एक समारोह का शून्य

"Root of a function" redirects here. For a half iterate of a function, see Functional square root.

A graph of the function $\cos(x)$ for $x$ in $\left[-2\pi ,2\pi \right]$, with zeros at $-{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}$, and ${\tfrac {3\pi }{2}},$ marked in red.

गणित में, एक वास्तविक संख्या-, सम्मिश्र संख्या-, या आम तौर पर सदिश-मूल्यवान फलन का एक शून्य (जिसे कभी-कभी मूल भी कहा जाता है) $f$, सदस्य है $x$ के एक समारोह के डोमेन का $f$ ऐसा है कि $f(x)$ पर गायब हो जाता है $x$; वह है, समारोह $f$ पर 0 का मान प्राप्त करता है $x$, या समकक्ष, $x$ समीकरण का हल (गणित) है $f(x)=0$. फ़ंक्शन का शून्य इस प्रकार एक इनपुट मान है जो 0 का आउटपुट उत्पन्न करता है।

एक बहुपद की जड़ संगत बहुपद फलन का शून्य होता है।बीजगणित के मौलिक प्रमेय से पता चलता है कि किसी भी गैर-शून्य बहुपद की जड़ों की संख्या बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और यह कि जड़ों की संख्या और डिग्री बराबर होती है जब कोई जटिल जड़ों (या अधिक आम तौर पर, एक बीजीय रूप से बंद विस्तार में जड़ें) उनकी बहुलता (गणित) के साथ गिना जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $f$ डिग्री दो की, द्वारा परिभाषित $f(x)=x^{2}-5x+6$ दो मूल (या शून्य) हैं जो 2 और 3 हैं।

$$f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ and }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.$$

यदि फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं में मैप करता है, तो इसके शून्य हैं $x$उन बिंदुओं के निर्देशांक जहां किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष | x-अक्ष से मिलता है। ऐसे बिंदु के लिए एक वैकल्पिक नाम $(x,0)$ इस संदर्भ में एक है $x$-अवरोधन।

एक समीकरण का समाधान

अज्ञात में प्रत्येक समीकरण (गणित) $x$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है

$f(x)=0$

बायीं ओर सभी पदों को पुनर्समूहित करके। यह इस प्रकार है कि ऐसे समीकरण के समाधान फ़ंक्शन के बिल्कुल शून्य हैं $f$. दूसरे शब्दों में, किसी फलन का शून्य, फलन को 0 के बराबर करके प्राप्त समीकरण का ठीक-ठीक एक हल होता है, और फलनों के शून्यों का अध्ययन ठीक वैसा ही है जैसा कि समीकरणों के हलों का अध्ययन।

बहुपद जड़ें

Main article: Properties of polynomial roots

एक बहुपद की विषम डिग्री के प्रत्येक वास्तविक बहुपद में वास्तविक जड़ों की एक विषम संख्या होती है (गिनती की बहुलता (गणित) # बहुपद की जड़ की बहुलता); इसी तरह, एक सम कोटि के वास्तविक बहुपद के वास्तविक मूलों की एक सम संख्या होनी चाहिए। नतीजतन, वास्तविक विषम बहुपदों में कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए (क्योंकि सबसे छोटी विषम पूर्ण संख्या 1 है), जबकि बहुपदों में भी कोई नहीं हो सकता है। इस सिद्धांत को मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के संदर्भ में सिद्ध किया जा सकता है: चूंकि बहुपद कार्य निरंतर कार्य होते हैं, इसलिए नकारात्मक से सकारात्मक या इसके विपरीत (जो हमेशा विषम कार्यों के लिए होता है) बदलने की प्रक्रिया में फ़ंक्शन मान शून्य को पार करना चाहिए।

बीजगणित का मौलिक प्रमेय

Main article: Fundamental theorem of algebra

बीजगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि डिग्री का हर बहुपद $n$ है $n$ जटिल जड़ें, उनकी बहुलताओं के साथ गिनी जाती हैं। वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों की गैर-वास्तविक जड़ें जटिल संयुग्म जोड़े में आती हैं।विएटा के सूत्र एक बहुपद के गुणांकों को उसकी जड़ों के योग और उत्पादों से संबंधित करते हैं।

कम्प्यूटिंग जड़ें

Main articles: Root-finding algorithm, Real-root isolation, and Equation solving

कार्यों की कंप्यूटिंग जड़ें, उदाहरण के लिए बहुपद कार्यों, अक्सर विशेष या सन्निकटन तकनीकों (जैसे, न्यूटन की विधि) के उपयोग की आवश्यकता होती है। हालांकि, कुछ बहुपद फलन, जिनमें 4 से अधिक बहुपद की सभी घात शामिल हैं, उनके सभी मूल उनके गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त बीजगणितीय फलन हो सकते हैं (अधिक के लिए, बीजगणितीय समाधान देखें)।

शून्य सेट

"Zero set" redirects here. For the musical album, see Zero Set.

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में, किसी फलन (गणित) का शून्य समुच्चय उसके सभी शून्यों का समुच्चय होता है। अधिक सटीक, अगर $f:X\to \mathbb {R}$ एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है (या, अधिक सामान्यतः, कुछ एबेलियन समूह में मान लेने वाला फ़ंक्शन), इसका शून्य सेट है $f^{-1}(0)$, की उलटी छवि $\{0\}$ में $X$.

फ़ंक्शन के कोडोमेन पर एक ही परिकल्पना के तहत, फ़ंक्शन का एक स्तर सेट $f$ फलन का शून्य समुच्चय है $f-c$ कुछ के लिए $c$ के कोडोमेन में $f.$ एक रेखीय मानचित्र के शून्य सेट को इसके कर्नेल (बीजगणित) के रूप में भी जाना जाता है।

फ़ंक्शन का कोज़ीरो सेट $f:X\to \mathbb {R}$ के शून्य समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) है $f$ (यानी, का सबसेट $X$ जिस पर $f$ अशून्य है)।

अनुप्रयोग

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय विविधता की पहली परिभाषा शून्य सेट के माध्यम से होती है। विशेष रूप से, एक affine बीजगणितीय सेट एक बहुपद वलय में कई बहुपदों के शून्य सेटों का चौराहा है $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ एक क्षेत्र (गणित) पर। इस संदर्भ में, शून्य सेट को कभी-कभी शून्य स्थान कहा जाता है।

गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति में, का कोई बंद सेट $\mathbb {R} ^{n}$ सभी पर परिभाषित एक सहज कार्य का शून्य सेट है $\mathbb {R} ^{n}$. यह paracompactness के परिणाम के रूप में किसी भी चिकनी कई गुना तक फैली हुई है। विभेदक ज्यामिति में, कई गुना परिभाषित करने के लिए शून्य सेट का उपयोग अक्सर किया जाता है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला यह है कि $f$ से एक सुचारू कार्य है $\mathbb {R} ^{p}$ को $\mathbb {R} ^{n}$. यदि शून्य का नियमित मान है $f$, फिर का शून्य सेट $f$ आयाम का एक सहज कई गुना है $m=p-n$ सबमर्शन_(गणित) द्वारा#स्थानीय_सामान्य_रूप।

उदाहरण के लिए, इकाई $m$-क्षेत्र में $\mathbb {R} ^{m+1}$ वास्तविक-मूल्यवान फलन का शून्य समुच्चय है $f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1$.

यह भी देखें

• मार्डन प्रमेय
• रूट-खोज एल्गोरिदम
• सेंडोव का अनुमान
• अनंत पर लुप्त हो जाना
• जीबरा क्रोससिंग
• शून्य और ध्रुव

अग्रिम पठन

• Weisstein, Eric W. "Root". MathWorld.