आदेश टोपोलॉजी

Not to be confused with Order topology (functional analysis).

गणित में, एक ऑर्डर टोपोलॉजी एक निश्चित टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसे किसी भी पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर परिभाषित किया जा सकता है। यह पूरी तरह से आदेशित सेटों को मनमाने ढंग से करने के लिए वास्तविक संख्याओं की टोपोलॉजी का एक स्वाभाविक सामान्यीकरण है। यदि X पूरी तरह से क्रमबद्ध सेट है, तो X पर 'ऑर्डर टोपोलॉजी' खुली किरणों के उप-आधार द्वारा उत्पन्न होती है

$\{x\mid a<x\}$

$\{x\mid x<b\}$

एक्स में सभी ए, बी के लिए। बशर्ते एक्स में कम से कम दो तत्व हों, यह कहने के बराबर है कि खुला अंतराल (गणित)

$(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$

उपरोक्त किरणों के साथ मिलकर ऑर्डर टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं। एक्स में खुले सेट ऐसे सेट हैं जो ऐसे खुले अंतराल और किरणों के (संभवतः असीम रूप से कई) एक संघ (सेट सिद्धांत) हैं।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को 'ऑर्डरेबल' या 'लीनियरली ऑर्डरेबल' कहा जाता है यदि इसके तत्वों पर कुल क्रम मौजूद है जैसे कि आदेश टोपोलॉजी उस क्रम से प्रेरित है और एक्स पर दी गई टोपोलॉजी मेल खाती है। ऑर्डर टोपोलॉजी एक्स को पूरी तरह से सामान्य स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस में बनाती है।

'आर', 'क्यू', 'जेड' और 'एन' पर मानक टोपोलॉजी ऑर्डर टोपोलॉजी हैं।

प्रेरित बेहतर टोपोलॉजी

यदि Y, X का एक उपसमुच्चय है, X पूरी तरह से क्रमित सेट है, तो Y, X से कुल ऑर्डर प्राप्त करता है। इसलिए सेट Y में एक ऑर्डर टोपोलॉजी है, 'प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी'। X के उपसमुच्चय के रूप में, Y में एक उप-स्थान टोपोलॉजी भी है। उप-स्थान टोपोलॉजी हमेशा प्रेरित आदेश टोपोलॉजी के रूप में कम से कम महीन टोपोलॉजी होती है, लेकिन वे सामान्य रूप से समान नहीं होती हैं।

उदाहरण के लिए, उपसमुच्चय Y = {–1} ∪ {1/n} पर विचार करें_n∈N तर्कसंगत संख्या में। सबस्पेस टोपोलॉजी के तहत, सिंगलटन सेट {-1} वाई में खुला है, लेकिन प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी के तहत, किसी भी ओपन सेट में -1 शामिल होना चाहिए, लेकिन अंतरिक्ष के बहुत से सदस्यों को शामिल करना चाहिए।

रैखिक रूप से आदेशित स्थान के उप-स्थान का एक उदाहरण जिसका टोपोलॉजी ऑर्डर टोपोलॉजी नहीं है

हालांकि Y का सबस्पेस टोपोलॉजी = {–1} ∪ {1/n}_n∈N उपरोक्त खंड में वाई पर प्रेरित आदेश द्वारा उत्पन्न नहीं दिखाया गया है, फिर भी यह वाई पर एक ऑर्डर टोपोलॉजी है; वास्तव में, उप-स्थान टोपोलॉजी में प्रत्येक बिंदु अलग-थलग है (अर्थात, Y में प्रत्येक y के लिए Y में सिंगलटन {y} खुला है), इसलिए उप-स्थान टोपोलॉजी Y पर असतत टोपोलॉजी है (टोपोलॉजी जिसमें Y का प्रत्येक उपसमुच्चय एक खुला है) सेट), और किसी भी सेट पर असतत टोपोलॉजी ऑर्डर टोपोलॉजी है। Y पर एक कुल आदेश को परिभाषित करने के लिए जो Y पर असतत टोपोलॉजी उत्पन्न करता है, बस Y पर प्रेरित क्रम को संशोधित करें -1 को Y का सबसे बड़ा तत्व होने के लिए और अन्यथा अन्य बिंदुओं के लिए समान क्रम रखते हुए, ताकि इस नए क्रम में (इसे कॉल करें <₁) हमारे पास 1/n <है₁ –1 सभी n ∈ 'N' के लिए। फिर, वाई पर टोपोलॉजी के क्रम में <द्वारा उत्पन्न किया गया₁, Y का प्रत्येक बिंदु Y में पृथक है।

हम यहाँ एक रैखिक रूप से क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक उपसमूह Z को परिभाषित करना चाहते हैं, जैसे कि Z पर कोई भी ऑर्डर Z पर सबस्पेस टोपोलॉजी उत्पन्न नहीं करता है, ताकि सबस्पेस टोपोलॉजी एक ऑर्डर टोपोलॉजी न हो, भले ही यह स्पेस का सबस्पेस टोपोलॉजी हो। जिसकी टोपोलॉजी एक ऑर्डर टोपोलॉजी है।

होने देना $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ वास्तविक रेखा में। पहले जैसा ही तर्क दिखाता है कि Z पर सबस्पेस टोपोलॉजी Z पर प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी के बराबर नहीं है, लेकिन कोई यह दिखा सकता है कि Z पर सबस्पेस टोपोलॉजी Z पर किसी भी ऑर्डर टोपोलॉजी के बराबर नहीं हो सकती है।

एक तर्क इस प्रकार है। विरोधाभास के माध्यम से मान लीजिए कि कुछ पूरी तरह से आदेशित सेट # सख्त कुल आदेश <Z पर ऐसा है कि <द्वारा उत्पन्न ऑर्डर टोपोलॉजी Z पर उप-स्थान टोपोलॉजी के बराबर है (ध्यान दें कि हम यह नहीं मान रहे हैं कि < Z पर प्रेरित आदेश है , बल्कि Z पर एक मनमाने ढंग से दिया गया कुल आदेश जो उप-स्थान टोपोलॉजी उत्पन्न करता है)। निम्नलिखित में, अंतराल अंकन की व्याख्या <संबंध के सापेक्ष की जानी चाहिए। साथ ही, यदि A और B समुच्चय हैं, $A<B$ इसका मतलब होगा $a<b$ ए में प्रत्येक ए और बी में बी के लिए।

मान लीजिए M = Z \ {-1}, इकाई अंतराल। एम जुड़ा हुआ है। अगर m, n ∈ M और m < -1 < n, तो $(-\infty ,-1)$ और $(-1,\infty )$ अलग एम, एक विरोधाभास। इसी तरह के तर्कों से, एम अपने आप में सघन है और <के संबंध में कोई अंतराल नहीं है। इस प्रकार, एम < {-1} या {-1} < एम। सामान्यता के नुकसान के बिना मान लें कि {-1} < एम। चूंकि {-1} जेड में खुला है, एम में कुछ बिंदु पी है जैसे कि अंतराल (-1, पी) खाली है। चूंकि {-1} < M, हम जानते हैं -1 Z का एकमात्र तत्व है जो p से कम है, इसलिए p, M का न्यूनतम है। फिर M \ {p} = A ∪ B, जहां A और B गैर-खाली खुले हैं और वास्तविक रेखा (0,p) और (p,1) के अंतराल द्वारा दिए गए M के सबसेट को अलग करें। ध्यान दें कि A और B की सीमा दोनों p की एकात्मक हैं। ए और बी में ए और बी में व्यापकता के नुकसान के बिना मानते हुए कि ए <बी, चूंकि एम में कोई अंतराल नहीं है और यह घना है, अंतराल (ए, बी) में ए और बी के बीच एक सीमा बिंदु है (एक कर सकते हैं ए के तत्वों एक्स के सेट का सर्वोच्च लें जैसे कि [ए, एक्स] ए में है)। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि एकमात्र सीमा सख्ती से एक के अधीन है।

बाएँ और दाएँ क्रम की टोपोलॉजी

ऑर्डर टोपोलॉजी के कई रूप दिए जा सकते हैं:

• सही क्रम टोपोलॉजी एक्स पर एक आधार (टोपोलॉजी) के रूप में फार्म के सभी अंतराल होने वाली टोपोलॉजी है $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$साथ में सेट एक्स के साथ।
• एक्स पर 'लेफ्ट ऑर्डर टोपोलॉजी' एक टोपोलॉजी है, जो फॉर्म के सभी अंतरालों को आधार बनाती है $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$साथ में सेट एक्स के साथ।

सामान्य टोपोलॉजी में काउंटर उदाहरण देने के लिए बाएं और दाएं ऑर्डर टोपोलॉजी का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बंधे हुए सेट पर बाएँ या दाएँ क्रम की टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट जगह का एक उदाहरण प्रदान करती है जो हौसडॉर्फ नहीं है।

बाएं क्रम की टोपोलॉजी एक बूलियन बीजगणित (संरचना) पर कई सेट-सैद्धांतिक उद्देश्यों के लिए उपयोग की जाने वाली मानक टोपोलॉजी है।

साधारण स्थान

किसी भी क्रमसूचक संख्या λ के लिए क्रमसूचक संख्याओं के रिक्त स्थान पर विचार किया जा सकता है

$[0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}$

$[0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}$

साथ में प्राकृतिक क्रम टोपोलॉजी। इन रिक्त स्थानों को क्रमिक स्थान कहा जाता है। (ध्यान दें कि क्रमिक संख्याओं के सामान्य सेट-सैद्धांतिक निर्माण में हमारे पास λ = [0,λ) और λ + 1 = [0,λ] है)। जाहिर है, ये रिक्त स्थान अधिकतर रुचि रखते हैं जब λ एक अनंत क्रमिक होता है; अन्यथा (परिमित क्रमों के लिए), ऑर्डर टोपोलॉजी केवल असतत टोपोलॉजी है।

जब λ = ω (पहला अनंत क्रमिक), स्थान [0,ω) सामान्य (अभी भी असतत) टोपोलॉजी के साथ सिर्फ N है, जबकि [0,ω] एलेक्जेंड्रॉफ़_एक्सटेंशन है | एन का एक-बिंदु संघनन .

विशेष रुचि तब होती है जब λ = ω₁, सभी गणनीय अध्यादेशों का सेट, और पहला बेशुमार क्रमसूचक। तत्व ω₁ उपसमुच्चय [0,ω] का एक सीमा बिंदु है₁) हालांकि [0, ω में तत्वों का कोई क्रम (गणित) नहीं है₁) का तत्व ω है₁ इसकी सीमा के रूप में। विशेष रूप से, [0, ω₁] प्रथम-गणनीय स्थान नहीं है | प्रथम-गणनीय है। उपसमष्टि [0,ω₁) हालांकि, [0, ω में एकमात्र बिंदु के बाद से, प्रथम-गणनीय है₁] गणनीय स्थानीय आधार के बिना ω है₁. कुछ और संपत्तियां शामिल हैं

• न तो [0,ω₁) या [0, ω₁] वियोज्य स्थान या दूसरा-गणनीय है
• [0, ω₁] सघन स्थान है, जबकि [0,ω₁) क्रमिक रूप क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्थान और गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट स्थान है, लेकिन कॉम्पैक्ट या परा-सुसंहत नहीं है

टोपोलॉजी और ऑर्डिनल्स

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में ऑर्डिनल्स

ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ समाप्त करके किसी भी क्रमिक संख्या को एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बनाया जा सकता है (चूंकि, अच्छी तरह से आदेश दिया जा रहा है, एक क्रमसूचक विशेष रूप से कुल क्रम में है): इसके विपरीत संकेत की अनुपस्थिति में, यह हमेशा ऑर्डर टोपोलॉजी है इसका मतलब तब होता है जब एक ऑर्डिनल को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है। (ध्यान दें कि यदि हम एक उचित वर्ग को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में स्वीकार करने के इच्छुक हैं, तो सभी ऑर्डिनल्स का वर्ग भी ऑर्डर टोपोलॉजी के लिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस है।)

एक क्रमसूचक α के सीमा बिंदुओं का समुच्चय ठीक α से कम सीमा क्रमसूचकों का समुच्चय है। α से कम उत्तराधिकारी क्रमांक (और शून्य) α में पृथक बिंदु हैं। विशेष रूप से, परिमित क्रमसूचक और ω असतत अंतरिक्ष टोपोलॉजिकल स्थान हैं, और इससे परे कोई क्रमसूचक असतत नहीं है। ऑर्डिनल α एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में कॉम्पैक्ट स्पेस है अगर और केवल अगर α उत्तराधिकारी ऑर्डिनल है।

क्रमसूचक सीमा α के क्लोज्ड सेट्स सिर्फ इस अर्थ में क्लोज्ड सेट्स हैं कि हमारे पास #Closed अनबाउंडेड सेट्स और क्लासेस हैं, अर्थात्, वे जिनमें एक लिमिट ऑर्डिनल होता है जब भी वे इसके नीचे पर्याप्त रूप से बड़े ऑर्डिनल होते हैं।

बेशक, कोई भी अध्यादेश किसी भी अन्य अध्यादेश का एक खुला उपसमुच्चय है। हम निम्नलिखित आगमनात्मक तरीके से अध्यादेशों पर टोपोलॉजी को भी परिभाषित कर सकते हैं: 0 खाली टोपोलॉजिकल स्पेस है, α+1 संघनन (गणित)गणित) | α का एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन, और δ के लिए एक सीमा क्रमसूचक, δ प्राप्त करके प्राप्त किया जाता है। प्रत्यक्ष सीमा टोपोलॉजी से लैस है। ध्यान दें कि यदि α एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक है, तो α कॉम्पैक्ट है, इस मामले में इसका एक-बिंदु संघनन α+1 α और एक बिंदु का असंयुक्त संघ है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, सभी ऑर्डिनल्स हौसडॉर्फ स्पेस और सामान्य स्पेस भी हैं। वे पूरी तरह से असतत स्थान भी हैं (कनेक्टेड कंपोनेंट पॉइंट्स हैं), बिखरा हुआ स्पेस (हर नॉन-रिक्त सबस्पेस में एक आइसोलेटेड पॉइंट होता है; इस मामले में, बस सबसे छोटा तत्व लें), शून्य आयामी स्थान | जीरो-डायमेंशनल (टोपोलॉजी में एक है clopen आधार (टोपोलॉजी): यहाँ, क्लोपेन अंतरालों के मिलन के रूप में खुला अंतराल (β,γ) लिखें (β,γ'+1)=[β+ 1,γ'] for γ'<γ). हालांकि, वे सामान्य रूप से अत्यधिक डिस्कनेक्ट किया गया स्थान नहीं हैं (खुले सेट हैं, उदाहरण के लिए ω से सम संख्याएं, जिनका बंद होना खुला नहीं है)।

टोपोलॉजिकल स्पेस ω₁ और इसके उत्तराधिकारी ω₁+1 को अक्सर गैर-गिनने योग्य स्थलीय रिक्त स्थान के पाठ्य-पुस्तक उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस में ω₁+1, तत्व ω₁ सबसेट ω के बंद होने में है₁ भले ही ω में तत्वों का कोई क्रम न हो₁ तत्व ω है₁ इसकी सीमा के रूप में: ω में एक तत्व₁ एक गणनीय सेट है; ऐसे समुच्चयों के किसी भी क्रम के लिए, इन समुच्चयों का मिलन गणनीय रूप से कई गणनीय समुच्चयों का मिलन है, इसलिए अभी भी गणनीय है; यह संघ अनुक्रम के तत्वों की एक ऊपरी सीमा है, और इसलिए अनुक्रम की सीमा, यदि इसमें एक है।

अंतरिक्ष ω₁ प्रथम-गणनीय स्थान है | प्रथम-गणनीय, लेकिन द्वितीय-गणनीय स्थान नहीं | द्वितीय-गणनीय, और ω₁कॉम्पैक्ट स्पेस होने के बावजूद +1 में इन दोनों गुणों में से कोई भी नहीं है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि ω से कोई निरंतर कार्य₁ आर (वास्तविक रेखा) के लिए अंततः स्थिर है: इसलिए कॉम्पैक्टिफिकेशन (गणित) | स्टोन-सीच ω का कॉम्पैक्टिफिकेशन₁ ω है₁+1, इसके एक-बिंदु संघनन के रूप में (ω के ठीक विपरीत, जिसका स्टोन-चेक संघनन ω से बहुत बड़ा है)।

साधारण-अनुक्रमित अनुक्रम

यदि α एक सीमा क्रमसूचक है और X एक समुच्चय है, तो X के तत्वों के एक α-अनुक्रमित अनुक्रम का अर्थ केवल α से X तक के फलन से है। अनुक्रम की अवधारणा। एक साधारण अनुक्रम मामले α = ω से मेल खाता है।

यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो हम कहते हैं कि X के तत्वों का एक α- अनुक्रमित अनुक्रम एक सीमा x में परिवर्तित होता है जब यह नेट (गणित) के रूप में अभिसरण करता है, दूसरे शब्दों में, जब x का कोई पड़ोस U दिया जाता है तो एक क्रमसूचक β होता है <α ऐसा है कि x_ι सभी ι≥β के लिए यू में है।

टोपोलॉजी में सीमा निर्धारित करने के लिए सामान्य (ω-अनुक्रमित) अनुक्रमों की तुलना में क्रम-अनुक्रमित अनुक्रम अधिक शक्तिशाली होते हैं: उदाहरण के लिए, ω₁ (क्रमिक संख्या # कार्डिनल का प्रारंभिक क्रमांक | ओमेगा-वन, सभी गणनीय क्रमिक संख्याओं का सेट, और सबसे छोटी बेशुमार क्रमिक संख्या), ω का एक सीमा बिंदु है₁+1 (क्योंकि यह एक सीमा क्रमसूचक है), और, वास्तव में, यह ω की सीमा है₁-अनुक्रमित अनुक्रम जो ω से कम किसी भी क्रमसूचक को मैप करता है₁ स्वयं के लिए: हालांकि, यह ω में किसी सामान्य (ω-अनुक्रमित) अनुक्रम की सीमा नहीं है₁, चूंकि ऐसी कोई भी सीमा इसके तत्वों के संघ से कम या उसके बराबर है, जो कि गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ है, इसलिए स्वयं गणनीय है।

हालांकि, सामान्य रूप से नेट (या फ़िल्टर (गणित)) को बदलने के लिए क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम पर्याप्त शक्तिशाली नहीं हैं: उदाहरण के लिए, टाइकोनॉफ़ प्लैंक (उत्पाद स्थान) पर $(\omega _{1}+1)\times (\omega +1)$), कोने बिंदु $(\omega _{1},\omega )$ खुले उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु है (यह बंद होने में है)। $\omega _{1}\times \omega$, लेकिन यह एक क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम की सीमा नहीं है।

यह भी देखें

• टोपोलॉजी की सूची
• निचली सीमा टोपोलॉजी
• लंबी लाइन (टोपोलॉजी)
• रैखिक सातत्य
• ऑर्डर टोपोलॉजी (कार्यात्मक विश्लेषण)
• आंशिक रूप से आदेशित स्थान

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• बिखरा हुआ स्थान
• दूसरा गणनीय स्थान
• शुद्ध (गणित)

संदर्भ

• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
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