(बीजगणित)

गणित में, एक अंगूठी की विशेषता (गणित) $R$ , अक्सर निरूपित किया जाता है $char(R)$ , एडिटिव पहचान (0) प्राप्त करने के लिए एक राशि में रिंग की पहचान तत्व (1) का उपयोग करने के लिए सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।यदि यह राशि कभी भी योज्य पहचान तक नहीं पहुंचती है, तो रिंग को विशेषता शून्य कहा जाता है।

वह है, $char(R)$ सबसे छोटी सकारात्मक संख्या है $n$ ऐसा है कि:^[1]^{(p 198, Thm. 23.14)} : $\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0$ अगर ऐसी नंबर $n$ मौजूद है, और $0$ अन्यथा।

प्रेरणा

विशेषता शून्य की विशेष परिभाषा अगले खंड में विशेषता के बराबर परिभाषाओं से प्रेरित है, जहां विशेषता शून्य को अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है।

विशेषता को रिंग के एडिटिव ग्रुप के एक्सपोनेंट (ग्रुप थ्योरी) के रूप में भी लिया जा सकता है, यानी सबसे छोटा पॉजिटिव इंटेगर $n$ ऐसा है कि:^[1]^{(p 198, Def. 23.12)}

\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0

हर तत्व के लिए $a$ रिंग की (फिर से, अगर $n$ मौजूद;अन्यथा शून्य)।कुछ लेखकों में एक अंगूठी के लिए अपनी आवश्यकताओं में गुणक पहचान तत्व शामिल नहीं होते हैं (देखें रिंग (गणित) #Multiplicative पहचान और रिंग टर्म रिंग | मल्टीप्लेटिव आइडेंटिटी और टर्म रिंग), और यह परिभाषा उस सम्मेलन के लिए उपयुक्त है;अन्यथा दो परिभाषाएँ छल्ले में वितरण कानून के कारण बराबर हैं।

समतुल्य चरित्रों

विशेषता प्राकृतिक संख्या है $n$ ऐसा है कि $\mathbb {Z}$ से अद्वितीय रिंग समरूपता का कर्नेल (रिंग थ्योरी) है $\mathbb {Z}$ को $R$ .^{[lower-alpha 1]}
विशेषता प्राकृतिक संख्या है $n$ ऐसा है कि $R$ कारक रिंग के लिए एक सबरिंग रिंग होमोमोर्फिज्म शामिल है $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , जो उपरोक्त समरूपता की छवि (गणित) है।
जब गैर-नकारात्मक पूर्णांक ${0, 1, 2, 3, ...}$ आंशिक रूप से विभाजन द्वारा आदेश दिया जाता है, फिर $1$ सबसे छोटा है और $0$ सबसे बडा।फिर एक अंगूठी की विशेषता का सबसे छोटा मूल्य है $n$ जिसके लिए $n \cdot 1 = 0$ . अगर कुछ भी छोटा नहीं (इस आदेश में) की तुलना में $0$ पर्याप्त होगा, तो विशेषता है & nbsp; $0$ ।इस तरह के तथ्यों के कारण यह उपयुक्त आंशिक आदेश है $char(A \times B)$ कम से कम आम कई है $char A$ और $char B$ , और वह रिंग होमोमोर्फिज्म नहीं $f : A \to B$ जब तक मौजूद है $char B$ विभाजित $char A$ .
एक अंगूठी की विशेषता $R$ है $n$ ठीक है अगर कथन $ka = 0$ सबके लिए $a \in R$ तात्पर्य $k$ का एक बहु है $n$ ।

छल्ले का मामला

यदि आर और एस रिंग (गणित) हैं और एक रिंग होमोमोर्फिज्म मौजूद है $R \to S$ , फिर की विशेषता $S$ की विशेषता को विभाजित करता है $R$ ।इसका उपयोग कभी -कभी कुछ रिंग होमोमोर्फिज्म की संभावना को बाहर करने के लिए किया जा सकता है।विशेषता 1 के साथ एकमात्र अंगूठी शून्य अंगूठी है, जिसमें केवल एक ही तत्व है $0 = 1 .$ यदि एक nontrivial अंगूठी $R$ कोई nontrivial शून्य विभाजक नहीं है, तो इसकी विशेषता या तो है $0$ या प्राइम नंबर।विशेष रूप से, यह सभी क्षेत्र (गणित), सभी अभिन्न डोमेन पर, और सभी डिवीजन रिंगों पर लागू होता है।विशेषता की कोई अंगूठी $0$ अनंत है।

अंगूठी $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित $n$ विशेषता है $n$ ।यदि $R$ का एक सबरिंग है $S$ , तब $R$ और $S$ एक ही विशेषता है।उदाहरण के लिए, यदि $p$ प्राइम है और $q (X)$ क्षेत्र में गुणांक के साथ एक irreducible बहुपद है $\mathbb {F} _{p}$ साथ $p$ तत्व, फिर भागफल की अंगूठी $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ विशेषता का एक क्षेत्र है $p$ ।एक और उदाहरण: क्षेत्र $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं में शामिल हैं $\mathbb {Z}$ , तो की विशेषता $\mathbb {C}$ है $0$ ।

ए $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ -लगेबरा समान रूप से एक अंगूठी है जिसकी विशेषता विभाजन होती है $n$ ।ऐसा इसलिए है क्योंकि हर रिंग के लिए $R$ एक रिंग होमोमोर्फिज्म है $\mathbb {Z} \to R$ , और इस मानचित्र कारकों के माध्यम से $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ यदि और केवल अगर की विशेषता है $R$ विभाजित $n$ ।इस मामले में किसी भी के लिए $r$ रिंग में, फिर जोड़ना $r$ खुद को $n$ टाइम्स देता है $nr = 0$ ।

अगर एक कम्यूटेटिव रिंग $R$ प्रमुख विशेषता है $p$ , तो हमारे पास हैं $(x + y) p = x p + y p$ सभी तत्वों के लिए $x$ और $y$ में $R$ - सामान्य रूप से गलत फ्रेशमैन का सपना शक्ति के लिए है $p$ । वो नक्शा $f (x) = x p$ फिर एक रिंग समरूपता को परिभाषित करता है $R \to R .$ इसे फ्रोबेनियस होमोमोर्फिज्म कहा जाता है।यदि $R$ एक अभिन्न डोमेन है यह इंजेक्टिव है।

खेतों का मामला

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी क्षेत्र की विशेषता या तो है $0$ या एक प्रमुख संख्या।गैर-शून्य विशेषता के एक क्षेत्र को परिमित विशेषता या सकारात्मक विशेषता या प्रमुख विशेषता का क्षेत्र कहा जाता है।विशेषता घातांक को समान रूप से परिभाषित किया गया है, सिवाय इसके कि यह बराबर है $1$ यदि विशेषता है $0$ ;अन्यथा यह विशेषता के समान मूल्य है।^[2] किसी भी क्षेत्र $F$ एक अद्वितीय न्यूनतम फ़ील्ड एक्सटेंशन है, जिसे भी कहा जाता हैprime field।यह सबफील्ड या तो तर्कसंगत संख्या क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {Q}$ या एक परिमित क्षेत्र $\mathbb {F} _{p}$ प्राइम ऑर्डर का।एक ही विशेषता के दो प्रमुख क्षेत्र आइसोमोर्फिक हैं, और यह आइसोमोर्फिज्म अद्वितीय है।दूसरे शब्दों में, प्रत्येक विशेषता में अनिवार्य रूप से एक अद्वितीय प्रमुख क्षेत्र है।

विशेषता शून्य के क्षेत्र

विशेषता शून्य के सबसे सामान्य क्षेत्र जो जटिल संख्याओं के उप -क्षेत्र हैं।पी-एडिक फ़ील्ड विशेषता शून्य फ़ील्ड हैं जो संख्या सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।उनके पास पूर्ण मूल्य हैं जो जटिल संख्याओं से बहुत अलग हैं।

किसी भी आदेशित फ़ील्ड के लिए, तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र के रूप में $\mathbb {Q}$ या वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {R}$ , विशेषता है $0$ ।इस प्रकार, प्रत्येक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र और जटिल संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {C}$ विशेषता शून्य के हैं।

प्राइम विशेषता के क्षेत्र

परिमित क्षेत्र gf ( $p n$ ) की विशेषता पी है।

प्राइम विशेषता के अनंत क्षेत्र मौजूद हैं।उदाहरण के लिए, सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , बीजगणितीय बंद $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ या औपचारिक शक्ति श्रृंखला का क्षेत्र $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))$ ।

प्राइम विशेषता के किसी भी परिमित अंगूठी का आकार $p$ की शक्ति है $p$ ।चूंकि उस मामले में इसमें शामिल है $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ यह उस क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान भी है, और रैखिक बीजगणित से हम जानते हैं कि परिमित क्षेत्रों पर परिमित वेक्टर रिक्त स्थान के आकार क्षेत्र के आकार की शक्ति हैं।इससे यह भी पता चलता है कि किसी भी परिमित वेक्टर स्थान का आकार एक प्रमुख शक्ति है।^{[lower-alpha 2]}

↑ The requirements of ring homomorphisms are such that there can be only one (in fact, exactly one) homomorphism from the ring of integers to any ring; in the language of category theory, $\mathbb {Z}$ is an initial object of the category of rings. Again this follows the convention that a ring has a multiplicative identity element (which is preserved by ring homomorphisms).
↑ It is a vector space over a finite field, which we have shown to be of size $p n$ , so its size is $(p n) m = p nm$ .

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th ed.). Pearson Education.
↑ "Field Characteristic Exponent". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Retrieved May 27, 2015.

स्रोत

McCoy, Neal H. (1973) [1964]. रिंग्स का सिद्धांत. Chelsea Publishing. p. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8.

श्रेणी: रिंग सिद्धांत श्रेणी: क्षेत्र (गणित)

[2] The requirements of ring homomorphisms are such that there can be only one (in fact, exactly one) homomorphism from the ring of integers to any ring; in the language of category theory, $\mathbb {Z}$ is an initial object of the category of rings. Again this follows the convention that a ring has a multiplicative identity element (which is preserved by ring homomorphisms).

[4] It is a vector space over a finite field, which we have shown to be of size $p n$ , so its size is $(p n) m = p nm$ .

[Fraleigh-Brand-2020-1] 1.0 ^1.1 Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th ed.). Pearson Education.

[3] "Field Characteristic Exponent". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Retrieved May 27, 2015.

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[lower-alpha 1]

[2]

[lower-alpha 2]

(बीजगणित)

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