अधिकतम आदर्श

गणित में, अधिक विशेष रूप से अंगूठी सिद्धांत में, एक अधिकतम आदर्श एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) है जो सभी 'उचित' आदर्शों के बीच अधिकतम तत्व (सेट समावेशन के संबंध में) है। दूसरे शब्दों में, I स्थानीय अंगूठी (गणित) R का अधिकतम आदर्श है यदि I और R के बीच कोई अन्य आदर्श नहीं है।

अधिकतम आदर्श महत्वपूर्ण हैं क्योंकि अधिकतम आदर्शों द्वारा भागफल की अंगूठी सरल छल्ले हैं, और विशेष मामले में Ring_(mathematics)#Notes_on_the_definition क्रमविनिमेय छल्ले वे क्षेत्र (गणित) भी हैं।

अअनुक्रमणीय वलय सिद्धांत में, एक 'अधिकतम दायाँ आदर्श' को समान रूप से उचित दाएँ आदर्शों के poset में एक अधिकतम तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसी तरह, एक 'अधिकतम बाएँ आदर्श' को उचित बाएँ आदर्शों के पॉसेट के एक अधिकतम तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है। . चूँकि एक तरफा अधिकतम आदर्श A आवश्यक रूप से दो तरफा नहीं है, भागफल R/A जरूरी नहीं कि एक वलय हो, लेकिन यह R पर एक सरल मॉड्यूल है। यदि R का एक अद्वितीय अधिकतम सही आदर्श है, तो R को एक स्थानीय के रूप में जाना जाता है अंगूठी, और अधिकतम दायां आदर्श भी अद्वितीय अधिकतम बाएं और अद्वितीय अधिकतम दो तरफा अंगूठी का आदर्श है, और वास्तव में जैकबसन कट्टरपंथी जे (आर) है।

एक अंगूठी के लिए एक अद्वितीय अधिकतम दो तरफा आदर्श होना संभव है और फिर भी अद्वितीय अधिकतम एक तरफा आदर्शों की कमी है: उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर 2 से 2 वर्ग मैट्रिक्स की अंगूठी में, शून्य आदर्श एक अधिकतम दो तरफा आदर्श है , लेकिन कई अधिकतम सही आदर्श हैं।

परिभाषा

अधिकतम एक तरफा और अधिकतम दो तरफा आदर्शों की परिभाषा व्यक्त करने के अन्य समान तरीके हैं। एक वलय R और R का एक उचित आदर्श I (जो कि I ≠ R है) दिया गया है, I R का एक अधिकतम आदर्श है यदि निम्न समतुल्य शर्तों में से कोई भी हो:

• R का कोई अन्य उचित आदर्श J मौजूद नहीं है ताकि I ⊊ J.
• I ⊆ J के साथ किसी आदर्श J के लिए, या तो J = I या J = R।
• भागफल वलय R/I एक साधारण वलय है।

एकतरफा आदर्शों के लिए एक समान सूची है, जिसके लिए केवल दाहिने हाथ के संस्करण दिए जाएंगे। एक वलय R के सही आदर्श A के लिए, निम्न स्थितियाँ A के R के अधिकतम सही आदर्श होने के बराबर हैं:

• R का कोई अन्य उचित सही आदर्श B मौजूद नहीं है ताकि A ⊊ B.
• ए ⊆ बी के साथ किसी भी सही आदर्श बी के लिए, या तो बी = ए या बी = आर।
• भागफल मॉड्यूल आर/ए एक साधारण सही आर-मॉड्यूल है।

अधिकतम दाएं/बाएं/दो तरफा आदर्श न्यूनतम आदर्शों के द्वैत (गणित) हैं।

उदाहरण

• यदि F एक क्षेत्र है, तो केवल अधिकतम गुणजावली {0} है।
• पूर्णांकों के वलय Z में, अधिकतम आदर्श एक प्रमुख संख्या द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श हैं।
• अधिक आम तौर पर, सभी गैर-अभाज्य प्रधान आदर्श प्रमुख आदर्श डोमेन में अधिकतम होते हैं।
• आदर्श $(2,x)$ रिंग में एक अधिकतम आदर्श है $\mathbb {Z} [x]$. आम तौर पर, के अधिकतम आदर्श $\mathbb {Z} [x]$ स्वरूप के हैं $(p,f(x))$ कहां $p$ एक अभाज्य संख्या है और $f(x)$ में बहुपद है $\mathbb {Z} [x]$ जो अलघुकरणीय सापेक्ष है $p$.
• प्रत्येक अभाज्य गुणजावली बूलियन वलय में एक उच्चिष्ठ गुणजावली होती है, अर्थात एक वलय जिसमें केवल निर्बल तत्व होते हैं। वास्तव में, क्रमविनिमेय वलय में प्रत्येक अभाज्य आदर्श उच्चिष्ठ होता है $R$ जब भी कोई पूर्णांक मौजूद होता है $n>1$ ऐसा है कि $x^{n}=x$ किसी के लिए $x\in R$.
• बहुपद वलय की अधिकतम आदर्श संख्याएँ $\mathbb {C} [x]$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श हैं $x-c$ कुछ के लिए $c\in \mathbb {C}$.
• अधिक आम तौर पर, बहुपद वलय की अधिकतम आदर्श संख्याएँ K[x₁, ..., x_n] एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के ऊपर के फॉर्म के आदर्श हैं (x₁ − a₁, ..., x_n − a_n). इस परिणाम को कमजोर शून्य प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

गुण

• जैकबसन रेडिकल नामक वलय की एक महत्वपूर्ण गुणजावली को अधिकतम दाएँ (या अधिकतम बाएँ) आदर्शों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।
• यदि R एक आदर्श m के साथ एक इकाई क्रमविनिमेय वलय है, तो k = R/m एक क्षेत्र है यदि और केवल यदि m एक अधिकतम आदर्श है। उस स्थिति में, R/m को अवशिष्ट क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। यह तथ्य गैर-अनौपचारिक रिंगों में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, $4\mathbb {Z}$ में अधिकतम आदर्श है $2\mathbb {Z}$, लेकिन $2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ एक क्षेत्र नहीं है।
• यदि एल अधिकतम बाएं आदर्श है, तो आर/एल एक साधारण बाएं आर-मॉड्यूल है। इसके विपरीत एकता के साथ छल्ले में, कोई भी सरल बायां आर-मॉड्यूल इस तरह से उत्पन्न होता है। संयोग से यह दर्शाता है कि सरल बाएं आर-मॉड्यूल के प्रतिनिधियों का संग्रह वास्तव में एक सेट है क्योंकि इसे आर के अधिकतम बाएं आदर्शों के सेट के हिस्से के साथ पत्राचार में रखा जा सकता है।
• 'क्रूल की प्रमेय' (1929): प्रत्येक अशून्य एकात्मक वलय का एक अधिकतम आदर्श होता है। परिणाम भी सही है अगर आदर्श को सही आदर्श या बाएं आदर्श से बदल दिया जाए। अधिक आम तौर पर, यह सच है कि प्रत्येक गैर-अक्षीय रूप से उत्पन्न मॉड्यूल में एक अधिकतम सबमॉड्यूल होता है। मान लीजिए I एक गुणजावली है जो R नहीं है (क्रमशः, A एक सही गुणवाचक है जो R नहीं है)। तब R/I एकता के साथ एक वलय है (क्रमशः, R/A एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है), और इसलिए उपरोक्त प्रमेय को भागफल पर लागू किया जा सकता है ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि R का एक अधिकतम आदर्श (क्रमशः, अधिकतम सही आदर्श) है युक्त मैं (क्रमशः, ए)।
• बिना एकता वाले वलयों के लिए क्रुल प्रमेय विफल हो सकता है। एक कट्टरपंथी अंगूठी, यानी एक रिंग जिसमें जैकबसन रेडिकल पूरी रिंग है, में कोई साधारण मॉड्यूल नहीं है और इसलिए कोई अधिकतम दाएं या बाएं आदर्श नहीं हैं। इस समस्या से बचने के संभावित तरीकों के लिए नियमित आदर्श देखें।
• एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय में, प्रत्येक उच्चिष्ठ गुणज प्रधान आदर्श होता है। विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है: उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-फ़ील्ड अभिन्न डोमेन में शून्य आदर्श एक प्रमुख आदर्श है जो अधिकतम नहीं है। क्रमविनिमेय वलय जिनमें प्रधान आदर्श अधिकतम होते हैं, क्रमविनिमेय वलय#आयाम|शून्य-आयामी वलय के रूप में जाने जाते हैं, जहाँ उपयोग किया गया आयाम क्रुल आयाम है।
• एक गैर-अनुक्रमिक अंगूठी का अधिकतम आदर्श क्रमविनिमेय अर्थों में प्रमुख नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो $M_{n\times n}(\mathbb {Z} )$ सभी की अंगूठी बनो $n\times n$ मैट्रिसेस खत्म $\mathbb {Z}$. इस वलय का एक अधिकतम आदर्श है $M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$ किसी भी प्रधान के लिए $p$, लेकिन यह तब से एक प्रमुख आदर्श नहीं है (मामले में $n=2$)$A={\text{diag}}(1,p)$ और $B={\text{diag}}(p,1)$ में नहीं हैं $M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$, लेकिन $AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$. हालांकि, नीचे दिए गए #सामान्यीकरण में गैर-अनुवर्ती छल्ले के अधिकतम आदर्श प्रमुख हैं।

सामान्यीकरण

आर-मॉड्यूल ए के लिए, ए का 'अधिकतम सबमॉड्यूल' एम एक सबमॉड्यूल है M ≠ A संपत्ति को संतुष्ट करना कि किसी अन्य सबमॉड्यूल एन के लिए, M ⊆ N ⊆ A तात्पर्य N = M या N = A. समतुल्य रूप से, एम एक अधिकतम सबमॉड्यूल है यदि और केवल यदि भागफल मॉड्यूल ए/एम एक साधारण मॉड्यूल है। रिंग आर के अधिकतम सही आदर्श बिल्कुल मॉड्यूल आर के अधिकतम सबमॉड्यूल हैं_R.

एकता वाले छल्ले के विपरीत, एक गैर-शून्य मॉड्यूल में अधिकतम सबमॉड्यूल नहीं होते हैं। हालाँकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गैर-शून्य मॉड्यूल में अधिकतम सबमॉड्यूल होते हैं, और प्रक्षेपी मॉड्यूल में भी अधिकतम सबमॉड्यूल होते हैं।

छल्लों की तरह, अधिकतम सबमॉड्यूल का उपयोग करके मॉड्यूल के रेडिकल को परिभाषित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक बिमॉड्यूल बी के 'मैक्सिमल सब-बिमॉड्यूल' एम को परिभाषित करके अधिकतम आदर्शों को सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कि एम का एक उचित उप-बिमॉड्यूल है, जो एम के किसी अन्य उचित उप-बिमॉड्यूल में निहित नहीं है। आर के अधिकतम आदर्श तब हैं बिमॉड्यूल के बिल्कुल अधिकतम उप-बिमॉड्यूल _RR_R.

यह भी देखें

• प्रमुख आदर्श

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• अंक शास्त्र
• स्क्वायर मैट्रिसेस
• अंगूठी (गणित)
• साधारण अंगूठी
• क्रमविनिमेय अंगूठी
• द्वंद्व (गणित)
• बहुपद की अंगूठी
• बीजीय रूप से बंद क्षेत्र
• अवशेष क्षेत्र
• अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल
• bimodule
• एक मॉड्यूल का कट्टरपंथी

संदर्भ

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439