अनंत पूर्णांक

गणित में, एक अनंत पूर्णांक रिंग (गणित) का एक तत्व है (कभी-कभी ज़ी-हैट या ज़ेड-हैट के रूप में उच्चारण किया जाता है)

${\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$

कहां

$\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

के पूर्ण होने का संकेत देता है $\mathbb {Z}$, अनुक्रमणिका $p$ सभी अभाज्य संख्या ओं पर चलता है, और $\mathbb {Z} _{p}$ p-adic पूर्णांक का वलय है|p-adic पूर्णांक। यह समूह गाल्वा सिद्धांत , एटेल होमोटॉपी सिद्धांत और एडेल की अंगूठी के रिंग के संबंध के कारण महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, यह एक अनंत समूह का एक बुनियादी ट्रैक्टेबल उदाहरण प्रदान करता है।

निर्माण

अनंत पूर्णांक ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ अनुक्रमों के सेट के रूप में बनाया जा सकता है $\upsilon$ अवशेषों के रूप में दर्शाया गया है

$\upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )$

ऐसा है कि $m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}$.

बिंदुवार जोड़ और गुणा इसे क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं।

पूर्णांक की अंगूठी विहित इंजेक्शन द्वारा अनंत पूर्णांक की अंगूठी में एम्बेड होती है:

$\eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}$ कहां $n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).$

यह विहित है क्योंकि यह किसी भी अनंत समूह को दिए गए अनंत समूह#असीमित समापन को संतुष्ट करता है $H$ और कोई भी समूह समरूपता $f:\mathbb {Z} \rightarrow H$, एक अद्वितीय सतत कार्य (टोपोलॉजी) समूह समरूपता मौजूद है $g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H$ साथ $f=g\eta$.

=== फैक्टोरियल नंबर सिस्टम === का उपयोग करना

हर पूर्णांक $n\geq 0$ फैक्टोरियल संख्या प्रणाली में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व है

$n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z}$

कहां $0\leq c_{i}\leq i$ हरएक के लिए $i$, और केवल अंत में बहुत से $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots$ अशून्य हैं।

इसके भाज्य संख्या निरूपण को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}$.

उसी तरह, एक अनंत पूर्णांक को एक अनंत स्ट्रिंग के रूप में भाज्य संख्या प्रणाली में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है $(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}$, जहां प्रत्येक $c_{i}$ एक पूर्णांक संतोषजनक है $0\leq c_{i}\leq i$. अंक $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}$ अनंत पूर्णांक मोड का मान निर्धारित करें $k!$. अधिक विशेष रूप से, एक रिंग समरूपता है ${\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z}$ भेजना

$(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!$

एक पूर्णांक से एक अनंत पूर्णांक का अंतर यह है कि बहुत से गैर-शून्य अंकों की स्थिति को छोड़ दिया जाता है, जिससे इसके फैक्टोरियल संख्या का प्रतिनिधित्व असीम रूप से कई गैर-अंकों के लिए होता है।

=== चीनी शेष प्रमेय === का उपयोग करना

चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करके अनंत पूर्णांक के निर्माण को समझने का एक और तरीका है। याद रखें कि एक पूर्णांक के लिए $n$ प्रधान गुणनखंड के साथ

$n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$

गैर-दोहराए जाने वाले अभाज्यों में, एक वलय समरूपता होती है

$\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}$

प्रमेय से। इसके अलावा, कोई अनुमान

$\mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m$

अंतर्निहित अपघटन पर केवल एक नक्शा होगा जहां प्रेरित अनुमान हैं

$\mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}$

चूंकि हमारे पास होना चाहिए $a_{i}\geq b_{i}$. यह अधिक स्पष्ट होना चाहिए कि अनंत पूर्णांकों की व्युत्क्रम सीमा परिभाषा के तहत, हमारे पास समरूपता है

${\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$

p-adic पूर्णांकों के प्रत्यक्ष गुणनफल के साथ।

स्पष्ट रूप से, समरूपता है $\phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}$ द्वारा

$$\phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k$$

कहां $q$ सभी प्राइम-पावर कारकों पर पर्वतमाला $p_{i}^{d_{i}}$ का $k$, वह है, $k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}$ कुछ भिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए $p_{1},...,p_{l}$.

संबंध

सांस्थितिक गुण

असीमित पूर्णांकों के सेट में एक प्रेरित टोपोलॉजी है जिसमें यह कॉम्पैक्ट जगह हॉसडॉर्फ स्पेस है, इस तथ्य से आ रहा है कि इसे अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद के एक बंद उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है

${\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

जो अपने प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ कॉम्पैक्ट है#Tichonoff के प्रमेय द्वारा सामयिक अंतरिक्ष प्रत्यक्ष उत्पाद। प्रत्येक परिमित समूह पर टोपोलॉजी पर ध्यान दें $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ असतत टोपोलॉजी के रूप में दिया गया है।

टोपोलॉजी चालू है ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,

$d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}$

चूंकि अनंत पूर्णांकों का योग निरंतर है, ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ एबेलियन समूह है, और इस प्रकार इसका पोंट्रीगिन दोहरी एक असतत एबेलियन समूह होना चाहिए।

वास्तव में, पोंट्रीगिन का दोहरा ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ एबेलियन समूह है $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ असतत टोपोलॉजी से लैस है (ध्यान दें कि यह विरासत में मिली सबसेट टोपोलॉजी नहीं है $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, जो असतत नहीं है)। पोंट्रीगिन दोहरी स्पष्ट रूप से फ़ंक्शन <ब्लॉककोट> द्वारा निर्मित है$\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)$कहाँ $\chi$ एडेल का चरित्र है (नीचे पेश किया गया) $\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}$ प्रेरक $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }$.

एडेल्स के साथ संबंध

टेंसर उत्पाद ${\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ परिमित एडेल्स <ब्लॉककोट> की अंगूठी है$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}$का $\mathbb {Q}$ जहां प्रतीक $'$ मतलब प्रतिबंधित उत्पाद । अर्थात्, एक तत्व एक अनुक्रम है जो स्थानों की सीमित संख्या को छोड़कर अभिन्न है। एक समरूपता <ब्लॉककोट> है$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )$</ब्लॉककोट>

=== गाल्वा सिद्धांत और एटेल होमोटॉपी सिद्धांत === में अनुप्रयोग

बीजीय बंद करने के लिए ${\overline {\mathbf {F} }}_{q}$ एक परिमित क्षेत्र का $\mathbf {F} _{q}$ ऑर्डर क्यू के, गैल्वा समूह को स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है। तथ्य से ${\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ जहां ऑटोमोर्फिज्म फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म द्वारा दिए गए हैं, बीजगणितीय समापन का गैलोज समूह $\mathbf {F} _{q}$ समूहों की व्युत्क्रम सीमा द्वारा दिया जाता है $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, इसलिए इसका गैलोज़ समूह अनंत पूर्णांकों के समूह के लिए समरूप है <ब्लॉककोट>$\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}$ जो परिमित क्षेत्र के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की गणना देता है।

बीजगणितीय तोरी के एटाले मौलिक समूहों के साथ संबंध

इस निर्माण की कई तरह से व्याख्या की जा सकती है। उनमें से एक Étale समरूपता प्रकार से है जो Étale मौलिक समूह को परिभाषित करता है $\pi _{1}^{et}(X)$ automorphisms

की अनंत पूर्णता के रूप में$\pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)$

कहाँ $X_{i}\to X$ एक Étale morphism है। फिर, अनंत पूर्णांक समूह <ब्लॉककोट> के लिए आइसोमोर्फिक हैं$\pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}$अनंत गाल्वा समूह की पिछली संगणना से। इसके अलावा, बीजगणितीय टोरस <ब्लॉकक्वोट> के एटले फंडामेंटल ग्रुप के अंदर अनंत पूर्णांकों का एक एम्बेडिंग है${\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})$चूंकि कवरिंग मानचित्र योजनाओं के रूपवाद से आते हैं

$(\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}$

क्रमविनिमेय अंगूठी के मैप से

$f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]$ भेजना $x\mapsto x^{n}$

चूंकि $\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$. यदि बीजगणितीय टोरस को एक क्षेत्र के ऊपर माना जाता है $k$, फिर एटाले फंडामेंटल ग्रुप $\pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})$ की क्रिया शामिल है ${\text{Gal}}({\overline {k}}/k)$ साथ ही etale homotopy सिद्धांत में Étale मौलिक समूह से।

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत और अनंत पूर्णांक

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो किसी क्षेत्र के एबेलियन क्षेत्र विस्तार का अध्ययन करता है। वैश्विक क्षेत्र को देखते हुए $\mathbb {Q}$, इसके निरपेक्ष गाल्वा समूह <ब्लॉककोट> का अपमान${\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$एडेल्स के संबंधित रिंग से घनिष्ठ रूप से संबंधित है $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ और अनंत पूर्णांकों का समूह। विशेष रूप से, एक मानचित्र है, जिसे आर्टिन मानचित्र कहा जाता है<ब्लॉककोट>$\Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$जो एक समरूपता है। इस भागफल को स्पष्ट रूप से <ब्लॉककोट> के रूप में निर्धारित किया जा सकता है${\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}$वांछित संबंध दे रहा है। के प्रत्येक परिमित एबेलियन विस्तार के बाद से स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के लिए एक समान कथन है $K/\mathbb {Q} _{p}$ परिमित क्षेत्र विस्तार से प्रेरित है $\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}$.

यह भी देखें

• पी-यानी संख्या
• एडेल्स की अंगूठी
• अलौकिक संख्या

संदर्भ

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometry of the arithmetic site". arXiv:1502.05580.
• Milne, J.S. (2013-03-23). "Class Field Theory" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-06-19. Retrieved 2020-06-07.

बाहरी कड़ियाँ

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf