स्थानीय रूप से चक्रीय समूह

गणित में, एक स्थानीय रूप से चक्रीय समूह एक समूह (जी, *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।

कुछ तथ्य

• प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह एबेलियन समूह होता है।
• प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह और भागफल समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक समरूपता छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
• एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है यदि और केवल यदि समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
• एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके उपसमूहों की जाली वितरण (Ore 1938) है
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त श्रेणी 0 या 1 है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग क्रमविनिमेय रिंग है।

स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं

• तर्कसंगत संख्याs (Q, +) का योज्य समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है - परिमेय संख्याओं का कोई भी युग्म a/b और c/' 'd 1/(bd) द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है।
• डाइडिक परिमेय संख्या का योज्य समूह, a/2b के रूप की परिमेय संख्याएँ, स्थानीय रूप से चक्रीय भी है - डाइएडिक परिमेय का कोई भी जोड़ा संख्याएँ a/2b और c/2d 1/ द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है 2^{अधिकतम(}b,d).
• आज्ञा दें p कोई अभाज्य हो, और दें μp^∞ सभी के समूह को निरूपित करें pवें शक्तिएकता की जड़ें C में, i.e.

  $\mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}$

  फिर μ_p^∞ स्थानीय रूप से चक्रीय है किन्तु चक्रीय नहीं है। यह प्रूफर पी-समूह है। Prüfer 2-समूह डायाडिक परिमेय से निकटता से संबंधित है (इसे डायाडिक परिमेय मोडुलो 1 के रूप में देखा जा सकता है)।

एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं

• वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (R, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह π (a + bπ के रूप की सभी संख्याएं सम्मिलित हैं) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय नहीं है।

संदर्भ

• Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices", Theory of Groups, American Mathematical Society, pp. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8.

• Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II" (PDF), Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR 1546048.

• Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.