एक समूह का सेट बनाना

जटिल तल में एकता की 5वीं जड़ें गुणन के तहत एक समूह (गणित) बनाती हैं। प्रत्येक गैर-पहचान तत्व समूह उत्पन्न करता है।

सार बीजगणित में, समूह का एक जनरेटिंग सबसेट समूह सेट का एक उपसमुच्चय होता है जैसे कि समूह के प्रत्येक तत्व (गणित) को उपसमुच्चय के बहुत से तत्वों और उनके व्युत्क्रम तत्व के संयोजन (समूह संचालन के तहत) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। .

दूसरे शब्दों में, यदि S समूह G का उपसमुच्चय है, तब ⟨S⟩, S द्वारा उत्पन्न उपसमूह, G का सबसे छोटा उपसमूह है जिसमें S का प्रत्येक तत्व है, जो S के तत्वों वाले सभी उपसमूहों के प्रतिच्छेदन के बराबर है; समतुल्य, ⟨S⟩ G के सभी तत्वों का उपसमूह है जिसे S और उनके व्युत्क्रम में तत्वों के परिमित उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। (ध्यान दें कि व्युत्क्रम की आवश्यकता केवल तभी होती है जब समूह अनंत हो; परिमित समूह में, किसी तत्व के व्युत्क्रम को उस तत्व की शक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।)

अगर जी = ⟨S⟩, तो हम कहते हैं कि S, G को उत्पन्न करता है, और S के तत्वों को जनरेटर या समूह जनरेटर कहा जाता है। यदि S रिक्त समुच्चय है, तब ⟨S⟩ तुच्छ समूह {e} है, क्योंकि हम खाली उत्पाद को पहचान मानते हैं।

जब S में केवल एक अवयव x हो, ⟨S⟩ आमतौर पर लिखा जाता है ⟨x⟩. इस मामले में, ⟨x⟩ x, एक चक्रीय समूह की शक्तियों का चक्रीय उपसमूह है, और हम कहते हैं कि यह समूह x द्वारा उत्पन्न होता है। एक तत्व x कहने के बराबर एक समूह उत्पन्न करता है जो कह रहा है ⟨x⟩ पूरे समूह G के बराबर है। परिमित समूहों के लिए, यह कहने के बराबर भी है कि x में क्रम (समूह सिद्धांत) |G| है।

एक समूह को अनंत संख्या में जनरेटर की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए परिमेय संख्याओं का योज्य समूह 'Q' अंतिम रूप से उत्पन्न नहीं होता है। यह सभी पूर्णांकों के व्युत्क्रमों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन इन जनरेटरों की किसी भी परिमित संख्या को जनरेटिंग सेट से हटाया जा सकता है, बिना जनरेटिंग सेट के। इस तरह के मामले में, जनरेटिंग सेट में सभी तत्व फिर भी नॉन-जेनरेटिंग एलिमेंट्स होते हैं, जैसा कि वास्तव में पूरे समूह के सभी तत्व होते हैं - नीचे Frattini उपसमूह देखें।

यदि G एक टोपोलॉजिकल समूह है तो G के एक उपसमुच्चय S को टोपोलॉजिकल जनरेटर का एक सेट कहा जाता है यदि ⟨S⟩ G में सघन है, यानी इसका क्लोजर (टोपोलॉजी)। ⟨S⟩ संपूर्ण समूह G है।

पूरी तरह से उत्पन्न समूह

Main article: Finitely generated group

यदि S परिमित है, तो एक समूह G = ⟨S⟩ को अंतिम रूप से उत्पन्न कहा जाता है। विशेष रूप से सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की संरचना का आसानी से वर्णन किया गया है। कई प्रमेय जो अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों के लिए सही हैं, सामान्य रूप से समूहों के लिए विफल हो जाते हैं। यह साबित हो गया है कि यदि एक उपसमुच्चय S द्वारा एक परिमित समूह उत्पन्न किया जाता है, तो प्रत्येक समूह तत्व को समूह के क्रम से कम या उसके बराबर लंबाई के अक्षर S से एक शब्द के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रत्येक परिमित समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है ⟨G⟩ = G. जोड़ के तहत पूर्णांक एक अनंत समूह का एक उदाहरण है जो 1 और -1 दोनों के द्वारा परिमित रूप से उत्पन्न होता है, लेकिन योग के तहत परिमेय संख्या का समूह अंतिम रूप से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। कोई बेशुमार समूह अंतिम रूप से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, योग के तहत वास्तविक संख्याओं का समूह, (आर, +)।

एक ही समूह के विभिन्न उपसमुच्चय उपसमुच्चय उत्पन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि p और q पूर्णांक हैं gcd(p, q) = 1, तब {p, q} बेज़ाउट की पहचान के अतिरिक्त पूर्णांकों के समूह को भी उत्पन्न करता है।

हालांकि यह सच है कि एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह का प्रत्येक भागफल समूह सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है (भागफल में जनरेटर की छवियां एक परिमित जनरेटिंग सेट देती हैं), एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह के एक उपसमूह को अंतिम रूप से उत्पन्न करने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, G को दो जनरेटर, x और y में मुक्त समूह होने दें (जो स्पष्ट रूप से अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, क्योंकि G = ⟨{x,y}⟩), और S को y के रूप के G के सभी तत्वों से युक्त उपसमुच्चय होने दें^एनxy⁻ⁿ n के लिए एक प्राकृतिक संख्या। ⟨S⟩ असीमित रूप से कई जेनरेटर में मुक्त समूह के लिए समाकृतिकता है, और इसलिए इसे पूरी तरह से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह अपने आप में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है। वास्तव में, अधिक कहा जा सकता है: समूह विस्तार के तहत सभी अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों का वर्ग बंद है। इसे देखने के लिए, सामान्य उपसमूह और भागफल (पूर्ण रूप से उत्पन्न) के लिए एक जनरेटिंग सेट लें। फिर सामान्य उपसमूह के लिए जनरेटर, साथ में भागफल के लिए जनरेटर के पूर्वचित्रों के साथ, समूह उत्पन्न करते हैं।

उदाहरण

• द मल्टीप्लिकेटिव_ग्रुप_ऑफ_इंटीजर्स_मॉड्यूलो_एन, U₉ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, गुणन के अंतर्गत सभी पूर्णांक Coprime से 9 तक का समूह है mod 9. ध्यान दें कि 7 का जनरेटर नहीं है U₉,
  से $\{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},$
  जबकि 2 है,
  से $\{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$
• अन्य हाथों पर_n, डिग्री n का सममित समूह, n> 2 होने पर किसी एक तत्व (चक्रीय_समूह नहीं है) द्वारा उत्पन्न नहीं होता है। हालाँकि, इन मामलों में S_n हमेशा दो क्रमपरिवर्तनों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है जो क्रमचय#Cycle_notation में (1 2) के रूप में लिखे गए हैं और (1 2 3 ... n). उदाहरण के लिए, एस के 6 तत्व₃ दो जनरेटर, (1 2) और (1 2 3) से उत्पन्न किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित समीकरणों के दाहिने हाथ से दिखाया गया है (संरचना बाएं से दाएं है):

ई = (1 2) (1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• अनंत समूहों में परिमित जनरेटिंग सेट भी हो सकते हैं। पूर्णांकों के योज्य समूह में एक जनरेटिंग सेट के रूप में 1 है। तत्व 2 जनरेटिंग सेट नहीं है, क्योंकि विषम संख्याएं गायब होंगी। दो-तत्व उपसमुच्चय {3, 5} एक जनरेटिंग सेट है, क्योंकि (−5) + 3 + 3 = 1 (वास्तव में, कोप्राइम पूर्णांक संख्याओं की कोई भी जोड़ी बेज़ाउट की पहचान के परिणाम के रूप में है)।

• बहुभुज का डायहेड्रल समूह | एन-गॉन (जिसमें ऑर्डर_ (ग्रुप_थ्योरी) है) 2n) सेट द्वारा उत्पन्न होता है {r, s}, कहाँ r द्वारा रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है 2π/n और s समरूपता की एक रेखा पर कोई प्रतिबिंब है।
• क्रम का चक्रीय समूह n, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, और यह n^वें एकता के मूल सभी एक ही तत्व द्वारा उत्पन्न होते हैं (वास्तव में, ये समूह एक दूसरे के लिए समूह समरूपता हैं)।
• एक समूह की प्रस्तुति को जनरेटर के एक सेट और उनके बीच संबंधों के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए उस पृष्ठ पर सूचीबद्ध किसी भी उदाहरण में सेट बनाने के उदाहरण शामिल हैं।

मुक्त समूह

Main article: Free group

एक सेट एस द्वारा उत्पन्न सबसे सामान्य समूह एस द्वारा समूह मुक्त समूह है। एस द्वारा उत्पन्न प्रत्येक समूह इस समूह के भागफल समूह के लिए समरूप है, एक विशेषता जिसका उपयोग समूह की समूह की प्रस्तुति की अभिव्यक्ति में किया जाता है।

फ्रैटिनी उपसमूह

एक दिलचस्प साथी विषय गैर-जेनरेटरों का है। समूह G का एक तत्व x एक गैर-जनरेटर है यदि प्रत्येक सेट S जिसमें x है जो G उत्पन्न करता है, तब भी G उत्पन्न करता है जब x को S से हटा दिया जाता है। इसके अलावा पूर्णांक में, केवल गैर-जनरेटर 0 है। सभी का सेट गैर-जेनरेटर जी, फ्रैटिनी उपसमूह का एक उपसमूह बनाते हैं।

semigroup ्स और मोनोइड्स

यदि G एक सेमीग्रुप या एक मोनॉइड है, तो कोई भी G के जनरेटिंग सेट S की धारणा का उपयोग कर सकता है। S, G का एक सेमीग्रुप / मोनॉइड जेनरेटिंग सेट है यदि G सबसे छोटा सेमीग्रुप / मोनोइड है जिसमें S है।

ऊपर दी गई परिमित राशियों का उपयोग करते हुए समूह के सेट को उत्पन्न करने की परिभाषा को थोड़ा संशोधित किया जाना चाहिए, जब कोई सेमीग्रुप या मोनॉयड से संबंधित हो। दरअसल, इस परिभाषा को अब व्युत्क्रम संचालन की धारणा का उपयोग नहीं करना चाहिए। सेट S को G का एक सेमीग्रुप जनरेटिंग सेट कहा जाता है यदि G का प्रत्येक तत्व S के तत्वों का एक परिमित योग है। इसी तरह, एक सेट S को 'G' का एक मोनोइड जनरेटिंग सेट कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व जी का एस के तत्वों का एक परिमित योग है।

उदाहरण के लिए {1} गैर-ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं के सेट का एक मोनोइड जनरेटर है $\mathbb {N} _{0}$. समुच्चय {1} धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं का एक अर्धसमूह जनक भी है $\mathbb {N} _{>0}$. हालाँकि, पूर्णांक 0 को 1s के (गैर-खाली) योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इस प्रकार {1} गैर-ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं का अर्धसमूह जनरेटर नहीं है।

इसी प्रकार, जबकि {1} पूर्णांकों के समुच्चय का एक समूह जनक है $\mathbb {Z}$, {1} पूर्णांकों के समुच्चय का एक मोनोइड जनरेटर नहीं है। दरअसल, पूर्णांक -1 को 1s के परिमित योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

• अन्य संरचनाओं में संबंधित अर्थों के लिए जनरेटिंग सेट
• एक समूह की प्रस्तुति
• आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र)
• केली ग्राफ

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Coxeter, H.S.M.; Moser, W.O.J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. Springer. ISBN 0-387-09212-9.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Group generators". MathWorld.