बीजगणित है $F$ जिसका बीजगणित का केंद्र है $F$.
• प्रत्येक परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {R}$के बीजगणित के लिए समरूपी है $n\times n$ प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स$\mathbb {R}$,$\mathbb {C}$, या$\mathbb {H}$. हर केंद्रीय सरल बीजगणित खत्म$\mathbb {R}$के बीजगणित के लिए समरूपी है $n\times n$ प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स$\mathbb {R}$या$\mathbb {H}$. ये परिणाम फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) से अनुसरण करते हैं।
• प्रत्येक परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {C}$एक केंद्रीय सरल बीजगणित है, और एक मैट्रिक्स रिंग के समरूपी है$\mathbb {C}$.
• एक परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित उस क्षेत्र पर एक मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है।
• एक क्षेत्र पर अनंत-आयामी वेक्टर स्थान के सभी रैखिक परिवर्तनों का बीजगणित $k$ एक साधारण अंगूठी है जो अर्धसरल अंगूठी नहीं है। यह भी एक सरल बीजगणित है $k$ वह कोई अर्धसरल बीजगणित नहीं है.

यह भी देखें

• सरल (बीजगणित)
• सरल सार्वभौमिक बीजगणित

संदर्भ

• A. A. Albert, Structure of Algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3. P.37.
• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
• Nicholson, William K. (1993). "A short proof of the Wedderburn-Artin theorem" (PDF). New Zealand J. Math. 22: 83–86.
• Henderson, D.W. (1965). "A short proof of Wedderburn's theorem". Amer. Math. Monthly. 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
• Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5