अच्छी तरह से आदेश

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक समुच्चय (गणित) S पर एक सुव्यवस्थित (या सुव्यवस्थित या सुव्यवस्थित संबंध) S पर संपत्ति के साथ कुल क्रम है जो 'का प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। इस क्रम में 'S' का सबसे कम तत्व है। वेल-ऑर्डर Binary_relation के साथ सेट S को तब एक वेल-ऑर्डर सेट कहा जाता है। कुछ शैक्षणिक लेखों और पाठ्यपुस्तकों में इसके बजाय इन शब्दों को अच्छी तरह से व्यवस्थित, अच्छी तरह से व्यवस्थित, और अच्छी तरह से व्यवस्थित या अच्छी तरह से व्यवस्थित, अच्छी तरह से व्यवस्थित और अच्छी तरह से व्यवस्थित किया जाता है।

प्रत्येक गैर-खाली सुव्यवस्थित सेट में कम से कम तत्व होता है। एक संभावित सबसे बड़े तत्व को छोड़कर, एक सुव्यवस्थित सेट के प्रत्येक तत्व का एक अद्वितीय उत्तराधिकारी (अगला तत्व) होता है, अर्थात् s से अधिक सभी तत्वों के सबसेट का सबसे छोटा तत्व। कम से कम तत्व के अलावा ऐसे तत्व भी हो सकते हैं जिनका कोई पूर्ववर्ती नहीं है (देखें § Natural numbers उदाहरण के लिए नीचे)। एक सुव्यवस्थित सेट S में प्रत्येक उपसमुच्चय T के लिए ऊपरी सीमा के साथ एक न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है, अर्थात् S में T के सभी ऊपरी सीमा के सबसेट का सबसे कम तत्व।

अगर ≤ एक गैर-सख्त आदेश है | गैर-सख्त अच्छी तरह से आदेश देने वाला है, तो < सख्त अच्छी तरह से आदेश देने वाला है। एक संबंध एक सख्त सुव्यवस्थित संबंध है यदि और केवल अगर यह एक अच्छी तरह से स्थापित संबंध | अच्छी तरह से स्थापित सख्त कुल आदेश है। सख्त और गैर-सख्त कुओं के बीच के अंतर को अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है क्योंकि वे आसानी से एक दूसरे में बदल सकते हैं।

प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट एक अद्वितीय क्रमिक संख्या के लिए विशिष्ट रूप से आइसोमोर्फिक होता है, जिसे सुव्यवस्थित सेट का ऑर्डर प्रकार कहा जाता है। सुक्रम प्रमेय, जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, कहता है कि प्रत्येक सेट को अच्छी तरह से आदेशित किया जा सकता है। अगर एक सेट अच्छी तरह से आदेश दिया गया है (या यहां तक ​​​​कि अगर यह केवल एक अच्छी तरह से स्थापित संबंध को स्वीकार करता है), तो यह साबित करने के लिए कि एक दिया गया कथन सेट के सभी तत्वों के लिए सत्य है, ट्रांसफिनिट इंडक्शन की प्रूफ तकनीक का उपयोग किया जा सकता है।

अवलोकन कि प्राकृतिक संख्या सामान्य से कम संबंध द्वारा अच्छी तरह से आदेशित होती है, आमतौर पर अच्छी तरह से आदेश देने वाला सिद्धांत (प्राकृतिक संख्याओं के लिए) कहा जाता है।

क्रमसूचक संख्या

Main article: Ordinal number

प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट एक अद्वितीय क्रमिक संख्या के लिए विशिष्ट रूप से आइसोमोर्फिक होता है, जिसे सुव्यवस्थित सेट का ऑर्डर प्रकार कहा जाता है। आदेशित सेट के भीतर प्रत्येक तत्व की स्थिति भी क्रम संख्या द्वारा दी गई है। परिमित समुच्चय के मामले में, किसी विशेष वस्तु की क्रमिक संख्या ज्ञात करने के लिए, या किसी विशेष क्रमिक संख्या वाली वस्तु को खोजने के लिए, गिनती का मूल संचालन, वस्तुओं को एक-एक करके क्रमिक संख्याएँ निर्दिष्ट करने से मेल खाता है। परिमित सेट का आकार (तत्वों की संख्या, कार्डिनल संख्या) ऑर्डर प्रकार के बराबर है। रोजमर्रा के अर्थ में गिनती आम तौर पर एक से शुरू होती है, इसलिए यह प्रत्येक वस्तु को प्रारंभिक खंड के आकार के साथ उस वस्तु को अंतिम तत्व के रूप में निर्दिष्ट करता है। ध्यान दें कि ये संख्याएं आइसोमोर्फिक क्रम के अनुसार औपचारिक क्रमिक संख्याओं से एक अधिक हैं, क्योंकि ये पहले की वस्तुओं की संख्या के बराबर हैं (जो शून्य से गिनती के अनुरूप हैं)। इस प्रकार परिमित एन के लिए, एक सुव्यवस्थित सेट के अभिव्यक्ति एन-वें तत्व को यह जानने के लिए संदर्भ की आवश्यकता होती है कि यह शून्य या एक से गिना जाता है या नहीं। एक अंकन में β-th तत्व जहां β एक अनंत क्रमिक भी हो सकता है, यह आमतौर पर शून्य से गिना जाएगा।

एक अनंत सेट के लिए ऑर्डर प्रकार प्रमुखता निर्धारित करता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं: किसी विशेष कार्डिनैलिटी के सुव्यवस्थित सेट में कई अलग-अलग ऑर्डर प्रकार हो सकते हैं (देखें § Natural numbers, नीचे, एक उदाहरण के लिए)। गिने-चुने अनंत सेट के लिए, संभावित ऑर्डर प्रकारों का सेट बेशुमार होता है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याओं का मानक क्रम ≤ एक अच्छा क्रम है और इसमें अतिरिक्त संपत्ति है कि प्रत्येक गैर-शून्य प्राकृतिक संख्या में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती है।

प्राकृतिक संख्याओं का एक और अच्छा क्रम परिभाषित करके दिया जाता है कि सभी सम संख्याएँ सभी विषम संख्याओं से कम होती हैं, और सामान्य क्रम सम और विषम के भीतर लागू होता है:

0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...

यह ऑर्डर प्रकार ω + ω का एक सुव्यवस्थित सेट है। प्रत्येक तत्व का एक उत्तराधिकारी होता है (कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं होता है)। दो तत्वों में पूर्ववर्ती की कमी है: 0 और 1।

पूर्णांक

प्राकृतिक संख्याओं के मानक क्रम ≤ के विपरीत, पूर्णांकों का मानक क्रम ≤ एक अच्छा क्रम नहीं है, उदाहरण के लिए, नकारात्मक संख्या पूर्णांकों के सेट में कम से कम तत्व नहीं होता है।

निम्नलिखित संबंध R पूर्णांकों के सुव्यवस्थित क्रम का एक उदाहरण है: द्विआधारी संबंध यदि और केवल यदि निम्न स्थितियों में से एक है:

1. एक्स = 0
2. x धनात्मक है, और y ऋणात्मक है
3. x और y दोनों सकारात्मक हैं, और x ≤ y
4. x और y दोनों ऋणात्मक हैं, और |x| ≤ |व|

इस संबंध R को निम्न प्रकार से देखा जा सकता है:

0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...

आर क्रमसूचक संख्या ω + ω के लिए तुल्याकारी है।

पूर्णांकों को अच्छी तरह व्यवस्थित करने के लिए एक अन्य संबंध निम्नलिखित परिभाषा है: x ≤_zy यदि और केवल यदि (|x| < |y| या (|x| = |y| और x ≤ y))। इस कुएँ के क्रम की कल्पना इस प्रकार की जा सकती है:

0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...

इसमें ऑर्डर प्रकार ω है।

वास्तविक

किसी भी अंतराल_(गणित) का मानक क्रम ≤ एक अच्छा क्रम नहीं है, उदाहरण के लिए, खुले अंतराल (0, 1) ⊆ [0,1] में कम से कम तत्व नहीं होता है। सेट थ्योरी के ZFC स्वयंसिद्ध (पसंद के स्वयंसिद्ध सहित) से कोई दिखा सकता है कि वास्तविक का एक अच्छा क्रम है। साथ ही वैक्लाव सिएरपिन्स्की ने साबित किया कि ZF + GCH (सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना ) पसंद के स्वयंसिद्ध को दर्शाता है और इसलिए वास्तविक का एक अच्छा क्रम है। फिर भी, यह दिखाना संभव है कि केवल ZFC+GCH अभिगृहीत वास्तविक के एक निश्चित (सूत्र द्वारा) अच्छी तरह से क्रम के अस्तित्व को साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। हालाँकि यह ZFC के साथ संगत है कि वास्तविक का एक निश्चित अच्छा क्रम मौजूद है - उदाहरण के लिए, यह ZFC के अनुरूप है कि V=L, और यह ZFC+V=L से अनुसरण करता है कि एक विशेष सूत्र वास्तविक को अच्छी तरह से आदेश देता है, या वास्तव में कोई भी सेट।

मानक क्रम ≤ के साथ वास्तविक संख्याओं का एक बेशुमार उपसमुच्चय एक अच्छा क्रम नहीं हो सकता है: मान लीजिए X 'R' का एक उपसमुच्चय है जिसे ≤ द्वारा अच्छी तरह से क्रमित किया गया है। X में प्रत्येक x के लिए, s(x) को X पर ≤ क्रम में x का उत्तराधिकारी होने दें (जब तक कि x, X का अंतिम तत्व न हो)। माना A = { (x, s(x)) | x ∈ X } जिसके अवयव अरिक्त हैं और अंतरालों को अलग करते हैं। ऐसे प्रत्येक अंतराल में कम से कम एक परिमेय संख्या होती है, इसलिए A से 'Q' तक एक अंतःक्षेपी फलन होता है। X से A तक एक इंजेक्शन है (संभवतः X के अंतिम तत्व को छोड़कर जिसे बाद में शून्य पर मैप किया जा सकता है)। और यह सर्वविदित है कि क्यू से प्राकृतिक संख्याओं में एक इंजेक्शन है (जिसे शून्य से टकराने से बचने के लिए चुना जा सकता है)। इस प्रकार एक्स से प्राकृतिक संख्या में इंजेक्शन होता है जिसका अर्थ है कि एक्स गणनीय है। दूसरी ओर, वास्तविक का एक अनगिनत अनंत उपसमुच्चय मानक ≤ के साथ एक अच्छी व्यवस्था हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए,

• मानक क्रम ≤ के तहत प्राकृतिक संख्या एक अच्छा क्रम है।
• समुच्चय {1/n : n =1,2,3,...} में कोई न्यूनतम अवयव नहीं है और इसलिए यह मानक क्रम ≤ के तहत एक अच्छी व्यवस्था नहीं है।

अच्छी तरह से आदेश के उदाहरण:

• संख्याओं का समुच्चय { − 2^-n | 0 ≤ n < ω } का ऑर्डर प्रकार ω है।
• संख्याओं का समुच्चय { − 2⁻ⁿ − 2^−m−n | 0 ≤ m,n < ω } का ऑर्डर प्रकार ω है^{2</उप>। पिछला सेट सेट के भीतर सीमा बिंदु ओं का सेट है। वास्तविक संख्याओं के सेट के भीतर, या तो साधारण टोपोलॉजी या ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ, 0 भी सेट का एक सीमा बिंदु है। यह सीमा बिंदुओं के समुच्चय का एक सीमा बिंदु भी है।}
• संख्याओं का समुच्चय { − 2^-n | 0 ≤ n < ω } ∪ { 1 } का ऑर्डर प्रकार ω + 1 है। इस सेट के आदेश टोपोलॉजी के साथ, 1 सेट का एक सीमा बिंदु है। वास्तविक संख्याओं की साधारण टोपोलॉजी (या समकक्ष, क्रम टोपोलॉजी) के साथ यह नहीं है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन

यदि एक समुच्चय कुल क्रम है, तो निम्नलिखित एक दूसरे के समतुल्य हैं:

1. सेट अच्छी तरह से ऑर्डर किया गया है। अर्थात्, प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय में एक न्यूनतम अवयव होता है।
2. ट्रांसफिनिट इंडक्शन पूरे ऑर्डर किए गए सेट के लिए काम करता है।
3. सेट के तत्वों के हर सख्ती से घटते क्रम को केवल बहुत से चरणों के बाद समाप्त होना चाहिए (आश्रित विकल्प के स्वयंसिद्ध मानते हुए)।
4. प्रत्येक सबऑर्डरिंग प्रारंभिक खंड के लिए आइसोमोर्फिक है।

ऑर्डर टोपोलॉजी

प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट को ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ संपन्न करके एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बनाया जा सकता है।

इस टोपोलॉजी के संबंध में दो प्रकार के तत्व हो सकते हैं:

• पृथक बिंदु - ये न्यूनतम और पूर्ववर्ती वाले तत्व हैं।
• सीमा बिंदु — यह प्रकार परिमित समुच्चय में नहीं होता है, और अनंत समुच्चय में हो भी सकता है और नहीं भी; सीमा बिंदु के बिना अनंत सेट ऑर्डर प्रकार ω के सेट हैं, उदाहरण के लिए एन।

सबसेट के लिए हम भेद कर सकते हैं:

• एक अधिकतम के साथ सबसेट (अर्थात, सबसेट जो बाउंडेड सेट हैं#बाउंडेडनेस इन ऑर्डर थ्योरी स्वयं द्वारा); यह एक पृथक बिंदु या पूरे सेट का एक सीमा बिंदु हो सकता है; बाद वाले मामले में यह उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु भी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
• उपसमुच्चय जो अपने आप में असीमित हैं लेकिन पूरे सेट में सीमित हैं; उनके पास कोई अधिकतम नहीं है, लेकिन उपसमुच्चय के बाहर एक सर्वोच्चता है; यदि उपसमुच्चय खाली नहीं है तो यह सर्वोच्च उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु है और इसलिए पूरे सेट का भी; यदि सबसेट खाली है तो यह सर्वोच्च पूरे सेट का न्यूनतम है।
• उपसमुच्चय जो पूरे सेट में असीमित हैं।

एक उपसमुच्चय पूरे सेट में कोफिनल (गणित) है यदि और केवल अगर यह पूरे सेट में असीमित है या इसमें अधिकतम है जो पूरे सेट का अधिकतम भी है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में एक सुव्यवस्थित सेट एक प्रथम-गणना योग्य स्थान है यदि और केवल अगर इसका ऑर्डर प्रकार ω से कम या उसके बराबर है₁ (पहले बेशुमार क्रमसूचक | ओमेगा-वन), यानी, अगर और केवल अगर सेट गणनीय है या सबसे छोटा बेशुमार ऑर्डर प्रकार है।

यह भी देखें

• वृक्ष (सेट सिद्धांत), सामान्यीकरण
• क्रमसूचक संख्या
• अच्छी तरह से स्थापित सेट
• अच्छी तरह से आंशिक आदेश
• पूर्व आदेश देना
• निर्देशित सेट

संदर्भ

• Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Pure and applied mathematics (2nd ed.). Wiley. pp. 4–6, 9. ISBN 978-0-471-31716-6.