शून्य वस्तु

This article is about zero objects or trivial objects in algebraic structures. For zero object in a category, see Initial and terminal objects. For trivial representation, see Trivial representation.

शून्य वस्तु से और से मॉर्फिज्म

बीजगणित में, किसी दिए गए बीजगणितीय संरचना की शून्य वस्तु, इस तरह की संरचना की सबसे सरल वस्तु नीचे बताई गई अर्थ में है।एक सेट (गणित) के रूप में यह एक सिंगलटन (गणित) है, और एक मैग्मा (गणित) के रूप में एक तुच्छ समूह संरचना है, जो एक एबेलियन समूह भी है।उपरोक्त एबेलियन समूह संरचना को आमतौर पर इसके अलावा पहचाना जाता है, और एकमात्र तत्व को शून्य कहा जाता है, इसलिए ऑब्जेक्ट को आमतौर पर आमतौर पर निरूपित किया जाता है {0}।एक अक्सर तुच्छ वस्तु (एक निर्दिष्ट श्रेणी (गणित)) को संदर्भित करता है क्योंकि प्रत्येक तुच्छ वस्तु किसी भी अन्य (एक अद्वितीय समरूपता के तहत) के लिए आइसोमोर्फिज्म है।

शून्य वस्तु के उदाहरणों में शामिल हैं, लेकिन निम्नलिखित तक सीमित नहीं हैं:

• एक समूह (गणित) के रूप में, 'शून्य समूह' या 'तुच्छ समूह'।
• एक अंगूठी (गणित) के रूप में, 'शून्य रिंग' या 'तुच्छ अंगूठी'।
• एक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित के रूप में या एक अंगूठी के ऊपर बीजगणित, 'तुच्छ बीजगणित'।
• एक मॉड्यूल (गणित) के रूप में (एक अंगूठी (बीजगणित) और nbsp पर;R), शून्य मॉड्यूल।तुच्छ मॉड्यूल शब्द का भी उपयोग किया जाता है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि तुच्छ जी-मॉड्यूल एक तुच्छ कार्रवाई के साथ एक जी-मॉड्यूल है।
• एक वेक्टर स्पेस के रूप में (एक क्षेत्र (गणित) और एनबीएसपी पर;R), शून्य वेक्टर स्थान, शून्य-आयामी वेक्टर स्थान या सिर्फ शून्य स्थान।

इन वस्तुओं को संयुक्त रूप से न केवल सामान्य सिंगलटन और तुच्छ समूह संरचना पर आधारित किया जाता है, बल्कि #Properties के कारण भी साझा किया जाता है। साझा श्रेणी-सैद्धांतिक गुण।

पिछले तीन मामलों में बेस रिंग (या फ़ील्ड) के एक तत्व द्वारा स्केलर गुणा को परिभाषित किया गया है:

κ0 = 0 , कहां κ ∈ R।

उनमें से सबसे सामान्य, शून्य मॉड्यूल, एक खाली सेट जनरेटिंग सेट के साथ एक बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है।

शून्य वस्तु के अंदर गुणन संरचना की आवश्यकता वाली संरचनाओं के लिए, जैसे कि तुच्छ अंगूठी, केवल एक ही संभव है, 0 × 0 = 0, क्योंकि कोई गैर-शून्य तत्व नहीं हैं।यह संरचना संबद्धता और कम्यूटेटिव है।एक अंगूठी R जिसमें एक additive और गुणक पहचान दोनों है, अगर और केवल अगर और केवल अगर 1 = 0, चूंकि यह समानता का अर्थ है कि सभी के लिए r अंदर R,

$r=r\times 1=r\times 0=0.$

इस मामले में डिवीजन को शून्य से परिभाषित करना संभव है, क्योंकि एकल तत्व अपना गुणक व्युत्क्रम है।के कुछ गुण {0} गुणक पहचान की सटीक परिभाषा पर निर्भर करता है;देखो§ Unital structuresनीचे।

कोई भी तुच्छ बीजगणित भी एक तुच्छ अंगूठी है।एक क्षेत्र पर एक तुच्छ बीजगणित एक साथ एक शून्य वेक्टर स्थान है जिसे #Vector स्पेस माना जाता है।एक कम्यूटेटिव रिंग पर, एक अंगूठी के ऊपर एक तुच्छ बीजगणित एक साथ एक शून्य मॉड्यूल है।

तुच्छ अंगूठी एक rng (बीजगणित) का एक उदाहरण है जो स्क्वायर शून्य के #Rng है।एक तुच्छ बीजगणित एक क्षेत्र#शून्य बीजगणित पर एक बीजगणित का एक उदाहरण है।

शून्य-आयामी vector space एक शून्य वस्तु का एक विशेष रूप से सर्वव्यापी उदाहरण है, एक खाली आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ एक क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान।इसलिए इसका आयाम (गणित) शून्य है।यह इसके अलावा एक तुच्छ समूह भी है, और एक तुच्छ मॉड्यूल #Module है।

गुण

2↕	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Element of the zero space, written as empty column vector (rightmost one), is multiplied by 2×0 empty matrix to obtain 2-dimensional zero vector (leftmost). Rules of matrix multiplication are respected.

तुच्छ अंगूठी, शून्य मॉड्यूल और शून्य वेक्टर स्थान इसी श्रेणी (गणित) की शून्य ऑब्जेक्ट हैं, अर्थात् pseudo-rings की श्रेणी, मॉड्यूल की श्रेणी |R-मॉड और वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी | vect_R।

शून्य ऑब्जेक्ट, परिभाषा के अनुसार, एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि एक मॉर्फिज्म और एनबीएसपी;A → {0} एक मनमानी वस्तु & nbsp के लिए मौजूद होना चाहिए और अद्वितीय होना चाहिए;A।यह रूपवाद & nbsp के किसी भी तत्व को मैप करता है;A to & nbsp;0।

शून्य वस्तु, परिभाषा के अनुसार भी, एक प्रारंभिक वस्तु होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि एक मॉर्फिज्म & nbsp;{0} → A एक मनमानी वस्तु & nbsp के लिए मौजूद होना चाहिए और अद्वितीय होना चाहिए;A।यह आकारिकी मैप करता है 0, & nbsp का एकमात्र तत्व;{0}, शून्य तत्व के लिए & nbsp;0 ∈ A, वेक्टर रिक्त स्थान में शून्य वेक्टर कहा जाता है।यह नक्शा एक मोनोमोर्फिज्म है, और इसलिए इसकी छवि आइसोमॉर्फिक टू एंड एनबीएसपी है;{0}।मॉड्यूल और वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, यह सबसेट & nbsp;{0} ⊂ A प्रत्येक मॉड्यूल (या वेक्टर स्पेस) & nbsp में एकमात्र खाली-जनित सबमॉड्यूल (या 0-आयामी रैखिक उप-समूह) है;A।

यूनिटल स्ट्रक्चर्स

{0}}}} ऑब्जेक्ट किसी भी बीजगणितीय संरचना का एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है जहां यह मौजूद है, जैसे कि यह ऊपर के उदाहरणों के लिए वर्णित था।लेकिन इसका अस्तित्व और, यदि यह मौजूद है, तो एक प्रारंभिक वस्तु होने के लिए संपत्ति (और इसलिए, श्रेणी सिद्धांत में एक शून्य वस्तु | श्रेणी-सैद्धांतिक अर्थ) एक निर्दिष्ट संरचना में गुणक पहचान & nbsp; 1 की सटीक परिभाषा पर निर्भर करती है।

यदि & nbsp की परिभाषा;1 इसकी आवश्यकता है 1 ≠ 0, फिर {0} ऑब्जेक्ट मौजूद नहीं हो सकता क्योंकि इसमें केवल एक तत्व हो सकता है।विशेष रूप से, शून्य रिंग एक क्षेत्र (गणित) नहीं है।यदि गणितज्ञ कभी -कभी एक तत्व के साथ एक क्षेत्र के बारे में बात करते हैं, तो यह अमूर्त और कुछ रहस्यमय गणितीय वस्तु एक क्षेत्र नहीं है।

उन श्रेणियों में जहां गुणक पहचान को मॉर्फिज्म द्वारा संरक्षित किया जाना चाहिए, लेकिन शून्य के बराबर हो सकता है, {0} वस्तु मौजूद हो सकती है।लेकिन प्रारंभिक वस्तु के रूप में नहीं क्योंकि पहचान-संरक्षण मॉर्फिज्म से {0} किसी भी वस्तु के लिए जहां 1 ≠ 0 मौजूद नहीं है।उदाहरण के लिए, रिंग रिंग की श्रेणी में पूर्णांक की अंगूठी & nbsp; z प्रारंभिक वस्तु है, न कि & nbsp;{0}।

यदि एक बीजीय संरचना के लिए गुणक पहचान की आवश्यकता होती है, लेकिन न तो मॉर्फिज्म द्वारा इसका संरक्षण और न ही 1 ≠ 0, फिर शून्य रूपांतर मौजूद हैं और स्थिति पिछले अनुभाग में विचार किए गए गैर-एकीकृत संरचनाओं से अलग नहीं है।

संकेतन

शून्य वेक्टर रिक्त स्थान और शून्य मॉड्यूल आमतौर पर द्वारा निरूपित किए जाते हैं 0 (के बजाय {0})।यह हमेशा मामला होता है जब वे एक सटीक अनुक्रम में होते हैं।

यह भी देखें

• निल्डिमेंशनल स्पेस
• तुच्छता (गणित)
• वेक्टर रिक्त स्थान के उदाहरण
• एक तत्व के साथ क्षेत्र
• खाली सेमग्रुप
• शून्य तत्व
• शून्य शब्दों की सूची

बाहरी कड़ियाँ

• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. p. 10 : trivial ring. ISBN 0-521-33718-6.
• Barile, Margherita. "Trivial Module". MathWorld.
• Barile, Margherita. "Zero Module". MathWorld.

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