गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों का विभाजन

गणित में, एक संख्या क्षेत्र K के गैलोज़ विस्तार L के गैलोज़ समूह G के बीच परस्पर क्रिया, और जिस तरह से पूर्णांक O की अंगूठी के प्रमुख आदर्श P_K O की अभाज्य गुणजावली के गुणनफल के रूप में गुणनखंडन कीजिए_L, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के सबसे समृद्ध भागों में से एक प्रदान करता है। गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों के विभाजन को कभी-कभी हिल्बर्ट सिद्धांत कहकर डेविड हिल्बर्ट को जिम्मेदार ठहराया जाता है। रीमैन सतहों के रेमीफाइड कवरिंग के लिए एक ज्यामितीय एनालॉग है, जो दो के बजाय 'जी' के केवल एक प्रकार के उपसमूह पर विचार करना आसान है। हिल्बर्ट से पहले यह निश्चित रूप से परिचित था।

परिभाषाएँ

एल/के को संख्या क्षेत्रों का एक सीमित विस्तार होने दें, और ओ को जाने दें_Kऔर ओ_Lक्रमशः K और L के पूर्णांकों का संगत वलय हो, जिसे संबंधित क्षेत्र में पूर्णांकों 'Z' के अभिन्न संवरण के रूप में परिभाषित किया गया है।

${\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}$

अंत में, p को O में एक शून्येतर अभाज्य गुणजावली होने दें_K, या समकक्ष, एक अधिकतम आदर्श, ताकि अवशेष O_K/p एक क्षेत्र (गणित) है।

एक-क्रुल डायमेंशन रिंग के मूल सिद्धांत से एक अद्वितीय अपघटन के अस्तित्व का अनुसरण होता है

$pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}$

आदर्श पी ओ की_Lओ में उत्पन्न_Lपी द्वारा विशिष्ट अधिकतम आदर्श पी के उत्पाद में_j, गुणन ई के साथ_j.

फ़ील्ड एफ = ओ_K/p स्वाभाविक रूप से F में एम्बेड होता है_j = द_L/पी_j प्रत्येक जे के लिए, डिग्री एफ_j = [द_L/पी_j : ओ_K/p] इस 'अवशेष क्षेत्र विस्तार' को P की 'जड़ता की डिग्री' कहा जाता है_j पी पर।

बहुलता ई_j P का रामीकरण सूचकांक कहा जाता है_j पी पर। यदि यह कुछ j के लिए 1 से बड़ा है, तो क्षेत्र विस्तार L/K को p पर 'प्रशाखायुक्त' कहा जाता है (या हम कहते हैं कि p L में शाखाबद्ध होता है, या यह कि यह L में शाखाबद्ध होता है)। अन्यथा, एल/के को पी पर 'असंबद्ध' कहा जाता है। यदि यह स्थिति है तो चीनी शेष प्रमेय द्वारा भागफल O_L/उपरांत_Lफील्ड एफ का एक उत्पाद है_j. विस्तार L/K ठीक उन अभाज्य संख्याओं में शाखाबद्ध है जो एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के विवेचक #सापेक्ष विवेचक को विभाजित करते हैं, इसलिए विस्तार सभी लेकिन परिमित रूप से कई अभाज्य आदर्शों में असम्बद्ध है।

आदर्श मानदंड की बहुलता का तात्पर्य है

$[L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.$

अगर एफ_j = और_j = 1 प्रत्येक j के लिए (और इस प्रकार g = [L : K]), हम कहते हैं कि p L में 'पूरी तरह से विभाजित' होता है। यदि g = 1 और f₁ = 1 (और इसलिए ई₁ = [L : K]), हम कहते हैं कि p L में 'पूरी तरह से शाखाबद्ध' होता है। अंत में, यदि g = 1 और e₁ = 1 (और इसलिए एफ₁ = [L : K]), हम कहते हैं कि p, L में 'अक्रिय' है।

गैलोइस स्थिति

निम्नलिखित में, एक्सटेंशन एल/के को गैलोज़ एक्सटेंशन माना जाता है। फिर गाल्वा समूह $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ पी पर सकर्मक समूह कार्रवाई_j. अर्थात्, L में p के प्रमुख आदर्श गुणक, K पर L के स्वाकारण के अंतर्गत एक एकल कक्षा (समूह सिद्धांत) बनाते हैं। इससे और अंकगणित के मौलिक प्रमेय से, यह अनुसरण करता है कि f = f_j और ई = ई_j जे से स्वतंत्र हैं; ऐसा कुछ जो निश्चित रूप से उन एक्सटेंशनों के मामले में नहीं होना चाहिए जो गैलोइस नहीं हैं। बुनियादी संबंध तब पढ़ें

$pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}$.

और

$[L:K]=efg.$

उपरोक्त संबंध दर्शाता है कि [L : K]/ef O में p के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या g के बराबर है_L. ऑर्बिट-स्टेबलाइज़र सूत्र द्वारा यह संख्या |G|/|D के बराबर भी है_{Pj</उप>| प्रत्येक जे के लिए, जहां डीPj, P का अपघटन समूहj, दिए गए P को भेजने वाले G के तत्वों का उपसमूह हैj खुद को। चूँकि L/K की डिग्री और G की कोटि बुनियादी गैलोइस सिद्धांत के बराबर है, इसलिए यह इस प्रकार है कि अपघटन समूह D का क्रमPj प्रत्येक j के लिए ef है।}

इस अपघटन समूह में एक उपसमूह I होता है उप> पी_j, P का जड़त्व समूह कहलाता है_j, एल / के ऑटोमोर्फिज्म से मिलकर बनता है जो एफ पर पहचान ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है_j. दूसरे शब्दों में, आई_Pj रिडक्शन मैप का कर्नेल है $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$. यह दिखाया जा सकता है कि यह मानचित्र विशेषण है, और यह उसी का अनुसरण करता है $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ D के लिए आइसोमॉर्फिक है_{Pj</उप>/मैंPj और जड़त्व समूह I का क्रम उप> पीj</उप> ई है।}

डी के एक तत्व की पहचान करने के लिए फ्रोबेनियस तत्व का सिद्धांत आगे बढ़ता है उप> पी_j</उप>/मैं_Pj दिए गए j के लिए जो परिमित क्षेत्र विस्तार F के Galois समूह में Frobenius automorphism से मेल खाता है उप> जे </ उप> / एफ। असंशोधित मामले में डी. का आदेश उप> पी_j f और I है उप> पी_j</उप> तुच्छ है। साथ ही फ्रोबेनियस तत्व इस मामले में डी का एक तत्व है उप> पी_j (और इस प्रकार जी का तत्व भी)।

ज्यामितीय एनालॉग में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर जटिल मैनिफोल्ड या बीजगणितीय ज्यामिति के लिए, अपघटन समूह और जड़ता समूह की अवधारणाएं मेल खाती हैं। वहाँ, एक गाल्वा शाखायुक्त आवरण दिया गया है, लेकिन निश्चित रूप से कई बिंदुओं में समान संख्या में प्रीइमेज हैं।

उन विस्तारों में अभाज्य संख्याओं के विभाजन का अध्ययन किया जा सकता है जो गैलोज़ नहीं हैं, प्रारंभ में एक विभाजन क्षेत्र का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है, अर्थात एक गैलोज़ एक्सटेंशन जो कुछ बड़ा है। उदाहरण के लिए, घन क्षेत्र आमतौर पर डिग्री 6 क्षेत्र द्वारा 'विनियमित' होते हैं जिसमें वे होते हैं।

उदाहरण - गाऊसी पूर्णांक

यह खंड क्षेत्र विस्तार Q(i)/Q में प्रमुख आदर्शों के विभाजन का वर्णन करता है। अर्थात, हम 'K' = Q और 'L' = Q(i) लेते हैं, इसलिए 'OK बस Z है, और OL = Z[i] गाऊसी पूर्णांकों का वलय है। हालांकि यह मामला प्रतिनिधि से बहुत दूर है - आखिरकार, Z[i] में अद्वितीय गुणनखंड है, और Heegner number|अद्वितीय गुणनखंड के साथ कई द्विघात क्षेत्र नहीं हैं - यह सिद्धांत की कई विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।

Q(i)/Q के गाल्वा समूह के लिए G लिखना, और G में जटिल संयुग्मन ऑटोमोर्फिज्म के लिए σ लिखना, विचार करने के लिए तीन मामले हैं।

प्रधान पी = 2

'Z' का प्रधान 2 'Z' [i] में प्रवेश करता है:

$(2)=(1+i)^{2}$

यहाँ रेमीफिकेशन इंडेक्स इसलिए e = 2 है। अवशेष क्षेत्र है

$O_{L}/(1+i)O_{L}$

जो दो तत्वों वाला परिमित क्षेत्र है। अपघटन समूह सभी G के बराबर होना चाहिए, क्योंकि 2 से ऊपर 'Z' [i] का केवल एक अभाज्य है। जड़ता समूह भी G का है, क्योंकि

$a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i$

किसी भी पूर्णांक a और b के लिए, as $a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i$ .

वास्तव में, 2 एकमात्र ऐसा अभाज्य है जो 'Z'[i] में शाखाबद्ध होता है, क्योंकि प्रत्येक अभाज्य जो शाखाबद्ध होता है, उसे 'Z'[i] के बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के विविक्तकर को विभाजित करना चाहिए, जो कि -4 है।

प्राइम्स पी ≡ 1 मॉड 4

कोई भी अभाज्य p ≡ 1 mod 4 'Z'[i] में दो विशिष्ट अभाज्य आदर्शों में विभाजित होता है; यह दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट के प्रमेय का प्रकटीकरण है। उदाहरण के लिए:

$13=(2+3i)(2-3i)$

इस मामले में अपघटन समूह दोनों तुच्छ समूह {1} हैं; वास्तव में ऑटोमोर्फिज्म σ दो प्राइम्स (2 + 3i) और (2 − 3i) को स्विच करता है, इसलिए यह किसी भी प्राइम के अपघटन समूह में नहीं हो सकता है। जड़ता समूह, अपघटन समूह का एक उपसमूह होने के नाते, तुच्छ समूह भी है। दो अवशेष क्षेत्र हैं, प्रत्येक प्रधान के लिए एक,

$O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,$

जो दोनों 13 तत्वों वाले परिमित क्षेत्र के लिए समरूप हैं। फ्रोबेनियस तत्व तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म है; इस का मतलब है कि

$(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i$

किसी भी पूर्णांक a और b के लिए।

प्राइम्स पी ≡ 3 मॉड 4

कोई अभाज्य p ≡ 3 mod 4 'Z'[i] में निष्क्रिय रहता है; अर्थात् विभाजित नहीं होता। उदाहरण के लिए, (7) 'Z'[i] में प्रधान रहता है। इस स्थिति में, अपघटन समूह सभी G का है, फिर से क्योंकि केवल एक प्रमुख कारक है। हालाँकि, यह स्थिति p = 2 मामले से भिन्न है, क्योंकि अब σ अवशेषों के क्षेत्र पर मामूली रूप से कार्य नहीं करता है

$O_{L}/(7)O_{L}\ ,$

जो 7 के साथ परिमित क्षेत्र है² = 49 तत्व। उदाहरण के लिए, 1 + i और σ(1 + i) = 1 − i  के बीच का अंतर  2i है, जो निश्चित रूप से 7 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, जड़ता समूह तुच्छ समूह {1} है। सबफ़ील्ड Z/7Z पर इस अवशेष क्षेत्र के Galois समूह का क्रम 2 है, और यह फ्रोबेनियस तत्व की छवि द्वारा उत्पन्न होता है। फ्रोबेनियस कोई और नहीं बल्कि σ है; इस का मतलब है कि

$(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}$

किसी भी पूर्णांक a और b के लिए।

सारांश

Prime in Z	How it splits in Z[i]	Inertia group	Decomposition group
2	Ramifies with index 2	G	G
p ≡ 1 mod 4	Splits into two distinct factors	1	1
p ≡ 3 mod 4	Remains inert	1	G

गुणनखंड की गणना करना

मान लीजिए कि हम O के एक अभाज्य गुणजावली P का गुणनखंड ज्ञात करना चाहते हैं_K O की अभाज्य संख्याओं में_L. निम्नलिखित प्रक्रिया (न्यूकिर्च, पृ. 47) कई मामलों में इस समस्या का समाधान करती है। रणनीति O में एक पूर्णांक θ का चयन करना है_L ताकि L K पर θ द्वारा उत्पन्न हो (इस तरह के θ आदिम तत्व प्रमेय द्वारा अस्तित्व की गारंटी है), और फिर K पर θ के न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) H(X) की जांच करने के लिए; यह O में गुणांकों वाला एक मोनिक बहुपद है_K. H(X) modulo P के गुणांकों को कम करके, हम F में गुणांकों के साथ एक मोनिक बहुपद h(X) प्राप्त करते हैं, (परिमित) अवशेष क्षेत्र O_K/पी। मान लीजिए कि h(X) बहुपद वलय F[X] में गुणनखंड करता है

$h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},$

जहां एच_j एफ [एक्स] में विशिष्ट मोनिक इरेड्यूसबल बहुपद हैं। फिर, जब तक P बहुत से असाधारण अभाज्य संख्याओं में से एक नहीं है (सटीक स्थिति नीचे वर्णित है), P का गुणनखंड निम्नलिखित रूप में है:

$PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},$

जहां क्यू_j O की विशिष्ट प्रधान गुणजावली हैं_L. इसके अलावा, प्रत्येक Q की जड़ता की डिग्री_j संगत बहुपद h की घात के बराबर है_j, और Q के लिए एक स्पष्ट सूत्र है_j:

$Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},$

जहां एच_j यहाँ बहुपद h के उठाव को दर्शाता है_j के [एक्स] के लिए।

गैलोज़ मामले में, जड़ता की डिग्री सभी समान हैं, और रेमीफिकेशन इंडेक्स ई₁ = ... = और_n सब बराबर हैं।

असाधारण अभाज्य संख्याएँ, जिनके लिए उपरोक्त परिणाम जरूरी नहीं है, वे रिंग O के कंडक्टर (रिंग थ्योरी) के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख नहीं हैं_K[θ]। कंडक्टर को आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है

$\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};$

यह मापता है कि ऑर्डर (रिंग थ्योरी) ओ कितनी दूर है_K[θ] पूर्णांक (अधिकतम क्रम) O की पूरी अंगूठी होने से है_L.

एक महत्वपूर्ण चेतावनी यह है कि एल/के और पी के उदाहरण मौजूद हैं जैसे कि कोई उपलब्ध θ उपलब्ध नहीं है जो उपरोक्त परिकल्पनाओं को संतुष्ट करता है (उदाहरण के लिए देखें ). इसलिए, ऊपर दिए गए एल्गोरिथम का उपयोग ऐसे पी कारक के लिए नहीं किया जा सकता है, और अधिक परिष्कृत दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाना चाहिए, जैसे कि में वर्णित है।

एक उदाहरण

गॉसियन पूर्णांकों के मामले पर फिर से विचार करें। हम न्यूनतम बहुपद H(X) = X के साथ θ को काल्पनिक इकाई i मानते हैं² + 1. चूँकि Z[$i$] क्यू के पूर्णांकों की पूरी अंगूठी है ($i$), कंडक्टर इकाई आदर्श है, इसलिए कोई असाधारण अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

P = (2) के लिए, हमें 'Z'/(2)'Z' क्षेत्र में काम करने की आवश्यकता है, जो बहुपद X के गुणनखंड के बराबर है।² + 1 मॉड्यूल 2:

$X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.$

इसलिए, केवल एक प्रमुख कारक है, जड़त्व डिग्री 1 और रामीकरण सूचकांक 2 के साथ, और यह द्वारा दिया गया है

$Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].$

अगला मामला P = (p) के लिए एक अभाज्य p ≡ 3 mod 4 के लिए है। संक्षिप्तता के लिए हम P = (7) लेंगे। बहुपद एक्स² + 1 अलघुकरणीय मॉड्यूलो 7 है। इसलिए, केवल एक प्रमुख कारक है, जड़ता डिग्री 2 और रामीकरण सूचकांक 1 के साथ, और यह द्वारा दिया गया है

$Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].$

अभाज्य p ≡ 1 mod 4 के लिए अंतिम स्थिति P = (p) है; हम फिर से P = (13) लेंगे। इस बार हमारे पास गुणनखंड है

$X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.$

इसलिए, दो प्रमुख कारक हैं, दोनों जड़ता की डिग्री और रामीकरण सूचकांक 1 के साथ। वे द्वारा दिए गए हैं

$Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]$

और

$Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].$

यह भी देखें

• चेबोटारेव का घनत्व प्रमेय

बाहरी कड़ियाँ

• "Splitting and ramification in number fields and Galois extensions". PlanetMath.
• Stein, William (2004), A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.श्रेणी:गैलोइस सिद्धांत