आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)

रिंग थ्योरी में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा, एक रिंग का आदर्श (गणित) इसके तत्वों का एक विशेष उपसमुच्चय है। आदर्श पूर्णांकों के कुछ उपसमूहों का सामान्यीकरण करते हैं, जैसे कि सम संख्याएँ या 3 के गुणज। सम संख्याओं का जोड़ और घटाव समता को बनाए रखता है, और किसी सम संख्या को किसी पूर्णांक (सम या विषम) से गुणा करने पर सम संख्या प्राप्त होती है; ये क्लोजर (गणित) और अवशोषण गुण एक आदर्श के परिभाषित गुण हैं। एक भागफल वलय के निर्माण के लिए एक आदर्श का उपयोग उसी तरह से किया जा सकता है जैसे समूह सिद्धांत में, एक सामान्य उपसमूह का उपयोग भागफल समूह के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

पूर्णांकों के बीच, आदर्श गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ एक-से-एक के अनुरूप होते हैं: इस अंगूठी में, प्रत्येक आदर्श एक एकल गैर-नकारात्मक संख्या के गुणकों से युक्त एक प्रमुख आदर्श है। हालांकि, अन्य छल्लों में, आदर्श सीधे रिंग तत्वों के अनुरूप नहीं हो सकते हैं, और पूर्णांक के कुछ गुण, जब रिंगों के लिए सामान्यीकृत होते हैं, तो रिंग के तत्वों की तुलना में आदर्शों के लिए अधिक स्वाभाविक रूप से संलग्न होते हैं। उदाहरण के लिए, एक रिंग की प्रमुख आदर्श संख्याएँ अभाज्य संख्याओं के अनुरूप होती हैं, और चीनी शेष प्रमेय को आदर्शों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। डेडेकिंड डोमेन (संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण एक प्रकार की अंगूठी) के आदर्शों के लिए अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है।

आदेश सिद्धांत में एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) की संबंधित, लेकिन विशिष्ट, अवधारणा अंगूठी सिद्धांत में आदर्श की धारणा से ली गई है। एक आंशिक आदर्श एक आदर्श का सामान्यीकरण है, और सामान्य आदर्शों को कभी-कभी स्पष्टता के लिए अभिन्न आदर्श कहा जाता है।

इतिहास

गंभीर दु:ख ने आदर्श संख्याओं की अवधारणा का आविष्कार किया ताकि संख्या के छल्ले में लापता कारकों के रूप में काम किया जा सके जिसमें अद्वितीय गुणनखंड विफल हो जाता है; यहाँ आदर्श शब्द केवल कल्पना में विद्यमान होने के अर्थ में है, ज्यामिति में आदर्श वस्तुओं के अनुरूप है जैसे कि अनंत पर बिंदु। 1876 ​​में, रिचर्ड डेडेकिंड ने कुमेर की अपरिभाषित अवधारणा को संख्याओं के ठोस सेटों से बदल दिया, जिसे उन्होंने आदर्श कहा, Dirichlet की पुस्तक वोरलेसुंगेन über ज़ाहलेन्थोरी के तीसरे संस्करण में, जिसमें डेडेकिंड ने कई पूरक जोड़े थे। बाद में डेविड हिल्बर्ट और विशेष रूप से एमी नोथेर द्वारा बहुपद के छल्ले और अन्य कम्यूटेटिव रिंगों की सेटिंग के लिए धारणा को संख्या के छल्ले से आगे बढ़ा दिया गया था।

परिभाषाएँ और प्रेरणा

मनमानी अंगूठी के लिए $(R,+,\cdot )$, होने देना $(R,+)$ इसका योगात्मक समूह हो। उपसमुच्चय $I$ का वाम आदर्श कहा जाता है $R$ अगर यह एक योगात्मक उपसमूह है $R$ के तत्वों द्वारा बाईं ओर से गुणन को अवशोषित करता है $R$; वह है, $I$ एक वामपंथी आदर्श है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. $(I,+)$ का एक उपसमूह है $(R,+),$
2. हरएक के लिए $r\in R$ और हर $x\in I$, उत्पाद $rx$ में है $I$.

एक सही आदर्श को शर्त के साथ परिभाषित किया गया है "r x ∈ I" द्वारा प्रतिस्थापित "x r ∈ I". एक दो तरफा आदर्श एक वाम आदर्श है जो एक सही आदर्श भी है, और कभी-कभी इसे केवल एक आदर्श कहा जाता है। मॉड्यूल (गणित) की भाषा में, परिभाषाओं का अर्थ है कि R का एक बायां (उत्तर दाएं, दो तरफा) आदर्श एक R-मॉड्यूल (गणित)#Submodules and homomorphisms 'है 'R जब R को बाएं (resp. right, bi-) R-मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है। जब आर एक क्रमविनिमेय वलय है, तो बाएँ, दाएँ और दो तरफा आदर्श की परिभाषाएँ मेल खाती हैं, और आदर्श शब्द का प्रयोग अकेले किया जाता है।

एक आदर्श की अवधारणा को समझने के लिए, विचार करें कि तत्वों के छल्ले के निर्माण में आदर्श कैसे उत्पन्न होते हैं। संक्षिप्तता के लिए, आइए पूर्णांक दिए गए पूर्णांक मॉड्यूलो n के वलय ℤ/nℤ को देखें n ∈ ℤ (ध्यान दें कि ℤ एक क्रमविनिमेय वलय है)। यहाँ मुख्य अवलोकन यह है कि हम ℤ/nℤ को पूर्णांक रेखा ℤ लेकर और इसे अपने चारों ओर लपेटकर प्राप्त करते हैं ताकि विभिन्न पूर्णांकों की पहचान हो सके। ऐसा करने में, हमें 2 आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए:

1) n को 0 से पहचाना जाना चाहिए क्योंकि n 0 सापेक्ष n के अनुरूप है।

2) परिणामी संरचना फिर से एक अंगूठी होनी चाहिए।

दूसरी आवश्यकता हमें अतिरिक्त पहचान करने के लिए मजबूर करती है (यानी, यह सटीक तरीका निर्धारित करती है जिसमें हमें अपने चारों ओर ℤ लपेटना चाहिए)। एक आदर्श की धारणा तब उत्पन्न होती है जब हम प्रश्न पूछते हैं: <ब्लॉककोट>पूर्णांकों का सटीक सेट क्या है जिसे हमें 0 के साथ पहचानने के लिए मजबूर किया जाता है?</ब्लॉककोट> उत्तर आश्चर्यजनक रूप से सेट है nℤ = { nm | m ∈ ℤ } सभी पूर्णांकों के अनुरूप 0 मॉड्यूलो एन। अर्थात्, हमें ℤ को अपने चारों ओर असीम रूप से कई बार लपेटना चाहिए ताकि पूर्णांक ..., n · (−2), n · (−1), n · (+1), n · (+2), ... सभी 0 के साथ संरेखित होंगे। यदि हम देखते हैं कि यह सुनिश्चित करने के लिए कि ℤ/nℤ एक अंगूठी है, तो इस सेट को किन गुणों को संतुष्ट करना चाहिए, फिर हम एक आदर्श की परिभाषा पर पहुंचते हैं। दरअसल, कोई भी सीधे सत्यापित कर सकता है कि nℤ ℤ का आदर्श है।

'टिप्पणी।' 0 के अलावा अन्य तत्वों के साथ पहचान भी बनाने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, तत्वों में 1 + nℤ की पहचान 1 से की जानी चाहिए, इसमें तत्व 2 + nℤ को 2 से पहचाना जाना चाहिए, और इसी तरह। हालाँकि, वे विशिष्ट रूप से nℤ द्वारा निर्धारित किए जाते हैं क्योंकि ℤ एक योगात्मक समूह है।

हम किसी भी क्रमविनिमेय वलय R में समान निर्माण कर सकते हैं: एक मनमानी से शुरू करें x ∈ R, और फिर 0 के साथ आदर्श के सभी तत्वों की पहचान करें xR = { x r : r ∈ R }. यह पता चला है कि आदर्श xR सबसे छोटा आदर्श है जिसमें x शामिल है, जिसे x द्वारा 'उत्पन्न' आदर्श कहा जाता है। अधिक आम तौर पर, हम एक मनमाने उपसमुच्चय के साथ शुरू कर सकते हैं S ⊆ R, और फिर 0 के साथ एस द्वारा उत्पन्न आदर्श में सभी तत्वों की पहचान करें: सबसे छोटा आदर्श (एस) ऐसा है S ⊆ (S). पहचान के बाद हमें जो वलय प्राप्त होता है वह केवल आदर्श (S) पर निर्भर करता है न कि समुच्चय S पर जिससे हमने शुरुआत की थी। यानी अगर (S) = (T), तो परिणामी वलय समान होंगे।

इसलिए, एक क्रमविनिमेय वलय R का एक आदर्श I एक दिए गए सबसेट में R मॉड्यूलो के तत्वों के वलय को प्राप्त करने के लिए आवश्यक जानकारी को विहित रूप से प्राप्त करता है। S ⊆ R. I के तत्व, परिभाषा के अनुसार, वे हैं जो शून्य के अनुरूप हैं, अर्थात परिणामी वलय में शून्य के साथ पहचाने जाते हैं। परिणामी वलय को I द्वारा R का 'भागफल वलय' कहा जाता है और इसे R/I निरूपित किया जाता है। सहज रूप से, एक आदर्श की परिभाषा I के लिए आवश्यक दो प्राकृतिक स्थितियों को दर्शाती है जिसमें R/I द्वारा शून्य के रूप में नामित सभी तत्व शामिल हैं:

1. I, R का योगात्मक उपसमूह है: R का शून्य 0 एक शून्य है 0 ∈ I, और अगर x₁ ∈ I और x₂ ∈ I फिर शून्य हैं x₁ − x₂ ∈ I भी एक शून्य है।
2. कोई r ∈ R शून्य से गुणा x ∈ I शून्य है rx ∈ I.

यह पता चला है कि सभी आवश्यक शून्यों को समाहित करने के लिए उपरोक्त शर्तें भी पर्याप्त हैं: R/I बनाने के लिए किसी अन्य तत्व को शून्य के रूप में नामित नहीं किया जाना चाहिए। (वास्तव में, यदि हम कम से कम पहचान करना चाहते हैं तो किसी अन्य तत्व को शून्य के रूप में नामित नहीं किया जाना चाहिए।)

'टिप्पणी।' उपरोक्त निर्माण अभी भी दो तरफा आदर्शों का उपयोग करके काम करता है, भले ही आर अनिवार्य रूप से कम्यूटेटिव न हो।

उदाहरण और गुण

(संक्षिप्तता के लिए, कुछ परिणाम केवल बाएं आदर्शों के लिए बताए गए हैं, लेकिन आमतौर पर उचित आदर्श परिवर्तनों के साथ सही आदर्शों के लिए भी सत्य हैं।)

• एक वलय R में, समुच्चय R स्वयं R का दो-तरफा आदर्श बनाता है जिसे 'इकाई आदर्श' कहा जाता है। इसे अक्सर द्वारा भी निरूपित किया जाता है $(1)$ चूँकि यह एकता द्वारा उत्पन्न (नीचे देखें) दो तरफा आदर्श है $1_{R}$. साथ ही, सेट $\{0_{R}\}$ केवल योगात्मक पहचान 0 से मिलकर_R एक दो तरफा आदर्श बनाता है जिसे शून्य आदर्श कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $(0)$. प्रत्येक (बाएं, दाएं या दो तरफा) आदर्श में शून्य आदर्श होता है और इकाई आदर्श में निहित होता है।
• एक (बाएं, दाएं या दो तरफा) आदर्श जो इकाई आदर्श नहीं है उसे एक उचित आदर्श कहा जाता है (क्योंकि यह एक उचित उपसमुच्चय है)। नोट: एक वाम आदर्श ${\mathfrak {a}}$ उचित है अगर और केवल अगर इसमें इकाई तत्व नहीं है, क्योंकि अगर $u\in {\mathfrak {a}}$ एक इकाई तत्व है, तो $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ हरएक के लिए $r\in R$. आमतौर पर बहुत सारे उचित आदर्श होते हैं। वास्तव में, यदि R एक तिरछा क्षेत्र है, तब $(0),(1)$ इसके एकमात्र आदर्श हैं और इसके विपरीत: अर्थात, एक गैर शून्य वलय R एक तिरछा-क्षेत्र है यदि $(0),(1)$ केवल बाएं (या दाएं) आदर्श हैं। (सबूत: अगर $x$ एक गैर-शून्य तत्व है, तो प्रिंसिपल बाएं आदर्श है $Rx$ (नीचे देखें) अशून्य है और इस प्रकार $Rx=(1)$; अर्थात।, $yx=1$ कुछ गैर शून्य के लिए $y$. वैसे ही, $zy=1$ कुछ गैर शून्य के लिए $z$. तब $z=z(yx)=(zy)x=x$.)
• सम पूर्णांक वलय में आदर्श बनाते हैं $\mathbb {Z}$ सभी पूर्णांकों का; इसे आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $2\mathbb {Z}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी पूर्णांक का योग सम होता है, और सम पूर्णांक वाले किसी भी पूर्णांक का गुणनफल भी सम होता है। इसी तरह, एक निश्चित पूर्णांक n द्वारा विभाज्य सभी पूर्णांकों का समुच्चय एक आदर्श निरूपित है $n\mathbb {Z}$.
• वास्तविक गुणांक वाले सभी बहुपदों का समुच्चय जो बहुपद x से विभाज्य हैं² + 1 सभी बहुपदों के वलय में एक गुणजावली है।
• सभी एन-बाय-एन मैट्रिक्स (गणित) का सेट जिसकी आखिरी पंक्ति शून्य है, सभी एन-बाय-एन मैट्रिक्स की अंगूठी में सही आदर्श बनाती है। यह वाम आदर्श नहीं है। सभी एन-बाय-एन मेट्रिसेस का सेट जिसका अंतिम कॉलम शून्य है, एक बाएं आदर्श है, लेकिन सही आदर्श नहीं है।
• अंगूठी $C(\mathbb {R} )$ सभी निरंतर कार्यों के f से $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$ बिंदुवार गुणा के तहत सभी निरंतर कार्यों का आदर्श होता है f जैसे कि f(1) = 0. में एक और आदर्श $C(\mathbb {R} )$ उन कार्यों द्वारा दिया जाता है जो बड़े पर्याप्त तर्कों के लिए गायब हो जाते हैं, यानी वे निरंतर कार्य f जिनके लिए संख्या एल> 0 मौजूद है जैसे कि f(x) = 0 जब भी |x| > एल.
• एक वलय को एक साधारण वलय कहा जाता है यदि यह अशून्य है और इसके अलावा कोई दो तरफा आदर्श नहीं है $(0),(1)$. इस प्रकार, तिरछा क्षेत्र सरल है और सरल क्रमविनिमेय वलय एक क्षेत्र है। तिरछा क्षेत्र पर मैट्रिक्स रिंग एक साधारण रिंग है।
• अगर $f:R\to S$ एक रिंग समरूपता है, फिर कर्नेल $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ का दोतरफा आदर्श है $R$. परिभाषा से, $f(1_{R})=1_{S}$, और इस प्रकार यदि $S$ शून्य वलय नहीं है (इसलिए $1_{S}\neq 0_{S}$), तब $\ker(f)$ उचित आदर्श है। अधिक आम तौर पर, एस के प्रत्येक बाएं आदर्श I के लिए, पूर्व-छवि $f^{-1}(I)$ वाम आदर्श है। यदि I, R का वाम आदर्श है, तब $f(I)$ सबरिंग का एक वामपंथी आदर्श है $f(R)$ एस का: जब तक एफ विशेषण नहीं है, $f(I)$ एस का आदर्श होना जरूरी नहीं है; नीचे एक आदर्श का #विस्तार और संकुचन भी देखें।
• 'आदर्श पत्राचार': विशेषण वलय समरूपता को देखते हुए $f:R\to S$, के बाएँ (उत्तर दाएँ, दो तरफा) आदर्शों के बीच एक विशेषण क्रम-संरक्षण पत्राचार है $R$ की गिरी युक्त $f$ और बाएँ (उत्तर दाएँ, दो तरफा) के आदर्श $S$: द्वारा पत्राचार किया गया है $I\mapsto f(I)$ और पूर्व छवि $J\mapsto f^{-1}(J)$. इसके अलावा, क्रमविनिमेय छल्ले के लिए, यह विशेषण पत्राचार प्रमुख आदर्शों, अधिकतम आदर्शों और कट्टरपंथी आदर्शों तक सीमित है (इन आदर्शों की परिभाषाओं के लिए Ideal_(ring_theory)#Types_of_ideals अनुभाग देखें)।
• (उन लोगों के लिए जो मॉड्यूल जानते हैं) यदि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है और $S\subset M$ एक उपसमुच्चय, फिर सर्वनाश (अंगूठी सिद्धांत) $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ S का एक वाम आदर्श है। आदर्श दिए ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ क्रमविनिमेय वलय R, का R-विनाशक $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ R की एक गुणजावली का आदर्श भागफल कहा जाता है ${\mathfrak {a}}$ द्वारा ${\mathfrak {b}}$ और द्वारा दर्शाया गया है $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$; यह क्रमविनिमेय बीजगणित में आदर्शकारक का एक उदाहरण है।
• होने देना ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ एक अंगूठी 'आर' में बाएं आदर्शों की एक आरोही श्रृंखला बनें; अर्थात।, $S$ पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट है और ${\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}$ प्रत्येक के लिए $i<j$. फिर संघ $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ R का एक वाम आदर्श है।
• उपरोक्त तथ्य ज़ोर्न की लेम्मा के साथ मिलकर निम्नलिखित को सिद्ध करते हैं: यदि $E\subset R$ एक संभावित खाली उपसमुच्चय है और ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ एक बायाँ आदर्श है जो E से अलग है, तो एक ऐसा आदर्श है जो युक्त आदर्शों में अधिकतम है ${\mathfrak {a}}_{0}$ और ई से अलग। (फिर से यह अभी भी मान्य है अगर रिंग आर में एकता 1 की कमी है।) जब $R\neq 0$, ले रहा ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ और $E=\{1\}$, विशेष रूप से, एक वाम आदर्श मौजूद है जो उचित वाम आदर्शों के बीच अधिकतम है (अक्सर केवल एक अधिकतम वाम आदर्श कहा जाता है); अधिक के लिए क्रुल की प्रमेय देखें।
• आदर्शों का एक मनमाना संघ एक आदर्श नहीं होना चाहिए, लेकिन निम्नलिखित अभी भी सत्य है: R का संभवतः खाली उपसमुच्चय X दिया गया है, X से युक्त सबसे छोटा बायाँ आदर्श है, जिसे X द्वारा उत्पन्न बायाँ आदर्श कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $RX$. इस तरह का एक आदर्श मौजूद है क्योंकि यह X वाले सभी बाएं आदर्शों का प्रतिच्छेदन है। समान रूप से, $RX$ सभी रैखिक संयोजनों का सेट है|

  $RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.$

(चूंकि इस तरह की अवधि एक्स युक्त सबसे छोटा बाएं आदर्श है।) एक्स द्वारा उत्पन्न एक सही (प्रतिनिधि दो तरफा) आदर्श को इसी तरह परिभाषित किया गया है। दो तरफा के लिए, दोनों तरफ से रैखिक संयोजनों का उपयोग करना पड़ता है; अर्थात।,

$RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,$

• एक तत्व x द्वारा उत्पन्न एक बाएँ (उत्तर दाएँ, दो तरफा) आदर्श को x द्वारा उत्पन्न मुख्य बाएँ (उत्तर दाएँ, दो तरफा) आदर्श कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $Rx$ (प्रति. $xR,RxR$). प्रमुख दो तरफा आदर्श $RxR$ अक्सर द्वारा भी निरूपित किया जाता है $(x)$. अगर $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ एक परिमित समुच्चय है, तब $RXR$ के रूप में भी लिखा जाता है $(x_{1},\dots ,x_{n})$.
• रिंग में $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का, प्रत्येक आदर्श एक संख्या द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है (इसलिए $\mathbb {Z}$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है), यूक्लिडियन विभाजन (या किसी अन्य तरीके) के परिणामस्वरूप।
• रिंग पर आदर्शों और सर्वांगसम संबंधों (तुल्यता संबंध जो रिंग संरचना का सम्मान करते हैं) के बीच एक विशेषण पत्राचार है: रिंग आर के एक आदर्श I को देखते हुए, आइए x ~ y अगर x − y ∈ I. तब ~ R पर एक सर्वांगसम संबंध है। इसके विपरीत, R पर एक सर्वांगसम संबंध ~ दिया गया है, मान लीजिए I = { x | x ~ 0 }. तब I, R का आदर्श है।

आदर्शों के प्रकार

विवरण को सरल बनाने के लिए सभी वलयों को क्रमविनिमेय माना जाता है। गैर-विनिमेय मामले पर संबंधित लेखों में विस्तार से चर्चा की गई है।

आदर्श महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे रिंग होमोमोर्फिज्म के गुठली के रूप में दिखाई देते हैं और किसी को कारक रिंगों को परिभाषित करने की अनुमति देते हैं। विभिन्न प्रकार के आदर्शों का अध्ययन किया जाता है क्योंकि उनका उपयोग विभिन्न प्रकार के कारक वलयों के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

• 'अधिकतम आदर्श': एक उचित आदर्श I को 'अधिकतम आदर्श' कहा जाता है यदि कोई अन्य उचित आदर्श J मौजूद नहीं है, जिसमें I का एक उचित उपसमुच्चय है। अधिकतम आदर्श का कारक वलय सामान्य रूप से एक साधारण वलय है और एक क्षेत्र है (गणित) क्रमविनिमेय छल्लों के लिए।
• न्यूनतम आदर्श: एक गैर-शून्य आदर्श को न्यूनतम कहा जाता है यदि इसमें कोई अन्य गैर-शून्य आदर्श नहीं होता है।
• प्रधान आदर्श: एक उचित आदर्श मैं को प्रधान आदर्श कहा जाता है यदि किसी भी ए और बी के लिए आर में, यदि एबी मैं में है ', तो कम से कम 'ए' और 'बी' में से एक 'आई' में है। एक प्रधान आदर्श का कारक वलय सामान्य रूप से एक अभाज्य वलय है और क्रमविनिमेय छल्लों के लिए एक अभिन्न डोमेन है।
• एक आदर्श या सेमीप्राइम आदर्श का रेडिकल: एक उचित आदर्श आई को रेडिकल या सेमीप्राइम कहा जाता है यदि आर में किसी भी ए के लिए, यदि एⁿ कुछ n के लिए I में है, फिर a, I में है। एक रेडिकल आइडियल का फैक्टर रिंग सामान्य रिंग्स के लिए एक सेमीप्राइम रिंग है, और कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए एक कम अंगूठी है।
• 'प्राथमिक आदर्श': एक आदर्श I को 'प्राथमिक गुणजावली' कहा जाता है यदि R में सभी a और b के लिए, यदि ab I में है, तो a और b में से कम से कम एकⁿ किसी प्राकृत संख्या n के लिए I में है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श प्राथमिक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। एक सेमीप्राइम प्राथमिक आदर्श प्रधान है।
• 'प्रमुख आदर्श': एक तत्व द्वारा उत्पन्न एक आदर्श।
• परिमित रूप से उत्पन्न आदर्श: इस प्रकार का आदर्श एक मॉड्यूल के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है।
• आदिम आदर्श: एक बायाँ आदिम आदर्श एक साधारण मॉड्यूल बाएँ मॉड्यूल (गणित) का एनीहिलेटर (रिंग थ्योरी) है।
• इर्रिड्यूसिबल आदर्श: एक आदर्श को इर्रिड्यूसिबल कहा जाता है यदि इसे उन आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जो इसे ठीक से समाहित करते हैं।
• कोमैक्सिमल आदर्श: दो आदर्श ${\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}$ कोमैक्सिमल कहा जाता है अगर $x+y=1$ कुछ के लिए $x\in {\mathfrak {i}}$ और $y\in {\mathfrak {j}}$.
• नियमित आदर्श: इस शब्द के कई उपयोग हैं। सूची के लिए लेख देखें।
• शून्य आदर्श: एक आदर्श एक शून्य आदर्श है यदि इसके प्रत्येक तत्व शून्य हैं।
• निलपोटेंट आदर्श: इसकी कुछ शक्ति शून्य होती है।
• पैरामीटर आदर्श: मापदंडों की एक प्रणाली द्वारा उत्पन्न एक आदर्श।

आदर्श का उपयोग करने वाले दो अन्य महत्वपूर्ण शब्द हमेशा उनकी अंगूठी के आदर्श नहीं होते हैं। विवरण के लिए उनके संबंधित लेख देखें:

• आंशिक आदर्श: इसे आमतौर पर तब परिभाषित किया जाता है जब R भागफल क्षेत्र K के साथ एक क्रमविनिमेय डोमेन होता है। उनके नाम के बावजूद, भिन्नात्मक आदर्श एक विशेष संपत्ति के साथ के के आर सबमॉड्यूल हैं। यदि भिन्नात्मक आदर्श पूर्णतया 'R' में समाहित है, तो यह वास्तव में 'R' की एक गुणजावली है।
• उलटा आदर्श: आम तौर पर एक व्युत्क्रमणीय आदर्श 'ए' को एक आंशिक आदर्श के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए एक और भिन्नात्मक आदर्श 'बी' होता है जैसे कि AB = BA = R. कुछ लेखक साधारण वलय आदर्शों A और B के साथ व्युत्क्रमणीय आदर्श भी लागू कर सकते हैं AB = BA = R डोमेन के अलावा अन्य रिंगों में।

आदर्श संचालन

आदर्शों के योग और उत्पाद को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। के लिए ${\mathfrak {a}}$ और ${\mathfrak {b}}$, बाएँ (उत्तर दाएँ) एक वलय R के आदर्श, उनका योग है

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}$,

जो एक बाएँ (उत्तर दाएँ) आदर्श है, और अगर ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ दोतरफा हैं,

${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},$

यानी उत्पाद एब के साथ फॉर्म के सभी उत्पादों द्वारा उत्पन्न आदर्श है ${\mathfrak {a}}$ और बी में ${\mathfrak {b}}$.

टिप्पणी ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ सबसे छोटा बायां (उत्तर दायां) आदर्श है जिसमें दोनों शामिल हैं ${\mathfrak {a}}$ और ${\mathfrak {b}}$ (या संघ ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$), जबकि उत्पाद ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ के चौराहे में निहित है ${\mathfrak {a}}$ और ${\mathfrak {b}}$.

वितरण कानून दो तरफा आदर्शों के लिए है ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$,

• ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$,
• $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$.

यदि किसी उत्पाद को एक चौराहे से बदल दिया जाता है, तो एक आंशिक वितरण कानून धारण करता है:

${\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}$

जहां समानता रखती है ${\mathfrak {a}}$ रोकना ${\mathfrak {b}}$ या ${\mathfrak {c}}$.

टिप्पणी: योग और आदर्शों का प्रतिच्छेदन फिर से एक आदर्श है; इन दो परिचालनों के साथ जुड़ने और मिलने के साथ, किसी दिए गए अंगूठी के सभी आदर्शों का सेट एक पूर्ण जाली मॉड्यूलर जाली बनाता है। जाली, सामान्य तौर पर, वितरणात्मक जाली नहीं है। प्रतिच्छेदन की तीन संक्रियाएं, योग (या जुड़ना), और गुणनफल क्रमविनिमेय वलय के आदर्शों के समुच्चय को कितना में बनाते हैं।

अगर ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली हैं, तब ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ निम्नलिखित दो मामलों में (कम से कम)

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)$
• ${\mathfrak {a}}$ उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है जो नियमित अनुक्रम मॉड्यूलो बनाते हैं ${\mathfrak {b}}$.

(अधिक आम तौर पर, किसी उत्पाद और आदर्शों के प्रतिच्छेदन के बीच के अंतर को टोर काम करता है द्वारा मापा जाता है: $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.$)

आदर्शों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक अभिन्न डोमेन को डेडेकिंड डोमेन कहा जाता है ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}$, एक आदर्श है ${\mathfrak {c}}$ ऐसा है कि ${\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$. इसके बाद यह दिखाया जा सकता है कि डेडेकाइंड डोमेन के प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श को विशिष्ट रूप से अधिकतम आदर्शों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।

आदर्श संचालन के उदाहरण

में $\mathbb {Z}$ अपने पास

$(n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z}$

तब से $(n)\cap (m)$ पूर्णांकों का समुच्चय है जो दोनों से विभाज्य है $n$ और $m$.

होने देना $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ और जाने ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$. तब,

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ और ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ जबकि ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$

पहली गणना में, हम दो अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्शों का योग लेने के लिए सामान्य पैटर्न देखते हैं, यह उनके जनरेटर के संघ द्वारा उत्पन्न आदर्श है। पिछले तीन में हम देखते हैं कि जब भी दो आदर्श शून्य आदर्श में प्रतिच्छेद करते हैं तो उत्पाद और चौराहे सहमत होते हैं। इन संगणनाओं को मैकाले 2 का उपयोग करके जांचा जा सकता है।

एक अंगूठी का रेडिकल

Main article: Radical of a ring

मॉड्यूल के अध्ययन में आदर्श स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं, विशेष रूप से एक कट्टरपंथी के रूप में।

सरलता के लिए, हम क्रमविनिमेय वलयों के साथ काम करते हैं लेकिन, कुछ परिवर्तनों के साथ, परिणाम गैर-विनिमेय वलयों के लिए भी सत्य हैं।

मान लीजिए R एक क्रमविनिमेय वलय है। परिभाषा के अनुसार, आर का एक आदिम आदर्श एक (अशून्य) सरल मॉड्यूल | सरल आर-मॉड्यूल का सर्वनाश करने वाला है। जैकबसन कट्टरपंथी $J=\operatorname {Jac} (R)$ आर का सभी आदिम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है। समान रूप से,

$J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.$

दरअसल, अगर $M$ एक साधारण मॉड्यूल है और x तब M में एक गैर-शून्य तत्व है $Rx=M$ और $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$, अर्थ $\operatorname {Ann} (M)$ परम आदर्श है। इसके विपरीत यदि ${\mathfrak {m}}$ एक अधिकतम आदर्श है, तो ${\mathfrak {m}}$ सरल आर-मॉड्यूल का सर्वनाश करने वाला है $R/{\mathfrak {m}}$. एक अन्य विशेषता भी है (प्रमाण कठिन नहीं है):

$J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.$

अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय वलय के लिए, यह एक सामान्य तथ्य है कि $1-yx$ एक इकाई तत्व है अगर और केवल अगर $1-xy$ है (लिंक देखें) और इसलिए यह अंतिम विशेषता दर्शाती है कि रेडिकल को बाएं और दाएं आदिम आदर्शों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

निम्नलिखित सरल लेकिन महत्वपूर्ण तथ्य (नाकायामा की लेम्मा) एक जैकबसन रेडिकल की परिभाषा में अंतर्निहित है: यदि एम एक ऐसा मॉड्यूल है जो $JM=M$, तब M अधिकतम सबमॉड्यूल को स्वीकार नहीं करता है, क्योंकि यदि अधिकतम सबमॉड्यूल है $L\subsetneq M$, $J\cdot (M/L)=0$ इसलिए $M=JM\subset L\subsetneq M$, एक विरोधाभास। चूँकि एक गैर-अक्षीय रूप से उत्पन्न मॉड्यूल एक अधिकतम सबमॉड्यूल को स्वीकार करता है, विशेष रूप से, एक के पास:

अगर $JM=M$ और एम अंततः उत्पन्न होता है $M=0.$

एक अधिकतम आदर्श एक प्रमुख आदर्श है और इसलिए किसी के पास है

$\operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)$

जहां बाईं ओर के चौराहे को आर की अंगूठी के निलरेडिकल कहा जाता है। जैसा कि यह निकला, $\operatorname {nil} (R)$ R के nilpotent तत्वों का भी सेट है।

यदि R एक आर्टिनियन रिंग है, तो $\operatorname {Jac} (R)$ नगण्य है और $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$. (प्रमाण: पहले ध्यान दें कि DCC का अर्थ है $J^{n}=J^{n+1}$ कुछ एन के लिए अगर (डीसीसी) ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ बाद में एक आदर्श उचित रूप से न्यूनतम है $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$. वह है, $J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0$, एक विरोधाभास।)

एक आदर्श का विस्तार और संकुचन

मान लीजिए A और B दो क्रमविनिमेय वलय हैं, और f : A → B एक वलय समाकारिता है। अगर ${\mathfrak {a}}$ ए में एक आदर्श है, तो $f({\mathfrak {a}})$ B में एक आदर्श होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए f को परिमेय 'Q' के क्षेत्र में पूर्णांक 'Z' के वलय का समावेश मानचित्र होना चाहिए)। विस्तृति' ${\mathfrak {a}}^{e}$ का ${\mathfrak {a}}$ बी में द्वारा उत्पन्न बी में आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है $f({\mathfrak {a}})$. स्पष्ट रूप से,

${\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}$

अगर ${\mathfrak {b}}$ बी का एक आदर्श है, तो $f^{-1}({\mathfrak {b}})$ हमेशा ए का आदर्श होता है, जिसे 'संकुचन' कहा जाता है ${\mathfrak {b}}^{c}$ का ${\mathfrak {b}}$ ए को

यह मानते हुए कि f : A → B एक वलय समाकारिता है, ${\mathfrak {a}}$ ए में एक आदर्श है, ${\mathfrak {b}}$ बी में एक आदर्श है, फिर:

• ${\mathfrak {b}}$ बी में प्रधान है $\Rightarrow$ ${\mathfrak {b}}^{c}$ ए में प्रधान है।
• ${\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}$
• ${\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}$

सामान्य तौर पर, यह गलत है ${\mathfrak {a}}$ A में अभाज्य (या अधिकतम) होने का अर्थ है कि ${\mathfrak {a}}^{e}$ बी में अभाज्य (या अधिकतम) है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत से इस स्टेम के कई क्लासिक उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, एम्बेडिंग $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$. में $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$, तत्व 2 कारक के रूप में $2=(1+i)(1-i)$ जहां (कोई दिखा सकता है) न तो $1+i,1-i$ बी. में इकाइयां हैं $(2)^{e}$ B में अभाज्य नहीं है (और इसलिए अधिकतम भी नहीं)। वास्तव में, $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ पता चलता है कि $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$, $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$, और इसलिए $(2)^{e}=(1+i)^{2}$. दूसरी ओर, यदि f आच्छादक फलन है और कर्नेल(बीजगणित) |${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$तब:

• ${\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}$ और ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$.
• ${\mathfrak {a}}$ ए में एक प्रमुख आदर्श है $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ बी में एक प्रमुख आदर्श है।
• ${\mathfrak {a}}$ ए में एक अधिकतम आदर्श है $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ बी में एक अधिकतम आदर्श है।

'टिप्पणी': मान लीजिए K, L का एक क्षेत्र विस्तार है, और B और A को क्रमशः K और L के पूर्णांकों का वलय होने दें। तब B, A का एक अभिन्न विस्तार है, और हम f को A से B तक का समावेशन मानचित्र होने देते हैं। एक प्रमुख आदर्श का व्यवहार ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$ A का विस्तार बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की केंद्रीय समस्याओं में से एक है।

निम्नलिखित कभी-कभी उपयोगी होता है: एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श का संकुचन है अगर और केवल अगर ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$. (सबूत: उत्तरार्द्ध मानते हुए, ध्यान दें ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ काटती है $A-{\mathfrak {p}}$, एक विरोधाभास। अब, के प्रमुख आदर्श $B_{\mathfrak {p}}$ बी में उन लोगों के अनुरूप हैं जो से अलग हैं $A-{\mathfrak {p}}$. इसलिए, एक प्रमुख आदर्श है ${\mathfrak {q}}$ बी का, से अलग करना $A-{\mathfrak {p}}$, ऐसा है कि ${\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}$ एक अधिकतम आदर्श युक्त है ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$. एक तो जाँच करता है ${\mathfrak {q}}$ पड़ा हुआ है ${\mathfrak {p}}$. बातचीत स्पष्ट है।)

सामान्यीकरण

आदर्शों को किसी भी मोनॉइड वस्तु के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $(R,\otimes )$, कहाँ $R$ वह वस्तु है जहां मोनोइड संरचना भुलक्कड़ रही है। का एक वामपंथी आदर्श $R$ एक विषय है $I$ के तत्वों द्वारा बाईं ओर से गुणन को अवशोषित करता है $R$; वह है, $I$ एक वामपंथी आदर्श है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. $I$ का विषय है $R$
2. हरएक के लिए $r\in (R,\otimes )$ और हर $x\in (I,\otimes )$, उत्पाद $r\otimes x$ में है $(I,\otimes )$.

एक सही आदर्श को शर्त के साथ परिभाषित किया गया है$r\otimes x\in (I,\otimes )$द्वारा प्रतिस्थापित '$x\otimes r\in (I,\otimes )$. एक दो तरफा आदर्श एक वाम आदर्श है जो एक सही आदर्श भी है, और कभी-कभी इसे केवल एक आदर्श कहा जाता है। कब $R$ क्रमशः एक क्रमविनिमेय मोनॉइड वस्तु है, बाएँ, दाएँ और दो तरफा आदर्श की परिभाषाएँ मेल खाती हैं, और आदर्श शब्द का उपयोग अकेले किया जाता है।

एक आदर्श को एक विशिष्ट प्रकार के मॉड्यूल_(गणित) के रूप में भी माना जा सकता हैR-मापांक। यदि हम विचार करें $R$ बाएं के रूप में $R$-मॉड्यूल (बाएं गुणन द्वारा), फिर एक बाएं आदर्श $I$ वास्तव में सिर्फ एक बायां मॉड्यूल है_(गणित)#Submodules_and_homomorphisms|का उप-मॉड्यूल $R$. दूसरे शब्दों में, $I$ का एक बाएँ (दाएँ) आदर्श है $R$ अगर और केवल अगर यह बाएं (दाएं) है $R$-मॉड्यूल जो का एक सबसेट है $R$. $I$ एक दो तरफा आदर्श है अगर यह एक उप है$R$- का बिमॉड्यूल $R$.

उदाहरण: अगर हम जाने दें $R=\mathbb {Z}$, का एक आदर्श $\mathbb {Z}$ एक एबेलियन समूह है जो का उपसमुच्चय है $\mathbb {Z}$, अर्थात। $m\mathbb {Z}$ कुछ के लिए $m\in \mathbb {Z}$. तो ये सभी के आदर्श देते हैं $\mathbb {Z}$.

यह भी देखें

• मॉड्यूलर अंकगणित
• नोथेर तुल्याकारिता प्रमेय
• बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय
• आदर्श सिद्धांत
• आदर्श (आदेश सिद्धांत)
• आदर्श आदर्श
• गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों का विभाजन
• आदर्श शेफ

संदर्भ

• Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3.
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005

बाहरी संबंध

• Levinson, Jake (July 14, 2014). "The Geometric Interpretation for Extension of Ideals?". Stack Exchange.