अभिन्न डोमेन

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित, एक अभिन्न डोमेन एक शून्य रिंग कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें शून्य-उत्पाद संपत्ति है।^[1]^[2] इंटीग्रल डोमेन पूर्णांक की अंगूठी (गणित) के सामान्यीकरण हैं और विभाजन (रिंग थ्योरी) का अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग प्रदान करते हैं।एक अभिन्न डोमेन में, प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व ए में रद्दीकरण संपत्ति है, अर्थात्, अगर a ≠ 0, एक समानता ab = ac तात्पर्य b = c।

इंटीग्रल डोमेन को लगभग सार्वभौमिक रूप से ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन कुछ भिन्नता है।यह लेख उस सम्मेलन का अनुसरण करता है कि रिंग्स की एक गुणक पहचान होती है, जिसे आम तौर पर 1 निरूपित किया जाता है, लेकिन कुछ लेखक इसका पालन नहीं करते हैं, एक गुणात्मक पहचान के लिए अभिन्न डोमेन की आवश्यकता नहीं होती है।^[3]^[4] Noncommutative अभिन्न डोमेन कभी -कभी भर्ती होते हैं।^[5] यह लेख, हालांकि, कम्यूटेटिव मामले के लिए अभिन्न डोमेन शब्द को जलाने और सामान्य मामले के लिए डोमेन (रिंग सिद्धांत) का उपयोग करने के लिए बहुत अधिक सामान्य सम्मेलन का अनुसरण करता है, जिसमें गैर -समन्वित छल्ले भी शामिल हैं।

कुछ स्रोत, विशेष रूप से सर्ज लैंग, अभिन्न डोमेन के लिए पूरे रिंग शब्द का उपयोग करते हैं।^[6] कुछ विशिष्ट प्रकार के अभिन्न डोमेन उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्न श्रृंखला के साथ दिए गए हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

एक अभिन्न डोमेन एक शून्य रिंग कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें किसी भी दो नॉनज़ेरो तत्वों का उत्पाद नॉनज़ेरो है।समान रूप से:

एक अभिन्न डोमेन एक नॉनजेरो कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें कोई नॉनज़ेरो शून्य दिव्यांग नहीं होता है।
एक अभिन्न डोमेन एक कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें शून्य आदर्श {0} एक प्रमुख आदर्श है।
एक अभिन्न डोमेन एक नॉनज़ेरो कम्यूटेटिव रिंग है जिसके लिए प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व गुणन के तहत संपत्ति रद्द कर रहा है।
एक अभिन्न डोमेन एक अंगूठी है जिसके लिए नॉनज़ेरो तत्वों का सेट गुणा के तहत एक कम्यूटेटिव मोनोइड है (क्योंकि एक मोनॉयड को गुणन के तहत बंद (गणित) होना चाहिए)।
एक अभिन्न डोमेन एक नॉनज़ेरो कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व आर के लिए, वह फ़ंक्शन जो रिंग के प्रत्येक तत्व को उत्पाद XR में मैप करता है, इंजेक्शन लगाने वाला है।इस संपत्ति के साथ तत्वों को नियमित रूप से कहा जाता है, इसलिए यह आवश्यक है कि रिंग के प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व नियमित हो।
एक अभिन्न डोमेन एक अंगूठी है जो एक क्षेत्र (गणित) के एक सबरिंग के लिए आइसोमॉर्फिक है।(एक अभिन्न डोमेन को देखते हुए, कोई भी इसे अपने अंशों के क्षेत्र में एम्बेड कर सकता है।)

उदाहरण

कट्टरपंथी उदाहरण रिंग है $\mathbb {Z}$ सभी पूर्णांक की।
प्रत्येक क्षेत्र (गणित) एक अभिन्न डोमेन है।उदाहरण के लिए, क्षेत्र $\mathbb {R}$ सभी वास्तविक संख्याओं में से एक अभिन्न डोमेन है।इसके विपरीत, प्रत्येक आर्टिनन रिंग इंटीग्रल डोमेन एक क्षेत्र है।विशेष रूप से, सभी परिमित अभिन्न डोमेन परिमित क्षेत्र हैं (अधिक आम तौर पर, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय द्वारा, परिमित डोमेन (रिंग थ्योरी) परिमित क्षेत्र हैं)।पूर्णांक की अंगूठी $\mathbb {Z}$ एक गैर-आर्टिनियन अनंत अभिन्न डोमेन का एक उदाहरण प्रदान करता है जो एक क्षेत्र नहीं है, जैसे कि आदर्शों के अनंत अवरोही अनुक्रम हैं:

\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots

बहुपद के छल्ले अभिन्न डोमेन हैं यदि गुणांक एक अभिन्न डोमेन से आते हैं।उदाहरण के लिए, रिंग $\mathbb {Z} [x]$ पूर्णांक गुणांक के साथ एक चर में सभी बहुपद एक अभिन्न डोमेन है;तो रिंग है $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ जटिल संख्या गुणांक के साथ एन-वैरिएबल्स में सभी बहुपदों में।

पिछले उदाहरण को प्राइम आइडियल से उद्धरण देकर आगे का शोषण किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, रिंग $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ एक विमान अण्डाकार वक्र के अनुरूप एक अभिन्न डोमेन है।एकीकृतता को दिखाने से जांचा जा सकता है $y^{2}-x(x-1)(x-2)$ एक Irreducible बहुपद है।

अंगूठी $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ किसी भी गैर-वर्ग पूर्णांक के लिए एक अभिन्न डोमेन है $n$ ।अगर $n>0$ , तो यह अंगूठी हमेशा एक सबरिंग है $\mathbb {R}$ , अन्यथा, यह एक सबरिंग है $\mathbb {C} .$
पी-एडिक नंबर की अंगूठी | पी-एडिक इंटेगर $\mathbb {Z} _{p}$ एक अभिन्न डोमेन है।

एक अभिन्न डोमेन की औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी एक अभिन्न डोमेन है।

अगर $U$ जटिल संख्या का एक कनेक्टिविटी खुला सबसेट है $\mathbb {C}$ , फिर अंगूठी ${\mathcal {H}}(U)$ सभी समलैंगिक कार्य से मिलकर एक अभिन्न डोमेन है।विश्लेषणात्मक कई गुना्स के जुड़े खुले सबसेट पर विश्लेषणात्मक कार्यों के छल्ले के लिए भी यही सच है।

एक नियमित स्थानीय रिंग एक अभिन्न डोमेन है।वास्तव में, एक नियमित स्थानीय रिंग एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है।^[7]^[8]

गैर-उदाहरण

निम्नलिखित छल्ले अभिन्न डोमेन नहीं हैं।

शून्य अंगूठी (रिंग जिसमें $0=1$ )।

भागफल की अंगूठी $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ जब m एक समग्र संख्या है।वास्तव में, एक उचित कारक चुनें $m=xy$ (मतलब है कि $x$ और $y$ के बराबर नहीं हैं $1$ या $m$ )।तब $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ और $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ , लेकिन $xy\equiv 0{\bmod {m}}$ ।

दो नॉनज़ेरो कम्यूटेटिव रिंगों की एक उत्पाद की अंगूठी।ऐसे उत्पाद में $R\times S$ , किसी के पास $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ ।

भागफल की अंगूठी $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ किसी के लिए $n\in \mathbb {Z}$ ।की छवियां $x+n$ और $x-n$ नॉनज़ेरो हैं, जबकि इस रिंग में उनका उत्पाद 0 है।

N years 2. यदि n × n × n मैट्रिक्स (गणित) की मैट्रिक्स रिंग किसी भी शून्य रिंग पर $M$ और $N$ मैट्रिस ऐसे हैं जो की छवि $N$ की कर्नेल में निहित है $M$ , तब $MN=0$ ।उदाहरण के लिए, इसके लिए होता है $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$ ।

भागफल की अंगूठी $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ किसी भी क्षेत्र के लिए $k$ और किसी भी गैर-स्थिर बहुपद $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ।की छवियां $f$ और $g$ इस भागफल की अंगूठी में नॉनज़ेरो तत्व हैं जिनका उत्पाद 0. है। यह तर्क दिखाता है, समकक्ष रूप से, कि $(fg)$ एक प्रमुख आदर्श नहीं है।इस परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि एक समारोह का शून्य $fg$ सामान्य रूप से एक affine बीजगणितीय सेट बनाएं जो कि अप्रासंगिक नहीं है (यानी, या एक बीजगणितीय किस्म नहीं है) सामान्य रूप से।एकमात्र मामला जहां यह बीजगणितीय सेट अतार्क्य हो सकता है $fg$ एक इरेड्यूसिबल बहुपद की शक्ति है, जो एक ही बीजगणितीय सेट को परिभाषित करता है।

एकक अंतराल पर निरंतर कार्यों की अंगूठी।कार्यों पर विचार करें

f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

कोई भी नहीं

f

और न

g

हर जगह शून्य है, लेकिन

fg

है।

बीजगणित का टेंसर उत्पाद $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ ।इस अंगूठी में दो गैर-तुच्छ idempotent (रिंग थ्योरी) s हैं, $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ और $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ ।वे ऑर्थोगोनल हैं, जिसका अर्थ है कि $e_{1}e_{2}=0$ , और इसलिए $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ एक डोमेन नहीं है।वास्तव में, एक आइसोमोर्फिज्म है $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ द्वारा परिभाषित $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ ।इसका उलटा द्वारा परिभाषित किया गया है $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$ ।इस उदाहरण से पता चलता है कि Irreducible affine योजनाओं की योजनाओं के एक फाइबर उत्पाद को अप्रासंगिक होने की आवश्यकता नहीं है।

विभाजन, प्रमुख तत्व, और इरेड्यूसिबल तत्व

इस खंड में, आर एक अभिन्न डोमेन है।

आर के ए और बी को देखते हुए, एक का कहना है कि ए को विभाजित करता है, या ए बी की एक विभाजन (रिंग थ्योरी) है, या कि बी एक से कई है, अगर आर में एक तत्व एक्स मौजूद है जैसे कि ax = b।

आर की इकाई (रिंग थ्योरी) एस वे तत्व हैं जो 1 को विभाजित करते हैं;ये ठीक हैं। आर। इकाइयों में उल्टे तत्व अन्य सभी तत्वों को विभाजित करते हैं।

यदि A विभाजित B और B A को विभाजित करता है, तो A और B 'संबंधित तत्व' या 'सहयोगी' हैं।^[9] समान रूप से, ए और बी सहयोगी हैं यदि a = ub कुछ यूनिट (रिंग थ्योरी) यू के लिए।

एक इरेड्यूसिबल तत्व एक गैर-गैर-यूनिट है जिसे दो गैर-इकाइयों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

एक नॉनज़ेरो नॉन-यूनिट पी एक प्रमुख तत्व है, अगर, जब भी P किसी उत्पाद को विभाजित करता है, तो P A या P को विभाजित करता है b को विभाजित करता है।समान रूप से, एक तत्व पी प्राइम है यदि और केवल यदि प्रमुख आदर्श (पी) एक नॉनज़ेरो प्राइम आदर्श है।

इरेड्यूसिबल तत्वों और प्रमुख तत्वों की दोनों धारणाएं रिंग में अभाज्य संख्याों की सामान्य परिभाषा को सामान्य करती हैं $\mathbb {Z} ,$ यदि कोई नकारात्मक प्राइम्स के रूप में मानता है।

प्रत्येक प्रमुख तत्व अतार्किक है।सामान्य रूप से यह सच नहीं है: उदाहरण के लिए, द्विघात पूर्णांक रिंग में $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ तत्व 3 अतार्क्य है (यदि यह nontrivively फैक्ट किया गया है, तो कारकों में से प्रत्येक में नॉर्म 3 होना चाहिए, लेकिन इसके बाद से कोई मानदंड 3 तत्व नहीं हैं $a^{2}+5b^{2}=3$ कोई पूर्णांक समाधान नहीं है), लेकिन प्राइम नहीं (3 विभाजन के बाद से $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ या तो कारक को विभाजित किए बिना)।एक अद्वितीय कारककरण डोमेन (या अधिक आम तौर पर, एक जीसीडी डोमेन) में, एक irreducible तत्व एक प्रमुख तत्व है।

जबकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय में नहीं है $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ , आदर्श (रिंग थ्योरी) का अद्वितीय कारक है।Lasker -Noether प्रमेय देखें।

गुण

एक कम्यूटेटिव रिंग R एक अभिन्न डोमेन है यदि और केवल यदि R का आदर्श (0) एक प्रमुख आदर्श है।
यदि आर एक कम्यूटेटिव रिंग है और पी आर में एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है, तो भागफल रिंग आर/पी एक अभिन्न डोमेन है यदि और केवल अगर पी एक प्रमुख आदर्श है।
चलो आर एक अभिन्न डोमेन हो।फिर आर (अनिश्चितता के किसी भी संख्या में) पर बहुपद के छल्ले अभिन्न डोमेन हैं।यह विशेष रूप से मामला है यदि आर एक क्षेत्र (गणित) है।
रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न डोमेन में रखती है: किसी भी ए, बी, और सी के लिए एक अभिन्न डोमेन में, यदि a 0 और एबी = एसी तो बी = सी।यह बताने का एक और तरीका है कि फ़ंक्शन x ${{{1}}}$ AX डोमेन में किसी भी नॉनज़ेरो A के लिए इंजेक्टिव है।
रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न डोमेन में आदर्शों के लिए रखती है: यदि xi = xj है, तो या तो x शून्य है या i = J.
एक अभिन्न डोमेन अधिकतम आदर्शों पर एक अंगूठी के स्थानीयकरण के चौराहे के बराबर है।
अभिन्न डोमेन की एक आगमनात्मक सीमा एक अभिन्न डोमेन है।
अगर $A,B$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर अभिन्न डोमेन हैं, फिर $A\otimes _{k}B$ एक अभिन्न डोमेन है।यह हिल्बर्ट के नुलस्टेलेंसटज़ का एक परिणाम है,^{[note 1]} और, बीजगणितीय ज्यामिति में, यह इस कथन का तात्पर्य है कि एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो अफाइन बीजगणितीय किस्मों के उत्पाद की समन्वय रिंग फिर से एक अभिन्न डोमेन है।

अंशों का क्षेत्र

एक अभिन्न डोमेन आर के अंशों का क्षेत्र आर और बी ≠ 0 मोडुलो में ए और बी के साथ ए/बी के अंशों का सेट है, जो सामान्य जोड़ और गुणा संचालन से लैस एक उपयुक्त समतुल्यता संबंध है।यह r & thinsp युक्त सबसे छोटा क्षेत्र है;इस अर्थ में कि एक इंजेक्टिव रिंग समरूपता है R → K इस तरह कि किसी भी इंजेक्शन की अंगूठी की अंगूठी के माध्यम से एक क्षेत्र कारकों के लिए K. के माध्यम से एक क्षेत्र कारकों के लिए पूर्णांक की अंगूठी के अंशों का क्षेत्र $\mathbb {Z}$ तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र है $\mathbb {Q} .$ एक क्षेत्र के अंशों का क्षेत्र क्षेत्र के लिए ही समरूपता है।

बीजीय ज्यामिति

इंटीग्रल डोमेन को इस स्थिति की विशेषता है कि वे रिंग कम कर रहे हैं (जो कि एक्स है² = 0 का अर्थ है x = 0) और irreducible रिंग (यह केवल एक न्यूनतम प्राइम आदर्श है)।पूर्व की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि रिंग की एक रिंग का निल्रैडिकल शून्य है, ताकि सभी रिंग के न्यूनतम प्राइम्स का चौराहा शून्य हो।बाद की स्थिति यह है कि रिंग में केवल एक न्यूनतम प्राइम होता है।यह निम्नानुसार है कि एक कम और irreducible रिंग का अद्वितीय न्यूनतम प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श है, इसलिए ऐसे छल्ले अभिन्न डोमेन हैं।यह स्पष्ट है: एक अभिन्न डोमेन में कोई नॉनज़ेरो निलपोटेंट तत्व नहीं हैं, और शून्य आदर्श अद्वितीय न्यूनतम प्रमुख आदर्श है।

यह अनुवाद करता है, बीजगणितीय ज्यामिति में, इस तथ्य में कि एक affine बीजगणितीय सेट का समन्वय रिंग एक अभिन्न डोमेन है यदि और केवल अगर बीजगणितीय सेट एक बीजीय विविधता है।

अधिक आम तौर पर, एक कम्यूटेटिव रिंग एक अभिन्न डोमेन है यदि और केवल अगर एक अंगूठी का स्पेक्ट्रम एक अभिन्न योजना है।

विशेषता और समरूपता

एक अभिन्न डोमेन की विशेषता (बीजगणित) या तो 0 या एक प्रमुख संख्या है।

यदि आर प्राइम विशेषता पी का एक अभिन्न डोमेन है, तो फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज़्म एफ (एक्स) = एक्स^P इंजेक्टिव है।

यह भी देखें

Dedekind -Hasse मानदंड - एक अभिन्न डोमेन के लिए आवश्यक अतिरिक्त संरचना प्रिंसिपल होने के लिए
शून्य-उत्पाद संपत्ति

↑ Proof: First assume A is finitely generated as a k-algebra and pick a $k$ -basis $g_{i}$ of $B$ . Suppose ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (only finitely many $f_{i},h_{j}$ are nonzero). For each maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ of $A$ , consider the ring homomorphism $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Then the image is ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and thus either ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ or ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and, by linear independence, ${\overline {f_{i}}}=0$ for all $i$ or ${\overline {h_{i}}}=0$ for all $i$ . Since ${\mathfrak {m}}$ is arbitrary, we have ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ the intersection of all maximal ideals $=(0)$ where the last equality is by the Nullstellensatz. Since $(0)$ is a prime ideal, this implies either ${\textstyle \sum f_{i}A}$ or ${\textstyle \sum h_{i}A}$ is the zero ideal; i.e., either $f_{i}$ are all zero or $h_{i}$ are all zero. Finally, $A$ is an inductive limit of finitely generated k-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ is an integral domain. $\square$

↑ Bourbaki, p. 116.
↑ Dummit and Foote, p. 228.
↑ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
↑ I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
↑ J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
↑ Pages 91–92 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
↑ No label or title -- debug: Q24655880, Wikidata Q24655880
↑ No label or title -- debug: Q56049883, Wikidata Q56049883
↑ Durbin, John R. (1993). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. Elements a and b of [an integral domain] are called associates if a | b and b | a.

संदर्भ

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Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra, Chapters 1–3. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR 0214415.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
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Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8.
Lanski, Charles (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
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B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

बाहरी संबंध

"where does the term "integral domain" come from?".

[10] Proof: First assume A is finitely generated as a k-algebra and pick a $k$ -basis $g_{i}$ of $B$ . Suppose ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (only finitely many $f_{i},h_{j}$ are nonzero). For each maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ of $A$ , consider the ring homomorphism $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Then the image is ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and thus either ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ or ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and, by linear independence, ${\overline {f_{i}}}=0$ for all $i$ or ${\overline {h_{i}}}=0$ for all $i$ . Since ${\mathfrak {m}}$ is arbitrary, we have ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ the intersection of all maximal ideals $=(0)$ where the last equality is by the Nullstellensatz. Since $(0)$ is a prime ideal, this implies either ${\textstyle \sum f_{i}A}$ or ${\textstyle \sum h_{i}A}$ is the zero ideal; i.e., either $f_{i}$ are all zero or $h_{i}$ are all zero. Finally, $A$ is an inductive limit of finitely generated k-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ is an integral domain. $\square$

[1] Bourbaki, p. 116.

[2] Dummit and Foote, p. 228.

[3] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.

[4] I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

[5] J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)

[6] Pages 91–92 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[7] No label or title -- debug: Q24655880, Wikidata Q24655880

[8] No label or title -- debug: Q56049883, Wikidata Q56049883

[9] Durbin, John R. (1993). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. Elements a and b of [an integral domain] are called associates if a | b and b | a.

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