कॉम्पैक्ट ऑपरेटर

कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है $T:X\to Y$, कहां $X,Y$ आदर्श सदिश स्थान हैं, संपत्ति के साथ $T$ मैप्स का घिरा हुआ सेट $X$ के अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए $Y$ (कॉम्पैक्ट क्लोजर (टोपोलॉजी) के साथ सबसेट $Y$). ऐसा संकारक आवश्यक रूप से परिबद्ध संकारक होता है, और इसलिए निरंतर होता है। कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता होती है $X,Y$ बनच हैं, लेकिन परिभाषा को अधिक सामान्य स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है।

कोई बाध्य ऑपरेटर$T$जिसके पास रैखिक संकारक की परिमित श्रेणी है, वह संहत संकारक है; वास्तव में, कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्ग एक अनंत-आयामी सेटिंग में परिमित-रैंक ऑपरेटरों के वर्ग का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है। कब$Y$हिल्बर्ट अंतरिक्ष है, यह सच है कि कोई भी कॉम्पैक्ट ऑपरेटर परिमित-रैंक ऑपरेटरों की एक सीमा है,ताकि मानक टोपोलॉजी में परिमित-रैंक ऑपरेटरों के सेट को बंद करने के रूप में कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के वर्ग को वैकल्पिक रूप से परिभाषित किया जा सके। क्या यह आम तौर पर बनच रिक्त स्थान (सन्निकटन संपत्ति) के लिए सच था, कई वर्षों के लिए एक अनसुलझा प्रश्न था; 1973 में प्रति एंफ्लो ने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और स्टीफन बानाच द्वारा काम पर निर्माण करते हुए एक प्रति-उदाहरण दिया। कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सिद्धांत की उत्पत्ति अभिन्न समीकरणों के सिद्धांत में है, जहां अभिन्न ऑपरेटर ऐसे ऑपरेटरों के ठोस उदाहरण प्रदान करते हैं। एक विशिष्ट फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण समारोह स्थान पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर K को जन्म देता है; सघनता गुण को समानता द्वारा दिखाया गया है। ऐसे समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में परिमित-रैंक ऑपरेटरों द्वारा सन्निकटन की विधि बुनियादी है। फ्रेडहोम ऑपरेटर का अमूर्त विचार इसी संबंध से लिया गया है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन

एक रेखीय नक्शा $T:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान के बीच एक पड़ोस मौजूद होने पर कॉम्पैक्ट कहा जाता है $U$मूल में$X$ऐसा है कि $T(U)$ का एक अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय है$Y$. होने देना $X,Y$ आदर्श स्थान हो और $T:X\to Y$ एक रैखिक ऑपरेटर। फिर निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं, और उनमें से कुछ का उपयोग विभिन्न लेखकों द्वारा प्रमुख परिभाषा के रूप में किया जाता है

• $T$एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है;
• यूनिट बॉल की छवि$X$नीचे$T$में अपेक्षाकृत सघन है$Y$;
• के किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय की छवि$X$नीचे$T$में अपेक्षाकृत सघन है$Y$;
• वहाँ एक पड़ोस मौजूद है (गणित) $U$ मूल में$X$और एक कॉम्पैक्ट सबसेट $V\subseteq Y$ ऐसा है कि $T(U)\subseteq V$;
• किसी भी बंधे हुए क्रम के लिए $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ में$X$, क्रम $(Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ एक अभिसरण अनुवर्ती शामिल है।

अगर इसके अलावा$Y$बानाच है, ये कथन भी समतुल्य हैं:

• के किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय की छवि$X$नीचे$T$में पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान है $Y$.

यदि एक रैखिक संकारक संहत है, तो यह सतत है।

महत्वपूर्ण गुण

निम्नलिखित में, $X,Y,Z,W$ बनच स्थान हैं, $B(X,Y)$ बंधे हुए ऑपरेटरों का स्थान है $X\to Y$ ऑपरेटर मानदंड के तहत, और $K(X,Y)$ कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के स्थान को दर्शाता है $X\to Y$. $\operatorname {Id} _{X}$ पहचान ऑपरेटर को दर्शाता है $X$, $B(X)=B(X,X)$, और $K(X)=K(X,X)$.

• $K(X,Y)$ की बंद उपसमष्टि है $B(X,Y)$ (सामान्य टोपोलॉजी में)। समान रूप से, ** कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का एक क्रम दिया $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ मानचित्रण $X\to Y$ (कहां $X,Y$बानाच हैं) और वह दिया $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ में विलीन हो जाता है $T$ ऑपरेटर मानदंड के संबंध में,$T$तो कॉम्पैक्ट है।
• इसके विपरीत यदि $X,Y$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं, तो प्रत्येक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर से $X\to Y$ परिमित रैंक ऑपरेटरों की सीमा है। विशेष रूप से, यह सन्निकटन संपत्ति सामान्य बनच रिक्त स्थान X और Y के लिए गलत है।*$B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).$विशेष रूप से, $K(X)$ में दो तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) बनाता है $B(X)$.
• कोई भी कॉम्पैक्ट ऑपरेटर सख्ती से एकवचन होता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।
• बानाच रिक्त स्थान के बीच एक परिबद्ध रेखीय संकारक सघन होता है यदि और केवल यदि इसका संलग्न सघन (स्कौडर प्रमेय) हो।
  • यदि $T:X\to Y$ घिरा और कॉम्पैक्ट है, तो:
    • की सीमा का समापन$T$वियोज्य स्थान है।
    • यदि की सीमा$T$वाई में बंद है, तो की सीमा$T$परिमित-आयामी है।
• यदि $X$ एक बानाच स्थान है और एक उलटा बाध्य कॉम्पैक्ट ऑपरेटर मौजूद है $T:X\to X$ तब$X$अनिवार्य रूप से परिमित-आयामी है।

अब मान लीजिए $X$ एक बनच स्थान है और $T:X\to X$ एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है, और $T^{*}:X^{*}\to X^{*}$ T का आसन्न या स्थानान्तरण है।

• किसी के लिए $T\in K(X)$, तब ${\operatorname {Id} _{X}}-T$इंडेक्स 0 का फ्रेडहोम ऑपरेटर है। विशेष रूप से, $\operatorname {Im} \,({\operatorname {Id} _{X}}-T)$बन्द है। कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय गुणों को विकसित करने में यह आवश्यक है। कोई इस संपत्ति और इस तथ्य के बीच समानता देख सकता है कि, यदि$M$और$N$की उपकथाएं हैं$X$कहां $M$ बंद है और$N$परिमित आयामी है, तो $M+N$ भी बंद है।
• यदि $S:X\to X$ कोई परिबद्ध रैखिक संकारक है तो दोनों $S\circ T$ और $T\circ S$ कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।
• यदि $\lambda \neq 0$ फिर की सीमा $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ बंद है और की गिरी है $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ परिमित-आयामी है।
• यदि $\lambda \neq 0$ तो निम्न परिमित और समान हैं: $\dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)$
• स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) $\sigma (T)$ का$T$, सुगठित, गणनीय है, और अधिकतम एक सीमा बिंदु है, जो अनिवार्य रूप से मूल होगा।
• यदि $X$ तब अनंत-आयामी है $0\in \sigma (T)$.
• यदि $\lambda \neq 0$ और $\lambda \in \sigma (T)$ तब $\lambda$ दोनों का एक आइगेनवैल्यू है$T$और $T^{*}$.
• हरएक के लिए $r>0$ सेट $E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}$ परिमित है, और प्रत्येक अशून्य के लिए $\lambda \in \sigma (T)$ की सीमा $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ X का उचित उपसमुच्चय है।

अभिन्न समीकरण सिद्धांत में उत्पत्ति

कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति फ्रेडहोम विकल्प है, जो इस बात पर जोर देती है कि प्रपत्र के रैखिक समीकरणों के समाधान का अस्तित्व

$(\lambda K+I)u=f$ (जहाँ K एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है, f एक दिया गया फ़ंक्शन है, और u अज्ञात फ़ंक्शन है जिसे हल किया जाना है) परिमित आयामों की तरह ही व्यवहार करता है। कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत तब अनुसरण करता है, और यह फ्रिगेज़ रिज़्ज़ (1918) के कारण है। यह दिखाता है कि अनंत-आयामी बैनच स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम है जो या तो 'सी' का एक सीमित उपसमुच्चय है जिसमें 0 शामिल है, या स्पेक्ट्रम 'सी' का एक गणना योग्य सेट सबसेट है जिसमें 0 इसकी एकमात्र सीमा बिंदु है . इसके अलावा, किसी भी मामले में स्पेक्ट्रम के गैर-शून्य तत्व परिमित गुणकों के साथ K के eigenvalues ​​​​हैं (ताकि K - λI में परिमित-आयामी कर्नेल (बीजगणित) # सभी जटिल λ ≠ 0 के लिए रैखिक ऑपरेटर हों)।

एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर का एक महत्वपूर्ण उदाहरण सोबोलेव रिक्त स्थान का कॉम्पैक्ट एम्बेडिंग है, जो गर्डिंग असमानता और लक्स-मिलग्राम प्रमेय के साथ, एक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्या को फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण में बदलने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। समाधान और वर्णक्रमीय गुणों का अस्तित्व तब कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सिद्धांत से अनुसरण करता है; विशेष रूप से, एक परिबद्ध डोमेन पर एक दीर्घवृत्तीय सीमा मान समस्या में असीम रूप से कई अलग-अलग ईजेनवेल्यूज़ होते हैं। एक परिणाम यह है कि एक ठोस पिंड केवल अलग-अलग आवृत्तियों पर ही कंपन कर सकता है, जो eigenvalues ​​​​द्वारा दिया जाता है, और मनमाने ढंग से उच्च कंपन आवृत्तियाँ हमेशा मौजूद रहती हैं।

अंतरिक्ष पर सभी बाध्य ऑपरेटरों के एक क्षेत्र पर बीजगणित में एक बनच अंतरिक्ष से कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों ने खुद को दो तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) बना दिया है। दरअसल, एक अनंत-आयामी वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर एक अधिकतम आदर्श बनाते हैं, इसलिए भागफल साहचर्य बीजगणित, जिसे कल्किन बीजगणित के रूप में जाना जाता है, सरल बीजगणित है। अधिक आम तौर पर, कॉम्पैक्ट ऑपरेटर एक ऑपरेटर आदर्श बनाते हैं।

हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर

Main article: Compact operator on Hilbert space

हिल्बर्ट स्पेस के लिए, कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों की एक और समकक्ष परिभाषा निम्नानुसार दी गई है।

एक संचालिका $T$ एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ${\mathcal {H}}$

$T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$

इसे कॉम्पैक्ट कहा जाता है अगर इसे फॉर्म में लिखा जा सकता है

$T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,,$

कहां $\{f_{1},f_{2},\ldots \}$ और $\{g_{1},g_{2},\ldots \}$ ऑर्थोनॉर्मल सेट हैं (जरूरी नहीं कि पूरा हो), और $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ सीमा शून्य के साथ सकारात्मक संख्याओं का एक क्रम है, जिसे ऑपरेटर के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मूल्य अपघटन # बाउंडेड ऑपरेटर कहा जाता है। एकवचन मान केवल बिंदु को शून्य पर सीमित कर सकते हैं। यदि अनुक्रम शून्य पर स्थिर हो जाता है, अर्थात $\lambda _{N+k}=0$ कुछ के लिए $N\in \mathbb {N} ,$ और हर $k=1,2,\dots$, तो ऑपरेटर के पास सीमित रैंक है, यानी, एक परिमित-आयामी सीमा और इसे लिखा जा सकता है

$T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,.$

कोष्ठक $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ हिल्बर्ट स्पेस पर स्केलर उत्पाद है; दाहिनी ओर का योग संचालिका मानदंड में अभिसरित होता है।

कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग ट्रेस क्लास | ट्रेस-क्लास या परमाणु ऑपरेटर है।

पूरी तरह से निरंतर ऑपरेटर

बता दें कि X और Y बनच स्पेस हैं। एक परिबद्ध रैखिक संकारक T : X → Y को 'पूरी तरह से निरंतर' कहा जाता है, यदि प्रत्येक कमजोर टोपोलॉजी अनुक्रम (गणित) के लिए $(x_{n})$ एक्स से, अनुक्रम $(Tx_{n})$ Y में मानदंड-अभिसरण है (Conway 1985, §VI.3). बनच स्थान पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हमेशा पूरी तरह से निरंतर होते हैं। यदि X एक प्रतिवर्ती बैनाच स्थान है, तो प्रत्येक पूर्णतः सतत संकारक T : X → Y सघन होता है।

कुछ भ्रामक रूप से, कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों को कभी-कभी पुराने साहित्य में पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है, भले ही वे आधुनिक शब्दावली में उस वाक्यांश की परिभाषा से पूरी तरह से निरंतर नहीं हैं।

उदाहरण

• हर परिमित रैंक ऑपरेटर कॉम्पैक्ट है।
• के लिए $\ell ^{p}$ और एक क्रम (टी_n) शून्य पर अभिसरण, गुणन संकारक (Tx)_n = टी_n x_nकॉम्पैक्ट है।
• कुछ नियत g ∈ C([0, 1]; 'R') के लिए, C([0, 1]; 'R') से C([0, 1]; 'R') तक लीनियर ऑपरेटर T परिभाषित करें द्वारा
  $$(Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.$$
  कि ऑपरेटर टी वास्तव में एस्कोली प्रमेय से कॉम्पैक्ट है।
• अधिक सामान्यतः, यदि Ω 'R' में कोई डोमेन हैⁿ और इंटीग्रल कर्नेल k : Ω × Ω → 'R' एक हिल्बर्ट-श्मिट इंटीग्रल ऑपरेटर है|हिल्बर्ट-श्मिट कर्नेल, फिर एल पर ऑपरेटर टी²(Ω; आर) द्वारा परिभाषित
  $$(Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$$
  एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है।
• रिज्ज़ की लेम्मा के अनुसार, आइडेंटिटी ऑपरेटर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर होता है अगर और केवल अगर अंतरिक्ष परिमित-आयामी है।

यह भी देखें

• Compact embedding
• Compact operator on Hilbert space
• Fredholm alternative
• Fredholm integral equation
• Fredholm operator
• Strictly singular operator
• Spectral theory of compact operators

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• अंक शास्त्र
• नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस
• परिबद्ध संचालिका
• एक रैखिक ऑपरेटर की रैंक
• पड़ोस (गणित)
• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• उलटी
• डिप्टी
• पक्षांतरित
• उचित सबसेट
• फ्रेडहोम वैकल्पिक
• कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय सिद्धांत
• सोबोलेव स्पेस
• गणनीय सेट
• फ्रिगियस रिज्ज़
• रिफ्लेक्सिव बनच स्पेस
• सिद्धांत सुनो

संदर्भ

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