समारोह स्थान

गणित में, एक फ़ंक्शन स्पेस दो निश्चित सेटों के बीच फ़ंक्शन (गणित) का एक सेट (गणित) है।अक्सर, एक फ़ंक्शन और/या संहितात्मक के डोमेन में अतिरिक्त गणितीय संरचना होगी जो फ़ंक्शन स्पेस द्वारा विरासत में मिली है।उदाहरण के लिए, किसी भी सेट से कार्यों का सेट X एक वेक्टर अंतरिक्ष में गणितीय शब्दजाल#प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष संरचना की एक सूची है जो नुकीला एडिशन और स्केलर गुणा द्वारा दी गई है।अन्य परिदृश्यों में, फ़ंक्शन स्पेस एक सामयिक स्थान या मीट्रिक स्थान संरचना को विरासत में दे सकता है, इसलिए नाम फ़ंक्शन स्पेस।

रैखिक बीजगणित में

See also: Vector space § Function spaces

होने देना V एक क्षेत्र (गणित) पर एक वेक्टर स्थान बनें F और जाने X कोई भी सेट हो।कार्य X → V एक वेक्टर स्थान की संरचना दी जा सकती है F जहां संचालन को परिभाषित किया जाता है, यानी किसी भी के लिए f, g : X → V, कोई x में X, और कोई भी c में F, परिभाषित करना

$${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}$$

जब डोमेन X अतिरिक्त संरचना है, कोई ऐसे सभी कार्यों के सबसेट (या रैखिक उप -स्थान) के बजाय विचार कर सकता है जो उस संरचना का सम्मान करते हैं।उदाहरण के लिए, यदि X भी एक वेक्टर स्थान है F, रैखिक मानचित्र का सेट X → V एक वेक्टर स्थान बनाएं F पॉइंटवाइज ऑपरेशंस के साथ (अक्सर होम सेट को दर्शाया जाता है (X,V))।ऐसा ही एक स्थान का दोहरी स्थान है V: रैखिक रूप का सेट V → F जोड़ और स्केलर गुणन के साथ परिभाषित बिंदुवर्धक।

उदाहरण

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में फ़ंक्शन स्पेस दिखाई देते हैं:

• सेट सिद्धांत में, x से y तक कार्यों का सेट x → y या y को निरूपित किया जा सकता है^X ।
  • एक विशेष मामले के रूप में, एक सेट एक्स के सत्ता स्थापित को x से {0, 1} तक सभी कार्यों के सेट के साथ पहचाना जा सकता है, 2 निरूपित 2^X ।
• X से y तक द्विभाजन का सेट निरूपित किया गया है $X\leftrightarrow Y$।फैक्टरियल नोटेशन एक्स!एक ही सेट एक्स के क्रमपरिवर्तन के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
• कार्यात्मक विश्लेषण में, एक ही निरंतर कार्य रैखिक परिवर्तनों के लिए देखा जाता है, जिसमें उपरोक्त में सामयिक वेक्टर अंतरिक्ष शामिल है, और कई प्रमुख उदाहरण एक टोपोलॉजी ले जाने वाले फ़ंक्शन स्पेस हैं;सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में हिल्बर्ट स्पेस और बानाच स्पेस शामिल हैं।
• कार्यात्मक विश्लेषण में, प्राकृतिक संख्याओं से कुछ सेट एक्स तक सभी कार्यों का सेट एक अनुक्रम स्थान कहा जाता है।इसमें एक्स के तत्वों के सभी संभावित अनुक्रमों के सेट शामिल हैं।
• टोपोलॉजी में, कोई स्थानों की प्रकृति के आधार पर उपयोगिता के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स से दूसरे एक वाई तक निरंतर कार्यों के स्थान पर एक टोपोलॉजी डालने का प्रयास कर सकता है।आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला उदाहरण कॉम्पैक्ट-ओपेन टोपोलॉजी है, उदा।पाश स्थान।यह भी उपलब्ध है कि सेट थियोरेटिक कार्यों के स्थान पर उत्पाद टोपोलॉजी है (यानी जरूरी नहीं कि निरंतर कार्य) y^X ।इस संदर्भ में, इस बिंदुवर्धक अभिसरण की टोपोलॉजी की टोपोलॉजी भी कहा जाता है।
• बीजगणितीय टोपोलॉजी में, होमोटोपी सिद्धांत का अध्ययन अनिवार्य रूप से फ़ंक्शन रिक्त स्थान के असतत आक्रमणों का है;
• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, बुनियादी तकनीकी समस्या यह है कि प्रक्रिया के पथ (समय के कार्य) के एक समारोह स्थान पर एक संभावना माप का निर्माण कैसे करें;
• श्रेणी सिद्धांत में, फ़ंक्शन स्पेस को एक घातीय वस्तु या घातीय वस्तु कहा जाता है।यह एक तरह से प्रतिनिधित्व कैनोनिकल bifunctor के रूप में दिखाई देता है;लेकिन (सिंगल) फंक्टर के रूप में, प्रकार [x, -], यह वस्तुओं पर टाइप ( -& समय; x) के एक फ़ंक्शनर के लिए एक आसन्न फ़न्क्टर के रूप में प्रकट होता है;
• कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और लम्बा कैलकुलस में, उच्च-क्रम कार्यों के विचार को व्यक्त करने के लिए फ़ंक्शन प्रकारों का उपयोग किया जाता है।
• डोमेन सिद्धांत में, मूल विचार आंशिक आदेशों से निर्माणों को खोजने के लिए है जो एक अच्छी तरह से व्यवहार किए गए कार्टेशियन बंद श्रेणी बनाकर लैम्ब्डा कैलकुलस को मॉडल कर सकते हैं।
• परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, दो परिमित-आयामी अभ्यावेदन दिया गया V और W एक समूह का G, एक का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं G रैखिक मानचित्रों के वेक्टर स्थान पर होम (V,W) घर का प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

कार्यात्मक विश्लेषण

कार्यात्मक विश्लेषण को पर्याप्त तकनीकों के आसपास आयोजित किया जाता है, जो फ़ंक्शन स्पेस को टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में लाने के लिए उन विचारों की पहुंच के भीतर होता है जो परिमित आयाम के आदर्श स्थानों पर लागू होते हैं।यहां हम एक उदाहरण डोमेन के रूप में वास्तविक लाइन का उपयोग करते हैं, लेकिन नीचे दिए गए रिक्त स्थान उपयुक्त खुले सबसेट पर मौजूद हैं $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$

• $C(\mathbb {R} )$ एक समान मानदंड टोपोलॉजी के साथ संपन्न निरंतर कार्य
• $C_{c}(\mathbb {R} )$ समर्थन के साथ निरंतर कार्य (गणित) #compact समर्थन
• $B(\mathbb {R} )$ बाउंडेड फ़ंक्शन
• $C_{0}(\mathbb {R} )$ निरंतर कार्य जो अनंत पर गायब हो जाते हैं
• $C^{r}(\mathbb {R} )$ निरंतर कार्य जो लगातार पहले आर डेरिवेटिव हैं।
• $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ चिकनी कार्य
• $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ समर्थन (गणित) #Compact समर्थन के साथ चिकनी कार्य
• $C^{\omega }(\mathbb {R} )$ विश्लेषणात्मक कार्य
• $L^{p}(\mathbb {R} )$, के लिए $1\leq p\leq \infty$, एलपी स्पेस है | l^p औसत दर्जे का कार्य कार्य करता है, जिसका p-मान ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$ परिमित है
• ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$, तेजी से कम होने वाले चिकनी कार्यों और इसके निरंतर दोहरे का Schwartz स्थान, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन
• $D(\mathbb {R} )$ सीमा टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट समर्थन
• $W^{k,p}$ कार्यों के sobobev स्थान जिनके कमजोर_दार से k ऑर्डर करने के लिए अप हैं $L^{p}$
• ${\mathcal {O}}_{U}$ समलैंगिक कार्य
• रैखिक कार्य
• टुकड़े -टुकड़े रैखिक कार्य
• निरंतर कार्य, कॉम्पैक्ट ओपन टोपोलॉजी
• सभी कार्यों, पॉइंटवाइज कन्वर्जेंस का स्थान
• हार्डी स्पेस
• होल्डर स्पेस
• Càdlàg फ़ंक्शंस, जिसे अनातोली स्कोरोखोद स्पेस के रूप में भी जाना जाता है
• ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$, सभी Lipschitz निरंतर कार्यों का स्थान $\mathbb {R}$ वह शून्य पर गायब हो जाता है।

आदर्श

अगर y फ़ंक्शन स्पेस का एक तत्व है ${\mathcal {C}}(a,b)$ सभी निरंतर कार्यों में से एक बंद अंतराल पर परिभाषित किया गया है [a, b], आदर्श (गणित) $\|y\|_{\infty }$पर परिभाषित किया गया ${\mathcal {C}}(a,b)$ का अधिकतम पूर्ण मूल्य है y (x) के लिए a ≤ x ≤ b,

$$\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)$$

वर्दी मानदंड या सुप्रीम मानदंड ('सुपर मानदंड') कहा जाता है।

ग्रन्थसूची

• Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1967). Elements of the theory of functions and functional analysis. Courier Dover Publications.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Functional Analysis: An Introduction to Further Topics in Analysis. Princeton University Press.

यह भी देखें

• गणितीय कार्यों की सूची
• क्लिफोर्ड बीजगणित
• टेंसर क्षेत्र
• वर्णक्रमीय सिद्धांत
• कार्यात्मक निर्धारक